THAM SỐ TỰ DO VỚI SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM*, LÊ VĂN HOÀNG** TÓM TẮT Một điều kiện phổ quát được đưa ra cho việc chọn tham số tự do khi áp dụng phương pháp toán tử FK để[.]
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Hồng Đỗ Ngọc Trầm tgk THAM SỐ TỰ DO VỚI SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ FK HỒNG ĐỖ NGỌC TRẦM*, LÊ VĂN HỒNG** TĨM TẮT Một điều kiện phổ qt đưa cho việc chọn tham số tự áp dụng phương pháp toán tử FK để giải phương trình Schrưdinger Chúng tơi tốc độ hội tụ chuỗi bổ cải thiện đáng kể cách chọn tối ưu tham số tự Áp dụng cho trường hợp dao động tử phi điều hịa, nghiệm xác số (hàm sóng lượng) tính giải thuật nhanh dựa phương pháp toán tử FK điều kiện chọn tham số tối ưu Từ khóa: phương pháp tốn tử FK, phương trình Schưdinger, tham số tự do, tốc độ hội tụ, điều kiện tối ưu ABSTRACT Free parameter in regulation of convergence rate of the FK operator method A universal criterion is proposed to define the free parameter when applying the FK operator method for solving the Schrödinger equation We show that the convergence rate of approximation series can be regulated by this method of choosing the free parameter Applying for an anharmonic oscillator as a sample problem, exact numerical solutions (wavefunctions and energies) for which are obtained by very fast algorithm based on the FK operator method and the proposed criterion Keywords: FK operator method, Schrödinger equation, free parameter, convergence rate, optimum condition Giới thiệu vấn đề Phương pháp toán tử xây dựng hai giáo sư Feranchuk Komarov vào năm 1980 [4, 5], ứng dụng thành công cho loạt tốn vật lí chất rắn, lí thuyết trường, vật lí ngun tử, phân tử (xem cơng trình [6] trích dẫn đó) Nghiên cứu sâu tảng phương pháp, ngồi cơng trình nhóm tác giả phương pháp cịn có nhóm khác, xem [2, 3] Trong từ trở đi, gọi tên phương pháp toán tử FK để phân biệt với phương pháp sử dụng toán tử khác Một vấn đề quan trọng áp dụng phương pháp tốn tử FK vai trị tham số tự [1, 7] Tham số đưa vào biểu diễn biến số động lực a(ω), a+ (ω) x, px qua toán tử sinh hủy Chúng ta gọi tham số thực chất Hamiltonian hệ không phụ thuộc vào chọn lựa tham số Tuy nhiên, ω đóng vai trị đặc biệt quan trọng phương pháp * ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM PGS TSKH, Trường Đại học Sư phạm TPHCM ** toán tử FK độ xác nghiệm gần phụ thuộc vào việc chọn lựa ω Ngồi tính chuỗi bổ vào nghiệm để thu nghiệm xác số, tốc độ hội tụ phụ thuộc lớn vào giá trị ω [7] Tuy nhiên, cách chọn tham số ω chưa nghiên cứu tương xứng Ngay từ xây dựng phương pháp, cách chọn ω dựa vào điều kiện không phụ thuộc nghiệm xác vào tham số tự [4, 5] Phương pháp tỏ hạn chế áp dụng cho trạng thái kích thích, cơng trình [1] đưa phương pháp chọn lựa tối ưu tham số sau vịng lặp tính bổ bậc cao vào lượng Điều dẫn đến việc tăng đáng kể khối lượng tính tốn khơng dễ dàng phát triển cho hệ nhiều bậc tự Trong cơng trình [2, 3] đưa phương pháp chọn lựa ngẫu nhiên tham số ω thử nghiệm cho có tốc độ hội tụ cao Các phương pháp chọn lựa nêu áp dụng bây giờ, nhiên với toán hệ nguyên tử, xét trạng thái kích thích miền chọn lựa tham số hẹp, khó sử dụng phương pháp chọn lựa ngẫu nhiên Chính vậy, việc tìm quy tắc xác định miền chọn lựa tham số tự cho áp dụng phương pháp FK có chuỗi hội tụ nhanh nghiệm xác số cần thiết Trong cơng trình này, chúng tơi khảo sát vai trị tham số ω tốc độ hội tụ phương pháp toán tử FK đưa nguyên tắc cho việc chọn lựa vùng tham số tối ưu mà ý tưởng