Giáo trình các mô hình ra quyết định

Trang 1

Giáo trình các mô

Trang 3

Lời nói đâu

Các mô hình ra quyết định là môn học mới và ứng dụng rộng rãi trong các ngành kinh tế, kỹ thuật và nhiều lĩnh vực khác Môn học này chủ yếu dựa trên các kết quả trong lý thuyết quy hoạch tuyến tính để giúp cho những nhà hoạch định chính sách đưa ra những quyết định tốt nhất cho các lĩnh vực mình quan tâm, như: Lập kế hoạch sản xuất, kế hoạch vận chuyển hàng hóa, quy hoạch nông trang, quy hoạch sử dụng đất, rừng, đầu tư tài chính, điều độ vận tải

Với mục đích giúp bạn đọc nhìn nhận được vai trò quan trọng của toán học nói chung và lý thuyết quy hoạch tuyến tính nói riêng đối với các hoạt động sản xuất kinh doanh, hoạt động quản lý, Nhà xuất bản Thông tin và Truyền thông xuất bản Giáo trình “Các mô hình ra quyết định" do TS Phạm Ngọc Anh và Thể Nguyễn Đức Hiển biên soạn giới thiệu với bạn đọc

Giáo trình được viết dựa trên tỉnh thần giản yếu lý thuyết Toán học, tiếp cận các tình huống thực tiễn, vận dụng các kết quả của lý thuyết tối ưu, lý thuyết giải tích lỗi để giải các tình huống đó

Giáo trình “Các mô hình ra quyết định” gồm 4 chương, nội

dung cụ thể như sau: :

Chương 1: Giới thiệu môn học và một số tình huống trong thực tiễn liên quan đến mô hình toán học LP (Quy hoạch tuyến tính)

Chương 9: Một số phương pháp hữu hạn giải mô hình LP Chương ð: Bài toán vận tải

Trang 4

Cuối mỗi mục và mỗi chương đều có bài tập giúp bạn đọc có thể vận dụng kiến thức để áp dụng vào trong các tình huống cụ thể thường gặp Cuốn sách không chỉ có phần phụ lục, trình bày giải bài toán LP bằng Solver, luyện kỹ năng phân tích và sử dụng máy tính để đưa ra quyết định tối ưu mà còn có hướng dẫn và đáp số để cho bạn đọc đối chiếu kết quả

Sau khi nghiên cứu giáo trình, bạn đọc có thể tự tìm cho mình một quyết định tốt nhất với các tình huống thường gặp như: Lập kế hoạch sản xuất, lập kế hoạch quảng cáo, xây dựng kế hoạch đầu tư, lập kế hoạch vận chuyển hàng hóa,

Nhà xuất bản xin trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc và rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý vị Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về Nhà xuất bản Thông tin và Truyền thông - 18 Nguyễn Du, Hà Nội hoặc số 7B, ngõ 38, phố Phương Mai, Hà Nội (nxbthongtintruyenthong.vn) hoặc gửi trực tiếp cho tác giả theo địa chỉ: ndhien219@gmail.com

Trân trọng cảm ơn./

NHÀ XUẤT BẢN

Trang 5

Chương 1

GIỚI THIỆU VỀ MÔN HỌC VÀ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG TRONG THUC TIEN LIÊN QUAN ĐẾN MƠ HÌNH TỐN HỌC LP (QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH)

Mục tiêu: Chương này giúp Sinh viên hiểu được các mô hình ra quyết định là gì? mô hình LP, LPP là gì? Và vai trò của LP, LPP đối với

các hoạt động sản xuất kinh doanh, đầu tư, van tai Từ đó, giúp sinh viên

xác định rõ mục tiêu học môn học này

1.1 KHÁI NIỆM CÁC MƠ HÌNH RA QUYẾT ĐỊNH

Thế giới của chúng ta có nhiều nguồn tài nguyên nhưng tất cả đều có giới hạn của nó: Trữ lượng dầu trong lòng đất ta khai thác rồi sẽ hết, điện tích đất sử dụng cho việc trồng trọt cũng sẽ bị thu hẹp, hay chính chúng ta có một quỹ thời gian hữu hạn để hồn thành cơng việc, một nhà hàng luôn bị hạn chế bởi một lượng chỗ ngồi nhất định Trong kinh doanh, các nguồn lực: vốn, thiết bị, nguyên liệu, đều bị hạn chế

