(TIỂU LUẬN) tiểu luận PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN DỰNG HÌNH TRONG mặt PHẲNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – TIN HỌC  Tiểu luận: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Mơn: Hình học sơ cấp GVHD: Trần Nam Dũng Nhóm: 5T Tp Hồ Chí Minh Hình học sơ cấp Nhóm 5T LỜI MỞ ĐẦU Tốn học mơn học có vai trị quan trọng đời sống xã hội Toán học ứng dụng rộng rãi nhiều ngành nghề khác Hình học phần tốn học Hình học mơn học khó địi hỏi tính tư cao Điều thể rõ tốn dựng hình Nhận thức rõ tầm quan trọng việc giảng dạy học tập tốn dựng hình nên nhóm chúng em chọn đề tài “Phương pháp giải tốn dựng hình” Đây đề tài khó chúng em mạnh dạn sâu nghiên cứu đề tài mong phần ưu điểm, cần thiết tốn dựng khó khăn, lúng túng học tốn dựng hình Qua biết cách giải tốn dựng hình cách nhanh chóng, có phương pháp u thích , say mê học loại tốn Ngồi ra, làm đề tài chúng em hy vọng tích lũy cho thêm kiến thức trường Vì kinh nghiệm, khả kiến thức cịn hạn chế nên đề tài chúng em chắn nhiều thiếu sót, nhóm mong nhận góp ý từ thầy bạn Nhóm xin chân thành cảm ơn, sau danh sách kèm: Nguyễn Thành Tâm Trần Thị Dạ Thảo Đinh Phương Xuân Thùy Nguyễn Ngọc Anh Thư Nguyễn Thị Diễm Tiên Page Hình học sơ cấp Nhóm 5T Mục lục 1.MỘT SỐ VẤN ĐỀ DỰNG HÌNH 1.1 Vài nét lịch sử hình học dựng hình 1.2 Các tiên để hình học dựng hình 1.2.1 Các tiên đề chung 1.2.2 Các tiên đề dụng cụ 1.3 Các phép dựng hình 1.3.1 Trong mặt phẳng 1.3.2 Trong không gian 1.4 Giải tốn dựng hình 1.5 Các tốn dựng hình 1.6 Các bước tốn dựng hình 1.6.1 Phân tích 1.6.2 Cách dựng 1.6.3 Chứng minh 1.6.4 Biện luận 1.7 Dấu hiệu nhận biết khả dựng đường thẳng thước compa 2.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA 2.1 Dựng hình phương pháp quỹ tích tương giao 2.1.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.2 Bài tập áp dụng 2.2 Dựng hình phương pháp biến hình 2.2.1 Dựng hình phép tịnh tiến 2.2.2 Dựng hình phép đối xứng trục 2.2.3 Phép đối xứng tâm 2.2.4 Dựng hình phép quay 2.2.5 Dựng hình phép vị tự 2.3 Dựng hình phương pháp đại số 2.3.1 Cơ sở lý thuyết 2.3.2 Bài tập áp dụng Page Hình học sơ cấp 1.1 Nhóm 5T MỘT SỐ VẤN ĐỀ DỰNG HÌNH Vài nét lịch sử hình học dựng hình Vào kỉ thứ IV thứ năm trước cơng ngun nhà tốn học Hi Lạp tiếng quan tâm đến dựng hình hình học Pitago, Hipôcrat, Ơclit, Apôlôniut Trường phái Pitago thành cơng số tốn tương đối phức tạp dựng hình ngũ giác Vào kỷ thứ V trước cơng ngun có ba tốn tiếng Chia ba góc, gấp đơi hình lập phương cầu phương hình trịn khơng giải thước compa Đến kỷ thứ VI trước công nguyên, Ơclit người sáng lập hệ hình học nêu lên tiền đề quan trọng hình học chứng tỏ vai trị dựng hình tốn học như:    Có thể vạch đường thẳng từ điểm tới điểm khác Có thể