ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HK221 BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỀ TÀI 12 Giáo viên hướng dẫn Võ Trần An Lớp L01 Nhóm 12 Họ và tên SV MSSV Mã số M Phạm Văn Khánh 20.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HK221 BÀI TẬP LỚN MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỀ TÀI: 12 Giáo viên hướng dẫn: Võ Trần An Lớp: L01 Nhóm: 12 Họ tên SV MSSV Mã số M Phạm Văn Khánh 2013462 2.8943 Câu 1: Để dự trữ V=5.4M (đơn vị: m3) nước cho nhà, người ta dùng bể nước hình cầu Lượng nước V chứa bể nước cho công thức 𝐕 = 𝟑.𝟏𝟒𝐡𝟐 (𝟑𝐌−𝐡) tích nước (đơn vị: m3), h: chiều cao (đơn vị: m), M: bán kính bể nước (đơn vị: m) Dùng phương pháp Newton với giả thuyết giá trị mực nước xuất phát ban đầu h0=2 (đơn vị: m) Tìm sai số h2 (sau lần lặp) theo sai số tổng quát xét khoảng cách ly nghiệm [0.5, 2.0] (đơn vị: m) (Đáp số với số lẻ) 𝟑 , V: thể Bài giải : Với 𝐌 = 𝟐 𝟖𝟗𝟒𝟑 (Phạm Văn Khánh) Lượng nước dự trữ: V = 5.4M = 15.62922 Cơng thức tính lượng nước V chứa bể nước: V= 3.14ℎ (3M−ℎ) → 3.14ℎ2 (3M − ℎ) − 3V = = 𝑓(ℎ) ➔ 𝑓(ℎ) = 3.14ℎ2 (3 × 2.8943 − ℎ) − × 15.62922 = 27.264306ℎ2 − 3.14ℎ3 − 46.88766 ➔ 𝑓 ′ (ℎ) = 54.528612ℎ − 9.42ℎ2 ➔ 𝑓 ′′ (ℎ) = 54.528612 − 18.84ℎ Theo phương pháp lặp Newton: ℎ𝑛 = ℎ𝑛−1 − 𝑓(ℎ) 𝑓′(ℎ) Khi đó: 27.264306ℎ02 − 3.14ℎ03 − 46.88766 ℎ1 = ℎ0 − ≈ 1.4809 (𝑚) 54.528612ℎ0 − 9.42ℎ02 27.264306ℎ12 − 3.14ℎ13 − 46.88766 ℎ2 = ℎ1 − ≈ 1.4359 (𝑚) 54.528612ℎ1 − 9.42ℎ12 Tìm 𝑚 = | {𝑓 ′ (ℎ)}| để tính sai số tổng quát: ℎ∈[0.5,2.0] 𝑓 ′′ (ℎ) = → ℎ = 2.8943 (nằm khoảng cách ly nghiệm nên loại) Vậy ta có: 𝑓 ′ (0.5) = 24.909306 𝑓 ′ (2.0) = 71.377224 ➔ Chọn 𝑚 = |𝑓 ′ (0.5)| = 24.909306 Ta có cơng thức sai số tổng quát: 𝑓(ℎ ) 𝑓(ℎ ) |ℎ̅ − ℎ𝑛 | ≤ 𝑛 ➔ |ℎ̅ − ℎ2 | ≤ = 𝑚 𝑚 𝑓(1.4359) 24.909306 ≈ 0.0011 (𝑚) Câu 2: Cho công thức lặp theo phương pháp Gauss-Seidel hệ phương trình, ẩn là: { 𝒙𝟏 (𝒌+𝟏) = 𝒂𝒙𝟐 (𝒌) + 𝒃 𝒙𝟐 (𝒌+𝟏) = 𝒄𝒙𝟏 (𝒌+𝟏) +𝒅 𝑴 (𝟎) Biết 𝒙 𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝑴 ], 𝒙(𝟏) = [ 𝟓 ], 𝒙(𝟐) = [ 𝑴 ] =[ 𝟎 𝟓 𝟎 𝟕𝟓 𝟏𝟎 Tìm a, b, c, d (Đáp số với số lẻ) Bài giải : Với : M = 2.8943 ( Phạm Văn Khánh ) 2.8943 (1) 0.57886 (2) 0.125 ], 𝑥 = [ ], 𝑥 = [ ] 𝑥 (0) = [ 0.5 0.75 0.28943 Áp dụng phương pháp lặp Gauss-Seidel, ta có : 𝑀 = 0,5 𝑎 + 𝑏 𝑥 (1) = 𝑎𝑥2 (0) + 𝑏 { 1(1) { ⇔ (1) 𝑀 𝑥2 = 𝑐𝑥1 (1) + 𝑑 0,75 = 𝑐 + 𝑑 { 0.125 = 0.75𝑎 + 𝑏 𝑥1 (2) = 𝑎𝑥2 (1) + 𝑏 𝑀 { ⇔ = 0.125𝑐 + 𝑑 𝑥2 (2) = 𝑐𝑥1 (2) + 𝑑 10 (2) 𝑐 = 1.0148 Từ (1) (2) ↔ {𝑎 = −1.8154 ; { 𝑑 = 0.1626 𝑏 = 1.4866 Câu 3: Hàm cầu hàm thể phụ thuộc số lượng sản phẩm bán theo giá sản phẩm Một cửa hàng bán bánh có số liệu sau: Bằng x: Giá (đơn vị: 4500 5000 5400 6000 6600 7000 8000 đồng) y: Sản phẩm 3980 3650 3500 3360 3150 3000 400M (đơn vị: chiếc) phương pháp bình phương cực tiểu, xây