PHAÀN I PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 PHAÀN I HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC 1>HAØM SOÁ SIN sin sin R R x y x → =a 2>HAØM SOÁ COS cos cos R R x y x → =a 3>HAØM SOÁ TAN tan tan D R x y x → =[.]
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 PHẦN I: HÀM SỐ LƯNG GIÁC 1>HÀM SỐ SIN sin : R → R x a y = sin x 2>HÀM SỐ COS cos : R → R x a y = cos x Moät số tính chất hàm số y=sinx a>Tập xác định D=R b>Tập giá trị : [ −1;1] Một số tính chất hàm số y=cos a>Tập xác định D=R b>Tập giá trị : [ −1;1] c>Là hàm số lẻ d>Hàm số tuần hoàn vớichu kỳ π c>Là hàm số chẵn d>Hàm số tuần hoàn vớichu kỳ π 3>HÀM SỐ TAN tan : D → R x a y = tan x Một số tính chất hàm số y=tanx a >Tập xác định π D = R / + kπ 2 b>Tập giá trị hàm số R c>Là hàm số lẻ d>Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π 4>HÀM SỐ COT co t : D → R x a y = co t x Một số tính chất hàm số y=cotx a>Tập xác định D = R / { kπ } b>Tập giá trị hàm số R c>Là hàm số lẻ d>Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π BÀI TẬP Bài :Tìm tập xác định hàm số sau : π 1/ y = cot(2 x − ) sin x + 4/ y = cos x + 2π ) cot x cos x − x / y = tan / y = sin x −1 π 2π / y = − cos x 8/ y = / y = cot( x − ) + tan(2 x + ) 2 sin x − cos x 3 1 sin x 10 / y = 11/ y = 12 / y = − 5cos x − 2sin x 2sin x − cot x − Bài : Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau : + cos x 2 1/ y = + 3cos x / y = − 4sin x cos x 3/ y = / y = 2sin x − cos x / y = − | sin x | / y = + sin x − / y = tan(3 x + 3/ y = PHẦN I I: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC sin B K I> PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN 1>Phương trình lượng giác : sinx=a (1) +Với |a|>1 phương trình (1) vô nghiệm H O +Với | a |≤ i/Nếu a giá trị góc đặc biệt sinα=a=OK M cos A TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 đặt : a= sin α ta có : x = α + k 2π sin x = sin α ⇔ k ∈Z x = π − α + k 2π u = v + k 2π k ∈Z Chuù yù : sin u = sin v ⇔ u = π − v + k 2π ii/Nếu a giá trị góc đặc biệt x = arcsin a + k 2π sin x = a ⇔ x = π − arcsin a + k 2π *BÀI TẬP : Giải phương trình : 2 > sin x − = π > sin( x + ) − = π > sin(2 x + ) + = π > 3sin(3x − ) + = π > sin( − x) + = > sin x = > sin x − sin x = > sinx + sin x = > sin x − cos x = 10 > sin x + cos x = π π 11 > sin(2 x + ) + sin( x − ) = π π 12 > sin(3 x − ) − cos(2 x + ) = π 2π 13 > sin(2 x + ) + cos( x + )=0 3 2>Phương trình lượng giác : cosx=a (2) +Với |a|>1 phương trình (2) vô nghiệm +Với | a |≤ cosα=a=OH i/ Nếu a giá trị góc đặc biệt đặt a= cos α ta có : x = α + k 2π cos x = cos α ⇔ k ∈Z x = −α + k 2π sin B M K cos O H A u = v + k 2π k ∈Z Chú ý : cos u = cos v ⇔ u = −v + k 2π ii/ Nếu a giá trị góc bặc biệt x = arccos a + k 2π cos x = a ⇔ x = − arccos sa + k 2π TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 *BÀI TẬP : Giải phương trình : 2 cos x − = cos x = 3.2 cos( x + π )− =0 > cos(2 x + > cos( > cos x + cos x = > cos x − sin x = ) +1 = 10 > cos x + sin x = ) +2 = 11 > cos(2 x + − 3x) + = 12 > cos(3 x − > 3cos(3 x − π π > cos x − cos x = π 13 > cos(2 x + π π π ) + cos( x − ) = π ) − sin(2 x + ) + sin( x + π ) =0 2π ) =0 3>Phương trình lương giác tanx=a (3) π +Điều kiện : x ≠ + kπ +Nếu a gía trị góc đặc biệt Đặt a= tan α ta có: tanx= tan α ⇔ x = α + kπ Chú ý : tan u = tan v ⇔ u = v + kπ +Neáu a không giá trị góc đặc biệt tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ 4>Phương trình lượng giác cotx=a (4) +Điều kiện : x ≠ kπ +Nếu a giá trị góc đặc biệt Đặt a = tan α ñoù ta coù : co t x = co t α ⇔ x = α + kπ Chú ý : co t u = co t v ⇔ u = v + kπ + Nếu a không giá trị góc đặc biệt : cot x = a ⇔ x = arc co t a + kπ BAØI TẬP : Giải phương trình : TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 > tan x = > cot x + = 2π > tan x − = > cot(3 x − ) + = π 3π > tan(3 x + ) − = > 3cot(2 x + ) + = π 2π > tan(2 x − ) + = > cot(2 x − ) + = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− π π π > tan(3 x − ) − tan x = 13 > cot(2 x + ) − cot( x + ) = 4 2π π 3π π 10 > tan(2 x + ) + tan( x − ) = 14 > cot( − x) + cot( x − ) = 3 5π π 5π π 11 > tan( x − ) + cot(2 x − ) = 15 > cot( − x) − tan(2 x + ) = 3 3 4π π 5π π 12 > tan(3 x + ) + cot( − x) = 16 > cot(2 x + ) + tan( x + ) = 3 6 5>TÓM LẠI : CHÚ Ý : CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN : x = α + k 2π sin x = sin α ⇔ k ∈Z x = π − α + k 2π * x = arcsin a + k 2π sin x = a ⇔ x = π − arcsin a + k 2π u = v + k 2π sin u = sin v ⇔ k ∈Z u = π − v + k 2π x = α + k 2π cos x = cos α ⇔ k ∈Z x = −α + k 2π * x = arc cos a + k 2π cos x = a ⇔ x = −arc cos a + k 2π u = v + k 2π cos u = cos v ⇔ k ∈Z u = −v + k 2π * * tanx=tanα ⇔ x=α +kπ tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ tan u = tan v ⇔ u = v + kπ co t x = co t α ⇔ x = α + kπ cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ co t u = co t v ⇔ u = v + kπ BÀI TẬP : Giải phương trình lượng giác : TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 > 2sin x + sin x = 4π 2π ) + cos( x + ) = 3 π 2π > 2sin( − x) + sin( − x) = 3 3π x > cos( + ) + sin(3π + x) = 2 2π x > sin (5 x + ) − cos ( + π ) = 2π π > cot(3 x + ).tan( x − ) = 3 2 > tan x.tan x = > sin(2 x + > sin x + cos x − = > cos x + cos x + = π π 10 > sin( + x) + cos( + x) = 2π π 11 > cos( + x) + cos( + x) + = 3 12 > tan x.tan x = π 13 > tan x.tan(2 x − ) + = II>PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1)Phương trình bậc * asinx+b=0 , * acosx+b=0 , * atanx+b=0 , * acotx+b=0 BÀI TẬP : Giải phương trình lượng giác sau : 1>3sinx+2=0 2>-2sinx-3=0 3> cos x + = 4>3cosx+5=0 5> tan x + = 6> 3cot x + = 2>Phương trình bậc hai hàm số lượng giác A>Phương trình bậc hai hàm số sin * asin2x+bsinx+c=0 Đặt sinx=t đk | t |≤ ta có : at2+bt +c=0 BÀI TẬP : Giải phương trình sau : 1/ 2sin2x+3sinx+1=0 2/ sin2x+sinx-2=0 3/ 2sin x − (2 + 3)sin x + = 4/ 6-4cos2x-9sinx=0 5/ 4sin x − 2( + 1) sin x + = 6/ sin23x-2sin3x3=0 7/ sin2x+cos2x+sinx+1=0 8/ 2sin2x+cos2+sinx-1=0 9/ cos x+sinx+1=0 10/ cos2x+5sinx+2=0 11>cos2x+cos2x+sinx+2=0 12> π π sin + x ÷− cos + x ÷+ = 6 3 B>Phương trình bậc hai hàm số cos * acos2x+bcosx+c=0 Đặt cosx=t đk | t |≤ ta có : at2+bt +c=0 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 BÀI TẬP : Giải phương trình sau : 1/ 3cos2x+2cosx-1=0 2/2sin2x+5cosx+1=0 3>cos24cosx+5/2=0 4/cos2+cosx-2=0 5/16-15sin2x-8cosx=0 6/4sin22x+8cos2x-8=0 x 7/ − 4sin x − 8cos = −4 8/2cos2x+cosx-1=0 9/sin2x2 2cos2x+cos2x=0 π 2π 10>sin2x+cos2x+cosx=0 11> cos( x + ) + cos(2 x + ) − = 3 12>(1+tan2x)(cosx+2)-sin2x=cos2x C>Phương trình bậc hai đối hàm tan cot * atan2x+btanx+c=0 π Đk x ≠ + kπ Đặt tanx=t ta có : at2+bt +c=0 * acot2x+bcotx+c=0 Ñk : x ≠ kπ Đặt cotx=t ta có : at2+bt +c=0 BÀI TẬP : Giải phương trình sau : 1>tan2x-tanx-2=0 2> cot x − (1 − 3) cot x + = 3> cot x − cot x + = − tan x − = 4> cos x 3>Phương trình bậc hai sin cos Phương trình có dạng : Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x=D +B1: xét