Chương 32

Chương 32: Độ tự cảm T rong chương 31 ta biết suất điện động dòng điện sinh vịng dây dẫn từ thơng qua diện tích giới hạn vịng dây biến thiên theo thời gian Trong chương này, trước tiên trình bày tượng tự cảm, tượng dòng điện biến thiên theo thời gian mạch gây suất điện động cảm ứng chống lại suất điện động ban đầu thiết lập nên dòng điện biến thiên theo thời gian Sự tự cảm sở cuộn cảm Sau phần trình bày lượng tích trữ từ trường cuộn cảm mật độ lượng từ trường Tiếp theo phần trình bày tượng hỗ cảm, tượng suất điện động sinh cuộn dây thay đổi từ thông gây cuộn dây thứ hai Cuối phần khảo sát đặc trưng mạch điện có chứa cuộn cảm, điện trở, tụ điện theo cách tổ hợp khác Hiện tượng tự cảm độ tự cảm Ta cần phân biệt suất điện động dòng điện gây nguồn pin ắc quy với suất điện động dòng điện gây biến thiên từ trường Suất điện động dòng điện từ trường biến thiên gây phải thêm từ cảm ứng, ví dụ suất điện động cảm ứng, dịng điện cảm ứng Xét mạch điện gồm khóa S, điện trở R nguồn điện  hình 32.1 Khi khóa S chuyển sang vị trí đóng mạch, dịng điện mạch không nhảy từ tới giá trị cực đại  / R Định luật cảm ứng điện từ Faraday (phương trình 31.1) dùng để mô tả tượng sau Khi xuất dòng điện chạy mạch, đường sức từ dịng điện chảy xun qua diện tích giới hạn vòng dây tạo mạch điện, gây từ thơng qua vịng dây Vì đóng mạch, dòng điện tăng từ đến giá trị cực đại nên từ thơng qua vịng dây Hình 32.1: Hiện tượng tự tăng, sinh suất điện động cảm ứng mạch cảm mạch điện Hướng suất điện động cảm ứng cho gây đơn giản dịng điện cảm ứng vòng dây, mà từ trường dòng điện cảm ứng chống lại thay đổi từ trường ban đầu Do chiều suất điện động cảm ứng ngược với chiều suất điện động nguồn điện, làm cho dòng điện mạch tăng từ từ tăng tức thời đến giá trị cân cuối Do chiều nên suất điện động cảm ứng gọi suất điện động ngược, tương tự suất điện động cảm ứng động thảo luận chương 31 Hiện tượng gọi tượng tự cảm thay đổi từ thông qua mạch suất điện động cảm ứng sinh mạch Suất điện động cảm ứng  L thiết lập trường hợp gọi suất điện động tự cảm Theo định luật Faraday, suất điện động tự cảm trái dấu với tốc độ biến thiên từ thông Từ thông tỉ lệ thuận với từ trường, từ trường lại tỉ lệ thuận với dịng điện mạch Do đó, suất điện động cảm ứng tỉ lệ với tốc độ biến thiên theo thời gian dòng điện Đối với vòng dây bất kì, ta viết tỉ lệ là:  L = − L di dt ( 32.1) Trong L hệ số tỉ lệ, gọi độ tự cảm vịng dây, phụ thuộc vào hình dạng vịng dây đặc trưng vật lí khác Nếu ta xét cuộn dây gồm N vòng đặt sát (một toroid solenoid) mang dòng điện i, từ định luật Faraday ta có  L = −LdB / dt Kết hợp biểu thức với phương trình 32.1 ta có: L= N B i ( 32.2 ) Trong ta giả sử từ thơng qua vịng dây L độ tự cảm cuộn dây Từ phương trình (32.1) ta viết độ tự cảm là: L=− L di / dt ( 32.3) Nhắc lại điện trở số đo chống lại dòng điện cho phương trình 27.6, R = V / I , so sánh ta thấy phương trình (32.3) có dạng tốn học phương trình 27.6, độ tự cảm số đo chống lại biến thiên dòng điện Đơn vị hệ SI độ tự cảm Henry (H), từ phương trình (32.3) ta thấy 1H = V.s/A Độ tự cảm cuộn dây phụ thuộc vào hình dạng nó, tương tự điện dung tụ điện phụ thuộc vào hình dạng tụ phương trình 26.3 điện trở phụ thuộc vào độ dài tiết diện vật dẫn phương trình 27.9 Tính tốn độ tự cảm khó thực vật có hình dạng phức tạp Trong ví dụ xét trường hợp đơn giản độ tự cảm tính dễ dàng Câu hỏi 32.1: Một cuộn dây khơng có điện trở, đầu cuộn dây kí hiệu a b Điện đầu a cao đầu b Phát biểu sau phù hợp với trường hợp này? (a) Dịng điện khơng đổi chạy từ a đến b (b) Dịng điện khơng đổi chạy từ b đến a (c) Dòng điện tăng chạy từ a đến b (d) Dòng điện giảm chạy từ a đến b (e) Dòng điện tăng chạy từ b đến a (f) Dòng điện giảm chạy từ b đến a Bài tập mẫu 32.1: Độ tự cảm solenoid Xét ống dây solenoid gồm N vòng có chiều dài l Giả sử l lớn nhiều so với bán kính ống dây bên ống dây khơng khí (A) Hãy tìm độ tự cảm ống dây solenoid (B) Hãy tính độ tự cảm ống dây solenoid, gồm 300 vịng, chiều dài 25 cm tiết diện ngang ống dây cm2 (C) Hãy tính suất điện động tự cảm ống dây solenoid dòng điện chạy ống dây suy giảm với tốc độ 50,0 A/s Giải: (A) Khái niệm hố: Các đường sức từ vịng dây qua tất vòng cuộn dây, nên suất điện động cảm ứng