đưa [7] Xác định vùng tham số tối ưu giúp ta áp dụng hiệu phương pháp chọn lựa tham số ngẫu nhiên Ngồi chúng tơi so sánh hiệu sử dụng hai sơ đồ tính bổ bậc cao sơ đồ nhiễu loạn sơ đồ vòng lặp Để cụ thể hóa, chúng tơi sử dụng dao động tử phi điều hòa cho tính tốn số, nhiên kết mang tính phổ quát lập luận đưa không phụ thuộc vào hệ vật lí cụ thể Một động lực khiến chúng tơi quay lại với tốn liên quan đến việc ứng dụng phương pháp toán tử FK phát triển chương trình giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian cho nguyên tử, phân tử trường điện xung laser Phương pháp toán tử FK cho toán dao động tử phi điều hòa 2.1 Dao động tử phi điều hòa phương pháp nhiễu loạn Chúng ta xét dao động phi điều hòa chiều với Hamiltonian sau: d 2ˆ H =− + (1) x +λ , dx2 x hệ số phi điều hịa λ > Ở đây, ta sử dụng hệ đơn vị khơng thứ ngun Để giải phương trình Schrưdinger cho hệ (1) phương pháp nhiễu loạn, thông thường người ta chọn d2 ˆ ˆ H =− + x , (2) , V = λ dx2 x thu nghiệm trường hợp λ đủ nhỏ [8] Thật vậy, điều kiện ứng dụng phương pháp lí thuyết nhiễu loạn [8] cho trạng thái n là: ψ V□ ψ □ ψ H□ ψ ⇒λ □ ( n + 1) , (3) n n n 6n + 6n + n • đưa đến ngưỡng λ □ 0.67 cho trạng thái Với trạng thái kích thích hệ số λ cịn nhỏ Trong cơng trình [8], để minh họa cho hạn chế phương pháp lí thuyết nhiễu loạn số giá trị tính với sơ đồ Rayleigh- Schrödinger Cụ thể, ứng với λ = 0.01, nhỏ so với điều kiện nhiễu loạn (3) cho trạng thái bản, với bổ bậc 10 thu E(010) = 0.5072562044 , xác đến 10 chữ số sau dấu phẩy Tuy nhiên, với λ = 0.05 , nhỏ, thấy dấu hiệu phân kì Kết xác đến hai chữ số sau dấu phẩy sau bổ đến bậc 10 Với λ = 0.1 kết phân kì sau bổ bậc Tương tự với trạng thái kích thích, cơng trình [8] phương pháp lí thuyết nhiễu loạn áp dụng cho vùng bé hệ số λ Trong phần ta xem phương pháp toán tử FK áp dụng hiệu việc giải toán 2.2 Phương pháp toán tử FK [4, 5] Phương pháp tốn tử FK giải phương trình Schrödinger nguyên tắc theo tư tưởng phương pháp nhiễu loạn, nhiên việc tách Hamiltonian làm hai phần khơng giống (2) mà theo quy trình sau Bước Đưa toán tử Hamilton biểu diễn đại số d Hˆ x, →Hˆ (aˆ, aˆ + , λ ) dx cách chuyển biến số động lực qua toán tử sinh hủy: aˆ = d x+ , ω dx aˆ+ = d x− ω dx (4) ω tham số thực dương đưa thêm vào để tối ưu trình tính tốn, gọi tham số tự Hệ thức giao hoán toán tử sinh hủy aˆ, aˆ+ = (5) cơng cụ tính tốn Với trường hợp dao động tử phi điều hịa ta viết lại tốn tử Hamilton (2) sau: 1+ω 1− ω 3λ Hˆ = 2aˆ+ aˆ + + aˆ2 + aˆ+ + aˆ+ aˆ + 2aˆ+ aˆ + 4ω4 4ω 4ω ( ) ( ) ( ) + λ aˆ4 + ( aˆ+ ) + ( aˆ+ ) aˆ + 4aˆ+ aˆ3 + 4ω2 • ( aˆ+ ) + 6aˆ2 Bước hai Tách Hamiltonian phương trình (6) thành hai thành phần: (6) Hˆ (aˆ+ , aˆ , λ ) 0= Hˆ OM (aˆ+ aˆ , λ , ω) + Vˆ OM (aˆ+ , aˆ , λ , ω) , (7) phần thứ Hˆ OM (aˆ+ aˆ , chứa nˆ = aˆ+ aˆ , tốn tử trung hịa, nghĩa λ ,0ω) thành phần có dạng tích số tốn tử sinh số tốn tử hủy OM Phần lại Vˆ (aˆ + , aˆ, khơng có chứa thành phần trung hịa Với trường hợp λ , ω) dao động tử phi điều hịa ta có: 1+ω ˆ H = 2aˆ+ aˆ ( aˆ+ aˆ ) + 2aˆ+ aˆ + 1 , OM 3λ( + 1) + 4ω 4ω2 λ 1− ω (8) Vˆ OM = aˆ2 + ( aˆ+ ) + aˆ4 + ( aˆ+ ) + ( aˆ+ ) aˆ + 4aˆ+aˆ3 + ( aˆ+ ) + 6aˆ2 4ω 4ω2 Như vậy, tương tự lí thuyết nhiễu loạn, phương pháp toán tử FK toán tử Hamilton tách thành hai thành phần: thành phần ‘chính’ Hˆ0 OM (aˆ+ aˆ , có nghiệm xác thành phần Vˆ OM (aˆ+ , aˆ , đóng vai trị λ ,ω) λ ,ω) ‘nhiễu loạn’ Tuy nhiên, lí thuyết nhiễu loạn việc phân chia phần phần nhiễu loạn dựa vào yếu tố vật lí, theo phần nhiễu loạn liên quan đến tương tác