cosx=0 π +B2 : với cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ chia hai vế phương trình cho cos2x ta : (A-D)tan2x+Btanx+C-D=0 BÀI TẬP : Giải phương trình : > 2sin x + (1 − 3)sin x cos x + (1 − 3) cos x = > 3cos x + sin x cos x + 5sin x = > 2sin x + 4sin x cos x − cos x − = > cos x + 6sin x cos x = + > 2sin x + sin x cos x − cos x + = > 4sin x + 3 sin x − cos x = > 2sin x + 3cos x = 5sin x cos x > sin x − 8sin x cos x + cos x = 2 11 > 3sin x + 5cos x − cos x − 4sin x = > sin x + 2sin x cos x − cos x = 10 > sin x − ( ) + sin x cos x + cos x = 12 > 2sin x + 6sin x cos x + 2(1 + 3) cos x = + 30 4> Phương trình bậc sin cos TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 (Nhắc lại công thức cộng : cosacosb+sinasinb=cos(a-b) Sinacosb+sinbcosa=sin(a+b) Phương trình có dạng : asinx +bcosx =c Để phương trình có nghiệm điều kiện : a +b -c ≥ Khi ta chia hai vế phương trình với a + b ta : a b c sin x + cos x = 2 2 a +b a +b a + b2 2 2 a b a b = sin α , = cos α Do + = neân đặt : ÷ ÷ 2 2 2 2 a + b a + b a +b a +b c c ⇔ cos( x − α ) = Khi ta : sin nx sin α + cos x cos α = 2 a +b a + b2 Bài tập : Giải phương trình : 1/ sin x − cos x = 2 / cos x + sin x = / sin x + cos x = / 5cos x − 12sin x = 13 / cos x + sin x = / 2sin x − 5cos x = / 3sin x + 5cos x = TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 PHẦN II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I>QUI TẮC ĐẾM a>Qui tắc cộng Một công việc hoàn thành hành động hành động hai Nếu hành động có m cách thực , hành động hai n cách thực không trùng với hành động hành động cơng việc có m+n cách thực b>Qui tắc nhân Một công việc hoàn thành hai hành động liên tiếp , có m cách thực hành động thứ , ứng với cách thực có n cách thực hành động hai có m.n cách hồn thành cộng việc BÀI TẬP II>HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP a>Hốn vị : Có tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1) Một kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hốn vị b phần tử Ví dụ : A={1,2,3} 123,321,213 … hốn vị Ta viết số hoán vi n phần tử : Pn=n!=n(n-1)(n-2)… 3.2.1 b>Chỉnh hợp : Cho tập A gồm n phàn tử ( n ≥ 1) Kết lấy k phần tử n phần tử tập hợp A chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần phần tử cho n! k Ký hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử : An = = n( n − 1) ( n − k + 1) k! c>Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi tập gồm k phần tử tập A gọi tổ hợp chập k n phần tử tập cho n! k Ký hiệu số tổ hợp chập k n phần tử : Cn = k !( n − k )! Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm nam nữ Cần lập đoàn đại biểu gồm người hỏi : a/ Có tất cách b/ Có cách thành lập đồn đại biểu có nam nữ III>NHỊ THỨC NIU TƠN Công thức sau gọi công thức nhị thức niu tơn n ( a + b ) = Cn0 a nb0 + Cn1a n −1b1 + + Cnk a n −k b k + + Cnn −1a1b n −1 + Cnn a 0b n k n−k k Số hạng thứ k+1 : Tk +1 = Cn a b TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 BÀI TẬP : TỔ HỢP –XÁC SUẤT Sử dụng qui tắc cộng , qui tắc nhân , hoán vị chỉnh hợp Bài : CHo hộp đựng viên bi trắng đánh số từ đến 10 viên bi đỏ đánh số từ đến 15 có cách chọn viên bi ? Bài : Có sách toán khác , 10 cốn sách văn khác sách lý khác Hỏi có cách chọn cách để học ? Bài : Có cửa hàng bán sách , cửa hàng bán 100 sách toán , cửa hàng bán 200 sách văn , hàng bán 50 cách lý 50 sách địa , cửa hàng bán 150 sách hoá , hàng bán 150 sách sinh 50 sách kỹ thuật Hỏi có cách chọn cửa hàng để mua sách CÁC