dựng hàm cầu 𝒚 = 𝒂 + 𝒃𝒙 hàm tuyến tính Hãy ước lượng số sản phẩm bánh bán bán với giá 5800 đồng ước lượng giá bánh muốn bán 3000 (sản phẩm bánh làm tròn đến hàng đơn vị, giá sản phẩm làm tròn đến đơn vị trăm đồng) Bài giải: Với M = 2.8943 ( Phạm Văn Khánh ) x: Giá (đơn vị: đồng) y: Sản phẩm (đơn vị: chiếc) 4500 5000 5400 6000 6600 7000 8000 3980 3650 3500 3360 3150 3000 1157.72 Ta có: n = ∑𝑛𝑘=1 𝑥𝑘 = 42500 (đồng) ∑𝑛𝑘=1 𝑦𝑘 = 21797.72(chiếc) ∑𝑛𝑘=1 𝑥𝑘 = 266970000 ∑𝑛𝑘=1 𝑥𝑘 𝑦𝑘 = 126271760 Hàm cầu đề cho: 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 Theo phương pháp bình phương cực tiểu, ta có: 𝑛 𝑛 𝑛𝐴 + (∑ 𝑥𝑘 )𝐵 = ∑ 𝑦𝑘 𝑘=1 𝑛 𝑛 𝑘=1 𝑛 { ⇔{ (∑ 𝑥𝑘 )𝐴 + (∑ 𝑥𝑘 )𝐵 = ∑ 𝑥𝑘 𝑦𝑘 𝑘=1 𝑘=1 𝑘=1 7A + 42500B = 21797.72 42500A + 266970000B = 126271760 ⇔{ A = 7239.9666 → A B = −0.6796 → B Vậy 𝑦 = 7239.9666 − 0.6796𝑥 Nếu giá bán 5800 đồng số sản phẩm bánh bán là: 𝑦 = 𝐴 + 𝐵 ∗ 5800 = 3298 (chiếc) Nếu bán 3000 giá bán là: 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 = 3000 ⇒ 𝑥 = 6239 (đồng) Vậy với mức giá 5800 đồng/chiếc bán 3298 bánh Muốn bán 3000 bánh cần bán với giá 6239 đồng/chiếc Câu 4: Tọa độ hai hàm f(x) g(x) mặt phẳng cho bảng sau: x 1.2 1.4 1.6 1.8 2.2 f(x) 0.8 0.9M 1.0 1.15 1.05 1.2 0.5M g(x) 2.7 3.9 4.2 5.1 4.7 3.5 3.2 Dùng cơng thức Simpson tính diện tích miền phẳng giới hạn hai đồ thị hai đường thẳng 𝐱 = 𝟏, 𝐱 = 𝟐 𝟐 (Đáp số với số lẻ) Bài giải : Dùng phương pháp Simpson chia đoạn [a,b] thành n phần với khoảng chia h = 0.2, ta có: Với M = 2.8943 ( Phạm Văn Khánh ) Diện tích miền phẳng giới hạn đồ thị f(x), x = 1, x = 2.2 trục hoành: 𝑆𝑓(𝑥) ≈ ℎ (𝑓 + 4𝑓1 + 2𝑓2 + 4𝑓3 + 2𝑓4 + 4𝑓5 + 𝑓6 ) 𝑆𝑓(𝑥) = 0.2 [0.8 + × (0.9 × 2.8943) + × 1.0 + × 1.15 + × 1.05 + × 1.2 + 0.5 × 2.8943] 𝑆𝑓(𝑥) ≈ 1.74 Diện tích miền phẳng giới hạn đồ thị g(x), x = 1, x = 2.2 trục hoành: 𝑆𝑔(𝑥) ≈ ℎ (𝑔 + 4𝑔1 + 2𝑔2 + 4𝑔3 + 2𝑔4 + 4𝑔5 + 𝑔6 ) 𝑆𝑓(𝑥) = 0.2 [2.7 + × 3.9 + × 4.2 + × 5.1 + × 4.7 + × 3.5 + 3.2] 𝑆𝑓(𝑥) ≈ 737 150 Diện tích giới hạn 𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥) đường thẳng 𝑥 = 1, 𝑥 = 2.2 2.2 2.2 𝑆𝑔ℎ = ∫ |𝑆1 − 𝑆2 |𝑑𝑥 = |∫ 1.2 𝑆1 𝑑𝑥 − ∫ 𝑆2 𝑑𝑥| ≈ 3.17 1 PHẦN BT NHÓM -N12- C Với ma trận A sau đây, tìm tất giá trị m cho A khơng thể phân tích theo phương pháp Cholesky A= 𝒎 [𝟐 −𝟏 𝟐 𝒎 −𝟐 −𝟏 −𝟐] 𝒎 Nêu rõ lý Bài giải : Để ma trận A phân tích theo phương pháp Cholesy theo định nghĩa cần thỏa mãn A ma trận đối xứng xác định dương Do để A khơng phân tích theo Cholesky định thức A đêu phải ≤ ( không thỏa mãn điều kiện xác định dương), từ ta có : +) ∆1 ≤ ↔ 𝑚 ≤ (1) +) ∆2 ≤ ↔ 𝑚2 − ≤ ↔ −2 ≤ 𝑚 ≤ (2) +) ∆3 ≤ ↔ 𝑚3 − 9𝑚 + ≤ ↔ { ≤ 𝑚 ≤ (√33 − 1) 𝑚 ≤ (−√33 − 1) (3) Từ (1), (2) (3) ↔ ∀ 𝑚 ∈ (−∞; (√33 − 1)] ma trận A khơng phân tích theo Cholesky ... ly nghiệm [0.5, 2.0] (đơn vị: m) (Đáp số với số lẻ)