Về chuyển động của chất điểm dưới tác động của hàm điều khiển đa thức

Bài viết Về chuyển động của chất điểm dưới tác động của hàm điều khiển đa thức tiến hành xem xét chuyển động của một chất điểm trong mặt phẳng với phương trình chuyển động được mô tả bởi hệ dừng động học tuyến tính (hệ điều khiển được) dạng x’(t)=Bx(t)+Du(t).

Lê Hải Trung 124 VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA HÀM ĐIỀU KHIỂN ĐA THỨC ABOUT THE MOTION OF OBJECT UNDER THE INFLUENCE OF POLYNOMIAL CONTROLLIBILITY FUNCTION Lê Hải Trung Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng; trungybvnvr@yahoo.com Tóm tắt - Vấn đề xây dựng hàm trạng thái hàm điều khiển dạng đa thức toán điều khiển năm gần nhận nhiều quan tâm tác giả như: Ailon A, Зубова С.П, Раецкая Е В… Ý nghĩa báo đem lại thuận tiện cho việc khảo sát đánh giá quỹ đạo chuyển động Nội dung báo tiến hành xem xét chuyển động chất điểm mặt phẳng { ,} với phương trình chuyển động Abstract - The problem of constructing state function and controllibility function in the type of polynomials of the control problem in recent years has received much attention from authors such as Ailon A, Зубова С.П, Раецкая Е В The basic meaning is to facilitate the survey and evaluation of the trajectory of motion The aim of this article is to consider the motion of object in plane { ,} with the equation of motion described by the linear dynamic mơ tả hệ dừng động học tuyến tính (hệ điều khiển được) dạng x’(t)=Bx(t)+Du(t) Với giả thiết hàm điều khiển u(t) tìm dạng đa thức ta đưa vào điều kiện đầu, tác giả xây dựng phương pháp để chứng minh bậc hàm điều khiển không Khi bổ sung thêm điều kiện (19) ta chứng minh u(t) đa thức với bậc không vượt 2n+5 system x '(t) = Bx (t) + Du(t) With the assumption that the controllibility function u(t) can be found in polynomial when we give input condition, the author has devised a method to prove that the degree of controllability function is  By adding conditions (19), we can prove that u(t) is polynomial of degrees  2n  Từ khóa - hàm trạng thái; hàm điều khiển; tiêu chuẩn Kalman; đa thức; hệ động lực học Key words - state function; controllibility function; Kalman’s criterion ; polynomial; dynamic system Đặt vấn đề Đối với tính điều khiển hệ động lực học lại nhiều khó khăn việc nghiên cứu khảo sát tính chất u(t ) , x(t ) thực hành x(t )  Bx(t )  Du(t ), (1) x(t )  R n , u (t )  R m ; B, D ma trận với kích thước n  n n  m tương ứng, t [0, T ], R.E Kalman1 khẳng định qua định lý sau Định lý (Tiêu chuẩn Kalman, xem [1]) Hệ (1) điều khiển khi: rank( D | BD | | Bn1D)  n (2) Trong (2) ma trận ( D | BD | | Bn1D) gọi ma trận điều khiển, ghép lại từ thành phần ma trận D, sau đến ma trận BD thành phần cuối ma trận Bn1D A Ailon (xem [5]) hệ (1) với điều kiện (2) chứng minh rằng, tồn hàm u(t ) dạng đa thức với bậc nhỏ n Còn [4] chứng minh “hàm điều khiển biểu diễn dạng đa thức bậc M  2r 1, r  n  rankD ” Bài báo đặt vấn đề xây dựng đa thức điều khiển u(t ) chất điểm mặt phẳng { ,} có phương trình chuyển động mơ tả dạng (1) Tính điều khiển hệ kiểm chứng tiêu chẩn Kalman, sau chứng tỏ hàm trạng thái điều khiển x(t ), u(t ) tìm dạng đa thức Khi hệ (1) bổ sung điều kiện: x(0)  x0 , x(T )  xT , hàm (3) u(t ) xây dựng dạng (xem [1]): T u (t )  D*etB (  e sB DD*e sB ds)1 (eTB xT  x ), * * B , D ma trận liên hợp tương ứng với B, D Trong cơng trình Зубова С.