Vật liệu bán dẫn thấp chiều

Bài giảng Cao học Vật lí lí thuyết Trường Đại học Sư phạm Hà Nội PGS.TS Nguyễn Quang Học TÀI LIỆU THAM KHẢO  John H Davies, The physics of low- dimensional semiconductors: An introduction, Cambridge university press, 1998  Nguyễn Văn Hùng, Lý thuyết chất rắn, NXBĐHQGHN , 1999  Nguyễn Quang Báu, Nguyễn Vũ Nhân Phạm Văn Bền, Vật lý bán dẫn thấp chiều, NXBĐHQGHN, 2007 MỤC LỤC Mở đầu Chương 1: Cơ sở học lượng tử 1.1 Cơ học sóng phương trình Schrodinger 1.2 Hạt tự 1.3 Hạt liên kết: Hố lượng tử 1.4 Mật độ điện tích mật độ dịng 1.5 Tốn tử phép đo 1.6 Tính chất tốn học trạng thái riêng 1.7 Trạng thái đếm 1.8 Trạng thái lấp đầy: Hàm lấp đầy Bài tập Chương 2: Cơ sở vật lý chất rắn: Điện tử phonon tinh thể 2.1 Cấu trúc vùng chiều 2.2 Chuyển động điện tử vùng MỤC LỤC 2.3 Mật độ trạng thái 2.4 Cấu trúc vùng hai ba chiều 2.5 Cấu trúc tinh thể bán dẫn thông thường 2.6 Cấu trúc vùng bán dẫn thông thường 2.7 Phép đo quang khe vùng 2.8 Phonon Bài tập Chương 3: Dị cấu trúc 3.1 Tính chất chung dị cấu trúc 3.2 Phương pháp nuôi dị cấu trúc 3.3 Kỹ thuật vùng 3.4 Cấu trúc xếp thành lớp: Hố lượng tử rào 3.5 Dị cấu trúc pha tạp 3.6 Lớp biến dạng 3.7 Dị cấu trúc Si - Ge MỤC LỤC 3.8 Dây chấm 3.9 Sự giam cầm quang 3.10 Phép gần khối lượng hiệu dụng 3.11 Lý thuyết khối lượng hiệu dụng dị cấu trúc Bài tập Chương 4: Hố lượng tử hệ thấp chiều 4.1 Hố vuông góc sâu vơ hạn 4.2 Hố vng góc sâu hữu hạn 4.3 Hố parabol 4.4 Hố tam giác 4.5 Hệ thấp chiều 4.6 Sự lấp đầy vùng 4.7 Hố hai ba chiều 4.8 Sự giam cầm vượt khỏi hai chiều 4.9 Hố lượng tử dị cấu trúc Bài tập MỤC LỤC Chương 5: Vận chuyển xuyên hầm 5.1 Bậc 5.2 Ma trận T 5.3 Ma trận T (tiếp) 5.4 Dòng độ dẫn 5.5 Xuyên hầm cộng hưởng 5.6 Siêu mạng vùng mini 5.7 Vận chuyển liên kết với nhiều kênh 5.8 Xuyên hầm dị cấu trúc Bài tập Chương 6: Điện trường từ trường 6.1 Phương trình Schrodinger điện trường từ trường 6.2 Điện trường MỤC LỤC 6.3 Tenxơ độ dẫn điện trở suất 6.4 Từ trường 6.5 Từ trường kênh hẹp 6.6 Hiệu ứng Hall lượng tử Bài tập Chương 7: Các phương pháp gần 7.1 Hình thức luận ma trận học lượng tử 7.2 Lý thuyết nhiễu loạn không phụ thuộc vào thời gian 7.3 Lý thuyết k.p 7.4 Lý thuyết WKB 7.5 Phương pháp biến phân 7.6 Lý thuyết nhiễu loạn suy biến 7.7 Lý thuyết liên kết chặt MỤC LỤC 7.8 Lý thuyết điện tử gần tự Bài tập Chương 8: Tốc độ tán xạ: qui tắc vàng 8.1 Qui tắc vàng đối veil tĩnh 8.2 Tán xạ tạp 8.3 Qui tắc vàng dao động 8.4 Tán xạ phonon 8.5 Sự hấp thụ quang 8.6 Sự hấp thụ vùng 8.7 Sự hấp thụ hố lượng tử 8.8 