Mục lục 1 1 Khai thác Định lý Viet của phương tr 2 1 2 Tiếp cận nhanh phương tr 4 1 3 Ứng dụng t 9 1 4 Tối ưu bấm máy cho bài toán đơn điệu hàm số 13 1 4 1 Hàm nhất biến y = ax+b cx+d 13 1 4 2 Hàm bậc[.]
Mục lục 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Khai thác Định lý Viet phương tr Tiếp cận nhanh phương tr Ứng dụng t Tối ưu bấm máy cho toán đơn điệu hàm số 1.4.1 Hàm biến y = ax+b cx+d 1.4.2 Hàm bậc ba y = ax + bx2 + cx + d (a 6= 0) Biểu diễn số phức vấn đề min, max 1.5.1 Một số công thức 1.5.2 Khai thác biểu diễn h Kỹ thuật chọn trắc nghiệm t Khai thác tỉ số h Bán k 13 13 15 19 19 23 26 31 45 Một số chuyên đề trắc nghiệm chọn lọc 1.1 Khai thác Định lý Viet phương trình bậc Nếu phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = (a 6= 0) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 ta ln có b • x1 + x2 + x3 = − a c • x1 x2 + x2 x + x3 x1 = a d • x1 x2 x3 = − a Ví dụ Cho hàm số y = 2x3 − 3x2 + có đồ thị (C) đường thẳng d : y = x − Giao điểm (C) (d) A(1; 0), B C Khoảng cách B C Giải Xét phương trình HĐGĐ 2x3 − 3x2 + = x − ⇔ 2x3 − 3x2 − x + = Ta có theo Viet (để ý xA = 1) xA + xB + xC = ⇒ xB + xC = , xA xB xC = ⇒ xB xC = 2 Vì B, C ∈ d : y = x − nên độ dài BC cho q √ √ |xB − xC | = (xB + xC )2 − 4.xB xC = √ 34 Lưu ý, M, N hai điểm thuộc đường thẳng y = kx + l độ dài đoạn M N cho M N = |xM − xN | p + k2 q p = (xM + xN )2 − 4xM xN + k Ví dụ Biết đồ thị hàm số y = x3 + 54 x − y = x2 + x − tiếp xúc điểm M (x0 ; y0 ) Tìm x0 Giải Thấy phương trình x3 + x − = x2 + x − có nghiệm x = (không phải nghiệm kép, khơng tách nhân tử x2 ) Vậy có x0 + x0 + = ⇒ x0 = Ví dụ Giả sử đồ thị (Cm ) : y = x3 − 3mx2 + (m − 1)x + 3m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 Giá trị nhỏ x21 + x22 + x23 1.1 KHAI THÁC ĐỊNH LÝ VIET CỦA PHƯƠNG TR A −17 B Trần Lê Quyền C 17 D Giải Ta có x21 + x22 + x23 = (x1 + x2 + x3 )2 − (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) 2 17 = (3m) − 2.(m − 1) = 3x − + Chọn C Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + m (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ Giải Gọi M, N hai điểm thuộc (Cm ) đối xứng qua gốc tọa độ Khi đường thẳng M N qua O có phương trình y = kx Xét phương trình hồnh độ giao điểm x3 − 3x2 + m = kx ⇔ x3 − 3x2 − kx + m = Phương trình có ba nghiệm xM , xN , xP thỏa mãn xM + xN + xP = Vì xM + xN = nên xP = 3, suy 33 − 3.32 + m = kx ⇒ k = m Phương trình trở thành x3 − 3x2 − m x + m = ⇔ 3(x − 3) 3x2 − m = Cần tìm m để phương trình cuối có hai nghiệm đối nhau, dễ thấy m > thỏa yêu cầu Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 3x2 + (m + 1)x + (có đồ thị (Cm )) Tìm m để đường thẳng ∆ : y = x + cắt đồ thị (Cm ) ba điểm phân biệt P (0; 1), M N cho bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OM N √ A m = −3 B m = C m = D m = Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm x3 − 3x2 + (m + 1)x + = x + ⇔ x3 − 3x2 + mx = ta có (chú ý xP = 0) x + x + x = ⇒ x + x = P M N M N x P x M + x M x N + x N x P = m ⇒ x M x N = m Từ xM + xN = suy trung điểm M N P 23 ; 52 Đường trung trực đoạn M N qua P ⊥∆ có phương trình d : y = − x Bây gọi I tâm đường trịn cho ta có I ∈ d Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 0122 667 8435 1.2 TIẾP CẬN NHANH PHƯƠNG TR Trần Lê Quyền suy I(x; − x) Sử dụng giả thiết 25 R = OI = √ ⇔ x2 + (4 − x)2 = ⇔x= ∨x= 2 2 Với I ; , khai thác liên hệ (Pitago) 2 MN2 + d(I; ∆)2 = R2 √ 2 2 2.|xM − xN | −3 + 25 √ ⇔ + = 2 √ √ 2 2 32 − 4m −3 + 25 √ + = ⇔ 2 Thử đáp án, chọn A 1.2 Tiếp cận nhanh phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm bậc ba Trong trường hợp hàm số bậc ba y = f (x) có hai cực trị, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y = ∆(x), ∆(x) = f (x) − f (x).f 00 (x) k với k số thực thích hợp làm cho hệ số bậc ∆(x) bị triệt tiêu! Đối với trường hợp có tham số, việc tìm dạng tường minh ∆(x) gây khó khăn định Bạn đọc tìm đọc viết thầy Phùng Quyết Thắng xung quanh vấn đề này, kết mở rộng khác Còn viết này, cố gắng khai thác ∆(x) mà không cần biết đến dạng xác Ví dụ Đường thẳng nối hai điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 −x+m qua điểm M (3; −1) m A B −1 C D Một giá trị khác Giải Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y = ∆(x) với ∆(x) = x3 − x + m − (3x2 − 1).6x k Để ý, số hạng có bậc ∆(x) gồm x3 − 3x k.6x Ta chọn k = 18 để có x3 − 3x18.6x = Bây giờ, solve theo biến m1 phương trình x3 − x + m − (3x2 − 1).6x −y =0 18 Để máy solve theo biến khác [, chẳng hạn biến @, ta việc viết thêm vào cuối phương trình q)@ Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 0122 667 8435 1.2 TIẾP CẬN NHANH PHƯƠNG TR Trần Lê Quyền x = 3, y = −1 Kết thu m = 1, chọn A Ví dụ Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x + có hệ số góc A −2 B C Giải Ta có ∆(x) = x3 − 3x + − r biểu thức ∆(x) x D (3x2 − 3).6x 18 x = 99999 (lớn tùy ý) thu kết ∼ −2, chọn A Lưu ý, hệ số góc ∆(x) x→+∞ x đường thẳng y = ∆(x) lim Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng nối điểm cưc trị đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + m − vng góc với đường thẳng y = 3mx + r A m = B m = r C m = r D m = ± Giải Ta có y = 3x2 − 3m, hàm số có cực trị y có hai nghiệm phân biệt, tức m > (loại D) Khi ∆(x) = x3 − 3mx + m − − (3x2 − 3m).6x 18 Vì hai đường thẳng vng góc có tích hệ số góc −1, ta r biểu thức ∆(x) 3m x x = 99999 (cố định) m nhận giá trị > đáp án (kết ∼ −1 nhận) m q Kết −6 Ghi loại −1, 00 Nhận, Chọn B Ví dụ Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + mx + m có hai điểm cực trị đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = − 2x A m = B m = C m = D m = Giải Hàm số có cực trị m < Ta có ∆(x) = x3 − 3x2 + mx + m − Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM (3x2 − 6x + m)(6x − 6) 18 0122 667 8435 1.2 TIẾP CẬN NHANH PHƯƠNG TR Trần Lê Quyền Hai đường thẳng song song có hệ số góc, r biểu thức m nhận giá trị sau (kết ∼ nhận): m −2 ∆(x) −2x x = 99999 (cố định) Kết Ghi 0, 666 1, 666 N Đáp án: C Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 3mx2 − 3m + (C) Tìm tất giá trị thực tham số m để (C) có hai điểm cực trị đường thẳng nối hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân √ √ A m = 2√ C m = ± √2 D m = ± ∨m=0 B m = − 2 Giải Hàm số có cực trị m 6= 0, ta có ∆(x) = x3 − 3mx2 − 3m + − (3x2 − 6mx)(6x − 6m) 18 Giả thiết cho biết đường thẳng ∆ : y = ∆(x) tạo với trục Ox góc 45◦ 135◦ , hệ số góc ∆ tan 45◦ tan 135◦ Vậy r biểu thức ∆(x) x x = 99999 (cố định) m nhận giá trị đáp án (kết ∼ ±1 nhận m) Phần thủ tục dành lại cho bạn đọc Ví dụ Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 − 3m + có đồ thị (C) hai điểm A(2; 0), B(1; 2) Tìm tất giá trị tham số m để (C) có hai điểm cực trị đường thẳng qua hai điểm cực trị cách A, B A m = B m = ∨ m = C m = ∨ m = D m = √ Giải Hàm số có cực trị m > (loại B), ∆(x) = −x3 + 3mx2 − 3m + − (−3x2 + 6mx)(−6x + 6m) −18 Chú ý, để đường thẳng ∆ : y = ∆(x) cách A, B AB k ∆ trung điểm I ;0 AB thuộc ∆ • TH1: Chọn m I ∈ ∆, solve phương trình ∆(x)−y = theo biến m với x = , y = ta nghiệm m = Đến ta loại D Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 0122 667 8435 1.2 TIẾP CẬN NHANH PHƯƠNG TR Trần Lê Quyền • TH2: Chọn m để có ∆ k AB : y = − 2x, ta r biểu thức kết −1, 99 nên loại m = ∆(x) −2x x = 99999, m = Đáp án: A Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx có hai cực trị M, N , đồng thời tam giác OM N có diện tích 12 B m = ±3 A m = C m = −3 m = D m = Giải Ta có y = 6x2 − 6(m + 1)x + 6m, hàm số có cực trị m 6= Ta có ∆(x) = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx − (6x2 − 6(m + 1)x + 6m)(12x − 6m − 6) 36 Để ý rằng, phương trình ∆(x) y = ax + b diện tích tam giác OM N cho bởi2 q b b S = | (xM − xN )| = | | (xM + xN )2 − 4xM xN 2q b = | | (m + 1)2 − 4m Để tìm b, r ∆(x) x = 0, m = 100 thu b = 10100 = m2 + m Thay b vào phương trình thử đáp án, chọn B Ví dụ Cho hàm số f (x) = x3 + ax2 + bx + c giả sử A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số Giả sử đường thẳng AB qua gốc tọa độ Tìm giá trị nhỏ P = abc + ab + c A −9 C − B 16 25 D − 25 Giải Ta có 3x2 + 2ax + b 6x + 2a Giả sử ∆(x) : y = ax + b, ∆(x) qua O nên phải có b = Kỹ thuật r 100 cho phép tìm ab b = c − ab Với c = , ta có 2 (ab)2 ab ab 25 25 P = + ab + = + − ≥− 9 3 9 ∆(x) = x3 + ax2 + bx + c − Bài tập BT Đồ thị hàm số y = −x3 + 3mx2 − 3m + có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : x + 8y − 74 = xem mục Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 0122 667 8435 1.2 TIẾP CẬN NHANH PHƯƠNG TR A m = Trần Lê Quyền B m = −2 C m = −1 D m = BT Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + m − (C) hai điểm I(−1; 2), J(0; 1) Tìm tất giá trị thực tham số m để (C) có hai điểm cực trị đường thẳng ∆ qua hai điểm cực trị thỏa mãn d(I; ∆) = 4.d(J; ∆) A m = C m = ±1 B m = D m = −1 BT Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + 3(m − 1)x2 + 6(m − 2)x − có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = − 4x A m = C m = ∨ m = B m = D m = −3 ∨ m = BT Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx có hai điểm cực trị AB đường thẳng AB vng góc với đường thẳng y = x + A m = C m = ∨ m = B m = D m = ∨ m = −2 BT Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 −3mx+2m2 −4033m+1 có hai điểm cực trị nằm đường thẳng y = 2017x + 2018 C m = 2017 B m = 2017, m = − A m = − D Khơng có m thỏa BT Cho hàm số y = x3 − 3mx + 2m2 (C) y = x−1 (H) Tìm tất giá trị thực x+n tham số m, n để (C) có hai điểm cực trị đường thẳng qua hai điểm cực trị tiếp xúc với (H) điểm có hoành độ C m = 2, n = − A m = 0, n = − B m = 1, n = − D Không tồn m, n BT Cho hàm số y = x3 − 3m2 x + m, giá trị m để trung điểm cực trị đồ thị hàm số thuộc đường thẳng y = −1 A B − C D BT Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + cắt đường tròn tâm I , bán kính hai điểm phân biệt A, B cho SIAB đạt giá trị lớn A √ 2± B √ 1± Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM C √ 2± D √ 2± 3 0122 667 8435 1.3 ỨNG DỤNG T 1.3 Trần Lê Quyền Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích mặt phẳng → − → − Trong không gian Oxyz , hcho i vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 ), tích có hướng → − → − − − hai