trường ngoài, việc phân chia túy dựa vào hình thức số hạng Hamiltonian có tính phổ quát cho tất dạng hệ vật lí khác Ta thấy hệ số trường ngồi λ có mặt hai phần Hamiltonian cho thấy tương tác trường phân bố phần lẫn phần nhiễu loạn Ngồi ta có ω , gọi tham số khơng có mặt tốn tử Hamilton tồn phần OM Hˆ (aˆ, aˆ + , λ ) , lại có mặt thành phần Hˆ0 (aˆ + aˆ, lẫn phần λ ,ω) nhiễu loạn Vˆ OM (aˆ + , aˆ, λ ,ω) nên ta xem ‘điều phối viên’ Bằng cách OM thay đổi ω ta làm cho thành phần Vˆ (aˆ + , aˆ, thực nhỏ xem λ , ω) nhiễu loạn không phụ thuộc vào độ lớn trường ngồi Nói khác hơn, cách chọn tham số ω ta đảm bảo điều kiện lí thuyết nhiễu loạn Vˆ □ Hˆ tồn miền • thay đổi trường ngồi Bước ba Tìm nghiệm gần bậc zero cho tốn, nghiệm riêng tốn tử Hˆ0 có nghiệm riêng là: ψn (0) OM ( aˆ+ aˆ, λ ,ω ) = n(ω) = n! aˆ 0(ω) Toán tử giao hoán với toán tử nˆ = aˆ+ aˆ (9) +n Ở ta sử dụng ký hiệu khái niệm Dirac để định nghĩa, nghiệm gọi vector trạng thái nghiệm trạng thái “chân không” (vacuum) xác định phương trình: aˆ(ω) = 0, 0 = (10) Khi cần thiết sử dụng phương trình để xác định dạng tường minh hàm sóng, nhiên tính tốn túy đại số cách sử dụng hệ thức giao hốn (5) phương trình (10) Ta dễ dàng thu aˆ+a = n n ˆn Hˆ0 (aˆ+ aˆ , λ , ω) E ( 0) = từ suy trị riêng lượng gần bậc zero : 1+ ω ( 2n +1) + 3λ ( 2n + 2n +1) (11) 4ω 4ω Ta thấy lượng gần bậc zero (11) phụ thuộc vào tham số tự ω Việc chọn giá trị cho tham số thảo luận cơng trình [1-7] Cụ thể cho gần bậc zero tham số tính từ phương trình: n ( 0) ∂ En (ω) ∂ω • =0 (12) Chú ý phương trình (12) khơng phải từ ngun lí biến phân sử dụng cho trạng thái lẫn trạng thái kích thích Ý nghĩa (12) xuất phát từ điều hiển nhiên lượng xác tốn khơng phụ thuộc vào việc chọn tham số tự Mặc dù điều kiện (12) với số toán cho kết gần bậc zero tương đối xác, thêm sai số khơng thay đổi đáng kể tồn miền thay đổi tham số trường ngồi, tính nghiệm số xác với giá trị ω từ điều kiện không cho tốc độ hội tụ cao Với toán hệ nguyên tử mà nghiên cứu, miền tham số tối ưu cho hội tụ nghiệm xác hẹp với trạng thái kích miền tối ưu cho tham số tự không chứa nghiệm (12) Trong phần thảo luận đưa phương trình mới, tổng quát để tìm tham số tự Bước bốn Tính bổ bậc cao để thu nghiệm số xác Trong bước này, ta sử dụng sơ đồ thích hợp để tính bổ bậc cao Lí thuyết OM nhiễu loạn sử dụng với thành phần nhiễu loạn Vˆ (aˆ + , aˆ, điều λ , ω) chỉnh thông qua tham số ω Tuy nhiên, nhiều tốn (xem [6]) sơ đồ vịng lặp tỏ hiệu tốc độ hội tụ đến nghiệm xác giảm đáng kể khối lượng tính tốn Ta nêu ý tưởng sơ đồ vịng lặp Hàm sóng xác tốn biểu diễn qua chồng chập trạng thái (9) sau: ψn = n +∞ + ∑C k =0 k ≠n k k (13) Tuy nhiên, xác định hệ số Ck theo vịng lặp, với hàm sóng gần vòng lặp thứ (s) định nghĩa sau: ψ (s) n = n+s + ∑ n (14) (s) C k k k =max(0,n−s ) k ≠n Đem (14) vào phương trình Schrưdinger ta thu hệ phương trình sau: E (s) n n+s ∑ =H + nn k n jj C k =max(0,n−s ) k ≠n j (E (s) − H )C(s) = V jn + (s) Vnk , n+s k k =max(0,n−s) k ≠n C(s) V ∑ jk , ( j = 0,1, 2, ≠ n, , n + s) (15) Trong công thức trên, ta ký hiệu yếu tố ma trận: Hkk = k Hˆ 0OM k , Vjk = j k (16) Vˆ OM Các phần tử ma trận tính cách dễ dàng biến đổi đại số nhờ công thức (5), (10) Để tiện tính tốn ta đưa hai công thức sau: aˆ+ n n 1 n +1 = ; aˆ n = n n −1 , từ tính phần tử ma trận khác không sau: 1+ ω 3λ H = ( 2n +1) + 2n2 + 2n + 1) , ( nn 4ω2 41 − ω λ ω , V n,n+2 = 4ω + 2ω2 ( 2n + 3 ) n 2n 1 Vn,n+4 (17) (18) λ n 4n 3n 2n 1 = 4ω Còn phần tử ma trận khác thu dựa vào tính đối xứng Vnm = Vmn Sự hội tụ phương pháp toán tử FK 3.1 Nghiệm xác số Sử dụng bước phương pháp toán tử FK công thức yếu tố ma trận đưa dao động tử phi điều hòa phần 2, ngun tắc tìm lượng hàm sóng xác số đến độ xác Chúng tơi xây dựng chương trình QAO_FKOM_IT để tính nghiệm xác đến 15 chữ số sau dấu phẩy cho trường hợp hệ số phi điều hịa λ bất kì, kiểm tra giá trị λ = 100 Chương trình làm việc cho trạng thái kích thích lên đến n = 50 Trong bảng đưa số giá trị minh họa cho trạng thái ứng với giá trị λ nhỏ, trung bình lớn Tương tự, bảng minh họa cho trường hợp trạng thái kích thích n = Trong trường hợp trên, giá trị tham số tự ω chọn theo điều kiện (12) Mặc dù tham số tự chọn chưa phải tối ưu, ta thấy nghiệm thu có tốc độ hội tụ cao cho lượng mà hàm sóng (trong bảng ta đưa minh họa vài hệ số đầu tiên) Như vậy, ta thấy phương pháp toán tử FK cho ta nghiệm xác số với giá trị tham số nhiễu loạn Chúng tơi xây dựng chương trình QAO_FKOM_PT thay sơ đồ vịng lặp (15) sử dụng lí thuyết nhiễu loạn để tính bổ lượng hàm sóng Tuy nhiên, kết (khơng đưa đây) cho thấy sơ đồ vòng lặp cho kết hội tụ nghiệm xác nhanh tài ngun tính tốn cho bậc vịng lặp so với bậc nhiễu loạn Chú ý từ trước đến nay, cơng trình áp dụng phương pháp tốn tử FK sơ đồ vịng lặp mặc định sử dụng chưa có tuyên bố so sánh hai sơ đồ Sơ đồ vịng lặp (15) chúng tơi đưa khác với sơ đồ cơng trình trước [6] định nghĩa vòng lặp khác Chúng tơi thảo luận điều cơng trình khác vai trò sơ đồ vòng lặp phương pháp toán tử FK 3.2 Sự phụ thuộc tốc độ hội tụ vào tham số tự Để thu kết bảng 2, tham số tự ω chọn phương trình (12) nhiên ta chọn cách thử nghiệm cho nghiệm thu theo vòng lặp E (0) (ω), E(1) (ω), E (2) (ω), , E (s) (ω), n n n (19) hội tụ nhanh nghiệm xác Ở ta thấy với giá trị ω khác chuỗi (19) khác hội tụ giá trị không phụ thuộc vào giá trị tham số chọn Chính quy trình cho ta nghiệm xác số Bảng cho ví dụ minh họa tốc độ hội tụ phụ thuộc vào tham số tự Ta thấy giá trị tham số ω khác cho tốc độ hội tụ khác Mặc dù, bảng đưa số liệu cho trạng thái bản, ta có kết tương tự với trạng thái kích thích với miền thay đổi lớn giá trị hệ số phi nhiễu loạn λ Thử nghiệm với ω khác ta thấy có miền giá trị tối ưu cho tốc độ hội tụ nhanh Trên hình 1, biểu diễn tốc độ hội tụ phụ thuộc vào tham số tự ứng với trường hợp λ nhỏ (a) lớn (b) Trục hoành giá trị ω trục tung bậc vòng lặp (s) lượng thu xác đến 15 chữ số sau dấu phẩy Giá trị (s) nhỏ, tốc độ hội tụ cao Trên đồ thị biểu diễn phụ thuộc tốc độ hội tụ sơ đồ nhiễu loạn vào chọn lựa tham số tự do, lúc (s) bậc bổ nhiễu loạn để có giá trị lượng xác đến 15 chữ số sau dấu phẩy Ta thấy có vùng giá trị tham số tự cho tốc độ hội tụ cao, rõ ràng sơ đồ vịng lặp có tốc độ hội tụ cao sơ đồ nhiễu loạn Hình cho phụ thuộc tốc độ hội tụ vào tham sô tự cho trạng thái mà cho trạng thái kích thích n = Hồng Đỗ Ngọc Trầm tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Bảng Năng lượng E ( s ) hàm sóng (các hệ số C ( s ) ) phương pháp toán tử FK theo sơ đồ vòng lặp cho trạng thái ( n = ) k s E) 0( s C) 2( s C) 4( s 0, 10 0.5072875252 0.5072562571 0.5072562103 0.5072562046 0.5072562045 0.5072562045 0.5072562045 0.5072562045 0.5072562045 0.5072562045 0.8479848149x10-4 0.8311329094x10-4 0.8316314562x10-4 0.8316216632x10-4 0.8316218863x10-4 0.8316218848x10-4 0.8316218848x10-4 0.8316218848x10-4 0.8316218848x10-4 -0.2701949505x10-2 -0.2705978498x10-2 -0.2706470120x10-2 -0.2706477769x10-2 -0.2706477845x10-2 -0.2706477855x10-2 -0.2706477845x10-2 -0.2706477855x10-2 -0.2706477855x10-2 0,1 10 0.8125000000 0.8046068331 