Đề thi học sinh giỏi môn toán

Câu 1 (2 điểm) Cho P= Câu 1 (2 điểm) Cho P= a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên Câu 2 (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các l[.]

Câu : (2 điểm) Cho P= a  4a  a  a  7a  14a  a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phương trình : 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c   3 b c  a a c  b a b  c Câu : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Câu : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 1; a  2; a  Rút gọn P= b) (0,5đ) P= 0,25 a 1 a 0,25 a  23 1  ; ta thấy P nguyên a-2 ước 3, a a mà Ư(3)=   1;1; 3;3 0,25 Từ tìm a    1;3;5 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a b , ta có a+b chia hết cho  0,25  Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a  2ab  b )  3ab =  =(a+b) (a  b)  3ab  0,5 Vì a+b chia hết (a+b)2-3ab chia hết cho ;   Do (a+b) (a  b)  3ab chia hết cho b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thấy (x2+5x)2 0 nên P=(x2+5x)2-36  -36 0,25 0,5 0,25 Do Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ ta tìm x=0 x=-5 Min P=-36 0,25 Câu : (2đ) a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 ĐKXĐ : x  4; x   5; x   6; x  0,25 Phương trình trở thành : 1 1    ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1   x  x  18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) 0,25 (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 yz xz xy ;b  ;c  ; 2 yz xz xy 1 y x x z y z      (  )  (  )  (  ) Thay vào ta A= 2x 2y 2z 2 x y z x z y  Từ suy A  (2   2) hay A 3 Câu : (3 đ) Từ suy a= 0,5 0,25 0,25 a) (1đ) Trong tam giác BDM ta có : Dˆ 120  Mˆ Vì Mˆ =600 nên ta có : Mˆ 120  Mˆ Suy Dˆ  Mˆ x E Chứng minh BMD ∾ CEM (1) Suy D BD CM  , từ BD.CE=BM.CM BM CE Vì BM=CM= BC , nên ta có b) (1đ) Từ (1) suy y A BD.CE= BC 0,5 B 2 M C 0,5 BD MD  mà BM=CM nên ta có CM EM BD MD  BM EM Chứng minh BMD ∾ MED 0,5 Từ suy Dˆ  Dˆ , DM tia phân giác góc BDE Chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 Tính chu vi tam giác 2AH; Kết luận 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Từ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25