BÀI TẬP VỀ SỐ Bài : CHo tập hợp số : {1,2,3,4} Có cách chọn số tự nhiên : a> Có hai chữ số đơi khác ? b> Có chữ số đơi khác ? c> Có chữ số đôi khác ? Bài 4: Từ tập hợp số {1,2,3,4,5} Có cách chọn số tự nhiên : a> Có hai chữ số đơi khác b> chữ số đôi khác ln có mặt chữ số ? c> Có chữ số đơi khác ln có mặt chữ số ? Bài : Từ tập hợp số : {0,1,2,3,4,5) ta lập số tự nhiên : a> Có hai chữ số đơi khác ? b> Có chữ số đôi khác ? c> Là số chẵn có chữ số đơi khác ? d> Là số lẻ có chữ số đơi khác ? Bài : Từ tập số tự nhiên {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Có cách lập số tự nhiên a> Có chữ số đơi khác ? b> Có chữ số đơi khác ? Bài : Từ số 0,1,2,3,4,5 Có biêu cách lập số tự nhiên a> Là số lẻ có chữ số đơi khác ? b> Là số chẵn có chữ số đơi khác ? Bài : Từ số : 0,1,2,3,4,5,6 có cách lập số tự nhiên : a> Có chữ số khác ln có mặt chữ số b> Có chữ số khác chia hết cho c> Có chữ số khác nhỏ 550 Bài 9: Từ số : 0,1,2,3,4,5 có cách lập số tự nhiên : a> Có chữ số khác b> Có chữ c> Là số lẻ có chữ số đơi khác d> Là số chẵn có chữ số đôi khác ? Bài 10 : Từ số 0,1,2,3,4,5,6 có lập số tự nhiên : a> Số có chữ số đơi khác b> Số có chữ số c> Số có chữ số chia hết cho d> Số có chữ số ln có chữ số Bài 11: Từ số : 0,4,5,7,8,9 Ta lập số tự nhiên : TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 a> Có chữ số đơi khác b> Có chữ số ln có mặt chữ số c> Có chữ số lớn 400 Bài 12 : Từ số 0,2,3,4,5,6 Ta lập số tự nhiên : a> số chẵn có chữ số b> số có chữ số ln có mặt chữ số c> Số có chữ số lớn 250 Bài 13 : Từ số : 0,2,4,5,6,8,9 Ta có thê lập số tự nhiên : a> Có chữ số đơi khác b> Có chữ số đơi khác ln có mặt số CÁC BÀI TẬP VỀ NGƯỜI VÀ VẬT Bài 14 : Người ta xếp ngẫu nhiên phiếu từ đến cạnh a> Có cách xếp để phiếu số chẵn ln cạnh b> Có cách xếp để phiếu phân thành nhóm chẵn lẻ riêng biệt Bài 15 : Trong phong học có hai bàn dài bàn ghế , người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi : a> Các học sinh ngồi tuỳ ý b> Các học sinh nam ngồi bàn học nữ ngồi bàn Bài 16 : Có cách xếp học sinh A,B,C,D,E vào ghế dài cho : a> Bạn C ngồi b>Hai bạn A E ngồi hai đầu mút Bài 17 : Một tổ học sinh có nam nữ xếp thành hàng dọc a> Có cách sếp khác b> Có cách xếp cho khơng có học sinh gới đứng cạnh Bài 18 : Có thẻ trắng thẻ đen đánh dấu loại theo số 1,2,3,4,5 có cách xếp thể theo hàng cho hai thẻ màu khơng nằm cạnh Bài 19 : Một nhóm gồm 10 học sinh có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 học sinh thành hàng dọc cho học sinh nam phai đứng cạnh Bài 20 : Có 15 học sinh gồm nam nữ Có cách chọn người để lập ban đại diện có nam nữ Bài 21 : Một đội ngũ cán gồm có nhà tốn học nhà vậ lý , nhà hóc học Chọn từ người để dự hội thảo khoa học Có cách chọn nếu: a> Phải có đủ mơn b> Có nhiều nhà tốn học có đủ mơn Bài 22 : Từ 12 học sinh ửu tú trường ta muốn chọn ban đại diện gồm người gồm trường đoàn ,1 thư ký thành viên dự trại hè quốc tế Hỏi có cách chọn ban đại biểu Bài 23 : Một hộp đựng 12 bóng đèn có bóng đèn bị hỏng Lấy ngẫu nhiên bóng đèn khỏi hộp , có cách lầy để có bóng bị hỏng Bài 24 : Một hộp đựng viên bị đỏ , viên bi trắng , viên bi vàng , người ta chọn viên bị từ hộp , hỏi có cách chọn để số bi lấy có đủ màu Bài 25 : Có tem thư bì thư khác Hỏi có cách chọn tem thư bì thư để tem thư dán vào bì thư chọn Bài 26A : Có bảy bơng hoa khác ba lọ hoa khác Hỏi có cách cắm ba hoa vào ba lọ hoa ( lọ cắm ) Bài 26B : Một lớp học gồm 20 học sinh có cán lớp Hỏi có cách cử người dự