BÀI 6 VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ Câu 1 Cho
BÀI 6: VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ Câu 1: Cho 𝑋, 𝑌 vành giao hốn có đơn vị 𝑓: 𝑋 ⟶ 𝑌 toàn cấu vành.CMR: a) Nếu 𝑌 trường 𝐾𝑒𝑟𝑓 ideal tối đại 𝑋 b) Nếu 𝑌 miền nguyên 𝐾𝑒𝑟𝑓 ideal nguyên tố 𝑋 Câu 2: Giả sử 𝐴1 , 𝐴2 vành giao hốn có đơn vị 𝑋 = 𝐴1 × 𝐴2 CMR a) 𝑃 ideal nguyên tố vành 𝑋 ⟺ 𝑃 có dạng 𝑃 = 𝑃1 × 𝐴2 𝑃 = 𝐴1 × 𝑃2 𝑃1 , 𝑃2 ideal nguyên tố 𝐴1 , 𝐴2 b) 𝑀 ideal tối đại vành 𝑋 ⟺ 𝑀 có dạng 𝑀 = 𝑀1 × 𝐴2 𝑀 = 𝐴1 × 𝑀2 𝑀1 , 𝑀2 ideal nguyên tố 𝐴1 , 𝐴2 Câu 3: Tìm ideal nguyên tố, ideal tối đại vành ℤ, ℤ12 , ℤ2 × ℤ2 Câu 4: Cho 𝑋 vành giao hốn có đơn vị CMR ideal khác 𝑋 vành 𝑋 nguyên tố 𝑋 trường Câu 5: Giả sử 𝑋 vành có đơn vị thỏa điều kiện 𝑥 = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋 CMR: a) b) c) d) e) 𝑥 = −𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑋 vành giao hoán Mọi ideal nguyên tố 𝑋 ideal tối đại Mọi ideal hữu hạn sinh ideal Nếu 𝑋 miền nguyên 𝑋 trường gồm có phần tử 𝑋 = {0; 1} Câu 6: Cho 𝑋 vành giao hốn có đơn vị CMR 𝑎 ∈ 𝑋 phần tử khơng khả nghịch tồn ideal tối đại 𝑋 chứa 𝑎 Câu 7: Cho 𝑋 vành giao hốn có đơn vị phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 tồn số tự nhiên 𝑛 > (𝑛 phụ thuộc vào 𝑥) cho 𝑥 𝑛 = 𝑥 CMR ideal nguyên tố 𝑋 ideal tối đại BÀI 7: VÀNH CÁC THƯƠNG Câu 1: Cho 𝑆 tập nhân vành giao hốn có đơn vị 𝑋 CMR: a) 𝑎⁄1 = 𝑆 −1 𝑋 𝐴𝑛𝑛(𝑎) ∩ 𝑆 ≠ ∅ tập hợp 𝐴𝑛𝑛(𝑎) = {𝑥 ∈ 𝑋|𝑥𝑎 = 0} b) Đồng cấu tắc 𝑖: 𝑋 ⟶ 𝑆 −1 𝑋 xác định 𝑖(𝑥) = 𝑥⁄1 đơn cấu 𝑆 chứa ước khác không Câu 2: Cho 𝑋 miền nguyên với trường thương 𝐾 𝜑: 𝑋 ⟶ 𝐿 đơn cấu từ 𝑋 vào trường 𝐿 CMR tồn đồng cấu 𝜑′: 𝐾 ⟶ 𝐿 mở rộng 𝜑 Câu 3: Cho tập nhân 𝑆 𝑇 vành giao hoán có đơn vị 𝑋 cho 𝑆⊆𝑇 CMR: 𝑇 −1 𝑋 ≅ (𝑇⁄1)−1 𝑆 −1 𝑋 Câu 4: Cho 𝑋1 , 𝑋2 vành giao hốn có đơn vị 𝑆 tập nhân vành 𝑋1 × 𝑋2 Gọi 𝑆1 = 𝑝1 (𝑆), 𝑆2 = 𝑝2 (𝑆) với 𝑝1 , 𝑝2 phép chiếu tắc từ 𝑋1 × 𝑋2 ⟶ 𝑋𝑖 xác định 