SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: x 1 x 3 Giải phương trình: x 2 x 2 A x 1 x 1 x Cho biểu thức , với x 0, x a) Tính giá trị biểu thức A x b) Rút gọn biểu thức A tìm giá trị lớn A Bài 2: Cho Parabol P : y x đường thẳng d : y m 1 x 2m ( m tham số) a) Chứng minh đường thẳng d cắt Parabol P hai điểm phân biệt với giá trị m b) Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt Parabol P hai điểm phân biệt có hồnh độ tương ứng x1 , x2 dương x1 x2 Bài 3: Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp cấp trường, tổng số học sinh đạt giải hai lớp 9A1 9A2 22 em, chiếm tỷ lệ 40% tổng số học sinh dự thi hai lớp Nếu tính riêng lớp lớp 9A1 có 50% học sinh dự thi đạt giải lớp 9A2 có 28% học sinh dự thi đạt giải Hỏi lớp có tất học sinh dự thi Bài 4: Cho đường tròn tâm O , đường kính AB d tiếp tuyến đường tròn O điểm A Trên đường thẳng d lấy điểm M (khác A ) đoạn OB lấy điểm N (khác O B ) Đường thẳng MN cắt đường tròn O hai điểm C D cho C nằm M D Gọi H trung điểm đoạn thẳng CD a) Chứng minh tứ giác AOHM nội tiếp đường đường tròn b) Kẻ đoạn DK / / MO ( K nằm đường thẳng AB ) Chứng minh MDK BAH MA2 MC.MD c) Đường thẳng BC cắt đường thẳng OM điểm I Chứng minh đường thẳng AI song song với đường thẳng BD Bài 5: Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y 10 Tìm giá trị x y để biểu thức A x 1 y 1 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM Bài (2,0 điểm) Cách giải: x 1 x 3 Giải phương trình: x 1 x 3 x 1 2x 1 2x x x7 Vậy nghiệm phương trình x x 2 x 2 A x 1 x 1 x Cho biểu thức , với x 0, x a) Tính giá trị biểu thức A x Thay x TMDK vào biểu thức A ta có: 2 2 A 1 4 2 A 3 1 46 A 3 A 2 Vậy x A 2 b) Rút gọn biểu thức A tìm giá trị lớn A x 2 x 2 A x 1 x x , với x 0, x x 2 x 1 A x 1 x 1 x 1 x 2 A x 1 x 1 A A x 22 x 1 x 1 x 1 x 22 x 2 x 1 A x Ta có: x 1 x 1 x 1 x x A x x A 1 x x 2 1 A x 2 1 A x 0, x x x 0, x 2 Vì nên Dấu “=” xảy x 1 x TM 1 x Vậy biểu thức A đạt giá trị lớn Bài (2,0 điểm) Cách giải: Cho Parabol P : y x đường thẳng d : y m 1 x 2m ( m tham số) a) Chứng minh đường thẳng d cắt Parabol P hai điểm phân biệt với giá trị m Phương trình hồnh độ giao điểm d P là: x m 1 x 2m x m 1 x 2m * Phương trình (*) có: ' m 1 2m m 2m 2m m 4m m 2 2 Vì m m m m 2 Do phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m hay đường thẳng d cắt P hai điểm phân biệt với giá trị m b) Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt Parabol P hai điểm phân biệt có hồnh độ tương ứng x1 , x2 dương x1 x2 Xét phương trình x m 1 x 2m * Để đường thẳng d cắt P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 dương thì: m m S 2 m 1 m m P 2m Khi với x1 , x2 hai nghiệm phân biệt phương trình * , áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình * x x m 1 2m ta có: x x m Theo đề ta có: x1 x2 x1 x2 22 x1 x2 x1 x2 2m 2m 2m 2m m 2m m m 2 m 3 2m m 6m 2m m m 8m 14 1 Giải phương trình 1 ta có: ' 42 14 m tm m 3 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: m ktm m 3 (thỏa mãn điều kiện m ) Vậy m thỏa mãn toán Bài (1,5 điểm) Cách giải: Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp cấp trường, tổng số học sinh đạt giải hai lớp 9A1 9A2 22 em, chiếm tỷ lệ 40% tổng số học sinh dự thi hai lớp Nếu tính riêng lớp lớp 9A1 có 50% học sinh dự thi đạt giải lớp 9A2 có 28% học sinh dự thi đạt giải Hỏi lớp có tất học sinh dự thi Gọi số học sinh dự thi lớp 9A1 9A2 x, y (học sinh) (ĐK: x, y * ) Vì số học sinh đạt giải 22 em, chiếm tỷ lệ 40% tổng số học sinh dự thi hai lớp nên ta có phương x y 40% 22 x y 55 1 trình: Nếu tính riêng lớp thì: Lớp 9A1 có số học sinh đạt giải Lớp 9A2 có số học sinh đạt giải 50% x x (học sinh) 28% y y 25 (học sinh) x y 22 25 x 14 y 1100 25 Vì hai lớp có 22 học sinh đạt giải nên ta có phương trình: Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x y 55 11y 275 25 x 25 y 1375 y 25 25 x 14 y 1100 x 55 y 25 x 14 y 1100 x 30 (thỏa mãn) Vậy số học dự thi lớp 9A1 30 học sinh, số học sinh dự thi lớp 9A2 25 học sinh Bài (3,5 điểm) Cách giải: Cho đường tròn tâm O , đường kính AB d tiếp tuyến đường tròn O điểm A Trên đường thẳng d lấy điểm M (khác A ) đoạn OB lấy điểm N (khác O B ) Đường thẳng MN cắt đường tròn O hai điểm C D cho C nằm M D Gọi H trung điểm đoạn thẳng CD a) Chứng minh tứ giác AOHM nội tiếp đường đường tròn Ta có: MA tiếp tuyến O MAO 900 H trung điểm CD OH CD H (quan hệ đường kính dây cung) OHC OHM 900 Xét tứ giác AOHM ta có: MAO OHM 900 900 1800 Mà hai góc hai góc đối diện AOHM tứ giác nội tiếp (đpcm) b) Kẻ đoạn DK / / MO ( K nằm đường thẳng AB ) Chứng minh MDK BAH MA2 MC.MD Ta có: DK / / MO gt MDK DMO (hai góc so le trong) Vì AOHM tứ giác nội tiếp (cmt) HMO HAO (hai góc nội tiếp chắn cung OH ) Hay BAH DMO BAH MDK DMO (đpcm) Xét AMC DMA ta có: M chung MDA MAC (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AC ) AMC DMA g g AM MC MA2 MC.MD cmt DM MA c) Đường thẳng BC cắt đường thẳng OM điểm I Chứng minh đường thẳng AI song song với đường thẳng BD Gọi E giao điểm MO BD Kéo dài DK cắt BC F Xét tứ giác AHKD có HAK KDH (câu b) AHKD tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cạnh nhìn cạnh đối diện góc nhau) DAK DHK (góc nội tiếp chắn cung DK ) Mà DAK DCB (góc nội tiếp chắn cung DB ) Nên DHK DCB Hai góc vị trí đồng vị nên HK / /CB HK / /CF Trong tam giác DCF , HK / /CF , H trung điểm CD nên K trung điểm DF DK KF Lại có DK / / MO DF / / IE DK FK BK OE OI BO Mà DK FK cmt nên OE OI Xét tứ giác AIBE có hai đường chéo IE AB cắt trung điểm O đường nên AIBE hình hình hành AI / / BE AI / / BD (đpcm) Bài (1,0 điểm) Cách giải: Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y 10 Tìm giá trị x y để biểu thức A x 1 y 1 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Ta có: A x 1 y 1 A x y xy A x y xy xy 2 A x y xy xy xy 2 A x y x y xy xy xy xy 2 A 100 40.xy xy xy A xy xy 40 xy 101 x y x y Đặt t xy Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: xy Khi ta có: A t 2t 40t 101 với t A t 8t 16 10t 40t 40 45 A t 10 t 45 45 2 t xy t Dấu “=” xảy t 2 t tm x y 10 t t Khi x, y nghiệm phương trình X 10 X Ta có: 10 10 X 4.1.2 , phương trình có nghiệm phân biệt 10 X 10 10 10 10 x; y ; ; x; y 2 2 10 10 10 10 Vậy biểu thức Amin 45 x; y ; ; x; y 2 2 -HẾT -