vòng dây chống lại biến thiên dòng điện Phân loại: Ta phân loại ví dụ tập thay Do cuộn solenoid dài nên ta sử dụng kết solenoid lí tưởng chương 30 Tìm từ thơng qua diện tích A vịng dây, dùng cơng thức tính từ trường 30.14:  B = BA = 0 niA = 0 N iA l Thay biểu thức vào phương trình 32.2: L= N B N2 = 0 A i l ( 32.4) (B) Thay giá trị số vào phươngtrình 32.4: 3002 L = ( 4 10 T  m / A) 4, 00 10−4 m2 ) = 1,8110−4 T  m2 / A = 0,181 mH ( −2 25, 10 m −7 (C) Thay di/dt = -50,0 A/s từ kết phần B:  L = − L di = − (1,8110−4 H ) ( −50, A/ s ) = 9, 05 mV dt Kết phần A cho thấy L phụ thuộc vào hình dạng tỉ lệ với số vịng cuộn dây Vì N = n l ta viết kết dạng: (nl ) L = 0 l A = 0 n Al = 0 n 2V ( 32.5) Trong V = Al thể tích bên solenoid Các mạch RL Nếu mạch điện chứa cuộn dây độ tự cảm cuộn dây ngăn khơng cho dịng điện mạch tăng giảm cách tức thời Một phần tử mạch điện có độ tự cảm lớn gọi cuộn cảm có kí hiệu Ta giả sử độ tự cảm phần lại mạch điện bỏ qua so với độ tự cảm cuộn cảm Tuy nhiên, mạch điện khơng có cuộn cảm, có độ tự cảm làm ảnh hưởng hoạt động mạch điện Vì độ tự cảm cuộn cảm gây suất điện động ngược nên cuộn cảm mạch chống lại thay đổi dòng điện mạch Cuộn cảm cố gắng giữ cho dịng điện ổn định vốn có trước xảy thay đổi Nếu điện áp nguồn điện mạch tăng lên dòng điện tăng lên cuộn cảm chống lại thay đổi tăng dịng điện khơng xảy Nếu điện áp nguồn giảm xuống cuộn cảm gây suy giảm chậm dòng điện suy giảm tức Do đó, cuộn cảm làm cho mạch điện trở nên “chậm chạp” phản ứng lại thay đổi điện áp Xét mạch điện hình 32.2, ta bỏ qua điện trở nội nguồn điện Đây mạch RL Khóa S2 đặt vị trí a b (Nếu khóa S2 Hình 32.2: Mạch RL Khi khóa S2 vị khơng nối với a b dịng điện trí a, nguồn điện mạch mạch dừng lại đột ngột) Giả sử S2 đặt a S1 mở t < sau chuyển qua đóng lúc t = Dịng điện mạch bắt đầu tăng, suất điện động ngược (phương trình 32.1) chống lại tăng dòng điện sinh cuộn cảm Áp dụng quy tắc vòng Kirchhoff cho mạch theo chiều kim đồng hồ ta có:  − iR − L di = dt ( 32.6 ) Trong iR điện áp qua điện trở (Các quy tắc Kirchhoff phát triển cho mạch có dịng điện ổn định, chúng áp dụng cho mạch điện có dịng điện thay đổi ta cho chúng biểu thị mạch điện thời điểm) Ta tìm nghiệm phương trình vi phân này, giống trường hợp mạch RC (xem mục 28.4) Nghiệm tốn học phương trình 32.6 biểu thị dòng điện mạch hàm số thời gian Để tìm nghiệm này, ta đặt x = ( / R) − i , dx = −di Phương trình 32.6 trở thành: x+ L dx =0 R dt Sắp xếp lại số hạng lấy tích phân biểu thức cuối ta có: x t dx R x dx = − L 0 dt ln x R =− t x0 L Trong x0 giá trị x thời điểm t = Lấy e mũ vế ta được: x = x0e− Rt / L Vì i=0 t=0 , từ định nghĩa x ta nhận thấy x0 = ( / R) Vậy ta có:  − i =  e− Rt / L R i= R hay  (1 − e− Rt / L ) R Biểu thức cách mà cuộn cảm ảnh hưởng lên dịng điện Dịng điện khơng tăng tới giá trị cân cuối khóa đóng mà tăng theo hàm e mũ Nếu độ tự cảm loại bỏ khỏi mạch điện, tương ứng với việc cho L tiến tới 0, số hạng e mũ trở thành dòng điện trường hợp không phụ thuộc vào thời gian; dịng điện tăng tức tới giá trị cực đại khơng có độ tự cảm Ta viết biểu thức là: i=  (1 − e−t / ) R ( 32.7 ) Trong số τ số thời gian mạch RL: = L R ( 32.8) Về mặt vật lý, τ khoảng thời gian cần thiết để dòng điện mạch đạt tới (1 − e−1 ) = 0, 632 = 63, % giá trị cực đại R/L Hằng số thời gian tham số hữu ích để so sánh thời gian phản hồi mạch khác Hình 32.3 đồ thị dòng điện theo thời gian mạch RL Giá trị cân mạch, xảy t tiến tới vô cùng,  R Điều thấy cách đặt di/dt = phương trình 32.6 giải dịng điện i (Khi cân biến thiên dịng điện 0) Do dịng điện ban đầu tăng nhanh sau tiến dần tới giá trị cân  R t tiến tới vô Hình 32.3: Đồ thị dịng điện theo thời gian mạch RL hình 32.2 Hằng số thời gian τ khoảng thời gian cần thiết để i đạt 63,2% giá trị cực đại Hình 32.4: Đồ thị di/dt theo thời gian mạch RL hình 32.2 Tốc độ giảm theo hàm e mũ theo thời gian i tiến tới giá trị cực đại Ta khảo sát tốc độ biến thiên dòng điện theo thời gian Lấy đạo hàm bậc phương trình 32.7 theo thời gian, ta có: di  − t / = e dt R ( 32.9 ) Kết cho thấy tốc độ biến thiên theo thời gian dòng điện cực đại (bằng  R ) t = giảm theo hàm mũ khơng t tiến tới vơ (hình 32.4) Bây ta xét lại mạch RL hình 32.2 Giả sử khóa S2 đặt vị trí