Giản đồ lượng riêng Bài tập Chương 9: Khí điện tử hai chiều MỤC LỤC 9.1 Giản đồ vùng lớp biến điệu pha tạp 9.2 Các mẫu khác với mẫu đơn giản 9.3 Cấu trúc điện tử khí điện tử hai chiều 9.4 Sự chắn khí điện tử 9.5 Sự tán xạ tạp từ xa 9.6 Cơ chế tán xạ khác Bài tập Chương 10: Tính chất quang hố lượng tử 10.1 Lý thuyết chung 10.2 Mẫu Kane cấu trúc vùng hóa trị 10.3 Vùng hố lượng tử 10.4 Sự chuyển vùng hố lượng tử 10.5 Sự chuyển vùng hố lượng tử MỤC LỤC A1 A2 A3 A4 A5 A6 10.6 Sự khuếch đại quang laze 10.7 Exciton Bài tập Bảng số vật lí Tính chất bán dẫn quan trọng Tính chất hợp kim GaAs-AlAs nhiệt độ phòng Phương trình Hermite: Dao động tử điều hồ Hàm Airy: Hố tam giác Hệ thức Kramers-Kronig hàm phản ứng A6.1 Hệ thức Kramers-Kronig A6.2 Hàm phản ứng mẫu 1.8 Trạng thái lấp đầy: Hàm lấp đầy tử n cho biểu thức giống (1.118) với mật độ trạng 3/ thái hiệu dụng cho m m k T   (3 D ) e B NC = 2  2   (1.119) Trong bán dẫn cổ điển, ta cần bao hàm CB VB với mật độ trạng thái n(E ) h.1.14 Đáy CB EC khơng phải E = làm thay đổi biểu thức mật độ điện tử thành Hình 1.14 CB VB bán dẫn pha tạp nhẹ, Nó mức Fermi khe vùng hạt tải vùng  E − EF  .(1.120) n = N C( D ) exp − C k BT   Đỉnh VB EV tách từ CB khe vùng (vùng cấm) E g = EC − EV Trong bán dẫn khơng pha tạp, VB hồn tồn đầy điện tử Do đó, thích hợp ta dùng mật độ lỗ trống p thay cho mật độ điện tử n dùng phân bố tương ứng (1.110) Tương tự, 1.8 Trạng thái lấp đầy: Hàm lấp đầy p=N (3 D ) V  E F − EV exp − k BT   , (1.121)  NV( D ) mật độ trạng thái hiệu dụng VB Các giá trị n p thường điều khiển cách thêm nồng độ nhỏ tạp chất vào bán dẫn Các chất cho (donor) giải phóng điện tử vào CB chất nhận (acceptor) sinh lỗ trống VB Nguồn khác hạt tải kích thích nhiệt điện tử từ VB tới CB mà bị ảnh hưởng mạnh nhiệt độ Thông thường hạt tải bị chi phối pha tạp Nó cho vật liệu khơng n  N D vật liệu loại n với N D chất cho ứng với đơn vị thể tích Tương tự, vật liệu loại p với mật độ chất nhận N A có p  N A Có thể rút mức Fermi từ (1.120) (1.121) Trong trường hợp bán dẫn không pha tạp n = p = = ni Tích (1.120 ) (1.121) cho np = N (3 D ) C N (3 D ) V  EC − EV exp − k BT    E   = N C( D ) NV( D ) exp − g , (1.122)   k BT  1.8 Trạng thái lấp đầy: Hàm lấp đầy khe vùng E g = EC − EV Như vậy, tích np không phụ thuộc vào pha tạp vị trí mức Fermi Trong trường hợp vật liệu không pha tạp, n = p = ni , np = ni Hệ thức có ý nghĩa quan trọng linh kiện cổ điển gọi phương trình bán dẫn Ví dụ hạt tải chủ yếu bán dẫn pha tạp n điện tử với nồng độ n  N D Từ 2 phương