0.8037949675 0.8037947348 0.8037753545 0.8037708634 0.8037707137 0.8037706870 0.8037706573 0.8037706515 0.9384509682x10-2 0.8791292775x10-2 0.8802000649x10-2 0.8832728944x10-2 0.8832594751x10-2 0.8832118882x10-2 0.8832231997x10-2 0.8832263444x10-2 0.8832261665x10-2 -0.2577897501x10-1 -0.2843051679x10-1 -0.2843127707x10-1 -0.2849457256x10-1 -0.2850924044x10-1 -0.2850972964x10-1 -0.2850981678x10-1 -0.2850991382x10-1 -0.2850993263x10-1 0,1 10 3.1924440443 3.1391826732 3.1316420454 3.1316308097 3.1314555589 3.1313900256 3.1313848138 3.1313847637 3.1313843452 3.1313841853 0.1422605387x10-1 0.1349305816x10-1 0.1344761651x10-1 0.1352105244x10-1 0.1352602607x10-1 0.1352437443x10-1 0.1352450669x10-1 0.1352466066x10-1 0.1352467351x10-1 -0.3122683662x10-1 -0.3564786350x10-1 -0.3565445093x10-1 -0.3575719944x10-1 -0.3579562127x10-1 -0.3579867688x10-1 -0.3579870631x10-1 -0.3579895162x10-1 -0.3579904538x10-1 C) 6( s λ = 0.01 C) 8( s C10( s ) C) 12( s 0.8434024829x10-4 0.8273811988x10-4 0.8279486765x10-4 0.8279394010x10-4 0.8279396133x10-4 0.8279396167x10-4 0.8279396165x10-4 0.8279396165x10-4 0.2514982435x10-4 0.2536769322x10-4 0.2537301957x10-4 0.2537341306x10-4 0.2537341267x10-4 0.2537341310x10-4 0.2537341311x10-4 -0.2774039537x10-5 -0.2750935104x10-5 -0.2752753421x10-5 -0.2752765907x10-5 -0.2752766056x10-5 -0.275276614 x10-5 -0.2494695597x10-6 -0.2582269208x10-6 -0.2581791608x10-6 -0.2581938518x10-6 -0.2581938766x10-6 0.6246915410x10-2 0.6205054608x10-2 0.6174049879x10-2 0.6195978744x10-2 0.6198601781x10-2 0.6198274929x10-2 0.6198290259x10-2 0.6198324827x10-2 0.8597730867x10-4 0.4407730850x10-3 0.4656497973x10-3 0.4627536659x10-3 0.4638017904x10-3 0.4642219461x10-3 0.4642411475x10-3 -0.6651517547x10-3 -0.8248988121x10-3 -0.8305910106x10-3 -0.8314519572x10-3 -0.8324838849x10-3 -0.8326899763x10-3 0.2791683248x10-4 0.3066180895x10-4 0.3038932271x10-4 0.3044960471x10-4 0.3049158592x10-4 0.8791955677x10-2 0.8947295315x10-2 0.8861485807x10-2 0.8901518655x10-2 0.8911268231x10-2 0.8910886887x10-2 0.8910750540x10-2 0.8910845937x10-2 -0.2741314656x10-3 0.2851045682x10-3 0.3552300992x10-3 0.3481528688x10-3 0.3490006033x10-3 0.3502037250x10-3 0.3503792841x10-3 -0.9133320251x10-3 -0.1228609902x10-2 -0.1251293102x10-2 -0.1251684514x10-2 -0.1253840167x10-2 -0.1254610397x10-2 0.4850460325x10-3 0.5677794535x10-3 0.5653799791x10-3 0.5658408325x10-3 0.5670090738x10-3 λ = 1.0 λ = 100 101 Số 33 năm 2012 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Bảng Năng lượng E ( s ) hàm sóng (các hệ số C ( s ) ) phương pháp toán tử FK theo sơ đồ vịng lặp cho trạng thái kích thích n = n s E) 4( s k C) 0( s C) 2( s C) 6( s C) 8( s C10( s ) C12( s ) -0.5750897467x10-3 -0.5751013097x10-3 -0.5751013097x10-3 -0.5751013097x10-3 -0.5751013097x10-3 -0.5751013097x10-3 -0.5751013097x10-3 -0.5751013097x10-3 -0.5751013097x10-3 0.3636916720x10-3 0.3637549652x10-3 0.3637549652x10-3 0.3637549653x10-3 0.3637549653x10-3 0.3637549653x10-3 0.3637549653x10-3 0.3637549653x10-3 0.3637549653x10-3 -0.2550254888x10-3 -0.2550254888x10-3 -0.2550255473x10-3 -0.2550255473x10-3 -0.2550255473x10-3 -0.2550255473x10-3 -0.2550255473x10-3 -0.2550255473x10-3 -0.7162559645x10-10 -0.1484326840x10-9 -0.1483831339x10-9 -0.1483831875x10-9 -0.1483831874x10-9 -0.1483831874x10-9 -0.1483831874x10-9 0.8640823991x10-7 0.8640832624x10-7 0.8640835043x10-7 0.8640835043x10-7 0.8640835043x10-7 0.8640835043x10-7 0.2649137540x10-1 0.2679187001x10-1 0.2679339823x10-1 0.2679521363x10-1 0.2679515936x10-1 