П, Раецкая Е В xây dựng hàm u(t ) dạng tích hàm mũ hàm đa thức (xem [4, 6]), đường xây dựng nhìn chung cịn gian nan phải thực nhiều phép toán phức tạp Sự xuất ma trận mũ u(t ) đem * * Hình Chuyển động chất điểm m mặt phẳng { ,} Xét chuyển động chất điểm (Hình 1, xem [1]) với khối lượng m mặt phẳng { ,} đường cong Tiêu chuẩn tính điều khiển hệ x(t )  Bx(t )  Du(t ) R E Kalman công bố cơng trình ơng vào năm 1961 11 xem xét đầy đủ [1] ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(114).2017-Quyển 125 theo tham số    ( ),    ( ),  - tọa độ cong chất điểm với giá trị tuyệt đối độ dài cung Om 8 Giả sử ban đầu chất điểm chuyển động theo đường cong tác động trọng lực mg lực điều khiển u , hợp với tiếp tuyến góc  Câu hỏi đặt động chất điểm phải có tính chất để phương trình chuyển động chất điểm tuyến tính theo  ? Để trả lời câu hỏi trên, ta tiến hành xây dựng phương trình chuyển động chất điểm dạng phương trình Lagrange (xem [10, tr.331): d  T  T    Q(t , u (t )), (4)   dt      T ( ) ( ) động chất điểm m, Q  lực tổng quát, sinh hàm điều khiển u(t ) Lực tính qua cơng thức tính cơng bằng:  A  Q  u cos  , Q  u cos  Đặt biểu thức T  m ,   mg vào (4) ta được: d m  mg  u (t )cos (5) d Để (5) tuyến tính theo  d   , ta giả sử: d    ,   const (6) Ta xác định hàm    ( ) Hiển nhiên hàm xác định từ điều kiện:  ta được:  d   d     1   , d     d        x1       cos  u (t )    x2    m  m  9 Kết nghiên cứu khảo sát Trước tiên ta thấy hệ (9) điều khiển Thật vậy, theo tiêu chuẩn Kalman ta có được:  cos     m  D   cos  , BD   ;      cos     m  m2     rank( D | BD)  rank   cos   m cos  m     cos    m2  Không giảm tổng quát ta lựa chọn (8)  cos g     1, m m (8) viết thành:  x1 (t )  x2 (t )   x2 (t )   x1 (t )  x2 (t )  u (t ), bổ sung thêm điều kiện sau: 10  (   2  arcsin  ) 2 (12) Định lý Tồn hàm điều khiển u(t ) toán (10)-(11)-(12) dạng đa thức với bậc không lớn Chứng minh Đặt: x1 (t )  a0  a1t  a2t  a3t  a4t  a5t , hay      2 d    x1      x2    g  u (0)  u , u (T )  uT hay dạng ma trận: 0 x1 (0)  x1,0 , x1 (T )  x1,TT , x2 (0)  x2,0 , x2 (T )  x2,T T , (11)     (d )2  (d ) d , đạo hàm hai vế phương trình theo  x1  x2    cos  x2   gx1  m x2  m u (t ), (7) Như phương trình biểu diễn đường cong cần xác định viết dạng tham số (6) (7) Do đó, phương trình chuyển động chất điểm m theo đường cong (3) (4) có dạng: m  mg  u (t )cos Nếu ta giả thiết thêm trình chuyển động chất điểm cịn xuất thêm lực ma sát với hướng ngược lại với hướng vận tốc ta nhận phương trình: m  mg    u (t )cos Đổi biến   x1 ,   x2 ta chuyển phương trình cuối hệ tắc dạng: x2 (t )  b0  b1t  b2t  b3t  b4t  b5t , ta cần chúng tỏ tồn hệ số a0 , a1 , , b5 Hiển nhiên