trình bán dẫn suy mật độ lỗ trống thứ yếu p = ni / n  ni / N D Một hạn chế quan trọng phương trình bán dẫn việc rút giới hạn không suy biến áp dụng cho hệ thấp chiều Nó khơng áp dụng cho bán dẫn khối pha tạp mạnh Để xác định xác n p ta cần phương trình khác Một mẫu vĩ mơ giữ trung hồ điện đó, mật độ điện tích dương tổng cộng mật độ điện tích âm tổng cộng hay p + N D = n + N A Kết hợp với phương trình bán dẫn cho phương trình bậc n p theo N D − N A Điều hệ đồng có nồng độ tạp chất hạt tải khơng đổi tồn khơng gian Tuy nhiên, hệ thấp chiều thường pha tạp cách chọn lọc để sinh hạt tải vùng từ chất cho chỗ khác không gian Điều khó cần xác định nồng độ 1.8 Trạng thái lấp đầy: Hàm lấp đầy hạt tải trường hợp Tất kết lấp đầy trạng thái bị giới hạn cho hệ cân Không có hệ cân trì xác hệ bị nhiễu từ cân Ví dụ np  ni2 vùng nghèo điôt p–n tác dụng hiệu dock phía trước Khi đó, ta cần lí thuyết vận chuyển để mơ tả hệ Giả sử ta biết n p Khi đó, từ (1.120) (1.121) rút “mức Fermi” khơng phải cân Ví dụ E F( n ) = EC + k BT ln n N (3 D ) C (1.123) Đó mức Fermi thực hệ khơng cân Do đó, gọi mức chuẩn Fermi hay imref (“Fermi” đọc ngược) Imref điện tử khác với imref lỗ trống Đó cách phát biểu khác np  ni Ví dụ E F( n )  E F( p ) điôt p-n tác dụng hiệu dịch phía trước Việc sử dụng imref gây nhầm lẫn đem lại hạt tải phân bố cân ngoại trừ thay đổi mức Fermi Điều thường xa với thực tế kí hiệu thường sử dụng 1.8 Trạng thái lấp đầy: Hàm lấp đầy 1.8.4 Khí điện tử Sau xem xét giới hạn không suy biến thống kê bán dẫn cổ điển, ta nghiên cứu trường hợp ngược lại khí điện tử tự suy biến bề mặt Fermi Giả thiết hệ nhiệt độ T = f(E) hàm bậc E = EF0 = k BTF Ngưỡng cho giống lượng E =  k / 2m 1/ điện tử tự Do đó, tồn số sóng Fermi k F = (2mEF0 ) /  tương ứng với  E F Trong không gian K chiều, xác định mặt cầu Fermi: tất trạng thái bên bề mặt làm đầy T = trạng thái bề mặt bỏ trống Bề mặt trở thành đường tròn trường hợp chiều cặp điểm trường hợp chiều Năng lượng E F đo từ đáy vùng gọi lượng Fermi phép đo mật độ điện tử Có thể rút ra số sóng Fermi sử dụng phân bố trạng thái không gian k Trong trường hợp chiều, mật độ trạng thái không gian  k / (2 )2 diện tích hình trịn Fermi k F2 Do đó, mật độ điện tử 1.8 Trạng thái lấp đầy: Hàm lấp đầy n2 D = (2 )2 k F2 k = (1.124) 2 F Do đó, k F = (2 n2 D )1/ Nó cách dề để tìm k F E F0 Cịn có đại lượng “Fermi” khác vận tốc Fermi vF = k F / m điện tử tự (vận tốc nhóm k F nói chung) Khi biết mật độ khối lượng hiệu dụng khí điện tử, dùng cơng thức để tìm TF xác định