0.2679516326x10-1 0.2679516316x10-1 -0.1793257570x10-1 -0.1793150903x10-1 -0.1794965710x10-1 -0.1794977396x10-1 -0.1794978867x10-1 -0.1794978922x10-1 λ = 0.0001 4.5030708089 4.5030712063 4.5030712063 4.5030709494 4.5030709494 4.5030709494 4.5030709494 4.5030709494 4.5030709494 4.5030709494 4.7763701645 4.7749147310 4.7749147267 4.7749131264 4.7749131201 4.7749131186 4.7749131186 0.2904384116x10 0.2904383741x10-2 0.2904384820x10-2 0.2904384839x10-2 0.2904384840x10-2 0.2904384840x10-2 -0.4202398796x10-1 -0.4212743218x10-1 -0.4212740557x10-1 -0.4212740479x10-1 -0.4212740586x0-1 -0.4212740582x10-1 -0.4212740583x10-1 4.7749131186 0.2904384840x10-2 -0.4212740583x10-1 0.2679516317x10-1 -0.1794978923x10-1 4.7749131186 0.2904384840x10-2 -0.4212740583x10-1 0.2679516317x10-1 53.475000000 47.970488935 47.901645352 47.781595429 47.713576332 47.708068746 47.707923347 47.707368094 47.707216612 47.707208950 0.2534749067x10-1 0.2536505208x10-1 0.2541279483x10-1 0.2541979051x10-1 0.2541959048x10-1 0.2541983292x10-1 0.2541995829x10-1 0.2541997033x10-1 0.7420786551x10-1 0.6786150520 x10-1 0.6950153285x10-1 0.6921411267x10-1 0.6909018677x10-1 0.6909931288x10-1 0.6910173676x10-1 0.6910048956x10-1 0.6910024265x10-1 -0.3481283075 -0.3759899614 -0.3689180618 -0.3714361664 -0.3721763460 -0.3721297826 -0.3721248559 -0.3721336869 -0.3721351136 -3 0.3062048696x10 0.3062048696x10-3 0.3062048696x10-3 0.3062048696x10-3 0.3062048696x10-3 0.3062048696x10-3 0.3062048696x10-3 0.3062048696x10-3 -2 λ = 0.01 λ = 100 105 -0.2470823507x10-4 -0.4889364742x10-4 -0.4799528075x10-4 -0.4805370196x10-4 -0.4805194482x10-4 -0.48052019035x10- 0.4077866618 x10-3 0.4094457112x10-3 0.4098116913x10-3 0.409821929 x10-3 0.4098221089x10-3 -0.1794978923x10-1 -0.4805201841x10-4 0.4098221406x10-3 0.3750140576x10-1 0.1378057231x10-1 0.1130807697x10-1 0.1200951634x10-1 0.1191689867x10-1 0.1185387654x10-1 0.1185378977x10-1 0.1185543304x10-1 0.3292080071x10-1 0.4658243022x10-1 0.4728262187x10-1 0.4735125804x10-1 0.4748221383x10-1 0.4751022239x10-1 0.4751089570x10-1 -0.2053967487x10-1 -0.2390934305x10-1 -0.2378815518x10-1 -0.2387502731x10-1 -0.2393107833x10-1 -0.2393702944x10-1 Số 33 năm 2012 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM 3.3 Điều kiện để chọn tham số tự tối ưu Như vậy, ta biết tồn miền tham số tự tối ưu Việc xác định miền quan trọng việc áp dụng phương pháp tốn tử FK giải phương trình Schrưdinger, đặc biệt cho toán phức tạp hệ nguyên tử Chúng tơi xuất phát từ điều kiện lí thuyết nhiễu loạn: , (20) V OM ( ) □ H(0OM) với định nghĩa sau: V OM (ω) = ψ V OMV OM ψ 1/ , H OM OM (ω) = ψ H ψ 0 Rõ ràng điều kiện tự nhiên Tuy nhiên, vấn đề định nghĩa V OM (ω) , H OM (ω) nghiệm xác Trong lí thuyết nhiễu loạn điều kiện mang tính ước lệ ta khơng thể so sánh độ lớn hai tốn tử mà có điều kiện (20) dạng gần Chính ta dựa vào (20) để định nghĩa hàm số theo biến số tham số tự sau: β ( s ) (ω ) = ( s ) V OM V OM ( s ) H (s) Bảng Năng lượng E (s) 1/ (21) OM( s ) λ= thu phương hịa 1.0 pháp tốn tử FK theo sơ đồ vòng lặp ứng với giá trị khác tham số tự Cột ứng với ω lấy lượng hội tụ s=38, cột thứ hai ω chọn theo điều kiện (12) cho hội tụ s=20, cột với ω chọn tối ưu cho hội tụ s=13 s 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 cho trạng thái hệ số phi điều ω = 1.06893999980 (s=38) 1.15749038965280 0.805293754387089 0.804091586712698 0.803776975428709 0.803772780786474 0.803770668823167 0.803770668799550 0.803770651982284 0.803770651314005 0.803770651257317 0.803770651234720 0.803772092439650 