SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH,
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG
ĐẲNG PHÁP CẤP
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy môn toán tôi thấy việc giải phương trình ,hệ
phương trình ,chứng minh bất đẳng thức .Nếu sử dụng các phương pháp
thông thường có khi gặp khó khăn thậm chí không giải quyết trọn vẹn.
Nhưng nếu đưa được về cùng bậc thì việc giải quyết lại rất thuận tiện vì việc
biến đổi khá dể dàng . Sau đây là một số ví dụ minh họa đó củng là phương
pháp giải .
B.NỘI DUNG
I, PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP:
Ở lớp 11việc giải phương trình lượng giác đẳng cấp chỉ nói cho bậc 2 .Thực
ra ta có phương pháp chung cho bậc n là các số nguyên dương.
-Phương trình đẳng cấp bậc nhất:
Dạng : asinx +bcosx = 0 (ab
≠
0 ) (1)
(1)
⇔
tan x = -
b
a
(là phương trình cơ bản )
-Phương trình đẳng cấp bậc hai:
Dạng : asin
2
x + bsinxcosx + c cos
2
x = d (2)
(2)
⇔
asin
2
x + bsinxcosx + c cos
2
x = d(sin
2
x + cos
2
x)
⇔
(a – d) sin
2
x + bsinxcosx + (b – d) cos
2
x = 0
Đây là phương trình mà học sinh đả biết cách giải .
-Phương trình đẳng cấp bậc ba:
Dạng : a sin
3
x + bsin
2
xcosx + c sinxcos
2
x +dcos
3
x = 0 (3)
Xét cos x = 0
⇔
x =
2
π
+ k
π
⇒
(3) trở thành
±
a =0 (xét trực tiếp )
Nếu cosx
≠
0 (Chia hai vế cho cos
3
x )
(3 )
⇔
a tan
3
x + b tan
2
x + ctan x + d = 0
Đây là phương trình bậc 3 mà ta đả biết cách giải .
Bằng cách tương tự ta giải được phương trình đẳng cấp bậc n ( n
∈
N
*
)
Ví dụ: Giải phương trình : 2cos
3
x = sin x (1)
Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*
1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Giải
Nếu không cân bằng bậc thì việc giải sẻ gặp khó khăn , ta làm như sau :
(1)
⇔
2co
3
x = sin x (sin
2
x + cos
2
x )
⇔
sin
3
x + sinxcos
2
x - 2 cos
3
x = 0 (2)
Nếu cosx = 0
⇒
(2) Trở thành :
±
1 = 0 (vô lí )
Chia 2 vế của (2) cho cos
3
x
⇒
(2)
⇔
tan
3
x + tan x – 2 = 0
⇔
( tan x -1) (tan
2
x + tan x + 2) = 0 (tan
2
x + tan x + 2 > 0)
⇔
tan x - 1 = 0
⇔
tan x = 1
⇔
x =
4
π
+ k
π
Đáp số : x =
4
π
+ k
π
(k
∈
Z)
II,HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP:
1, Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 2 ẩn:
Dạng :
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
(1)
(2)
a x b xy c y d
a x b xy c y d
+ + =
+ + =
Phương pháp giải :
Ta giải hệ bằng cách khử số hạng tự do ở vế phải để đưa hệ về phương trình
đẳng cấp bậc 2 :
2 2
0Ax Bxy Cy
+ + =
⇔
2 2
[ ( ) ] 0
x x
y A B C
y y
+ + =
Đây là một phương trình quen thuộc .