a đủ lâu (và khóa S1 cịn đóng) phép dòng điện đạt tới giá trị cân  R Trong trường hợp này, mạch điện mơ tả vịng ngồi hình 32.2 Nếu S2 chuyển từ a sang b, mạch điện lúc mơ tả vịng bên phải hình 32.2 Do nguồn điện loại bỏ khỏi mạch Đặt  = phương trình 32.6 ta có: iR + L di =0 dt Nghiệm phương trình vi phân là: i= Trong Ii  = R  e−t / = I e−t / R i ( 32.10 )  suất điện động nguồn dòng điện ban đầu thời điểm khóa S2 đặt b Nếu mạch điện khơng chứa cuộn cảm, dịng điện giảm nguồn điện ngắt Khi có cuộn cảm, chống lại giảm dịng điện làm cho dòng điện giảm theo hàm mũ Đồ thị dịng điện mạch theo thời gian (hình 32.5) cho thấy dòng điện giảm theo thời gian cách liên tục Hình 32.5: Đồ thị dịng điện theo thời gian vòng bên tay phải mạch điện hình 32.2 Lúc t < khóa S2 vị trí a Câu hỏi 32.2: Xét mạch điện hình 32.2 với khố S1 mở khố S2 vị trí a Bây đóng khố S1 (i) Tại thời điểm đóng mạch điện áp qua phần tử dòng điện với suất điện động nguồn điện ? (a) điện trở, (b) cuộn cảm, (c) cuộn cảm điện trở (ii) Một thời dài sau đóng mạch điện áp qua phần tử dòng điện với suất điện động nguồn điện ? (a) điện trở, (b) cuộn cảm, (c) cuộn cảm điện trở Bài tập mẫu 32.2 Hằng số thời gian mạch RL Xét lại mạch điện hình 32.2 Giả sử phần tử mạch điện có giá trị sau:  = 12V , R = , L = 30 mH (A) Hãy tìm số thời gian mạch điện Giải: Từ cơng thức 32.8 ta có số thời gian là: L 30, 10−3 H = = = 5, ms R 6,  (B) Tại thời điểm ban đầu t = 0, khố S1 đóng, khố S2 vị trí a Hãy tính dịng điện mạch thời điểm t = 2,0 ms Giải: Dòng điện mạch thời điểm t = 2,0 ms xác định từ công thức 32.7: i=  (1 − e−t / ) = 12, 0V (1 − e−2,0 ms/5,0 ms ) = 0, 659 A 6,  R (C) Hãy so sánh điện áp qua điện trở điện áp qua cuộn cảm Giải: Tại thời điểm đóng khố S1 đóng, dịng điện mạch điện áp qua điện trở Tại thời điểm điện áp ắc quy qua cuộn cảm dạng suất điện động ngược có độ lớn 12,0 V cuộn cảm cố gắng trì trạng thái dịng điện Sau suất điện động qua cuộn cảm giảm điện áp qua điện trở tăng Tổng hai điện áp 12 V Năng lượng từ trường Nguồn điện mạch điện chứa cuộn cảm phải cung cấp nhiều lượng nguồn điện mạch khơng có cuộn cảm Xét hình 32.2 với khóa S2 vị trí a Khi khóa S1 đóng, phần lượng nguồn điện cung cấp xuất nội điện trở mạch, phần lượng lại lưu trữ từ trường cuộn cảm Nhân số hạng phương trình 32.6 với i xếp lại số hạng, ta có: i = i R+Li di dt ( 32.11) Biết i tốc độ cung cấp lượng nguồn điện, i R tốc độ cung cấp lượng cho điện trở, ta thấy Li di phải biểu diễn tốc độ mà lượng tích trữ dt cuộn cảm Nếu U lượng tích trữ cuộn cảm thời điểm tốc độ tích trữ lượng dU/dt là: dU di = Li dt dt Để tìm lượng tồn phần tích trữ cuộn cảm thời điểm bất kì, ta bỏ dt mẫu số phương trình lấy tích phân: I I 0 U =  dU =  Lidi = L  idi U= LI ( 32.12 ) lượng tích trữ cuộn cảm, L số đưa ngồi dấu tích phân Phương trình 32.12 biểu diễn lượng tích trữ từ trường cuộn cảm dịng điện I Nó có dạng tương tự với phương trình U = C ( V ) lượng tích trữ điện trường tụ điện Ta xác định mật độ lượng từ trường Để đơn giản, ta xét ống dây solenoid có độ tự cảm cho phương trình 32.5 Từ trường ống dây solenoid tính theo phương trình 30.14: B = 0 ni Thay biểu thức L i = B / 0 n vào phương trình 32.12 ta có:  B  1 B2 U B = Li = 0 n 2V  = V  2  n    ( 32.13) Mật độ lượng từ trường, hay lượng tích trữ đơn vị thể tích từ trường cuộn cảm uB = uB = UB , hoặc: V B2 0 ( 32.14 ) mật độ lượng từ trường Mặc dù biểu thức rút từ trường hợp đặc biệt ống dây solenoid, vùng khơng gian có từ trường Phương trình 32.14 có dạng tương tự phương trình uE =  E lượng điện trường tích trữ đơn vị thể tích Trong hai trường hợp, mật độ lượng tỉ lệ thuận với bình phương độ lớn trường Câu hỏi 32.3: Giả sử bạn thực thí nghiệm u cầu mật độ lượng từ trường bên solenoid lớn tốt Solenoid dài mang dòng điện Sự điều chỉnh làm tăng mật độ lượng từ trường? (Có thể có nhiều câu trả lời đúng.) (a) Tăng số vòng đơn vị độ dài solenoid (b) tăng tiết diện solenoid (c) tăng chiều dài solenoid giữ cố định số vòng dây đơn vị dài (d) tăng dòng điện chạy qua solenoid Bài tập mẫu 32.3 Điều xảy với lượng cuộn cảm? Xét lại mạch điện RL hình 32.2, với khố S2 vị trí a dịng điện mạch đạt tới giá trị cực đại ổn định Khi S2 chuyển qua vị trí b, dịng điện vòng mạch