0.803771159346335 0.803770777050719 0.803770672948468 0.803770657502463 0.803770657303735 0.803770656143280 0.803770654043907 0.803770652437468 0.803770651623309 ω = 2.00000000000 (s=20) 0.812500000000000 0.812500000000000 0.804606833140588 0.803794967592446 0.803794734802707 0.803775354597840 0.803770863494731 0.803770713706933 0.803770687027535 0.803770657313593 0.803770651554483 0.803770651363555 0.803770651314907 0.803770651252256 0.803770651235764 0.803770651234518 0.803770651234498 0.803770651234354 0.803770651234286 0.803770651234275 0.803770651234274 ω= 4.66533999988 (s=13) 1.25438002723422 0.870523726412399 0.809810146292740 0.803980268993323 0.803771187489869 0.803770919927074 0.803770661047707 0.803770651501296 0.803770651277780 0.803770651234731 0.803770651234456 0.803770651234276 0.803770651234275 0.803770651234274 0.803770651234274 0.803770651234274 0.803770651234274 0.803770651234274 0.803770651234274 0.803770651234274 0.803770651234274 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM (T E)0 Hoàng Đỗ Ngọc Trầm tgk 0.803770651234274 30 60 n=0, = 0.01 25 Or de r of 20 co nv er 15 ge nc e 10 (s) 0.5 Iteration Scheme PT Scheme 50 n=0, = 1.0 40 Iteration Scheme PT Scheme 30 20 10 (a) 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Free parameter ω (b) 0 10 Free parameter ω Hình Tốc độ hội tụ phương pháp toán tử FK cho trạng thái ( n = ) ứng với hệ số phi điều hòa (a) λ = 0.01 (b) λ = 1.0 ; đường liền nét sử dụng sơ đồ vòng lặp, đường đứt khúc sử dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn 20 Or de r of co nv er ge nc e 18 = 0.01 n=4 n=0 16 14 12 10 0.5 1.0 1.5 2.0 Free parameter ω Hình Tốc độ hội tụ toán giải phương pháp toán tử FK cho số trạng thái Hình vẽ hàm số (21) cho bậc (s) khác từ zero tăng dần Ta thấy hàm β (ω ) có miền cực tiểu theo biến số ω với giá trị hàm số nhỏ 1: β (ω) □ (22) Ở đây, ta không ký hiệu bậc gần (s) hàm số β (ω quan sát thấy ) đến bậc gần ( smax ) miền cực trị hàm khơng thay đổi đáng kể Ta thấy, tùy theo bậc kích thích trạng thái (trên hình ta minh họa hai trường hợp n=0 n = ) tùy theo hệ số λ lớn hay nhỏ mà smax có giá trị khác không giá trị smax ≤ Như nhiều ta sử dụng đến vịng lặp thứ để có hàm so sánh β (ω ) sau tìm miền cực trị thỏa mãn điều kiện (22) 16 1.0 0.6 0.8 0.5 Fu 0.6 nc tio n 0.4 0.4 n=0, = 0.01 0.2 0.1 0.2 (a) 0.0 Hình Hàm 1.0 1.5 2.0 2.5 0.6 Free parameter ω β( ω) 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Free parameter ω β (ω ứng với bốn bậc cho trường hợp trạng thái ) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.4 0.8 1.0 1.2 n=4, = 0.01 n=0, = 0.01 Or der of co nv erg en ce (s) Fu nct ion (b) 0.0 3.0 (n=0) trạng thái kích thích (n=4) 1.5 0.3 β( ω) n=4, = 0.01 0.3 1.0 0.2 0.5 0.1 16 20 14 15 12 (a) 10 0.5 1.0 1.5 2.0 Free param eter ω 2.5 (b) 10 3.0 0.8 1.0 1.2 Free param eter ω Hình So sánh vùng thử nghiệm tối ưu vùng giá trị nhỏ hàm β (ω cho trạng thái n=0 trạng thái kích thích n=4 ) Trong hình 4, đồ thị biểu diễn đồng thời hàm số β (ω hàm số s(ω) ) thu từ thử nghiệm, thể phụ thuộc tốc độ hội tụ vào tham số ω Ta chọn thang trục tung phù hợp cho hai hàm số cho so sánh miền cực trị Kết thu hình cho thấy miền tham số ω tối ưu phù hợp với miền cực tiểu hàm β (ω ) theo điều kiện (22) Kết thú vị có ý nghĩa thực tiễn cho ta điều kiện để chọn tham số tự tối ưu thay mị mẫm thử nghiệm Chúng đưa hai trường hợp cho trạng thái ( n = ) trạng thái kích n = cho thích thấy điều kiện tìm tham số tự tối ưu (22) mang tính phổ quát 4 Kết luận