PHÒNG GIÁO VÀ ĐÀO TẠO

PHÒNG GIÁO VÀ ĐÀO TẠO PHÒNG GIÁO VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ HỒNG LĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn Toán (Đề có 01 trang) Thời gian làm bài 120 phút PHẦN I[.]

PHÒNG GIÁO VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ HỒNG LĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ LỚP THCS NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) PHẦN I GHI KẾT VÀO BÀI LÀM: Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút 1 1     1 2 3 120  121 Câu 2: Cho hình vng kích thước x tạo từ 16 hình vng nhỏ kích thước 1x1 vẽ bên : a) Hỏi có hình vng? b) Hỏi có hình chữ nhật ? Câu 1: Tính giá trị biểu thức A biết A = Câu 3: Cho dãy số: 12, 5, 25, 29, 85, 89, a) Tìm số b) Tìm số thứ 2016 dãy số Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A AH đường cao tam giác ABC (H thuộc BC) Tính cạnh BC biết diện tích tam giác AHB, AHC 54cm2 96cm2 Câu 5: Cho số nguyên a, b, c biết a + b+ c = 20172106 Hỏi a3 + b3 + c3 chia dư mấy? Câu 6: Phương trình x 1 6 có nghiệm là: x Câu 7: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF theo tỷ số đồng dạng Khi tỷ số diện tích tam giác DEF tam giác ABC ? Câu 8: Tam giác ABC vng A có đường cao AH Biết AB = cm, CH = 4cm Tính BC Câu 9: Cho x  y 5 Giá trị nhỏ biết thức 2x  3y bằng: Câu 10: Hàm số bậc y = ax + b qua điểm M(1; 3) N(2; 4) Tìm a b? PHẦN II Câu 11:   x2    x     a) Rút gọn biểu thức M    x2 x4 b) Giải phương trình x   3x   1 x   Câu 12: a) Tính tổng S   1.3  3.5 12  5.7 240  119.121     1 3 5 119  121 2 b) Cho số a, b, c đôi phân biệt thỏa mãn a  b  c  b  a  c  2016 Tính giá trị biểu thức: M c  a  b  Câu 13: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Chứng minh:   a) BAC ( với I trung điểm BC) BOI b) SinA  SinB  SinC   cos A  cos B  cos C  Cho  ,  góc nhọn thõa mãn:     900 Chứng minh sin      sin  cos  cos sin  / Hết-Giám thị coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM: PHẦN I (Mỗi câu 1,0 điểm) Câu 1: A = 10 Câu 2: a) 12  22  32  42 30 b) 100 Câu 3: a) Quy luật dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau tổng bình phương chữ số số đứng trước : Do số hạng là: 145 = 82  92 b) 42 Câu 4: BC = 25 cm Câu 5: Dư Câu 6: x  Câu 7: Câu 8: BC = cm Câu 9: 30 Câu 10: a = 1; b = PHẦN II a) ĐKXĐ  x 1 Ta có   x   x   x   x   x   x 1 x 1 x   Câu 11 (4 điểm)     x   x   x2     1 x  1 x  x   x   x2 -Suy M   2x 2   x2 b) ĐKXĐ x  x4 Với điều kiện phương trình cho x   3x   x4 x4    x   x  9 (*) x   3x 1 ( x  nên x+ >0) Nếu x   x   x   4.5   3.5  9 x  phương trình (*) vô nghiệm Nếu  Câu 12 (3 điểm) x   x   x   4.5   3.5  9   x  phương trình (*) vơ nghiệm Dễ thấy x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = a) Ta có :  1.3 33  13  3.5 53  33 240  119.121 1213  1193    ; ; …; 2 3 1 119  121 Do S   1.3  3.5 12  5.7 240  119.121     = 1 3 5 119  121 1213  13 113   665 2 2 2 b) Từ giả thiết a  b  c  b  a  c  2016  a  b  c   b  a  c  0   a  b   ab  bc  ca  0  ab  bc  ca 0 (vì a khác b) 2 Khi đó: 2016 a  b  c  a (ab  ac) a ( bc)  c(ab)  c( ac  bc ) c (a  b) Vậy M c  a  b  2016 Câu 13 (3 điểm) A N M O B x C I (Hình 1) 1) (Hình 1) a) Vì tam giác ABC nhọn nên tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm tam giác ABC tía AO nằm hai tia AB AC nên  BAC  A1  A2 Kẻ tia Ox tia đối tia OA, Vì OA = OB = OC nên 1 1 A  B  Ox ; A   COx    BAC  A1  A2  B Ox  COx 2 2  1   B Ox  COx  BOC (1) 2    Mặt khác: Do I trung điểm BC, OB = OC nên OI tia phân giác BOC 1   BOC suy BOI (2)   Từ (1) (2) ta suy BAC BOI b) Từ chứng minh ta suy OI  BC ta suy BI BC   SinA SinBAC SinBOI   OA R OI OI   CosA Cos BAC Cos BOI   OA R Gọi M, N trung điểm AC AB Chứng minh tương tự ta có : SinB  AC OM ; CosB  ; 2R R AB ON ; CosC  2R R Do đó: SinA  SinB  SinC   cos A  cos B  cos C  SinC   AB  AC  BC   OI  OM  ON  Thật vật: Áp dụng bất đẳng thức cạnh tam giác OMN, OIN, OMI đường trung bình tam giác ABC ta có: BC 2.MN  2.(OM  ON ) AC 2.IN  2.(ON  OI ) AB 2.IM  2.(OI  OM Cộng chiều bất đẳng thức ta  AB  AC  BC   OI  OM  ON  (đpcm) 2) A K H C B (Hình 2)   Vẽ tam giác ABC có BAC  ; BCA  ,     90 nên tam giác ABC tù B (Hình 2) Vẽ đường cao AH, BK tam giác ABC, tam giác ABC có B tù nên H nằm ngồi đoạn BC, K nằm A C Ta có ABH    AH KB AK KB CK ; Sin  ; cos  ; Sin  ; cos  AB AB AB BC BC AH BK CK AK BK   Do đó: sin      sin  cos  cos sin   AB AB.BC AB.BC  AH BC BK ( AK  CK )  AH BC BK AC  2S ABC 2 S ABC (ln đúng) Ta có Sin ABH sin(   )  Do ta có điều phải chứng minh Lưu ý: Mọi đáp án cho điểm tối đa theo thang điểm