ta có a0  x1 (0) b0  x2 (0) Phương trình thứ hai hệ (10) ta viết dạng: x2 (t )  x1 (t )  x2 (t )  u (t ) (13) Ta có x2 (0)  b1 Theo (13) suy b1  u (0)  x1 (0)  x2 (0) Lại từ phương trình thứ hệ (10) ta có được: 1 a1  b0  x2 (0), a2  b1  (u (0)  x1 (0)  x2 (0)), 2 3a3  b2 , 4a4  b3 , 5a5  b4 , b5  (14) Sử dụng x1 (T )  x1,TT , ta có được: a3T  a4T  a5T  x1,TT  a0  a1T  a2T : 1 Sử dụng x2 (T )  x2,T T , ta có được: (15) Lê Hải Trung 126 b2T  b3T  b4T  x T 2,T  b0  b1T : 2 (16) Lại sử dụng (13), ta có được: x2 (T )  u (t )  x1 (T )  x2 (T ), x2 n Sử dụng tiếp (20) ta n! 1 suy tồn an 1  bn  x20n n 1 (n  1)! Từ x2( n ) (0)  x20n  bn  hay: Từ phương trình thứ hai hệ (10) ta suy ra: 2b2T  3b3T  4b4T  u (T )  x1 (T )  x2 (T )  b1 :  (17) Thay (14) vào (15), ta thu được: 1 b2T  b3T  b4T  x1,TT  a0  a1T  a2T : 1 x2( n 1) (0)   x1( n ) (0)  x2( n ) (0)  u ( n ) (0), điều chứng tỏ: (18) bn 1  Kết hợp (16)-(17)-(18) ta nhận hệ phương trình: Lại sử dụng (20) ta suy tồn của: 1 1  b2T  b3T  b4T  1   b2T  b3T  b4T    2b T  3b T  4b T     Đến biểu thức x1 (t ) xác định hàm điều khiển x1 (t ), x2 (t ) dạng đa thức bậc năm Từ phương trình hai (10) suy bậc u(t ) đa thức bậc không Định lý chứng minh! Tiếp theo ta bổ sung cho toán (10) - (11) - (12) điều kiện sau đây: u (0)  u , u (T )  u ,  ( j ) ( j) T  x1 (0)  x1 j , x1 (T )  x1 j ,  ( j) ( j) T  x2 (0)  x2 j , x2 (T )  x2 j , j  0,1, , n j ( j) T j (19) n  hệ số Các hệ số lại cần xác định an 3 , an  , , a3n 5 Do phương trình thứ hai hệ (10) với điều kiện (19) ta nhận điều kiện: x2( n 1) (0)   x1( n ) (0)  x2( n ) (0)  u (u ) (0), Định lý Tồn hàm điều khiển u(t ) toán (10)-(11)-(19) dạng đa thức bậc không 2n  x2( n 1) (T )   x1( n ) (T )  x2( n ) (T )  u (u ) (T ) n 5 i i 0 i 0 i  bi 1 , i  3, 4, , 2n  5, b2 n5  i aj  (20) x1( j ) (0)  x10j Như biểu thức x1 (t ) ta xác định n  hệ số Sử dụng x1 (T )  x1T ta có được: 3n 5  aT i 0 i i  3n 5  aT i  n 1 n 5 i i i 0 i i 0 i n 3 i i  aT i n 3 x1 '(T )  suy ra: n 5 i  x1 (T )   aiT i : 1 i 0 n 5  ia T i 1  ia T n 3 n2 i i 1 i i 1 n2 n 5 i 1 n 3   iaiT i 1   aiT i 1 , n  x1 '(T )   iaiT i 1 : 2 i 1 Ta viết phương trình nhận dạng hệ sau: x1 j , j  0,1, , n, j! x1 (T )  x1T  n2  a T  a T   a T n 5 1 a1  b0  x2 (0), a2  b1  (u(0)  x1 (0)  x2 (0)), 2 suy ra: n 5 hay: Hiển nhiên ta có a0  x1 (0), b0  x2 (0), từ phương trình thứ (10), ta có được: Từ điều kiện: x1 (t ) xác định, ta có được: i i (22) Sử dụng điều kiện cho điều kiện xây dựng x1( j ) (T ), j  0,1, , n  với ý n  hệ số x1 (T )   a t ; x (t )   b t (23) Lại từ phương trình thứ (10) kết hợp với (22) (23) ta nhận được: Chứng minh Đặt: x1 (t )  (22) x1( n  2) (0)  x2( n 1) (0), x1( n  2) (T )  x2( n 1) (T ) :  n  Ta có định lý sau: n 5 1 bn 1  x2( n 1) (0) n2 (n  2)! an   Hiển nhiên hệ có nghiệm b2 , b3 , b4 Từ ta suy giá trị a3 , a4 , a5 Suy tồn ( j) x2( n 1) (0) (n  1)! i n i  x1T   aiT i (21) j 0 an 3T n 3  an  4T n    a2 n 5T n 5  1 ,  n2 n 3 2n4  2 , (n  3)an 3T  (n  4)an  4T   (2n  5)a2 n 5T   (n  3)(n  2) 2a T  (n  4)(n  