Vấn đề đặt ra ở đây, làm thế nào để sử dụng các nguồn lực một cách

tốt nhất? Cụ thê là ta cần hoạch định chiến lược kinh doanh, một kế

hoạch phân bố nguồn lực, kế hoạch trồng trọt, sử dụng vốn nhằm tối đa

được lợi nhuận hay tối thiểu chỉ phí

Trang 6

6 Giáo trình Các mô hình ra quyết định

đo đó, mô hình ra quyết định được hiểu theo nghĩa rộng hơn đó là tối ưu hóa việc ra quyết định Các tình huống Đưa ra các trong quản lý quyết định ÁP DỤNG MƠ HÌNH RA QUT ĐỊNH 1.2 KỸ NĂNG PHÂN TÍCH TÌNH HUỒNG VÀ ĐƯA RA QUYẾT ĐỊNH Xuất phát từ vẫn đề thực tiễn Buốc 1: Tìm kiếm thông tin gốc:

Đây là quá trình thu thập các số liệu kinh tế - kỹ thuật Bước này khá quan trọng vì tất cả các bước sau dựa vào các số liệu này để tính toán Nó

quyết định tính chính xác của kết quả thu được Mỗi bài toán kinh tế cụ thể đòi hỏi các thông tin gốc khác nhau

Bưuóc 2: Xử lý số liệu:

Bước này có thê chia thành hai giai đọan

Giai đoạn 1: Lập mơ hình tốn: Từ những sô liệu và các yêu cầu về mặt kinh tế - kỹ thuật, ta chuyên thành mơ hình tốn học Địi hỏi ở bước

này là phải thiết lập chính xác và đầy đủ các điều kiện của bài toán

Giai đoạn 2: Lựa chọn thuật toán thích hợp và giải bài toán: Đây là quá trình tính tốn trên mơ hình toán dựa vào các thành tựu mà toán học

đã đạt được Kết quả ở bước này chính là lời giải cơ bản để đưa ra giải

pháp tối ưu về mặt kinh tế Vì vậy đây là bước rất quan trọng Bước 3 Thông tin kết quả:

Trang 7

Chương 1: Giới thiệu về môn học và một sé tinh hudng 7 Để dễ hình dung, chúng ta xem xét các tình huống trong thực tế ở muc sau: 1.3 TIẾP CAN MOT SO TINH HUONG THUC TIEN 1.3.1 Tình huống 1:

(Lập kế hoạch sản xuất với lợi nhuận đạt lớn nhất trong điều kiện tiềm năng các nhân tố sản xuất bị hạn chế)

Trong một chu kì sản xuất, doanh nghiệp sử dụng 3 nhân tố sản xuất chính khác nhau là người lao động, nguyên liệu (đơn vị kilogam - kg), máy móc (đơn vị giờ) dé sản xuất 2 loại sản phẩm P1 và P2 để cung cấp cho thị trường

Cho biết tiềm năng về các nhân tổ sản xuất, lợi nhuận sản phẩm, chỉ phí sản xuất cho mỗi sản phâm mỗi loại được cho trong bảng sau: Nhân tố sản xuất Sản phẩm Tiêm nang _~ tố P1 P2 Nguyên liệu (kg) 27 9 81 May móc (giờ) 2 1 7 Người lao động 2 2 12 Lợi nhuận (triệu đồng) 15 9

Hãy lập kế hoạch sản xuất cho doanh nghiệp để không bị động về tiềm năng các nhân tố sản xuất và thu được lợi nhuận lớn nhất