liên tục kéo dài đường thẳng bị giới hạn Với tâm khoảng cách vạch đường trịn Các nhà hình học cổ Hi Lạp giải toán dựng hình khó thước compa, chẳng hạn Apơlơniut giải tốn tiếng mang tên ơng: dựng đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước Họ lại giải đại số với dựng hình như: Giải phương trình bậc bậc hai dựng hình Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học dựa vào hình học dựng hình, đặc biệt cách chứng minh tồn tại, chẳng hạn tồn tâm đường tròn nội tiếp tam giác, tồn tam giác đồng dạng, tồn đường thẳng song song chứng minh phép dựng hình 1.2 1.2.1         1.2.2 Các tiên để hình học dựng hình Các tiên đề chung Mỗi hình cho xem dựng Nếu dựng hai hay số hữu hạn hình hợp chúng dựng Nếu dựng hai hình nhận biết hiệu chúng có phải tập hay khơng Nếu hiệu hai hình khác hiệu dựng Nếu dựng hai hình nhận biết giao chúng có phải tập hay khơng Nếu giao hai hình dựng khác ( giao chúng dựng Có thể dựng điểm tùy ý thuộc hình dựng (vì hình tập hợp điểm) Có thể dựng điểm tùy ý khơng thuộc hình dựng Các tiên đề dụng cụ Page Hình học sơ cấp Nhóm 5T 1.2.2.1 Trong mặt phẳng  Thước cho phép thực phép dựng hình sau:     Dựng đoạn thẳng nối hai điểm dựng Dựng tia xuất phát từ điểm dựng qua điểm khác dựng Dựng đường thẳng qua hai điểm dựng Compas cho phép thực phép dựng hình sau: Dựng đường trịn có tâm điểm dựng bán kính đoạn thẳng dựng (hai đầu mút đoạn thẳng đó)  Dựng cung hai cung bù đường tròn, tâm đường tròn điểm đầu mút cung dựng  1.2.2.2 Trong không gian Thước, compas, thước phẳng, compas cho phép thực phép dựng hình sau:  Trên mặt phẳng dựng, thực phép dựng hình thước compas  Thước phẳng cho phép dựng mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng dựng  Compas cầu cho phép dựng mặt cầu tâm điểm thuộc mặt cầu dựng 1.3 Các phép dựng hình Dựa vào tiên đề chung hình học dựng hình tiên đề dụng cụ Người ta chọn số tiên đề gọi phép dựng hình Các phép dựng hình đó, sở để dựng hình khác 1.3.1 Trong mặt phẳng  Dựng đường thẳng qua hai điểm dựng  Dựng đường tròn có tâm điểm thuộc dựng  Dựng giao hai hình dựng  Dựng điểm thuộc hình dựng  Dựng điểm khơng thuộc hình dựng 1.3.2 Trong không gian  Trên mặt phẳng dựng thực phép dựng hình thước compas  Dựng mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng dựng  Dựng mặt cầu có tâm điểm thuộc dựng  Dựng giao hai hình dựng  Dựng điểm thuộc hình dựng  Dựng điểm khơng thuộc hình dựng 1.4 Giải tốn dựng hình Là ta tìm nghiệm tốn Page Hình học sơ cấp Nhóm 5T Nghiệm tốn dựng hình hình dựng thoả mãn điều kiện tốn Đi tìm nghiệm toán phải: Xác lập số hữu hạn trường hợp bao hàm tất khả xảy việc lựa chọn cho  Đối với trường hợp trả lời câu hỏi tốn có nghiệm hay khơng có thi nghiệm  Đối với trường hợp mà tốn có nghiệm, số