vectơ → a , b vectơ → a ; b xác định sau h → −i → − a ; b = (a2 b3 − a3 b2 ; a3 b1 − a1 b3 ; a1 b2 − a2 b1 ) − − Có thể xem vectơ → u = (A, B) , → v = (C, D) mặt phẳng Oxy vectơ − không gian Oxyz cách viết ghép thêm vào thành phần cao độ 0: → u = (A, B; 0) → − v = (C, D; 0), tích có hướng − − [→ u ;→ v ] = (0; 0; AD − BC) −→ −→ Như vậy, điểm A, B, C mặt phẳng Oxy mà AB = (A, B) , AC = (C, D) ta có h−→ −→i AB, AC = |AD − BC| (1.1) SABC = 2 Chúng ta sử dụng (1.1) công thức hữu dụng cho phép tính nhanh diện tích tam giác mặt phẳng Oxy Và với cách tiếp cận này, ‘chiếu’ lên tình cụ thể, ta rút số kết sau: Nhận xét • Nếu M, N hai điểm thuộc đường thẳng d : y = ax + b diện tích √ tam giác OM N 12 |b(xM − xN )| Trong khi, độ dài đoạn M N a2 + 1.|xM − xN | • Nếu A ∈ Oy, B, C ba điểm cực trị đồ thị hàm bậc trùng phương ta ln có SABC = |xB (yB − yA )| Ví dụ Cho đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + có hai điểm cực trị A, B Tính diện tích tam giác OAB −→ −−→ Giải Tìm A(0; 1), B(2; −3) suy OA = (0; 1), OB = (2; −3) Áp dụng (1.1) với A = 0, B = 1, C = D = −3, ta có SOAB = |0.(−3) − 1.2| = Ví dụ Gọi A, B, C ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = 2x4 − 4x2 + Tính diện tích tam giác ABC −→ −→ Giải Các điểm cực trị A(0; 1), B(1; −1) C(−1; −1), ta có AB = (1; −2), AC = (−1; −2) Diện tích ∆ABC |xB (yB − yA )| = Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2(1 − m2 )x2 + m + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn nhất? A m = B m = − C m = √ D m = √ Giải Ta có A(0; m+1), B( − m2 ; 2m2 +m−m4 ), C(− − m2 ; 2m2 +m−m4 ) với m ∈ (−1; 1) Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 0122 667 8435 1.3 ỨNG DỤNG T Trần Lê Quyền Theo SABC = |xB (yB − yA )| = p − i = Biết tập hợp hợp điểm biểu iz √ diễn số phức w = (3 − 2i) + i đường trịn, tính bán kính đường trịn z √ A 13 Giải Đặt t = √ B 13 √ C 13 √ 13 D 1+z ⇒z= ta có |t − i| = iz it − √ w = (3 − 2i).(it − 1) + i √ Vậy bán kính cần tìm r = |(3 − 2i)i.3| = 13 z − − = Biết tập hợp hợp điểm biểu Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z+i 1+i diễn số phức w = − 2i đường tròn, xác định tâm đường trịn z+i A I(1; 2) Giải Đặt t = B I(1; −2) C I(−1; 2) D I(−1; −2) z−1 suy |t − 2| = z+i it + 1+i z= ⇒z+i= 1−t 1−t Vậy w = (1 − t) − 2i với tâm đường tròn xác định z1 z2 + z2 = −1 − 2i Vậy tâm I(−1; −2) Nhận xét Cho số phức z thỏa mãn |z − z0 | = r Khi ta có max|z − z | = r + |z − z | 1 min |z − z1 | = |r − |z1 − z0 || Các kết dễ dàng có nhờ áp dụng tính chất sau số phức: |z − w| ≥ ||z| − |w|| |z| + |w| ≤ |z| + |w| Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 20 0122 667 8435 ... dựa vào dấu kết để nhận loại giá trị m (kết > nhận, ≤ loại): Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 13 0122 667 8435 1.4 TỐI ƯU BẤM MÁY CHO BÀI TOÁN ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ m −2 −2, Trần Lê Quyền Kết Kết luận... (cố định) m chọn (kết ≥ nhận m, cịn < loại): 3a m 3, Kết Kết luận Loại C >0 Loại A,B Chọn D Ví dụ Tìm m để hàm số y = −x3 + 3mx2 − 3(2m − 1)x + nghịch biến R Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 15... tìm |1 + i| = Khóa kết hợp #Casiotuduy Tp.HCM 19 0122 667 8435 1.5 BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC VÀ VẤN ĐỀ MIN, MAX Trần Lê Quyền Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn | − iz + 1| = Biết tập hợp hợp điểm biểu √