bên phải giảm theo hàm mũ theo công thức i = Ii e−t / Hãy chứng tỏ tất lượng lúc đầu tích trữ từ trường cuộn cảm chuyển thành nội điện trở dòng điện giảm Giải: Khi khố S2 vị trí a, lượng từ ắc quy cung cấp cho điện trở với tốc độ khơng đổi phần tích trữ từ trường cuộn cảm Khi S2 chuyển qua vị trí b, ắc quy khơng cịn cung cấp lượng cho điện trở mà cuộn cảm cung cấp lượng cho điện trở Ta xét hệ mạch vịng bên phải, hệ lập nên lượng trao đổi thành phần hệ Năng lượng cung cấp cho điện trở xuất dạng nội điện trở Từ phương trình 27.19 để ý tốc độ biến thiên nội điện trở công suất cung cấp cho điện trở: dEint = P = i2 R dt Thay cơng thức dịng điện (32.10) vào phương trình ta được: dEint = P = ( I i e − Rt /L ) R = I i2 Re−2 Rt /L dt Tính dEint tích phân từ t = đến t →  ta được:    L  Eint =  I i2 Re−2 Rt /L dt =I i2 R  e−2 Rt /L dt = I i2 R   = LI i 0  2R  Năng lượng lượng ban đầu từ trường cuộn cảm Bài tập mẫu 32.4 Cáp đồng trục Cáp đồng trục thường dùng để kết nối thiết bị điện tử thu tín hiệu hệ thống cáp tivi Mơ hình hố dây cáp đồng trục gồm vật dẫn vỏ hình trụ mỏng dẫn điện bán kính b ghép đồng trục với ruột hình trụ đặc bán kính a hình 32.7 Các vật dẫn mang dịng điện độ lớn I ngược chiều Hãy tính độ tự cảm L đoạn cáp có chiều dài l Giải: Ta phải tính từ thơng qua hình chữ nhật màu vàng nhạt hình 32.7 Theo định luật Ampe, từ thông từ trường B = 0 I / 2 r vật dẫn bên gây Ta chia hình chữ nhật thành phần nhỏ hình chữ nhật có bề rộng dr Từ thơng qua phần nhỏ là: Hình 32.7 Bài tập mẫu 32.4 d B = B dA = Bl dr Thay vào biểu thức tính từ trường tích phân tồn diện tích hình chữ nhật màu vàng nhạt ta được: B =  b a 0 i  il b dr 0il  b  ldr =  = ln   2 r 2 a r 2  a  Sử dụng công thức 32.2 ta tính độ tự cảm dây cáp: 10 Các dao động mạch LC Hình 32.10: Mạch LC đơn giản Tụ điện có điện tích ban đầu Qmax, khóa S mở t < sau đóng t = Khi tụ điện nối với cuộn cảm minh họa hình 32.10 tổ hợp mạch LC Nếu ban đầu tụ điện tích điện sau khóa S đóng, dịng điện mạch điện tích tụ điện dao động giá trị âm dương giá trị cực đại chúng Nếu điện trở mạch khơng khơng có lượng chuyển hóa thành nội Trong phân tích điện trở mạch bỏ qua Ta lí tưởng hóa lượng khơng bị xạ khỏi mạch Cơ chế xạ thảo luận chương 34 Giả sử tụ điện có điện tích ban đầu Qmax (điện tích cực đại), khóa mở t < sau đóng thời điểm t = Ta khảo sát điều xảy theo quan điểm lượng Khi tụ điện nạp đầy, lượng U mạch tích trữ điện trường tụ điện Qm2ax / 2C Tại thời điểm dịng điện mạch khơng; đó, khơng có lượng tích trữ cuộn cảm Sau khóa S đóng, tốc độ điện tích rời khỏi vào tụ (cũng tốc độ thay đổi điện tích tụ) dịng điện mạch Sau khóa đóng tụ điện bắt đầu phóng điện, lượng tích trữ điện trường tụ suy giảm Sự phóng điện tụ điện tương ứng với dòng điện mạch, lúc phần lượng tích trữ từ trường cuộn cảm Do lượng chuyển từ điện trường tụ điện sang từ trường cuộn cảm Khi tụ phóng hết điện tích khơng tích trữ lượng Lúc dòng điện đạt tới giá trị cực đại tất lượng mạch tích trữ cuộn cảm Dòng điện tiếp tục chạy theo chiều cũ, giảm độ lớn; tụ điện cuối nạp đầy lại, phân cực tụ ngược với phân cực ban đầu Quá trình phóng điện khác mạch trở lại tới trạng thái điện tích cực đại Qmax ban đầu phân cực tụ hình 32.10 Năng lượng tiếp tục dao động cuộn cảm tụ điện 13 Các dao động mạch LC dao động điện từ, tương tự dao động chất điểm chuyển động điều hịa đơn giản tìm hiểu chương 15 Phần lớn điều thảo luận áp dụng cho dao động LC Ví dụ, ta nghiên cứu tác động việc phát động dao động tử học ngoại lực dẫn đến tượng cộng hưởng Hiện tượng cộng hưởng quan sát mạch LC (xem mục 33.7) Hình 32.11: Sự chuyển đổi lượng mạch LC khơng có điện trở khơng xạ Tụ điện có điện tích Qmax t = 0, thời điểm khóa S hình 32.10 đóng Mạch dao động tương tự dao động điều hòa chất điểm học, biểu thị hệ vật-lò xo bên phải hình vẽ (a)-(d) Tại thời điểm đặc biệt, tất lượng mạch tập trung trong phần tử mạch điện (e) Tại thời điểm bất kì, lượng phân chia tụ điện cuộn cảm 14 Sự truyền lượng mạch LC mơ tả hình 32.11 Hoạt động mạch tương tự hoạt động chất điểm dao động điều hòa nghiên cứu chương 15 Ví dụ, xét hệ vật – lị xo với dao động hệ biểu thị phần bên phải hình 32.11 Thế ½kx2 tích trữ lị xo bị kéo dãn tương tự Qm2ax / 2C tích trữ tụ điện hình 32.11 Động ½mv2 vật chuyển động tương tự lượng từ trường ½Li2 tích trữ cuộn cảm, u cầu có điện tích chuyển động Trên hình 32.11a, tất lượng tích trữ dạng điện trường tụ điện t = (vì i = 0), giống tất lượng hệ vật – lị xo ban đầu tích trữ lị xo bị kéo dãn thả t = Trên hình 32.11b, tất lượng tích trữ lượng từ trường LI max cuộn cảm, Imax dịng điện cực đại Các hình 32.11c 32.11d mơ tả tình xảy sau ¼ chu kì lượng tất lượng điện trường lượng từ trường Tại điểm trung gian, phần lượng điện trường, phần từ trường Xét thời điểm t sau khóa S đóng cho tụ điện có điện tích q < Qmax dòng điện i < Imax Tại thời điểm tụ điện cuộn cảm tích trữ lượng hình 32.11e, tổng lượng điện trường lượng từ trường phải lượng tồn phần U lúc đầu tích trữ tụ điện nạp đầy t = 0: U = UE +UB = q 2 Qm2 ax + Li = 2C 2C ( 32.18) lượng tồn phần tích trữ mạch LC Vì ta giả sử điện trở mạch khơng bỏ qua xạ điện từ nên lượng chuyển thành nội truyền khỏi hệ mạch điện Do đó, với giả thiết hệ mạch điện cô lập: lượng tồn phần hệ khơng đổi theo thời gian Ta mô tả lượng không thay đổi hệ mặt toán học cách đặt dU/dt = Do đó, cách lấy đạo hàm phương trình 32.18 theo thời gian với ý q i thay đổi theo thời gian ta có: dU d  q 2  q dq di =  + Li  = + Li = dt dt  2C dt  C dt ( 32.19 ) Ta viết phương trình phương trình vi phân biến, dịng điện mạch với tốc độ thay đổi điện tích tụ điện: i = dq/dt, nên di d q Thay mối = dt dt liên hệ vào phương trình 32.19 ta có: q d 2q +L =0 C dt d 2q =− q dt LC ( 32.20 ) 15 Giải phương trình ẩn số q cách lưu ý phương trình có dạng với phương trình chất điểm chuyển động điều hòa là: d 2x k = − x = − x dt m Trong k độ cứng lị xo, m khối lượng vật  = k / m Nghiệm phương trình có dạng tổng quát là: x = Acos (t +  ) Trong A biên độ chuyển động điều hòa đơn giản (giá trị cực đại x),  tần số góc chuyển động này,  số pha; giá trị A  phụ thuộc vào điều kiện ban đầu Vì phương trình 32.20 có dạng tốn học với phương trình vi phân dao động tử điều hịa đơn giản, nên có nghiệm: q = Qmax cos (t +  ) ( 32.21) Trong Qmax điện tích cực đại tụ điện, tần số góc là: = LC ( 32.22 ) Chú ý tần số góc dao động phụ thuộc vào độ tự cảm điện dung mạch Phương trình 32.22 cho ta tần số riêng dao động mạch LC Vì q thay đổi hình sin theo thời gian nên dòng điện mạch thay đổi theo hình sin Ta cách lấy vi phân phương trình 32.21 theo thời gian: i= dq = −Qmax sin (t +  ) dt ( 32.23) Để xác định giá trị góc pha, ta kiểm tra điều kiện ban đầu, địi hỏi t = 0, i = q = Qmax Đặt i = t = phương trình 32.23 ta có: = −Qmax sin cho thấy  =0 Giá trị  phù hợp với phương trình 32.21 điều kiện q=Qmax t=0 Do đó, trường hợp biểu thức i q là: q = Qmax cost ( 32.24 ) i = −Qmax sint = − I max sint ( 32.25) Các đồ thị q theo t i theo t cho hình 32.12 Điện tích tụ điện dao động cực trị Qmax –Qmax, dòng điện dao động cực trị Imax –Imax Hơn nữa, dịng điện lệch pha 900 so với điện tích Tức điện tích cực đại dịng điện khơng, điện tích khơng dịng điện cực đại Trở lại thảo luận lượng mạch LC Thay phương trình 32.24 32.25 vào phương trình 32.18, ta thấy lượng tồn phần là: 16 U = UE +UB = Qm2 ax cos 2t + LI m2 ax sin 2t 2C ( 32.26 ) Phương trình chứa tất đặc trưng mơ tả cách định tính phần đầu mục Nó lượng mạch LC dao động cách liên tục lượng tích trữ điện trường tụ điện lượng tích trữ từ trường cuộn cảm Khi lượng tích trữ tụ điện đạt giá trị cực đại Qm2ax / 2C lượng tích trữ cuộn cảm khơng Khi lượng tích trữ cuộn cảm đạt giá trị cực đại LI max lượng tích trữ tụ điện khơng Hình 32.12: Các đồ thị điện tích dòng điện theo thời gian mạch LC khơng có điện trở khơng xạ Hình 32.13: Các đồ thị UE UB theo thời gian mạch LC khơng có điện trở khơng xạ Các đồ thị biến thiên theo thời gian UE UB cho hình 32.13 Tổng UE + UB số lượng toàn phần Qm2ax / 2C LI max Việc kiểm tra lại không phức tạp Các biên độ hai đồ thị hình 32.13 phải lượng cực đại tích trữ tụ điện (khi i=0) phải lượng cực đại tích trữ cuộn cảm (khi q=0) Sự cân biểu diễn toán học là: 17 Qm2 ax = LI max 2C Sử dụng biểu thức phương trình 32.26 lượng tồn phần ta có: Qm2 ax Qm2 ax 2 U= ( cos t + sin t ) = 2C 2C ( 32.27 ) Trong trường hợp lí tưởng hóa ta, dao động mạch tiếp tục cách vô hạn; nhiên lượng tồn phần U mạch khơng đổi xạ lượng