hữu hạn phép dựng hình cần tiến hành theo thứ tự để dựng thước compa Nếu hình khơng u cầu vị trí hình tốn u cầu dựng coi nghiệm Nếu có u cầu vị trí vị trí khác cho ta hình khác Để cho đơn giản thực hành, trình bày lời giải người ta thêm tốn dựng hình ngồi phép dựng hình  1.5 Các tốn dựng hình               Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Dựng đoạn thẳng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng cho Dựng góc góc cho Dựng góc tổng (hiệu) hai góc cho Chia đôi đoạn thẳng cho Chia đơi góc cho Dựng đường trung trực đoạn thẳng cho Dựng đường thẳng qua điểm cho song song với đường thẳng khác cho Dựng đường thẳng qua điểm cho vng góc với đường thẳng cho Chia đoạn thẳng thành phần tỷ lệ với đoạn thẳng cho Dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tự ba đoạn thẳng cho Dựng tiếp tuyến với đường tròn cho qua điểm cho Dựng tiếp tuyến chung hai đường trịn cho Dựng đoạn thẳng trung bình nhân hai đoạn thẳng cho Dựng đoạn thẳng mà bình phương bẳng tổng (hiệu) bình phương hai đoạn thẳng cho  Dựng tam giác biết (g.c.g) (c.g.c) (c.c.c)  Page Hình học sơ cấp   Nhóm 5T Dựng tam giác vng biết cạnh huyền cạnh góc vng Dựng tam giác vng biết cạnh góc vng góc nhọn 1.6 Các bước tốn dựng hình Để giải tốn dựng hình cách dễ dàng ta giải theo bước: phân tích, dựng hình, chứng minh, biện luận 1.6.1 Phân tích Là bước nhằm tìm cách dựng hình cách thiết lập mối quan hệ yếu tố phải tìm yếu tố làm sở để tiến hành bước dựng  Trước hết ta vẽ phác hình giả sử dựng ( u cầu tốn), vẽ thêm hình phụ  Tìm mối tương quan biết chưa biết để đưa việc dựng hình F quy dựng hình , quy việc dựng hình • Trong đơi điểm chốt Từ ta đưa đường lối dựng Chú ý: Phân tích bước quan trọng cho ta biết phải dựng để hình theo yêu cầu đề 1.6.2 Cách dựng Là bước số hữu hạn có thứ tự phép dựng tốn dưng hình dựng ngược từ Fn đến Fn−1 … cuối hình F Chú ý:  Các bước dựng hình phải phép dựng hay tốn dựng hình  Mỗi bước dựng cần viết thêm điều kiện dựng phép dựng  Các bước dựng phai theo thứ tự xác định, tránh lộn xộn  Số bước dựng phải hữu hạn 1.6.3 Chứng minh Là bước kiểm tra xem hình dựng thỏa mãn điều kiện đầu không? Để thực bước ta dựa vào bước dựng định lý học mà chứng minh Điều kiện dễ chứng minh trước, điều kiện khó chưng minh sau Chú ý: Cần chứng minh hình dựng thỏa mãn đề định lượng định tính 1.6.4 Biện luận Page Hình học sơ cấp   Nhóm 5T Là bước xem tốn có nghiệm có có nghiệm Hay để xét xem yếu tố cho phải thỏa mãn điều kiện để dựng hình phải tìm, dựng có nghiệm hình Biện luận theo cách dựng bước dựng xem xét phải thỏa mãn điều kiện bước dựng thực thực có bao nhieu nghiệm Chú ý:    Phân chia trường hợp tránh lộn xộn dẫn đến sót tùng lặp trường hợp Nếu hình phải dựng khơng áp dụng