𝑝𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥𝑖 , (𝑖 = 1,2) CMR : 𝑆 −1 (𝑋1 × 𝑋2 ) ≅ 𝑆1 −1 𝑋1 × 𝑆2 −1 𝑋2 BÀI 8: NHÂN TỬ HĨA TRONG VÀNH GIAO HỐN BÀI PHẦN Câu 1: Trong vành 𝑋 cho 𝑏|𝑎, 𝑐|𝑎 (𝑏, 𝑐) = CMR 𝑏𝑐|𝑎 Câu 2: Cho 𝑑 ∈ ℤ\{0,1} , 𝑑 khơng số phương ánh xạ: 𝑁: ℤ[√𝑑] ⟶ ℤ+ 𝑎 + 𝑏√𝑑 ⟼ 𝑁(𝑎 + 𝑏√𝑑) = |𝑎2 − 𝑑𝑏 | CMR: a) 𝑁(𝑥𝑦) = 𝑁(𝑥)𝑁(𝑦) b) 𝑁(𝑥𝑦) ≥ 𝑁(𝑥) c) 𝑥 khả nghịch vành ℤ[√𝑑] ⟺ 𝑁(𝑥) = 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ(√𝑑) Câu 3: Trong miền nguyên ℂ ta xét tập con: ℤ[√−3] = {𝑎 + 𝑏√−3|𝑎, 𝑏 ∈ ℤ} Chứng minh rằng: a) ℤ[√−3] miền nguyên b) 2, ± √−3 phần tử bất khả quy phần tử nguyên tố ℤ[√−3] Câu 4: Cho 𝑆 tập nhân vành 𝑋 ∉ 𝑆 Chứng minh 𝑆 −1 𝑋 vành Câu 5: Cho 𝑎, 𝑏 hai phần tử vành cho (𝑎, 𝑏) = Chứng minh 𝑋 =< 𝑎, 𝑏 > Câu 6: Cho 𝑋1 , 𝑋2 vành CMR ideal 𝑋1 × 𝑋2 ideal chính, 𝑋1 × 𝑋2 khơng vành Câu 7: Vành con, vành thương vành có phải vành khơng? Tại sao? BÀI PHẦN Câu 1: Cho 𝐴 ideal vành Euclide 𝑋 CMR vành thương 𝑋⁄𝐴 vành Euclide ⟺ 𝐴 ideal nguyên tố 𝑋 Câu 2: Giả sử 𝐴 vành Euclide Chứng minh vành thương 𝐴 trường ⟺ ánh xạ 𝜑 ∶ 𝐴∗ ⟶ ℕ ánh xạ (tức 𝜑(𝑥) = 𝑛 với 𝑥 ∈ 𝐴∗ ) Câu 3: Giả sử miền nguyên 𝐴 với ánh xạ 𝜑 ∶ 𝐴∗ ⟶ ℕ vành Euclide CMR tồn ánh xạ Euclide 𝜑′ ∶ 𝐴∗ ⟶ ℕ cho 𝜑 ′ (𝐴∗ ) = {0,1, … , 𝑛} vơi 𝑛 số tự nhiên 𝜑 ′ (𝐴∗ ) = ℕ Câu 4: a) CMR tập ℤ[√−2] = {𝑎 + 𝑏√−2|𝑎, 𝑏 ∈ ℤ} với phép toán cộng nhân số thông thường lập thành vành Euclide b) Tìm UCLN 20 + 11√−2 + 7√−2 vành ℤ[√−2] Câu 5: Chứng minh tập 𝑀 = {[ 𝑎 −𝑏 𝑏 ] |𝑎, 𝑏 ∈ ℤ} vành Euclide 𝑎 Câu 6: Trong vành ℤ[√−5] = {𝑎 + 𝑏√−5|𝑎, 𝑏 ∈ ℤ} CMR: a) Các phần tử 3, 7, + 2√−5, − 2√−5 phần tử bất khả quy b) Vành ℤ[√−5] vành Euclide Từ suy vành chứa đơn vị vành Euclide khơng vành Euclide BÀI 9: VÀNH ĐA THỨC MỘT ẨN BÀI PHẦN Câu 1: Trong vành ℤ6 [𝑥] thực phép nhân (2̅𝑥 + 4̅𝑥 + 𝑥)(3̅𝑥 + 3̅𝑥 + 2̅) Hỏi vành ℤ6 [𝑥] có ước hay khơng ? Câu 2: Trong vành ℤ7 [𝑥], xác định Trong vành 𝑝 để 𝑥 + 𝑝̅𝑥 + 5̅ chia hết cho 