Hệ phương trình

I Các hệ phương trình cơ bản A Hệ phương trình đối xứng Dạng ( ) ( ) , 0 , 0 f x y g x y =  = mà ở đó vai trò của ,x y như nhau Tức là ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x y f y x g x y g y x =  = Cách[.]

I.Các hệ phương trình A Hệ phương trình đối xứng :  f ( x, y ) = Dạng  mà vai trị x, y  g ( x, y ) =  f ( x, y ) = f ( y , x ) Tức   g ( x, y ) = g ( y , x) Cách giải: • Thơng thường người ta đặt ẩn phụ: S = x + y hay S = x − y P = xy  f ( S , P ) = sau tìm S , P tìm nghiệm ( x, y ) ⇒  g ( S , P ) = Ví dụ: Giải hệ  x y + xy =   xy + x + y = Như nói trên, ta đặt S = x + y; P = xy hệ cho trở thành  SP = S = S=3 ⇒ hay   S + P =  P =  P=2 Từ ta dễ dàng tìm nghiệm ( x, y ) sau: ( x, y ) = (1, 2);(2,1) • Nhưng để phương pháp áp dụng hữu hiệu ta nên biến đổi chút ẩn số để sau đặt ẩn phụ, ta phương trình nhẹ nhàng  xy + x + y = Ví dụ 1:  3 ( x + 1) + ( y + 1) = 35 Đặt S = ( x + 1) + ( y + 1) ; P = ( x + 1)( y + 1) ta có hệ phương trình sau S = x =  x=2  P = ⇒  ⇒  hay   P = y =  y=3  S ( S − 3P ) = 35  x + y + x2 + y2 = Ví dụ 2:   xy ( x + 1)( y + 1) = 12 S = x + y Ở theo thông lệ thử đặt  , ta thu hệ sau:  P = xy  S2 + S − P =   P ( P + S + 1) = 12 Rõ ràng chuyện không đơn giản chút Tuy nhiên có lẽ bạn nhận tinh tế tóan, bậc phương trình Phương trình bậc có lẽ chứa P Thể khơng dạng tích thuận tiện nào,trong phương trình thứ hai lại dạng tích bậc 4,gấp đơi bậc Nếu bạn nhìn biểu thức S P,bậc P gấp đôi bậc S,như phải phương trình thư S,thứ hai P Nếu giá trị x y P Quan sát phương trình thứ hai bạn dễ dàng nhận tinh tế này, x ( x + 1) y ( y + 1) Từ ý tưởng ta đặt: a = x ( x + 1) b = y ( y + 1) Hệ cho tương đương với: a = a + b =  a=2 ⇒  hay    ab = 12 b=6 b = Như ( x, y ) nghiệm phương trình sau: i) t + t = ⇒ t1 = ∨ t2 = −2 ii )t + t = ⇒ t3 = ∨ t3 = −3 Tóm lại nghiệm hệ cho là: ( x, y ) = (1, −2);(−2,1);(2, −3); (−3, 2) B Phương trình đối xứng lọai 2:  f ( x, y ) =   f ( y , x ) = Đối với dạng hệ phương trình này, ta đưa dạng hệ tương đương sau:  f ( x, y ) − f ( y , x ) =   f ( x, y ) + f ( y , x ) = Hệ phương trình mà bạn thu hệ đối xứng hay nửa đối xứng mà ta  h ( x, y ) = f ( x, y ) − f ( y , x ) xét phần Thật đặt  Ta đưa hệ  g ( x, y ) = f ( x , y ) + f ( y , x ) dạng:  h ( x, y ) =  h ( x, y ) = − h ( y , x ) Ở    g ( x, y ) =  g ( x, y ) = g ( y , x) Có thể bạn thấy h( x, y ) khơng đối xứng hịan tịan (nửa đối xứng) Tuy nhiên chấp nhận lẽ hệ ta dạng h( x, y ) = (Nếu bạn thấy ray rứt điều bạn viết dạng h ( x, y ) = ,chẳng phải h ( x, y ) đối xứng Chú ý thêm tác giả muốn bạn nắm bắt mối quan hệ đối xứng nửa đối xứng cách rõ ràng hơn, lúc giải tập bạn bình phương lên J) C Phương trình đẳng cấp  f (tx, ty ) = t k f ( x, y )  f ( x, y ) = a(1) mà :   k  g ( x, y ) = b(2)  g (tx, ty ) = t g ( x, y ) Ở điều kiện thứ hai bạn hiểu cách đơn giản đơn thức hàm f g đồng bậc (bậc đơn thức hai biến x,y tổng bậc x y) Nhận xét giúp cho bạn nhận biết phương trình đẳng cấp cách dễ dàng Cách giải tổng quát đưa phương trình: bf ( x, y ) − ag ( x, y ) = ,ở dó a, b khơng đồng thời Nếu a,b đồng thời Ta giải riêng phương trình f ( x, y ) = 0; g ( x, y ) = so sánh nghiệm Cách giải tương tự phương trình bf ( x, y ) − ag ( x, y ) = nên bạn tham khảo bên Ta xét trường hợp i ) x = nghiệm hệ phương trình Điều bạn cần x = giải phương trình biến theo y Trường hợp ta thu nghiệm ( x, y ) = (0, y1 ) ii ) Trường hợp ta tìm nghiệm khác (0, y1 ) Chia hai vế cho x k x k bậc f Đặt t = Ta đưa phương trình theo ẩn t Giải phương trình y x ta tìm tỉ số Sau thay x thành ty (1) Giải phương trình theo ẩn y y, ta rút nghiệm toán (ty0 , yo ) Ví dụ: 3 x − xy + y =  2  x + xy − y = −8 Giải: Hệ cho tương đương với:  24 x − 16 xy + 16 y = 56  2 7 x + 42 xy − 21y = −56  24 x − 16 xy + 16 y = 56 ⇔ 2 31x + 26 xy − y = 0(*) Ta giải (*) 31x + 26 xy − y = ⇔ (31x − y )( x + y ) = 0(**) 31x − y = 0(1) ⇔  x + y = 0(2) Từ ta dễ dàng giải cách vào hệ phương trình ban đầu II.Các phương pháp giải hệ không mẫu mực: A.Dùng bất đẳng thức : Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp ta thấy số phương trình hệ số ẩn Ví dụ1 Giải hệ phương trình nghiệm dương : x + y + z =   (1 + x )(1 + y )(1 + z ) = + xyz Giải: ( ) ( VT = + x + y + z + ( xy + yz + zx) + xyz ≥ + 3 xyz + 3 ( xyz ) + xyz = + xyz Suy dấu xảy x = y = z =1 ) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  x + + x + + x + = y − + y − + y −  2  x + y + x + y = 80 Giải: Đk: x ≥ −1; y ≥ Giả sử x > y − ⇒ VT > VP x < y − ⇒ VT < VP Suy x = y − Đến bạn đọc tự giải Ví dụ 3: Giải hệ : 4y 2z  3x  x +1 + y +1 + z +1 =  89.x y z =  Giải: -Bài tóan có số ẩn nhiều số phương trình ta dụng bất đẳng thức -Nhận xét : bậc x,y,z khác nên ta sử dụng Cauchy cho xuất bậc giống hệ 2x 4y 2z = + + Ta có: x + x + y + z + Áp dụng Cauchy số: = x +1 x x y y y y z z x2 y z + + + + + + + ≥ 88 x +1 x +1 y +1 y +1 y +1 y +1 z +1 z +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Hòan tòan tương tự : x3 y z ≥ 88 3 y +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) x y z1 ≥ 88 z +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Từ bất đẳng thức thu ta có: 1 (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) ≥ 89 x 24 y 32 z16 (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) 24 32 16 ⇒ 89 x y z ≤ dấu xảy ⇔ x y z 1 = = = ⇔x= y=z= x +1 y +1 z +1 697  x + y = Ví dụ 4: giải hệ:  81  x + y + xy − x − y + =  Giải: -Ví dụ chúng tơi muốn giới thiệu cơng cụ xác định miền giá trị x,y nhờ điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai -Xét phương trình bậc hai theo x: x + x ( y − 3) + y − y + = = ( y − 3) − ( y − ) ≤ ⇔ ( y − 1)( y − ) ≤ ⇔ ≤ y ≤ 2 Tương tự xét phương trình bậc hai theo y ta có ≤ x ≤ 697 4 7 Suy ra: x + y ≤   +   = 81 3 3 ⇒ x = y = Tuy nhiên vào hệ nghiệm khơng thỏa 3 Vì hệ phương trình vơ nghiệm Ví dụ 5: Giải hệ:  x5 − x + x y =  y − y + 2y z =  z5 − z + 2z x =   u + v = 10  1  u + v = u + v = 10 ⇒  uv = 25 ⇒ u = v = ⇒ x = y = Ví dụ 2: Giải hệ:    −  2y = y + 42 x      3+  x =2   y + 42 x   Giải: Từ hệ ta suy điều kiện: x, y > Hệ cho tương đương với:  + =6  x 2y    10 = −  y + 42 x x 2y 15 ⇒ = − y + 42 x x y ⇒ 15 xy = ( y − x )( y + 42 x ) ⇒ y + 25 xy − 84 x = ⇒ (3x − y )( y + 28 x ) =  3x = y ⇒  y + 28 x = Trường hợp thứ hai ta loại không thỏa điều kiện x, y > Thay vào hệ ban đầu ta thu nghiệm sau:  5+ 5+  ( x, y ) =  ,    27 Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ  x + + y + =   x + + y + = Bài 2: Giải hệ − x + y + xy + = −  ( x − 1)( y − 1) =  Bài 3: Giải hệ x y  = y +1 + y −  x +1 + x − 2   y + x + ( x + 1)( y + 1) =  Kết thúc viết phần tập tổng hợp mục hệ phương trình mà ta xem xét: III)Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải hệ phương trình sau:  x y + xy = a)   xy + x + y =  x + x y + y = 21 b)  2  x − xy + y = Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  x + y + x2 + y =   x( x + 1) + y ( y + 1) = 12 Bài 3:Giải hệ phương trình sau:  x + y + x + x y + xy + y =  x y = −2  Bài 4:Giải hệ phương trình sau:  x− y =6  3  x − y = 126 Bài 5:Giải hệ phương trình sau:  x + y = 2a   xy + = 2a ... vào hệ phương trình ban đầu II.Các phương pháp giải hệ khơng mẫu mực: A.Dùng bất đẳng thức : Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp ta thấy số phương trình hệ số ẩn Ví dụ1 Giải hệ phương trình. .. Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  x + y + x2 + y =   x( x + 1) + y ( y + 1) = 12 Bài 3:Giải hệ phương trình sau:  x + y + x + x y + xy + y =  x y = −2  Bài 4:Giải hệ phương trình sau:... ( y , x ) = Đối với dạng hệ phương trình này, ta đưa dạng hệ tương đương sau:  f ( x, y ) − f ( y , x ) =   f ( x, y ) + f ( y , x ) = Hệ phương trình mà bạn thu hệ đối xứng hay nửa đối xứng