xem khí điện tử suy biến hay không suy biến nhiệt độ cho  Bề mặt Fermi có dạng phức tạp  (K ) tính đối xứng cầu với dạng đặc biệt số vật liệu Nó định nghĩa bề mặt đẳng mà thể tích trì mật độ điện tử xác Đối với bán dẫn thơng thường, phép gần cầu trì trường hợp đặc biệt vùng dẫn GaAs 1.8.5 Các hàm phân bố khác Có định luật phân bố khác hạt fecmion Các hạt cổ điển tuân theo phân bố Boltzmann f cl (E ,  , T ) = exp− (E −  ) / k BT , (1.125) 1.8 Trạng thái lấp đầy: Hàm lấp đầy  hố học thay cho EF phân bố Fermi-Dirac Nó giống giới hạn khơng suy biến phân bố Fermi sử dụng rộng rãi bán dẫn cổ điển Các bozon tuân theo thống kê Bose-Einstein −1  E−    − 1 (1.126) f BE (E ,  , T ) = exp  k BT    Các bozon hạt mang xung lượng góc không nguyên theo đơn vị  Điều khác với fecmion lấy giá trị bán nguyên Ví dụ bozon nguyên tử He Nhiều bozon “hạt” theo nghĩa thông thường Các phonon photon bozon quan trọng Thế hoá học điều chỉnh để giữ cho số hạt không đổi nhiệt độ thay đổi Cùng lập luận áp dụng cho He không áp dụng cho phonon photon sinh cách tùy ý Do đó, phonon photon khơng hố học Ví dụ số phonon kiểu có tần số q −1 cho      q   − 1 (1.127) N q = exp  k BT    1.8 Trạng thái lấp đầy: Hàm lấp đầy Điều quan trọng tính tốc độ tán xạ phụ thuộc vào só phonon kiểu Nó có giới hạn đơn giản N q ~ k BT / q (năng lượng nhiệt lượng phonon) nhiệt độ cao Dạng phân bố Bose khác nhiều so với phân bố Fermi lượng thấp Nó định nghĩa E   tiến tới  E →  (hoặc E → phonon photon) Điều có nghĩa bozon bảo tồn ví dụ He trải qua ngưng kết Bose để kết thúc trạng thái nhiệt độ giảm tới khơng Tính chất fecmion bozon trái ngược giới hạn này: bozon có xu hướng dồn vào chỗ nén nhiều vào trạng thái thấp fecmion bị ép giữ tách rời có hạt ứng với trạng thái Các hàm Fermi, Boltzmann Bose vẽ để so sánh hình 1.15 Có số giới hạn khác áp đặt lên giá trị hàm lấp đầy Thứ chúng áp dụng cho hệ lớn hệ nhỏ tiếp xúc với bình chứa cung cấp hạt lượng Chúng không áp dụng cho 1.8 Trạng thái lấp đầy: Hàm lấp đầy Hình 1.15 Các hàm phân bố Fermi-Dirac, Boltzmann Bose-Einstein vẽ thang đo chung theo E− k BT điện tử bên chấm lượng tử (một nguyên tử nhân tạo cô lập) Một giới hạn thứ hai hạt cần phải không tương tác với ta giả thiết xác suất để điện tử chiếm giữ trạng thái không bị ảnh hưởng điện tử chiếm giữ trạng thái khác Nó ln ln phép gần điện tử tích điện đẩy khơng số trường hợp Một ví dụ lấp đầy trạng thái tạp chất bán dẫn mà bẫy lên tới điện tử với spin ngược Do đó, có trạng thái 1.8 Trạng thái lấp đầy: Hàm lấp đầy minh hoạ hình 1.16 Hình 1.16 trạng thái tạp chất mà bẫy lên tới điện tử (i) trống, lượng 0; (ii) điện tử, spin lên, lượng  ; (iii) điện tử, spin xuống, lượng  ; (iv) hai điện tử, spin lên spin xuống, lượng 2 + U Năng lượng bổ sung U trạng thái (iv) gọi lượng Hubbard U biểu diễn đẩy Coulomb điện tử Nó có nghĩa điện tử thứ hai liên kết chặt so với điện tử thứ Năng lượng liên kết điện tử thứ hai thường vào khoảng 5% lượng liên kết điện tử thứ chất cho đơn giản bán dẫn Xác suất tìm thấy hệ trạng thái với lượng E n điện tử tỉ lệ với exp− (E − n ) / k BT  Số điện tử trung bình tạp chất 1.8 Trạng thái lấp đầy: Hàm lấp đầy n = + exp− ( −  + U ) / k BT  (1.128) + (1 / 2) exp( −  ) / k BT  + (1 / ) exp− ( −  + U ) / k BT  Để kiểm tra (1.128), ta bỏ qua tương tác U điện tử Khi đó, n = f ( ,  , T ) với f hàm Fermi điện tử không tương tác Thường giới hạn ngược lại trì với đẩy U lớn đến mức xác suất để điện tử chiếm giữ tạp chất bỏ qua Khi đó, n = 1 + (1 / ) exp( −  ) / k BT  = (1.129) + exp( −  − k BT ln ) / k BT  Mặc dù tạp chắn bị chiếm giữ điện tử thời điểm đó, xác suất không cho hàm Fermi thông thường giá trị spin Từ (1.129) suy lấp đầy tạo để làm giống hàm Fermi số hạng k BT ln thêm vào hoá học điều thường sử dụng tính tốn bao hàm lấp đầy tạp chất Bài tập chương 1.1 Dùng mơ hình hố sâu vơ hạn để ước tính vài mức lượng điện tử GaAs hố có bề rộng 10 nm nm Khối lượng m cần thay m0 me me = 0,067 khối lượng hiệu dụng điện tử đáy CB GaAs Kết hố thực GaAs/ AlGaAs có độ sâu khoảng 0,3 eV? Lặp lại tính tốn lỗ trống hố có độ sâu khoảng 0,2 eV Các lỗ trống gồm lỗ trống nặng lỗ trống nhẹ với khối lượng hiệu dụng tương ứng mhh = 0,5, mlh = 0,082 1.2 Hình 1.4 số số đo thực nghiệm mức lượng hố lượng tử thay đổi bề dày Mẫu có số hố lượng tử GaAs có bề dày a thay đổi lớp mỏng Al0,35Ga0,65As Các vết cường độ quang phát quang (PL) Năng lượng photon phát khác biệt lượng điện tử lỗ trống hố Các hố hẹp có trạng thái giam cầm với lượng cao phát ánh sáng với tần số cao (bước sóng ngắn hơn) Điều tạo hệ vạch vết PL Nếu cho bề dày hố, mơ hình hạt hộp dự đoán lượng PL nào? Giả thiết điện tử lỗ trống có khối Bài tập chương lượng hiệu dụng me = 0,067, mhh = 0,5 Cái gây đỉnh nhọn? 1.3 Các mật độ dịng điện tích rút phần 1.4 bảo đảm để bảo tồn điện tích với điều kiện V ( x, t ) thực Chứng minh hạt sinh bị hấp thụ V phức 1.4 Xây dựng hàm sóng để mơ tả điện tử chuyển động theo hướng – x −1 −2 với vận tốc 10 ms mang mật độ dòng − 1Anm 1.5 Rút mật độ dòng sóng chạy phân rã lan truyền ngược (các phương trình (1.34) (1.36)) 1.6 Chứng minh điện tử trạng thái n hố vng góc a2   sâu vơ hạn có bề rộng a, (x ) = 1 − 2 .