cách dựng tổng quát phần dựng hình trình bày cách dựng tương ứng cho trường hợp cụ thể Số nghiệm tốn dựng hình ta quy ước sau: Nếu tốn khơng quy định vị trí hình phải tìm hình cho tương ứng hình ( khác vị trí) thỏa mãn điều kiện đầu xem nghiệm Biện luận bước góp phần rèn luyện tư đầy đủ cho học sinh ( biện luận đủ), tư khái qt cho học sinh Tóm lại, làm tốn dựng hình khơng bỏ bước bốn bước Nếu bỏ bước phân tích phân tích khơng rõ ràng tổng qt dẫn đến sót nghiệm Nếu bỏ bước chứng minh dẫn đến thừa nghiệm khơng phải tất kết bước hình phải tìm  Ví dụ minh họa Bài tốn 1: Dựng ∆ABC biết cạnh BC = a , đường cao A H = h , đường trung tuyến A M =m Bài giải Phân tích a Giả sử ta dựng ∆ABC thỏa mãn: cạnh BC = a , đường cao AH = h , đường trung tuyến AM = m Ta phải xác định đỉnh A thỏa mãn điều kiện: - A cách BC khoảng h, suy A∈ đường thẳng p / / BC cách BC khoảng h A cách điểm M trung điểm BC khoảng m Page Hình học sơ cấp Nhóm 5T b Cách dựng - Dựng BC a - Dựng đường thẳng p / / BC cách BC khoảng h - Dựng đường trịn tâm M bán kính m cắt p A  ∆ABC tam giác cần dựng Chứng minh ∆ABC có BC= a ( cách dựng) Đường cao AH= h (cách dựng) Trung tuyến AM = m ( cách dựng) ⇒ ∆ABC tam giác cần dựng c d    Biện luận m > h ⇒ toán có nghiệm ( điểm A) m = h ⇒ tốn có nghiệm ( điểm A) m < h ⇒ tốn vơ nghiệm ( khơng có điểm A) Bài tốn Cho đường thẳng m song song với đường thẳng n điểm A không thuộc đường thẳng Dựng điểm B Bài giải a Phân tích Giả sử dựng điểm B ∈ m, điểm C ∈ n để ∆ABC Dựng hình chiếu vng góc c A điểm M E Dựng tam giác AEF Xét AE = AF ( ∆ABF đều) ∆AEB ∆AFC ta có: CAF = BAE (= 60 AB = AC ( ∆ABF đều)  ∆AEB = ∆AFC ( c.g.c) Page Hình học sơ cấp ⇒BEA=CFA=90 Cách dựng Từ A hạ AE ⊥ m E Dựng ∆ AEF Từ F dựng đường vng góc với AF cắt n C Nối A với C, dựng đường trịn tâm A bán kính AC cắt m B Nối A với B, B vói C, ta ∆ABC cần dựng b c Chứng minh Xét ∆ vuông ABE ∆ AB = AC  ( Cách dựng) AE =AF ⇒ ∆ vuông ABF = ∆ vuông ACF (c.g.c) ⇒ BAE = CAF Mà CAF = EAF + CAE = 60 Và BAE = BAC +CAE ⇒BAC=60 ∆ABC có AB = AC BAC = 60 Biện luận Bài tốn có nghiệm ta dựng ∆ d Hình học sơ cấp Nhóm 5T Mặt khác, I thuộc đường trịn đường kính OO1 OO1 với đường trịn (O; OI Cách dựng: - Dựng (O1 ) ảnh (O) qua Đ - Dựng đường trịn đường kính OO1 OO1 với đường  tròn   O; - Từ A dựng đường thẳng d// OI cắt (O) M cắt (O’) M’ d đường thẳng cần dựng Chứng minh: a Gọi H,K trung điểm AN,AM ta có KH = OI = Mà KH=AK−AH= Biện luận:  a Số nghiệm hình bắng số giao điểm đường tròn O;   đường trịn đường kính OO1 2 Page 23 Hình học sơ cấp Nhóm 5T 2.2.4 Dựng hình phép quay 2.2.4.1 Cơ sở lý thuyết a) Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định góc lượng giác α khơng đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành OM = OM ' (OM , OM ') = α gọi phép quay tâm O góc quay α M ' cho Điểm O gọi tâm quay cịn α gọi góc quay phép quay Phép quay tâm O góc α thường kí hiệu Q( O;α ) b) Kí hiệu: Phép quay tâm O góc quay α : Q( O,α ) (OM ,OM ') =α Q (O,α) (M ) = (M ') ⇔ OM = OM ' c)Biểu thức tọa độ phép quay: Trong mặt phẳng Oxy, giả sử M(x;y) M '( x '; y ') = Q( I ,α ) Trong mặt phẳng Oxy, giả sử M(x;y), I(a;b) M '( x '; y ') = Q( I ,α ) ( M ) x ' = a + ( x − a ) cos α − ( y − b) sin α  Page 24 Hình học sơ cấp Nhóm 5T d) Tính chất: Phép quay Phép quay phép dời hình ( có tất tính chấp phép dời hình) Bảo tồn khoảng cách hai điểm (Phép quay tâm o, góc (OA;OA’) biến A thành A’; B thành B’.Khi đó, ta có: A’B’=AB ii Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho.Biến tam giác thành tam giác với tam giác cho.Biến đường tròn thành đường trịn có bán kính với đường trịn cho i iii Áp dụng phép quay vào tốn dựng hình  Áp dụng phép quay vào tốn dựng hình Muốn dựng điểm N qua phép quay, ta thực bước sau: Page 25 Hình học sơ cấp Nhóm 5T • Bước 1: Xác định điểm M phép quay  Bước 2: Tìm cách dựng điểm M, suy điểm N phép quay 2.2.4.2 Bài tập áp dụng Bài toán 1: Cho tam giác ABC có đỉnh vẽ theo chiều dương Lấy điểm P cạnh AB Hãy dựng điểm Q cạnh CA cho CQ = AP Hướng dẫn giải: Giả sử toán dựng xong ta có: Q∈ AC cho CQ = AP Trước hết ta phải xác định phép quay biến C thành A Q thành P Ta có CQ − AP ⇒ CQ = AP Mặt khác, P∈A B Q ∈CA (CQ, AP ) − (CA, AB) =120o nên: (2) Page 26 Hình học sơ cấp Nhóm 5T Từ (1) (2) suy ra: Gọi O tâm phép quay biến C thành A Q thành P, ta có: OC = OA  (OC,OA) =120 Từ OC=OA suy O thuộc đường trung trực CA; từ (OC , OA) =120 o chứa góc 120 Tóm lại: Ta xác định phép quay tâm O, góc quay 120 thành P Suy cạnh CA OQ ảnh đường thẳng OP qua phép quay nghiệm hình Bài toán 2: Cho điểm A hai đường thẳng Dựng tam giác ABC vuông cân A cho B ∈ d1 , C ∈d2 Hướng dẫn giải: Phân tích: Giả sử dựng tam giá ABC thỏa mãn yêu cầu toán vẽ Page 27 Hình học sơ cấp Ta giả sử d Nhóm 5T AB, AC) = 90 , Q B , mà C ∈ d2 nên B ∈ d với ( A;−90 B = d1 ∩ d2 ' Lại có Cách dựng: - Dựng đường thẳng d2 ' - Dựng giao điểm B = d1 - Dựng đường thẳng qua A vng góc với AB cắt d2 c Tam giác ABC tam giác cần dựng Chứng minh: Từ cách dựng suy Q( A; −90 ) ( B ) = C nên AB=AC BAC = 90 tam giác ABC vng o cân A Biện luận: Nếu d1 , d2 khơng vng góc có nghiệm hình - Nếu - d ⊥d số nghiệm hình - Nếu d1 ⊥ d2 A không nằm đường phân giac góc tạo d1 , d2 tốn vơ nghiệm hình 2.2.5 Dựng hình phép vị tự 2.2.5.1 Cơ sở lý thuyết a) Định nghĩa: Cho điểm O cố định mốt số k không đổi, k ≠ Phép biến hình biến điểm M thành M ' cho α gọi phép vị tự tâm O, tỉ số k Kí hiệu: V(0; k ) V( O ; k ) ( M ) = M ' ⇔ OM ' = kOM     Khi k>0: M M’ nằm phía điểm O Khi k