3) 3a T  n 3 n4    (2 n  5) ( n  4)a2 n 5T n 3   n 3  Đặt yl  T l  , cl  al  , l  1, 2, , n  3, ta viết lại hệ nhận dạng: ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(114).2017-Quyển  y1c1  y2 c2   yn 3cn 3  1 ,   y1 ' c1  y2 ' c2   yn 3 ' cn 3  1 , (24)    y ( n  2) c  y ( n  2) c   y ( n  2) c   2 n 3 n 3 n 3  Định thức hệ cuối (24) định thức Wronxki cấp (n+3): Wn 3 y1 y'  ( n  2) y1 y2 y2 ' yn  yn  '  0, y2( n  2) yn( n32) hệ có nghiệm nhất:  cl  l , l  1, 2, , n  3, Wn 3 l , l  1, 2, , n  nhận trực tiếp từ Wn3 cách thay cột thứ l vế phải (24) Từ cl , l  1, 2, , n  suy tồn an 3 , an  , , a3n 5 Định lý chứng minh! Kết luận Bài báo chứng minh hàm điều khiển u(t ) chất điểm mặt phẳng { ,} có phương trình chuyển động mơ tả hệ (10) tìm dạng đa thức 127 với bậc khơng 2n  Trong việc chứng minh định lý ta sử dụng tiêu chẩn Kalman để kiểm tra tính điều khiển hệ Hàm trạng thái x(t ) tìm dạng đa thức TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Красовский Н Н, Теория управления движением, Издательство «Наука», Москва 1968, 475 с [2] Уонэм М, Линейные многомерные системы управлегия, Издательство «Наука», Москва 1980, 375 с [3] Раецкая Е В, Критерий полной условной управляемости сингулярно возмущенной системы, Оценки функции состояния и управлющей функции, Кибернетика и технологии XXI века: Воронеж, 2004, с 28 – 34 [4] Раецкая Е В, Условная управляемость и наблюдаемость линейных систем, Дисс канд, физ – мат, наук, Воронеж, 2004 [5] Ailon A., Langholz G, More on the cintrollability of linear timeinvariant systems, Int J Contr, 1986, 44 № 4, P 1161 – 1176 [6] Зубова С П, Ле Хай Чунг, Об полиномиальных управлениях линейной стационарной системы с контрольной точкой, Современные проблеммы механики и прикладной математики, Сборник трудов международной школы – семинара, Воронеж 2007, с 133-136 [7] Каган В Ф, Теория определителей, Одесса, Гос, Из – во Украины, 1922, 521 с [8] S P Zubova, Le Hai Trung, Construction of polynomial controls for linear stationary system with control points and additional constrains, Automation and Remote Control, No: Volume 71, Number 5, 2010, Pages: 971-975 [9] Lê Hải Trung, “Về hàm trạng thái đa thức cho hệ dừng động học tuyến tính”, Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, Số: 11(60), 2012, Trang: 53 - 57 [10] Суслов Г К, Теорическая механика, Гостехиздат, 1946 (BBT nhận bài: 11/05/2017, hoàn tất thủ tục phản biện: 26/05/2017) ... cong chất điểm với giá trị tuyệt đối độ dài cung Om 8 Giả sử ban đầu chất điểm chuyển động theo đường cong tác động trọng lực mg lực điều khiển u , hợp với tiếp tuyến góc  Câu hỏi đặt động chất. .. hỏi đặt động chất điểm phải có tính chất để phương trình chuyển động chất điểm tuyến tính theo  ? Để trả lời câu hỏi trên, ta tiến hành xây dựng phương trình chuyển động chất điểm dạng phương... Định lý chứng minh! Kết luận Bài báo chứng minh hàm điều khiển u(t ) chất điểm mặt phẳng { ,} có phương trình chuyển động mơ tả hệ (10) tìm dạng đa thức 127 với bậc không 2n  Trong việc chứng