( E1.1) 12  n   Về phương diện cổ điển, hạt chắn tìm chỗ hố (trừ hạt dừng lại) Chứng minh x = a / 12 lưu ý kết học lượng tử tiếp cận với giá trị lượng lớn (n lớn) 1.7 Xét truyền bó sóng với bề rộng ban đầu d = 25 nm d = = 50 nm GaAs (m = 0,067m0 ) Phác họa x(t ) bó sóng Bài tập chương Mất để chúng có chiều dài gấp đơi?   1.8 Sử dụng x , p  = i để chứng minh x, p  = 2ip Đối với dạng chung   2   toán tử Hamilton H = p / 2m + V ( x ), chứng minh x , H  = (i / m ) p 1.9 Mômen xung lượng quĩ đạo học cổ điển xác định       L = r  p Tương tự, học lượng tử, toán tử Lx = y p z − z p y , v.v  Chứng minh rằngcác thành phần khác nhau L khơng giao hốn với     nhau, cụ thể Lx , Ly  = iLz , Ly , Lz  = iLx , Lz , Lx  = iLy Mômen xung     lượng toàn phần định nghĩa L2 = L2x + L2y + L2z Chứng minh  2 Lx , L  = Do đó, xác định đồng thời thành phần mômen xung lượng tồn phần bình phương mơmen xung lượng tồn phần 1.10 Ba trạng thái thấp parabol viết dạng n ( x)  H n −1 ( x) exp(− x / ), H n (x) đa thức Hermite bậc n Ví dụ H ( x) = 1, H1 ( x) = x, H ( x) = x − Chứng minh trạng thái trực giao với 1.11 Hàm sóng 1 ( x)  x exp(− bx / ) thường sử dụng phép gần trạng thái riêng thấp tam giác x  Bài tập chương Đôi cần sử dụng phép gần cho trạng thái thứ hai Hãy viết dạng x(c − bx) exp(− bx / ) chọn c để trực giao với trạng thái thấp 1.12 Chứng minh mật độ trạng thái điện tử tự trường hợp chiều (trường hợp đơn giản nhất) n2 D ( E ) = (m /  )( E ).( E1.2) 1.13 Rút biểu thức (1.119) mật độ trạng thái hiệu dụng hệ chiều Cho  1/ − x  x e dx = (3 / 2) =  / 1.14 Từ phương trình bán dẫn phương trình trung hịa chứng minh n = (1 / ) N D − N A +  (N D − N A )2 + 4ni2  ( E1.3)  bán dẫn cổ điển Tìm kết tương ứng p 1/ 1.15 Chứng minh số sóng Fermi K F = (3 n3 D ) trường hợp chiều rút kết tương ứng trường hợp chiều ... phản ứng mẫu MỞ ĐẦU  Các hệ thấp chiều (low-dimensional system) tạo cách mạng vật lí bán dẫn Chúng dựa sở công nghệ dị cấu trúc (heterostructure) thành phần chất bán dẫn thay đổi phạm vi nanơmét... tử hệ thấp chiều 4.1 Hố vng góc sâu vơ hạn 4.2 Hố vng góc sâu hữu hạn 4.3 Hố parabol 4.4 Hố tam giác 4.5 Hệ thấp chiều 4.6 Sự lấp đầy vùng 4.7 Hố hai ba chiều 4.8 Sự giam cầm vượt khỏi hai chiều. .. Lý thuyết chất rắn, NXBĐHQGHN , 1999  Nguyễn Quang Báu, Nguyễn Vũ Nhân Phạm Văn Bền, Vật lý bán dẫn thấp chiều, NXBĐHQGHN, 2007 MỤC LỤC Mở đầu Chương 1: Cơ sở học lượng tử 1.1 Cơ học sóng phương