Như vậy, báo trước tiên nhắc lại cách tổng quan phương pháp tốn tử FK giải phương trình Schrưdinger qua ví dụ minh họa dao động tử phi điều hịa chúng tơi mạnh so với phương pháp lí thuyết nhiễu loạn truyền thống Có thể nói phương pháp tốn tử FK mang tư tưởng lí thuyết nhiễu loạn dùng để giải toán phi nhiễu loạn Ở đây, nhấn mạnh đến mạnh phương pháp FK tìm nghiệm xác số phụ thuộc tốc độ hội tụ vào tham số tự Việc chọn tham số có ý nghĩa, cho phép tiết kiệm nhiều tài ngun tính tốn Điều thực quan trọng liên quan đến tiết kiệm tài nguyên tính tốn chúng tơi sử dụng phương pháp FK cho nghiên cứu toán nguyên tử phần chương trình giải số phương trình Schrưdinger phụ thuộc thời gian cho tốn nguyên tử, phân tử trường điện chùm laser xung cực ngắn Tiếp theo tồn miền tham số tự tối ưu cho tốc độ hội tụ cao nghiệm số xác Kết báo việc đưa điều kiện phổ quát để chọn tham số tự tối ưu Tuy kết phân tích số dựa toán cụ thể dao động tử phi điều hòa điều kiện đưa dựa nguyên tắc phổ quát chọn tham số tự cho đóng góp ‘phần nhiễu loạn’ nhỏ nhiều so với phần Hamiltonian Chính vậy, chúng tơi hy vọng làm việc tốt cho toán hệ nguyên tử nghiên cứu Ghi chú: Cơng trình thuộc đề tài khoa học công nghệ cấp sở mã số CS.2011.19.51 tác giả Hoàng Đỗ Ngọc Trầm nằm Đề tài tài trợ Quỹ phát triển khoa học công nghệ quốc gia (NAFOSTED) 2011 TÀI LIỆU THAM KHẢO Chan Za An, I D Feranchuk, L I Komarov and L S Nakhamchik (1986), “Optimal choice of a parameter for the operator method of the solution of the Schrödinger equation”, J Phys A 19 1583-1587 F M Fernandez, A M Meson, and E A Castro (1984), “On the convergence of the operator method perturbation series”, Phys Lett A 104 401-404 F M Fernandez, A M Meson, and E A Castro (1985), “A simple iterative solution of the Schrödinger equation in matrix representation form”, J Phys A 18 13891398 I D Feranchuk and L I Komarov (1982), “The Operator Method of Approximate Solution of the Schrödinger Equation”, Phys Lett A 88 212-214 I D Feranchuk, L I Komarov, I V Nichipor, and A P Ulyanenkov (1995), “Operator Method in the Problem of Quantum Anharmonic Oscillator”, Ann Phys 238 370-440 I D Feranchuk and A A Ivanov (2004), “Operator Method for Nonpertubative Description of Quantum Systems”, in book “Etudes on Theoretical Physics”, ed L M Barkovsky, I D Feranchuk, Yakov M Shnir, Singapore: World Scientific Pub Hoang Quoc Khanh, Le Van Hoang, L I Komarov (1997), “Convergence of the operator method and the free constant choice”, Proc Nat Acad Sci Belarus (Phys Math Ser.) 71-75 Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), “Phương pháp tốn tử giải phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều từ trường với cường độ bất kì”, Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Vật lí lí thuyết Vật lí tốn, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQG TPHCM.(8) (Ngày Tòa soạn nhận bài: 20-11-2011; ngày chấp nhận đăng: 20-12-2011) ... tốc độ hội tụ phụ thuộc lớn vào giá trị ω [7] Tuy nhiên, cách chọn tham số ω chưa nghiên cứu tương xứng Ngay từ xây dựng phương pháp, cách chọn ω dựa vào điều kiện khơng phụ thuộc nghiệm xác... mà nghiên cứu, miền tham số tối ưu cho hội tụ nghiệm xác hẹp với trạng thái kích miền tối ưu cho tham số tự khơng chứa nghiệm (12) Trong phần thảo luận đưa phương trình mới, tổng quát để tìm. .. cao Các phương pháp chọn lựa nêu áp dụng bây giờ, nhiên với toán hệ nguyên tử, xét trạng thái kích thích miền chọn lựa tham số hẹp, khó sử dụng phương pháp chọn lựa ngẫu nhiên Chính vậy, việc tìm