chuyển hóa lượng thành nhiệt bỏ qua Các mạch thực tế ln có giá trị điện trở phần lượng bị chuyển hóa thành nội Ta nói phần đầu mục bỏ qua xạ từ mạch Trong thực tế, xạ tránh kiểu mạch này, lượng toàn phần mạch liên tục suy giảm trình xạ Câu hỏi 32.5: (i) Tại thời điểm trình mạch LC dao động, dòng điện đạt giá trị cực đại Tại thời điểm điều xảy với điện áp qua tụ điện? (a) Nó khác điện áp qua cuộn cảm (b) Nó (c) Nó đạt giá trị cực đại (d) Không thể xác định (ii) Bây xét thời điểm mà dịng điện có giá trị tức thời Tại thời điểm điều xảy với độ lớn điện áp qua tụ điện? (a) Nó khác điện áp qua cuộn cảm (b) Nó (c) Nó đạt giá trị cực đại (d) Không thể xác định Bài tập mẫu 32.6: Các dao động mạch LC Trên hình 32.14, ắc quy có suất điện động 12 V, độ tự cảm cuộn dây 2,81 mH điện dung tụ điện 9,0 pF Khoá S đặt vị trí a thời gian dài tụ điện nạp đầy Bây chuyển khố S sang vị trí b, ngắt ắc quy khỏi mạch điện nối trực tiếp tụ điện với cuộn cảm (A) Hãy tìm tần số dao động mạch (B) Hỏi giá trị cực đại điện tích dịng điện mạch? Hình 32.14: Ban đầu tụ điện nạp đầy với khố S vị trí a Sau khố S chuyển sang vị trí b, ắc quy bị ngắt khỏi mạch Giải: (A) Khi chuyển khố S sang vị trí b phần hoạt động mạch vòng bên phải, mạch LC Tần số dao động mạch tính theo cơng thức 32.22: f =  = 2 2 LC Thay số ta được: 18 f = 2 ( 2,8110 H )( 9, 10 −3 −12 F )  12 = 1, 106 Hz (B) Điện tích cực đại điện tích ban đầu tụ điện: Qmax = C V = ( 9, 10−12 F ) (12V ) = 1, 08 10−10 C Dòng điện cực đại tính từ điện tích cực đại theo phương trình 32.25: I max =  Qmax = 2 f Qmax = ( 2 106 s −1 )(1, 08 10−10 C ) = 6, 79 10−4 A Mạch RLC Hình 32.15: Mạch RLC nối tiếp Một mạch thực tế gồm điện trở, cuộn cảm tụ điện mắc hình 32.15 Giả sử điện trở điện trở điện trở mạch Giả sử khóa S vị trí a cho điện tích lúc đầu tụ điện Qmax Bây khóa S chuyển sang vị trí b Lúc lượng tồn phần tích trữ tụ điện cuộn cảm Qm2ax / 2C Tuy nhiên lượng tồn phần khơng cịn số trường hợp mạch LC điện trở gây chuyển lượng thành nội (Ta tiếp tục bỏ qua xạ lượng từ mạch trường hợp này) Do tốc độ chuyển hóa lượng thành nội bên điện trở i2R nên: dU = −i R dt Dấu âm biểu thị lượng U mạch giảm theo thời gian Thay U = UE+UB ta có: q dq di + Li = −i R C dt dt ( 32.28) 19 Để chuyển phương trình dạng cho phép so sánh dao động điện với dao động cơ, trước tiên ta dùng i = dq/dt đưa tất số hạng sang vế trái để thu được: Li d 2q q +i R+ i = dt C Bây chia cho i: d 2q q L + iR + = dt C L d 2q dq q +R + =0 dt dt C ( 32.29 ) Mạch RLC tương tự dao động tử điều hòa tắt dần thảo luận mục 15.6 Phương trình chuyển động hệ vật-lò xo dao động tắt dần là: m d 2x dx + b + kx = dt dt ( 32.30) So sánh phương trình 32.29 32.30 ta thấy q tương ứng với vị trí x vật thời điểm bất kì, L tương ứng với khối lượng m vật, R tương ứng với hệ số tắt dần b, C tương ứng với 1/k, k độ cứng lị xo Các mối liên hệ số mối liên hệ khác liệt kê bảng 32.1 Bảng 32.1: Sự tương tự mạch RLC chất điểm dao động điều hòa đơn giản Chất điểm dao động điều hịa chiều đơn giản Mạch RLC Điện tích qx Vị trí Dịng điện i  vx Vận tốc V  Fx Hiệu điện R b Điện trở Điện dung C  1/ k Độ tự cảm Lm Dòng điện = đạo hàm theo thời gian điện tích Tốc độ thay đổi dòng điện = đạo hàm bậc theo thời gian điện tích Năng lượng cuộn cảm i= dq dx  vx = dt dt dv di d q d 2x =  ax = x = dt dt dt dt UB = LI  K = mv 2 Lực Hệ số tắt dần nhớt k = độ cứng lò xo Khối lượng Vận tốc = đạo hàm theo thời gian vị trí Gia tốc = đạo hàm bậc theo thời gian vị trí Động vật chuyển động 20 Năng lượng tụ điện UE = Tốc độ lượng điện trở Mạch RLC Thế tích trữ lò xo q2  U = k x2 2C Tốc độ mát lượng ma sát i R  bv L Vật-lò xo dao động tắt dần d 2q dq q d 2x dx + R + =  m + b + kx = 2 dt dt C dt dt Vì nghiệm giải tích phương trình 32.29 cồng kềnh, nên ta đưa mơ tả định tính hoạt động mạch Trong trường hợp đơn giản nhất, R = 0, phương trình 32.29 trở thành phương trình mạch LC đơn giản, điện tích dịng điện dao động hình sin theo thời gian Trường hợp tương đương với việc loại trừ tất tắt dần dao động tử học Khi R nhỏ, trường hợp tương tự tắt dần chậm dao động tử học, nghiệm phương trình 32.29 là: q = Qmax e− Rt /2 L cosd t ( 32.31) Trong d tần số góc dao dộng mạch, cho bởi: 1/2   R 2  d =  −    LC  L   ( 32.32 ) Tức giá trị điện tích tụ điện dao động điều hòa tắt dần tương tự hệ vật-lò xo chuyển động mơi trường nhớt Phương trình 32.32 R 4L / C (để số hạng thứ dấu ngoặc vuông nhỏ số hạng đầu) tần số d dao động tử tắt dần gần với tần số dao động tử khơng tắt dần, 1/ LC Vì i = dq/dt nên dòng điện chịu dao động điều hòa tắt dần Đồ thị điện tích theo thời gian dao động tử tắt dần cho hình 32.16a, hình chụp từ máy sóng mạch RLC thực tế cho hình 32.16b Giá trị cực đại q giảm sau dao động, giống biên độ dao động hệ vật-lò xo giảm theo thời gian Đối với giá trị R lớn, dao động suy giảm nhanh hơn; thực tế có tồn giá trị điện trở tới hạn RC = L / C mà giá trị khơng xảy dao động Một hệ có R = RC nói tắt dần tới hạn Khi R vượt RC, hệ nói tắt dần 21 Tóm tắt chương 32 Các khái niệm nguyên lý Khi dòng điện vòng dây thay đổi theo thời gian, suất điện động sinh vòng dây theo định luật Faraday Suất điện động tự cảm là:  L = − L di dt ( 32.1) L độ tự cảm cuộn dây Độ tự cảm độ đo mức độ mà cuộn dây chống lại thay đổi dòng điện cuộn dây Độ tự cảm có đơn vị hệ SI Henry (H), đó: 1H=1 V s/A Độ tự cảm cuộn dây là: L= N B i ( 32.2 ) Trong N tổng số vịng cuộn dây, B từ thơng qua cuộn dây Độ tự cảm thiết bị phụ thuộc hình dạng Ví dụ, độ tự cảm ống dây solenoid bên chứa khơng khí là: N2 A l L = 0 (32.4) Trong l chiều dài A tiết diện ống dây Nếu điện trở cuộn cảm nối tiếp với nguồn điện có suất điện động  thời điểm t=0 dịng điện mạch thay đổi theo thời gian theo biểu thức: i=  (1 − e−t / ) ( 32.7 ) R Trong τ số thời gian mạch RL Nếu ta thay nguồn điện mạch dây dẫn khơng có điện trở dịng điện suy giảm theo hàm mũ e theo thời gian theo biểu thức: i= Trong  e−t / R (32.10) ε / R dòng điện ban đầu mạch điện Năng lượng tích trữ từ trường cuộn cảm mang dòng điện i là: UB = LI (32.12) Năng lượng lượng từ trường tương ứng với lượng tích trữ điện trường tụ điện tích điện 22 Mật độ lượng điểm có từ trường B là: uB = B2 0 (32.14) Hệ số hỗ cảm hệ gồm hai cuộn dây là: M12 = N 12 N = M 21 = 21 = M i1 i2 (32.15) Hệ số hỗ cảm cho phép liên hệ suất điện động cảm ứng cuộn dây với thay đổi dòng điện nguồn cuộn dây bên cạnh dùng mối lien hệ:  = − M12 di1 dt 1 = − M 21 di2 ( 32.16,32.17 ) dt Trong mạch LC có điện trở khơng khơng xạ điện từ (một trường hợp lí tưởng), giá trị điện tích tụ điện dịng điện mạch biến đổi hình sin theo thời gian theo tần số góc cho bởi: = LC ( 32.22 ) Năng lượng mạch LC chuyển hóa liên tục lượng tích trữ tụ điện lượng tích trữ từ trường Trong mạch RLC có điện trở nhỏ, điện tích tụ điện thay đổi theo thời gian theo công thức: q = Qmax e− Rt /2 Lcosd t (32.31) Trong đó: 1/2   R 2  d =  −    LC  L   (32.32) 23 Câu hỏi lý thuyết chương 32 Các thông số ảnh hưởng đến độ tự cảm cuộn dây? Độ tự cảm cuộn dây có phụ thuộc vào dịng điện chạy cuộn dây khơng? Một cuộn cảm khơng có điện trở lúc đầu mang dịng điện ổn định Sau dịng điện tăng lên gấp đôi giữ ổn định Hỏi điều xảy với suất điện động cuộn cảm? (a) Tăng lần (b) tăng lần (c) giữ nguyên không đổi (d) (e) giảm so với trước Giả sử dịng điện mạch gồm có nguồn điện, điện trở cuộn cảm đạt giá trị cực đại ổn định (a) Cuộn cảm có độ tự cảm khơng? (b) Cuộn cảm có ảnh hưởng đến giá trị dịng điện khơng? Xét mạch điện LC hình vẽ Sau đóng khố S, có thời điểm điện tích tụ điện có thời điểm điện tích tụ điện khác khơng Hãy giải thích lại vậy? Xét mạch điện hình vẽ Lúc đầu khố S mở, tụ điện chưa tích điện mạch khơng có dịng điện Tại thời điểm t = khố S đóng Hãy xác định dòng điện chạy qua cuộn cảm, tụ điện, điện trở; suất điện động cuộn cảm; hiệu điện tụ điện điện trở (a) sau khố S đóng (b) lâu sau khố S đóng Bài tập chương 32 Một cuộn dây có độ tự cảm 3,0 mH, dịng điện cuộn dây thay đổi từ 0,2 A đến 1,5 A khoảng thời gian 0,2 s Hãy tìm độ lớn suất điện động cảm ứng trung bình cuộn dây khoảng thời gian ĐS: 19,5 mV Một cuộn cảm có độ tự cảm 2,0 H mang dịng điện 0,5 A Khi khố mạch mở, dòng điện giảm sau 10,0 ms Hỏi suất điện động cảm ứng trung bình cuộn cảm khoảng thời gian này? ĐS: 100 V Một ống dây solenoid có bán kính 2,5 cm, dài 20,0 cm, gồm 400 vịng Hãy tìm (a) độ tự cảm solenoid (b) tốc độ biến thiên dòng điện solenoid để sinh suất điện động 75,0 mV ĐS: 1,97 mH; 38 mA/s Một cuộn cảm có độ tự cảm 90,0 mH mang dịng điện biến thiên theo thời gian theo công thức i = 1,0t2 – 6,0t i tính theo A t tính theo giây Hãy tìm độ lớn 24 suất điện động cảmứng (a) t = 1,0 s (b) t = 4,0 s (c) Tại thời điểm suất điện động 0? ĐS: 360 mV; 180 mV; 3,0 s Một ắc quy 12,0 V mắc vào mạch điện gồm điện trở 10,0  nối tiếp với cuộn cảm 2,0 H Hỏi sau dịng điện mạch đạt tới (a) 50,0 % (b) 90,0 % giá trị cuối nó? ĐS: 0,139 s; 0,461 s Một mạch RL cuộn cảm có độ tự cảm L = 3,0 H mạch RC tụ điện có điện dung C = 3,0 F Hai mạch có số thời gian Nếu điện trở mạch (a) Hãy tính giá trị điện trở (b) số thời gian mạch điện ĐS: 1000  ; ms Xét mạch điện hình vẽ (a) Khi khố vị trí a điện trở phải có giá trị để mạch có số thời gian 15,0 s (b) Hỏi dòng điện cuộn cảm thời điểm khố chuyển sang vị trí b? Hình tập ĐS: 1290  ; 72 mA Xét mạch điện hình vẽ Cho L = 7,0 H, R = 9,0  điện động tự cảm mạch sau 0,2 s kể từ đóng khố S?  =120,0 V Hỏi suất Hình tập tập 9 Xét mạch điện hình vẽ Cho L = 8,0 mH, R = 4,0   = 6,0 V (a) Hỏi số thời gian mạch? (b) Hãy tính dịng điện sau 250  s kể từ đóng khố S 25 (c) Hãy tính giá trị dịng điện cực đại mạch ổn định (d) Sau dịng điện mạch đạt 80% giá trị cực đại nó? ĐS: ms; 0,176 A; 1,5 A; 3,22 ms 10 Hãy tính lượng từ trường ống dây solenoid 200 vòng mang dòng điện 1,75 A từ thơng qua vịng dây 3,7  10−4 T.m2 ĐS: 64,8 mJ 11 Một ắc quy 24,0 V mắc nối tiếp với điện trở cuộn cảm Biết R =  , L = 4,0 H Hãy tìm lượng từ trường tích trữ cuộn cảm (a) dịng điện đạt giá trị cực đại (b) thời điểm số thời gian mạch kể từ đóng mạch ( t =  ) ĐS: 18 J; 7,19 J 12 Từ trường bên solenoid siêu dẫn 4,5 T Solenoid có chiều dài 26,0 cm đường kính 6,2 cm Hãy xác định (a) mật độ lượng từ trường (b) lượng từ trường bên solenoid ĐS: 8,06 MJ; 6,32 kJ 13 Một suất điện động 96,0 mV sinh bên cuộn dây dòng điện cuộn dây bên cạnh tăng với tốc độ 1,2 A/s Hỏi hệ số hỗ cảm cuộn dây này? ĐS: 80 mH 14 Hai cuộn dây đặt gần Cuộn thứ mang dòng điện phụ thuộc thời gian theo công thức i ( t ) = 5, 0e−0,025t sin120  t , i tính Ampe t tính giây Tại thời điểm t = 0,80 s, suất điện động đo cuộn dây thứ hai -3,2 V Hỏi hệ số hỗ cảm cuộn dây bao nhiêu? ĐS: 1,73 mH 15 Cho mạch điện hình vẽ Suất điện động ắc quy 50,0 V, điện trở 250,0  điện dung 0,50  F Khố S đóng khoảng thời gian dài, hiệu điện tụ điện Sau khoá S mở, hiệu điện tụ điện tăng tới giá trị cực đại 150,0 V Hãy tìm độ tự cảm cuộn dây Hình tập 15 Hình tập 16 26 16 Xét mạch điện hình vẽ Cho R = 7,6  , L = 2,2 mH, C= 1,8  F (a) Hãy tính tần số dao động tắt dần mạch khoá S chuyển sang vị trí b (b) Hãy tìm giá trị điện trở tới hạn dao động tắt dần ĐS: 2510 Hz; 69,9  17 Cho mạch điện hình vẽ Khi dịng điện phần mạch điện có giá trị 2,0 A tăng với tốc độ 0,5 A/s điện áp đo Vab = 9,0 V Khi dịng điện phần mạch điện có giá trị 2,0 A giảm với tốc độ 0,5 A/s điện áp đo Vab = 5,0 V Hãy tính giá trị (a) L (b) R Hình tập 17 ĐS: H; 3,5  18 Cho mạch điện hình vẽ Tại thời điểm t = khố S đóng Ta cần tìm cơng thức mơ tả dịng điện cuộn cảm thời điểm t > Gọi dịng điện i hình vẽ chạy theo chiều từ xuống Gọi i1 dòng điện chạy từ trái sang phải qua R1, i2 dòng điện chạy từ xuống qua R2 (a) Hãy sử dụng quy tắc nút Kirchhoff để tìm mối liên hệ dòng điện (b) Hãy viết biểu thức quy tắc vòng Kirchhoff cho vòng mạch bên trái (c) Hãy viết biểu thức quy tắc vịng Kirchhoff cho vịng mạch ngồi (d) khử i1 i2 từ phương trình để thu biểu thức chứa dòng điện i (e) So sánh phương trình thu phần (d) với phương trình 32.6 phần lý thuyết Từ so sánh viết lại phương trình 32.7 tình tập chứng tỏ rằng: i (t ) =  R1 (1 − e− R t / L ) R ' = ' R1 R2 R1 + R2 Hình tập 18 27 ... gian theo công thức: q = Qmax e− Rt /2 Lcosd t (32. 31) Trong đó: 1/2   R 2  d =  −    LC  L   (32. 32) 23 Câu hỏi lý thuyết chương 32 Các thông số ảnh hưởng đến độ tự cảm cuộn dây?... Hình 32. 3: Đồ thị dịng điện theo thời gian mạch RL hình 32. 2 Hằng số thời gian τ khoảng thời gian cần thiết để i đạt 63,2% giá trị cực đại Hình 32. 4: Đồ thị di/dt theo thời gian mạch RL hình 32. 2... gian (hình 32. 5) cho thấy dịng điện giảm theo thời gian cách liên tục Hình 32. 5: Đồ thị dòng điện theo thời gian vòng bên tay phải mạch điện hình 32. 2 Lúc t < khóa S2 vị trí a Câu hỏi 32. 2: Xét