hội nghị sinh viên trường cho người có cán lớp 10 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 Bài 27 : Từ 10 nam nữ người ta chọn ban đại diện gồm người có hai nam nữ , hỏi có cách chọn Nếu : a> Mọi người vui vẽ tham gia b> Cậu Tánh cô Nguyệt từ chối tham gia Bài 28 : lớp học gồm 30 học sinh nam 15 học sinh nữ , chọn học sinh để lập đội tốp ca Hỏi có cách chọn a> Nếu hai nữ b> Nếu chọn tuỳ ý Bài 29 : Một đội văn nghệ 20 người có 10 nam 10 nữ , Hỏi có cách chọn người cho : a> Có nam b> Có nam nữ Bài 30 : Một hộp đựng bi đỏ , bi trắng bi vàng Chọ ngẫu nhiên viên bi từ hộp , hỏi có cách chọn để số bi lấy không đủ màu Sử DụNG KHAI TRIểN NHị THứC NIU TƠN Bài 31 : Hãy khai triển nhị thức sau thành đa thức : 15 1 20 17 a > ( a + 2b ) b> a− c > x − ÷ d > ( 3x − ) e > ( x + 3) x ( ) 1 Bài 31 : Tìm hệ số x nhị thức sau : x3 + ÷ , x + ÷ x x 15 1 , x2 + ÷ x 10 20 1 Bài 32 : Tìm hệ số x5 nhị thức sau : x + ÷ , x3 + ÷ , x + ÷ x x x 15 2 2 Bài 33 : Tìm hệ số x nhị thức sau : x + ÷ , x3 + ÷ x x n Bài 34: Biết hệ số x khai triển (1-3x) 90 Tìm n ? 20 2 Bài 35 : Tìm hệ số khơng chứa x khai triển x3 + ÷ x 12 x Bài 36 : Tìm hệ số khồng chứa x khai triển : + ÷ 3 x 15 x2 Bài 37 : Tìm số hạng khơng chưa x khai triển sau : + ÷ x 40 Bài 38 : Tìm hệ số x khai triển nhị thức x + ÷ x 31 11 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 IV>PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1/ PHÉP THỬ Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết biết tập hợp tất kết có phép thử Ví dụ : Gieo đồng tiến , gieo súc sắc , rút từ ,… 2/KHƠNG GIAN MẪU Tập hợp kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử ký hiệu Ω đọc mê ga Ví dụ : tìm không gian mẫu phép thử sau : 1/Gieo đồng tiến hai lần 2/Gieo súc sắc hai lần 3/Từ số 1,2,3 tìm số có chữ số 3/BIẾN CỐ Biến cố tập không gian mẫu Tập Φ gọi biến cố , tập Ω gọi biến cố chắn Chú ý : biến cố cho dạng mệnh đề mô tả tập hợp , cho dạng tập khơng gian mẫu Ví dụ : 1/gieo đồng tiền hai lần , Hãy xác định biến cố : A”Mặt sấp xuất lần “ B”có mặt sấp “ 2/Giéo súc sắc hai lần , Hãy xác định biến cố : A”Hai lần gieo có số chấm “ B”Hai lần gieo có tổng số chấm “ 3/Từ số 1,2,3 , lập số có ba chữ số Hãy xác định biến cố : A”Số có ba chữ số “ B”là số chẵn có ba chữ số đơi khác “ BÀI TậP : Bài : Gieo súc sắc cân đối , đồng chất quan sát cố xuất a>Mô tả không gian mẫu b>xác định biến cố sau A:”Xuất mặt chẵn chấm “ B:”Xuất mặt lẻ chấm “ C:”Xuất mặt có chấm khơng nhỏ “ c>Trong biến cố tìm biến cố xung khắc Bài : Một hộp đựng bi trắng đánh số tử đến , bi đỏ đánh số từ đến , lấy ngẫu nhiên đồng thời bi : a>Xây dựng không gian mãu b>Xác định biến cố : A:”Hai bi màu trắng “ B:”Hai bi màu đỏ “ C:”Hai bi màu “ D:”Hai bi khác màu “ c>Trong biến cố tìm biến cố xung khắc Bài : Gieo đồng tiền lần quan sát tượng mặt sấp mặt ngữa a> Xây dựng không gian mẫu b> Xác định biến cố : 12 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 A:”Lần gieo mặt sấp “ B:”Ba lần xuất mặt “ C:”đúng hai lần xuất mặt sấp “ Bài : Gieo đồng tiền súc sắc quan sát mặt sấp ,mặt ngữa , số chấm suất súc sắc a> xây dựng không gian mẫu b> Xác định biến cố sau : A:”đồng tiền suất mặt sấp súc sắc xuất mặt chẵn chấm “ B:”Đồng tiền suất mặt ngữa súc sắc suất mặt lẻ chấm “ C:”Mặt chấm xuất “ Bài : Gieo đồng tiền lần : a> Xây dựng không gian mẫu b> Xác định biến cố sau : A:”lần đầu xuất mặt sấp “ B:”Mặt sấp xẫy lần “ C:”Mặt ngữa xẫy lần “ Bài : Gieo súc sắc lần : a> Mô tả