𝑥 + 5̅𝑥 + 6̅ Câu 3: Tìm thương dư phép chia: a) 3𝑥 + 4𝑥 − 𝑥 + 5𝑥 − cho 2𝑥 + 𝑥 + ℚ[𝑥] b) 2̅𝑥 + 𝑥 + 2̅𝑥 + 𝑥 + 2̅ cho 𝑥 + 2̅𝑥 + 2̅ ℤ3 [𝑥] Câu 4: Tìm UCLN đa thức a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 − 3𝑥 − 4𝑥 − 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 − ℚ[𝑥] b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 − 3̅𝑥 − 3̅𝑥 − 1̅ 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2̅𝑥 − 𝑥 − 2̅𝑥 + 1̅ ℤ5 [𝑥] Câu 5: CMR 𝑓(𝑥) = 𝑥 − ∈ ℤ[𝑥] bất khả quy trường ℚ Câu 6: Giả sử 𝑎 phần tử thuộc vành giao hốn có đơn vị 𝐴 𝑓(𝑥) ∈ 𝐴(𝑥) CMR 𝑓(𝑥) bất khả quy 𝐴 ⟺ 𝑓(𝑥 + 𝑎) bất khả quy 𝐴 Câu 7: CMR đa thức 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 , (𝑛 > 1) bất khả quy trường 𝐴 đa thức 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 bất khả quy 𝐴 BÀI PHẦN Câu 1: Tìm đa thức ℚ[𝑥] nhận √2 + √3 làm nghiệm CMR √2 + √3 số vô tỷ Câu 2: CMR đa thức sau bất khả quy ℚ[𝑥] a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 8𝑥 + 12𝑥 − 6𝑥 + b) 𝑔(𝑥) = 𝑥 𝑝−1 + 𝑥 𝑝−2 + ⋯ + 𝑥 + với 𝑝 số nguyên tố Câu 3: CMR 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3𝑘 𝑥 + 𝑘 bất khả quy ℚ[𝑥] Câu 4: CMR đa thức sau bất khả quy ℚ[𝑥] a) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 6𝑥 + 11𝑥 + 11 b) 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 8𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + Câu 5: Trong vành ℚ[𝑥] Chứng minh đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥 3𝑚 + 𝑥 3𝑛+1 + 𝑥 3𝑘+2 (𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ) chia hết cho 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 + √2 Câu 6: CMR số vô tỷ √5 Câu 7: Cho đa thức 𝑓(𝑥) với hệ số nguyên CMR 𝑓(0) 𝑓(1) số lẻ 𝑓(𝑥) khơng có nghiệm ngun Câu 8: Giải phương trình bậc sau: a) 𝑥 + 9𝑥 + 18𝑥 + 28 = b) 𝑥 − 3𝑥 − 3𝑥 + 11 = Câu 9: Giải phương trình bậc sau: a) 𝑥 + 2𝑥 − 2𝑥 + 6𝑥 − 15 = b) 𝑥 − 3𝑥 + 𝑥 + 4𝑥 − = ... định