SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 – 2020 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Câu I (2,0 điểm): Cho biểu thức A x 2 với x 0, x x 3 x x 6 x 2 Rút gọn biểu thức A Tính giá trị biểu thức x Câu II (2,0 điểm): d : y ax b Tìm a, b qua điểm A 2;3 Cho đường thẳng d ' : y x để đường thẳng d song song với đường thẳng 3x y 11 Giải hệ phương trình x y Câu III (2,0 điểm): Giải phương trình x x Cho phương trình x m 1 x 2m (m tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m Tìm m để nghiệm thỏa mãn hệ thức: x 2mx1 x2 2m 3 x22 2mx2 x1 2m 3 19 Câu IV (3,0 điểm): Từ điểm A nằm đường trịn tâm O bán kính R, kể tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M khác B C Gọi I , K , P hình chiếu vng góc điểm M đoạn thẳng AB, AC , BC Chứng minh AIMK tứ giác nội tiếp Chứng minh MPK MBC Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MI MK MP đạt giá trị lớn Câu V (1,0 điểm): Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc Chứng minh rằng: ab bc ca 4 a b ab b c bc c a ca HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN BỞI BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM Câu I : Phương pháp: A B A A2 B A B A B A a) Sử dụng cơng thức: b) Đưa x dạng bình phương tổng Tìm x x vừa tìm tính giá trị biểu thức A Thay giá trị Cách giải: x 2 với x 0, x x 3 x x 6 x 2 Cho biểu thức A Rút gọn biểu thức A Với x 0, x ta có: x 2 x 3 x x 6 x 2 A x 2 x 3 x 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 3 x 3 x 45 x 3 x 3 x 3 x 3 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x x 12 x 3 x 2 x 3 x 3 x 2 x 4 x 2 Tính giá trị biểu thức x Ta có: 2 Do x 2.2 22 2.2 x Thay A 2 2 2 x vào biểu thức A sau rút gọn ta được: 1 x 4 2 4 2 1 x 2 2 2 2 Câu II : Phương pháp: a1 a2 Sau thay tọa độ điểm Hai đường thẳng d : y a1x b1 , d ' : y a2 x b2 song song với b1 b2 A vào công thức hàm số d Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Cách giải: d : y ax b Tìm a, b qua điểm A 2;3 Cho đường thẳng d ' : y x để đường thẳng d song song với đường thẳng a d : y 5x b Ta có: d : y ax b song song với đường thẳng d ' : y x b b 6 Đường thẳng d qua điểm A 2;3 nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được: 5.2 b b 7 tm Vậy phương trình đường thẳng d ' : y x 3x y 11 Giải hệ phương trình x y 3x y 11 2 x x x x x y x y 3 y 2 y y 1 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y 3;1 Câu III: Phương pháp: Sử dụng biệt thức để giải phương trình bậc hai, sử dụng cơng thức nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm phân biệt ( ' ), áp dụng định lí Vi-ét Cách giải: Giải phương trình x x Phương trình x x có hệ số a 1, b 4, c a b c x1 Khi phương trình có nghiệm phân biệt x2 c a Vậy tập nghiệm phương trình S 1;3 Cho phương trình x m 1 x 2m (m tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m Tìm m để nghiệm thỏa mãn hệ thức: x 2mx1 x2 2m 3 x22 2mx2 x1 2m 3 19 x m 1 x 2m (1) Ta có ' m 1 2m 5 m2 2m 2m m2 4m m2 4m m m Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m x x m 1 Áp dụng định lí Vi-ét ta có: x1 x2 2m x1 , x2 Do nghiệm phương trình (1) nên ta có: x12 m 1 x1 2m x1 2mx1 x1 2m x2 2mx2 x2 2m x2 m 1 x2 2m x 2mx1 2m x1 x 2mx1 2m 2 x1 12 12 x2 2mx2 2m x2 x2 2mx2 2m 2 x2 Theo ta có: x 2mx1 x2 2m 3 x22 2mx2 x1 2m 3 19 2 x1 x2 2 x2 x1 19 2 x1 x2 x1 x2 19 2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 19 x12 x1 x2 x1 x2 x22 3x1 3x2 15 x12 x22 x1 x2 x1 x2 15 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 15 x1 x2 x1 x2 x1 x2 15 2.4 m 1 2m 12 m 1 15 8m 16m 2m 12m 12 15 8m 26m 2m 4m 13 m m m 13 m 13 Vậy m m 13 Câu IV Phương pháp: Sử dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp Trong đường tròn, hai góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung Chứng minh tam giác đồng dạng để chứng minh MI MK MP , từ đo suy MI MK MP MP3 Đánh giá tìm GTLN MP Cách giải: a) Chứng minh AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn MI AB I AIM 90 Ta có: MK AC K AKM 90 AIM AKM 900 900 1800 Mà hai góc vị trí đối diện AIMK tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 ) (đpcm) b) Kẻ MP BC P BC Chứng minh MPK MBC Ta có: MP BC P MPC 900 MKC MPC 900 900 1800 Mà hai góc vị trí đối diện MPCK tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 ) MPK MCK (hai góc nội tiếp chắn cung MK ) Xét đường tròn O ta có: MBC MCK (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung MC ) MBC MPK MCK (đpcm) c) Xác định vị trí M cung nhỏ BC để tích MI MK MP đạt giá trị lớn Nối I với P Xét tứ giác PBIM ta có : BPM 900 ( MP BC ) BPM BIM 180 BIM 90 ( MI BA) Mà góc vị trí đối diện ⇒ tứ giác PBIM tứ giác nội tiếp (dhnb) MIP MBP (2 góc nội tiếp chắng cung MP ) Mà MBP MPK cmt MIP MPK Ta có : PMI PBI 1800 ; PMK PCK 1800 Mà ABC ACB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Hay IBP PCK PMK PMI Xét MIP MPK có : PMK PMI cmt MIP MIP MPK cmt MPK g.g MI MP (cạnh tương ứng) MI MK MP2 MI MK MP MP3 MP MK MI MK MP lớn MP lớn Gọi P ' trung điểm BC M ' giao điểm OP ' với đường tròn ( M ' thuộc cung nhỏ BC ) Khi M ' điểm cung nhỏ BC Dễ thấy MP M ' P ' không đổi nên MP lớn M M ' điểm cung nhỏ BC Câu V: Ta có: a b ab a b 2a 2b 2a 2b ab a b 2a 2b ab 2ab 2a 2b ab 2a 2b ab ab c 1 2a b ab 2ab c c2 2 CMTT ta có: bc ca 1 ; 1 4 b c bc a c a ca b2 ab bc ca 1 4 2 4 a b ab b c bc c a ca a2 b2 c2 1 1 Ta cần chứng minh 1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Ta có : 1 a b c a b c 6 a Vì a, b, c 0, abc b a b c c Do a b c 1 1 a b c a b c a b c a b b c c a a b c 1 Dấu "=" xảy abc a b c a b c Vậy ab bc ca 4 a b c a b ab b c bc c a ca