Ví dụ 1 ; Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
4 2 3
2 3 4
x xy y
x xy y
+ − =
− + =
Giải
Hệ đả cho
⇔
2 2
2 2
4 16 8 12(1)
6 3 9 12(2)
x xy y
x xy y
+ − =
− + =
Trừ theo vế ta được :
Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*
2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2 2
2 19 17 0x xy y
− + =
⇔
2 2
2( ) 19 17 0
x x
y
y y
− + =
⇔
2
0
2 19 17 0( )
y
x
t t t
y
=
− + = =
Nếu : y = 0 hệ trở thành
2
2
3
2 4
x
x
=
=
( hệ vô nghiệm)
Nếu
2
2 19 17 0t t
− + =
⇔
1
17
2
t
t
=
=
*Với t =1
⇔
x = y
Hệ
⇔
2
2
3 3
4 4
x
x
=
=
⇔
x =
±
1
⇔
Hệ có 2 nghiệm ( 1; 1) và (-1; -1)
*Với t =
17
2
⇔
x =
17
2
y
Thay vào hệ ta có
2 2 2
2 2 2
289 17
4. 2 3
4 2
289 17
3 4
2 2
y y y
y y y
+ − =
− + =
⇔
2
4
139
y
=
⇔
y =
±
2
139
⇔
Hệ có 2 nghiệm
17 2
( ; )
139 139
và
17 2
( ; )
139 139
− −
Đáp số Hệ có 4 nghiêm :
Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*
3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
( 1; 1) ;(-1; -1) ;
17 2
( ; )
139 139
17 2
( ; )
139 139
và
17 2
( ; )
139 139
− −
Ta có thể đưa một hệ phương trình về một hệ đẳng cấp để việc giải thuận
tiện :
Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình
3 2
3 2
3 2
( ) 2
( ) 16
( ) 30
x x y z
z z x y
y y z x
+ − =
+ − =
− − =
Giải
Hệ
⇔
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( ) 2 2
( ) 2 30
( ) 2 16
x x y z xyz
y y y z xyz
z x y z xyz
+ + − =
+ + − =
+ + − =
⇔
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( ) 2 2(1)
( )( ) 14(2)
( )( ) 14(3)
x x y z xyz
y z y y z
z x x y z
+ + − =
− + + =
− + + =
Từ hệ đả cho ta có
0xyz
≠
(2) và (3)
⇒
2y z x
= −
Thay vào hệ ban đầu ta có :
Hệ
⇔
3 2 2
3 2 2 3
2 2 2(4)
2 6 9 5 14(5)
2
x x z z x
x x z xz z
y z x
− + =
− + − + =
= −
Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*
4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Lấy (5) – (4).7 ta được
Hệ
⇔
3 2 2
3 2 2 3
2 2 2
5 16 20 16 0(*)
2
x x z z x
z x z x z x
y z x
− + =
− + − =
= −
(*) là phương trình đẳng cấp ( x
≠
0)
⇒
(*)
⇔
3
5 16 20 16 0t t t
− + − =
( )
z
t
x
=
⇔
2
( 2)(5 6 8) 0t t t
− − + =
⇔
2 0t
− =
(Vì
2
5 6 8t t
− +
> 0)
⇔
2t
=
⇒
2z x
=
Ta có hệ
3 2 2
2 2 2
3
2
x x z z x
y x
z x
− + =
=
=
⇔
( ; ; ) (1;3;2)x y z
=
Đáp số
( ; ; ) (1;3;2)x y z
=
III; CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN
Khi chưng minh bất đẳng thức có điều kiện việc đưa hai vế bất đẳng thức
về cùng bậc rất có hiệu quả .Sau đây là một số ví dụ minh họa .
Ví dụ1:
Biết
2x y
+ =
Chứng minh rằng
4 4 3 3
x y x y
+ ≥ +
(1)
Chứng minh
(1)
⇔
4 4 3 3
2( ) 2( )x y x y
+ ≥ +
⇔
4 4 3 3
2( ) ( )( )x y x y x y
+ ≥ + +
⇔
3 3
( )( ) 0x y x y
− − ≥
⇔
2
2 2
( ) [( ) 3 ] 0
2 4
y y
x y x
− + + ≥
⇔
2
( ) 0x y
− ≥
(Điều phải chứng minh)
Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*
5
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đẳng thức xẩy ra
⇔
1x y= =
Ví dụ2: Biết
3x y z+ + =
Chứng minh rằng :
4 4 4 3 3 3
x y z x y z
+ + ≥ + +
(2)
Chứng minh
(2)
⇔
4 4 4 3 3 3
3( ) 3( )x y z x y z
+ + ≥ + +
⇔
4 4 4 3 3 3
3( ) 3( ) )x y z x y z x y z
+ + ≥ + + + +
⇔
3 3
( )( )x y x y
− −
+
3 3
( )( )y z y z
− −
+
3 3
( )( )z x z x
− −
≥
0
(3)
Ta có
3 3
( )( )a b a b
− −
=
2
2 2
( ) [( ) 3 ] 0
2 4
b b
a b a
− + + ≥
⇔
2
( ) 0a b
− ≥
⇒
(3) Được chứng minh
Đẳng thức xẩy ra
⇔
1x y z= = =
Ví dụ3: Cho
0, 0x y
> >
.