+ Phân tích và xây dựng mơ hình tốn học:

Gọi xị, xạ lần lượt là số đơn vị sản phẩm của P1 và P2 cần sản xuất trong chu kỹ

Khi đó, x, 20,x, 20 (số đơn vị sản phẩm phải là số không âm) Tổng số nguyên liệu cần là 27x, +9x, (kg) không vượt quá 8Ikg hiện có tại doanh nghiệp (do yêu cầu không bị động về nguyên liệu)

Trang 8

Tổng số lao động cần 2x+2x, (người) không vượt quá 12 người (đội ngũ hiện có chỉ là 12 người)

Tổng lợi nhuận thu được I5x,+9x, triệu đồng tổng này phải đạt lớn

nhất

Từ sự phân tích trên, để tìm quyết định tối ưu cho vấn đề thực sự ta cân giải bài toán sau:

Tìm x = (x¡,x¿) thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện sau: (1) x, 20, x, 20 27x, +9x, S81 (2)4 2x, +x, <7 2x, +2x, $12 (3) f(x) =15x, +9x, > max

1.3.2 Tình huống 2: (Lập kế hoạch quảng cáo tối ưu)

Một công ty muốn có kế hoạch quảng cáo một loại sản phẩm trong vòng 1 tháng với tổng chỉ phí tối đa là 120 triệu đồng Các phương tiện quảng cáo được chọn là: truyền hình, báo và phát thanh với số liệu như sau:

Phương tiện Chỉ phí cho mỗi Số lần quảng cáo Dự đoán số người

ưảng cáo lần quảng cáo tôi đa trong tiêp nhận quảng

quang (triệu đồng) 1 tháng cáo trong mỗi lần Truyền hình (1 phút) 1,2 90 10000 Bao (1/2 trang) 0,9 28 15000 Phát thanh (1 phút) 0,4 120 5000

Vì lý do chiến lượt tiếp thị, công ty yêu cầu ít nhất phải có 60 lần quảng cáo trên truyền hình trong vòng một tháng

Trang 9

Chương l1: Giới thiệu về môn học va mét so tinh huong 9

+ Phân tích và xây dựng mô hình toán học:

Gọi xị, xạ, X3 lần lượt là số đơn vị các phương tiện quảng cáo truyền hinh, báo và phát thanh phải tìm

Số tiền chi phí cho quảng cáo trên truyền hình với thời lượng xị phút là 1,2x¡ triệu đồng

Số tiền chi phí cho quảng cáo trên báo với thời lượng x; (đơn vị 1/2 trang) là 0,9x; triệu dong

Số tiền chi phí cho quảng cáo trên phát thanh với thời lượng x: phút là 0,4x: triệu đông

Tổng số tiền chỉ phí cho quảng cáo trên là 1,2xị¡ +0,9x; +0,4x; triệu đồng <120 (số tiền này không vượt quá 120 triệu đồng)

Theo số liệu đã cho số lần quảng cáo tối đa và số lần tối thiểu cho quảng cáo trên truyền hình theo yêu câu ta có:

x, £90 X, S28 x; £120 x, 2 60

Téng sé tiép nhan quang cdo la: 10x, +15x,+5x, nghin ngudi, số người này đạt càng nhiều càng tốt

Trang 10

1.3.3 Tình huống 3: (Sử dụng vốn đề đầu tư đạt hiệu quả nhất)

Doanh nhân A có vốn 2 tỉ đồng muốn đầu tư vào các danh mục sau đây:

- Giri tiết kiệm không kỳ hạn với lãi suât 4%/năm - Gửi tiết kiệm có kỳ hạn với lãi suất 8⁄/năm - Mua trái phiếu chính phủ với lãi suất 8,5%/nam

- Cho doanh nghiệp tư nhân vay với lãi suất 15%/năm - Mua đất phân lô bán nên với lãi suất 20%4/năm