không gian mẫu b> Phát biều biến cố sau dạng mệnh đề : A:”{(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)} B:”{(2;6),(6;2),(3;5),(5;3),(4;4)} C:”{(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)} Bài : Trong hộp đựng thẻ đánh số từ đến , lấy ngẫu nhiên hai thẻ : Mô tả không gian mẫu a> Xác định biến cố sau : A:”Tổng số hai thẻ chẵn “ B:”Tích số hai thẻ chẵn “ Bài : Từ hộp đựng cầu đánh số từ đến , lấy liên tiếp hai lần lần xếp thứ tự từ trái sang phải a> Mô tả không gian mẫu b> Xác định biến cố sau : A:”Chữ số đầu lớn chữ số sau “ B:”Chữ số trước gấp đôi chữ số sau “ C:”Hai chữ số “ V>XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1>ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT Giả sử A biến cố có liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất n( A) n( A) Tỷ số gọi xác suất biến cố A ký hiệu : P(A) P ( A) = n ( Ω) n (Ω ) n(A) số phần tử tập A ( Hay số kết thuận lợi cho biến cố A ) n(Ω) số kết xảy phép thử 13 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 BÀI TẬP : 1>Gieo súc sắc hài lần , tính xác suất biến cố sau : a/ Tổng hai lần gieo chấm b/ Lần gieo đầu c/ Tích hai lần gieo số chẳn d/ Hai lần gieo có số chấm 2> Một tổ có nam nữ , chọn ngẫu nhiêu hai học sinh Tính xác suất cho : a/ Cả hai học sinh nữ b/ nữ c/ có nam d/ có hs nữ 3> Một hộp đựng viên bi trắng , viên bi đỏ , chọn ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để : a/ viên bi màu b/ có bi đỏ c/ có hai bi trắng d/ có đủ hai màu 4> Có học sinh nam học sinh nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh bàn trịn , tìm xác suất để nam nữ ngồi xen kẻ 5> Có học sinh nam học sinh nữ xếp ngồi ngẫu nhiên vào bàn dài , tìm xác suất để nam nữ ngồi xen kẻ 6>Một hộp đựng 10 cầu đỏ đánh số từ đến 10 20 cầu đánh số tử đến 20 lấy ngẫu nhiên cầu Tính xác suất cho cầu chọn : a/Ghi số chẵn b/Mầu đỏ c/Mầu đỏ ghi số chẵn d/Mầu xanh ghi số lẻ 7>có học sinh học mơn anh văn học sinh học pháp văn học sinh học tiếng chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để : a/ chọn có hai thứ tiếng có hai học sinh học tiếng anh b/ Chọn có ba thứ tiếng 8>Một lớp có 60 học sinh 40 học sinh học tiếng ành , 30 học sinh học tiếng pháp , 20 học sinh học tiếng ành tiếng pháp Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất biến cố sau : a/Sinh viên chọn học tiếng ành b/sinh viên chọn học tiếng pháp c/Sinh viên chọn không học tiến anh tiếng pháp 14 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN PHẦN III I>PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Khi chứng minh mệnh đề phù thuộc vào số tự nhiên n ta dùng phương pháp qui nạp toán học Thực phương pháp qui nạp toán học theo bước sau : \ B1 : Kiểm tra mệnh đề với n=1 (2,3,…) (Nếu mệnh đề vào bước ) B2 : Giả sử mệnh đề với n=1 ( gọi giả thiết qui nạp ) B3 : Ta cần chứng minh mệnh đề với n=k+1 BÀI TẬP VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Bài : Chứng minh đẳng thức sau với n thuộc vào N* n(3n + 1) 3n+1 − n 1/ 2+5+8+…+(3n-1)= 2/ 3+9+27+…+3 = 2 2 n(4n − 1) n (n + 1) 3/ 12+22+32+…+(2n-1)2= 4/ 13+23+33+…+m3= n( n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) 5/ 1+2+3+…+n= 6/ 22+42+…+(2n)2= n n(n + 1)(2n + 1) 1 1 −1 7/ 12+22+32+…+n2= 8/ + + + + n = n 2 Bài : Chứng minh với n ∈ N * ta có : 1/ n3-n chia hết cho 3/ 11n+1+122n -1 chia hết cho 133 5/ 4n+15n-1 chia hết cho 7/ 32n+1+2n+2 chia hết cho Bài : Chứng minh với n ∈ N * ta có : 1/ 2n>2n+1 2/ 3n>3n+1 2/ n3+3n2+5n chia