3 3
x y x y
+ = −
Chứng minh :
2 2
1x y
+ <
(3)
Chứng minh:
Vì
0, 0x y
> >
⇒
3 3
0x y x y
+ = − >
⇒
(3)
⇔
2 2 3 3
( )( )x y x y x y
− + ≤ +
⇔
2 2
(2 ) 0y y xy x
− + >
⇔
2 2
2 0y xy x
− + >
⇔
2
2
7
( ) 0
2 4
y y
x
− + >
( Điều phải chứng
minh )
Ví dụ 4: Biết phương trình :
3 2
0x x ax b
− + + =
Có 3 ngiệm phân biệt.
Chứng minh rằng
2
3 0a b
+ >
(4)
Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*
6
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Chứng minh
Gọi x;y;z là 3 nghiệm của phương trình :
3 2
0x x ax b
− + + =
Theo vi ét ta có
1x y z
xy yz zx a
xyz b
+ + =
+ + =
= −
⇒
(4)
⇔
2
( ) 3 0xy yz zx xyz
+ + − >
⇔
2
( ) 3xy yz zx xyz
+ + >
⇔
2
( ) ( )3xy yz zx x y z xyz
+ + > + +
⇔
2 2 2
( ) ( ) ( 0xy yz yz zx zx xy
− + − + − >
Ta có
2 2 2
( ) ( ) ( 0xy yz yz zx zx xy
− + − + − =
⇔
0x y z= = =
Điều này không xẩy ra vì
, ,x y z
phân biệt
⇒
Điều phải chứng minh
Ví dụ 5:
Biết
2x y+ ≥
Chứng minh rằng :
4 4 3 3
x y x y
+ ≥ +
(5)
Chứng minh
(5)
⇔
4 4 3 3
2( ) 2( )x y x y
+ ≥ +
(6)
Ta có
2
3 3 2
( )[( ) 3 ] 0
2 4
y y
x y x y x
+ = + − + >
⇒
2x y+ ≥
⇔
3 3 3 3
( ( ) 2( )x y x y x y
+ + ≥ +
(7)Ta chứng minh
4 4 3 3
2( ) ( )( )x y x y x y
+ ≥ + +
⇔
3 3
( )( ) 0x y x y
− − ≥
⇔
2
2 2
( ) [(x ) 3 ] 0
2 4
y y
x y
− − + ≥
(Đúng) (8 )
Từ (6),( 7) ,(8)
⇒
4 4 3 3
x y x y
+ ≥ +
.Đẳng thức xẩy ra khi
1x y= =
Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*
7
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Áp dụng phương pháp tương tự mời các bạn giải các bài tập sau :
BÀI TẬP:
1; Giải phương trình
4 2 2
2sin 4sin cos 3x x x
+ =
2; Giải hệ phương trình
3; Giải hệ phương trình
2 2
2 2
3 8 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y
+ − =
− − =
4;Cho
,x y R
+
∈
và
3 3
2x y
+ =
Chứng minh rằng
2 2
2x y
+ ≤
5; Biết
2x y+ ≥
Chứng minh rằng :
1 1n n n n
x y x y
+ +
+ ≥ +
( )n N
∈
.
C.KẾT LUẬN
Trên đây là một số ví dụ về phương pháp giải phương trình hệ, phương
trình ,chứng minh bất đẳng thức có điều kiện bằng cách đưa về cùng bậc.
Ngoài ra nó còn ứng dụng vào giải nhiều dạng bài toán khác hẹn các bạn một
dịp khác. Chúc các bạn thành công trong quá trình học tập và rèn luyện.
Nhận xét của tổ chuyên môn: Người trình bày :
Nguyễn Quang Minh
Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*
8
2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy
− + =
− + =