hết cho 4/ 2n3 -3n2 +n chia hết cho 6/ 13n -1 chia hết cho 8/ 32n+2+26n+1 chia hết cho 11 3/ 2n+1>2n+3 4/ 2n+2>2n+5 II> DÃY SỐ 1>Định nghĩa dãy số : u : N* → R * Hàm số u xác định tập số tự nhiên N gọi dãy số vô hạn ký hiệu (un) , ta viết n a u (n) Viết dãy số dạng khai triển u1,u2,…,un,… Trong u1 gọi số hạng đầu , un gọi số hạng tổng quát * Hàm số u xác định tập số M={1,2,3,4,…,m) với m thuộc tập số tự nhiên N* gọi dãy số hữu u:M → R hạn ký hiệu (un) ,ta viết n a u (n) Viết dãy số dạng khai triển u1,u2,…,um Trong u1 gọi số hạng đầu , um gọi số hạng cuối 2>cách cho dãy số a/Cho dãy số công thức số hạng tổng quát un Ví dụ :Cho dãy số (un) : un=2n+1 b/Cho dãy số biểu thức truy hồi +Cho số hạng đầu hoăc vài số hạng đầu * 15 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 +Cho biểu thức truy hồi ( Biểu thức truy hồi biểu thức biểu diễn số hạng thứ un qua số hạng đứng trước vài số hạng đứng trước ) u1 = Ví dụ : Cho dãy số : un = 2un −1 + 3>Dãy số tăng dãy số giảm +Một dãy số (un) gọi số tăng un+1>un với n thuộc vào N* + Một dãy số (un) gọi số giảm un+10 dãy tăng , cịn An 0) C2 : Lập tỷ số : An = un Nếu An >1 dãy số dãy tăng , cịn nhỏ dãy số dãy giảm 4>Dãy số bị chặn +Một dãy số (un) gọi bichặn tồn số thực M cho un ≤ M với n thuộc vào N* + Một dãy số (un) gọi chặn tồn số thực m cho un ≥ m với n thuộc vào N* BÀI TẬP Bài : Viết số hạng dãy số sau n 2n − n 1/ un = n / un = n / un = +1 +1 n2 + u = u1 = 1 u1 = 4/ / u2 = / u = un = 2un −1 + u = 2u + u 2u + n −1 n−2 n un = n −1 un − Bài : Xét tính tăng , giảm dãy số sau : n −1 2n + 1/ un = − 2 / un = / un = / un = 2n + n n +1 5n + 2 2−n 2n − 2n / un = / un = / un = / un = ( ) n n n +1 n! 16 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 III>CẤP SỐ CỘNG 1>Định nghĩa : Một dãy số hữu hạn vơ hạn kể từ số hạng thứ số hạng bắng số hạng đứng trước cộng thêm số khơng đổi d (d gọi công sai câp số cộng ) un+1=un+d 2>Số hạng tổng qúat : Cấp số cộng có cơng sai d số hạng đầu u1 số hạng tổng : un=u1+(n-1)d n(u1 + un ) 3>Tính tổng n số hạng : S n = BÀI TậP Bài : Trong dãy số sau dãy số cấp số cộng ? tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng ? − 3n + 2n 1/ un = + 2n / un = / un = / un = 3n / un = ( n + 1) 2 Bài : Cho dãy số : un=9-5n a/Viết số hạng đầu dãy số b/Chứng minh dãy số cấp số cộng ? Xác định số hạng đầu cơng sai c/Tính tổng 100 số hạng Bài : Tìm cơng sai tính tổng 30 số hạng cấp số cộng sau : a/ (un) : 4,7,10,13,16,… b/ (un) : 1,6,11,16,… Bài : tính u1 cơng sai d cấp số cộng sau biết : u1 + 2u5 = a/ s4 = 14 u2 + u5 − u3 = 10 e/ u4 + u6 = 26 u4 = 10 b/ u7 = 19 u1 + u5 − u3 = 10 c/ u1 + u6 = u7 − u3 = d/ u2 u7 = 75 u3 + u5 = 14 i/ s12 = 129 Bài : Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 21và tổng bình phương chúng 155 Bài : Xác định cấp số cộng biết : cấp số cộng có 13 số hạng , tổng số hạng 143 ,hiệu số hạng cuối số hạng đầu 36 Bài : tính số ba góc tam giác ABC biết số đo ba góc cấp số cộng 17 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 PHẦN IV : GIỚI HẠN I > GIỚI HẠN DÃY 1/Định nghĩa : dãy số (un) có giới hạn n dần tới dương vơ cực |un| nhỏ un = hay un → n → +∞ số dương bé tuỳ ý kể từ số dương trở ký hiệu : xlim →+∞ − a) = 2/Định nghĩa : dãy số (vn) có giới hạn a ( hay dần tới a n dần tới +∞ lim( x →∞ = a hay → a n → +∞ Ký hiệu : xlim →+∞ 3/Một vài giới hạn đắc biệt : 1 a lim = b lim k = c lim q n = 0(| q |< 1) x →+∞ n x →+∞ n x →+∞ d un = c ⇒ lim un = lim c = c x →+∞ x →+∞ 4/Một số tính chất un = a , lim = b a)Nếu xlim →+∞ x →+∞ • lim (un + ) = a + b , • lim (un − ) = a − b x →+∞ x →+∞ • lim (un ) = a.b x →+∞ , • lim ( x →+∞ un a )= b un = a a ≥ 0, lim un = a b)Nếu un ≥ với n lim x →∞ x →+∞ un = a ta viết limun=a Chú ý : xlim →+∞ 5/Giới hạn vô cực a/Định nghĩa ; Ta nói dãy số un có giới hạn +∞ n → +∞ un lớn số dương kể từ số un = +∞ hạng trở ký hiệu : xlim →+∞ (−un ) = +∞ Ta nói dãy số un có giới hạn −∞ n → +∞ xlim →+∞ b/Các tính chất : un a Nếu Limun=a Limvn= ±∞ Lim = b Nếu limun=a>0 Limvn=0 vn>0 với n lim c Nếu limun= +∞ limvn=a >0 Nếu Limun.vn= +∞ un = +∞ 18 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 BÀI TẬP Bài : Tính giới hạn sau : a ) Lim(2n + 3n − 1) b) Lim(−n − n + 3) c ) Lim(3n − n + n + 5) 3n + − 2n − 7n Lim Lim 4.Lim 2n + 2n + 3 − 6n 2 4n − n − n +1 5n + 3n + Lim 6.Lim Lim 2n + n 2n − n n + 4n − (2n − 1)(n + 2) 5n + 5n − (n + n)(2n − 1) Lim Lim 10 Lim 2n − 3n + (5n + 2)( n − 4) n3 + 3n − 2n n + 11 Lim n +n+3 n3 + 3n + 12 Lim n + 6n + + n3 + n − 13 Lim 2n + 3n n − n + n + − 4n + 2n + n3 + 3n − 15 Lim 16 Lim n2 − n + 3n − 3n + 27 n3 − n + Bài : Tính giới hạn : 2n + 3n 3.5n − 2.3n 7.5n − 2.7 n 7.3n + 2.6n 1) Lim n 2) Lim 3) Lim 4) Lim 2.3 + 5.2n 5n + 5.3n 5n − 5.7 n 5.3n − 5.6n (−2) n − 5n 4.3n + n +1 (−3) n − 5n 2 + 3n − n 5) Lim n +1 n +1 6) Lim 7) Lim 8) Lim n n +1 n +1 +5 2.5n + n (−3) n +1 + 5n + +3 +4 14 Lim (−3) n +1 + 5n + 5n +1 + n + + 10) Lim 3n +1 + 5n +1 3n +1 + n +1 + 3.2n Bài Tính giới hạn sau : 1) Lim( n + − n + 1) 2) Lim( 3n + − n − 1) 3) Lim( n + 2n − − n + 1) 9) Lim 4) Lim n + 2n − n − n2 + n − n 5) Lim 7) Lim( 8n3 + 3n − + − 2n) 9) Lim − n3 + n 10) Lim n2 + n − n + n2 + − n 6) Lim n − n2 + n n2 + − n 7) Lim n − − 3n + 2n + n + − 2n 8) Lim( 27 n3 − n − − 2n) 2n + 3n3 − n + n2 + − n n2 − − n Bài : Tính giới hạn : 1 1 1 a ) Lim( + + + ) b) Lim( + + + ) 1.3 2.4 n(n + 2) 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) 1 c) Lim(1 − )(1 − ) (1 − ) (1/ 2) n 19 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 II>GIỚN HẠN HÀM SỐ 1>Định nghĩa : Cho khoảng K chứa điểm x0 hàm số y=f(x) xác định K K\{x0} Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn số L x dần tới x0 vớidãy số (xn) ,xn ∈ K\{x0} xn → x0 ta có : f ( xn ) → L Ta ký hiệu : lim f ( x) = L x → x0 2>Các tính chât ( giới hạn hữu hạn ) f ( x) = L lim g ( x ) = M ta có : a/Giả sử xlim → x0 x → x0 • lim [ f ( x) + g ( x) ] = L + M • lim [ f ( x) − g ( x ) ] = L − M x → x0 x → x0 • lim [ f ( x).g ( x ) ] = L.M x → x0 • lim x → x0 f ( x) L = ( M ≠ 0) g ( x) M f ( x) = L L ≥ 0, lim b/Nếu f ( x ) ≥ xlim → x0 x → x0 f ( x) = L (Chú ý dấu F(x) xét khoảng tìm giới hạn với x khác x0 ) k k NHẬN XÉT : lim x = x0 từ ta có lim x = x0 , lim c = c với c số x → x0 x → x0 x → x0 BÀI TẬP Bài : Tính giới hạn : x 1) lim x →1 x + 1) 2) lim( x →2 ( x + x + 1) 3) xlim →−1 Bài : Tính gới hạn sau : x + 3x + x + 3x + 1) lim 2) lim x →−1 x →−2 x +1 x+2 x −1 5) lim 6) x →1 x − x + Bài : Tính giới hạn : x + x + 1) 4) lim( x →1 −3 x + x + x →−2 x+2 3) lim 4) lim x →2 x +1 x →1 x − 5) lim x2 + x − 4x − 3>Giới hạn bên Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng (x0;b) Số L gọi giới hạn bên phải hàm số y=f(x) x dần tới x0 với dãy số xn với f ( x) = L x0 Các học sinh ng? ?i tuỳ ý b> Các học sinh nam ng? ?i bàn học nữ ng? ?i bàn B? ?i 16 : Có cách xếp học sinh A,B,C,D,E vào ghế d? ?i cho : a> Bạn C ng? ?i b>Hai bạn A E ng? ?i hai đầu mút B? ?i 17 :