Thời gian đáo hạn giả thiết là như nhau Các hình thức đầu tư đều có

rủi ro Đệ hạn chê rủi ro doanh nhân A được nhà tư vân hướng dan

như sau:

1 Không cho doanh nghiệp tư nhân vay quá 30% vốn

2 Số tiền mua trái phiếu chính phủ không vượt quá số tiền đầu tư trong 4 lĩnh vực kia 3 Ít nhất 20% số tiền đầu tư phải thuộc lĩnh vực tiết kiệm có kỳ hạn và trái phiêu 4 Tý lệ tiết kiệm không kỳ hạn trên tiết kiệm có kỳ hạn không vượt quá 1⁄3

5 Số tiền mua đất không vượt quá 40% số vốn

Doanh nhân A muốn đầu tư toàn bộ số vốn Hãy lập mô hỉnh bài toán tìm phương án đầu tư sao cho thu được lợi nhuận tôi đa

+ Phân tích và xây dựng mơ hình tốn học:

Gọi xị là tiền gửi tiết kiệm không kỳ hạn x; là tiền gửi tiết kiệm có kỳ hạn

xs là tiền mua trái phiếu chính phủ ˆ x, 1a tién cho doanh nghiệp tư nhân vay xs la tién mua dat phan 16 bán nên

Trang 11

Chương 1: Giới thiệu về môn học và mọt sô tình huông 11 Tổng lợi nhuận: (4%x,+8%x;+8,5%xạ+15%x¿+20%x;) tỷ đồng, tổng này càng lớn càng tốt Không cho doanh nghiệp tư nhân vay quá 30% vốn: ˆ xaS30% xạ => x4¿<0,6 Số tiền mua trái phiếu chính phủ không vượt quá số tiền đầu tư trong 4 lĩnh vực kia X3 XI† x2 † xá † Xs — XỊị† x¿ †X¿T+ xs -x:>0 Ít nhất 20% số tiền đầu tư phải thuộc lĩnh vực tiết kiệm có kỳ hạn và trái phiếu xa¿+x;> 20 %x 2 > x;¿†+x;:>0,4 Tỷ lệ tiết kiệm không kỳ hạn trên tiết kiệm có kỳ hạn không vượt qua 1/3 X1/X2< 1/3 => 3x, -22 <0 Số tiền mua đất không vượt quá 40% số vốn xs<S 40% x 2 = x;< 0,8

Gửi tiết kiệm không kỳ hạn với lãi suất 4%/năm, có kỳ hạn với lãi

suất 8%⁄4/năm, mua trái phiếu chính phủ với lãi suất 8,5%4/năm, cho doanh nghiệp tư nhân vay với lãi suất !5%/năm và mua đất phân lô bán nền với lãi suất 20%/nam

Trang 12

1.3.4 Tình huống 4: (Lập kế hoạch vận tải tốt nhất)

Có hai cơ sở sản xuất đá giăm và ba công trường xây dựng Công suất của từng cơ sở sản xuất, khả năng tiêu thụ của từng công trường và chi phí vận chuyên (đơn vị: trăm ngàn đồng/m') giữa các nơi đó như sau: Công trường Chi phi van chuyén/tan Ty Ta Ts - Nhu cầu (m”) Cơ sở sản xuât 15 20 25 Công suất (m”) C¡ 20 5 7 2 Ca 40 4 3 6 Tìm phương ấn vận tải tôi ưu giữa các cơ sở sản xuât và các công trường

Phân tích và xây dựng mô hình bài toán:

Goi x¡ là sô tân đá giăm sẽ vận chuyên từ cơ sở (C¡) đên công trudng (Tj) G@=12 7 =1,3) Diéu kién x, 20 ((=1,2, j=1,3) Số tấn đá giăm vận chuyển từ C¡ đến 3 công trường là: xi txia+xịs đúng bằng 20 Số tấn đá giăm vận chuyển từ C¿ đến 3 công trường là: X21 + X22 + x23 ding bang 40

Số tấn đá giăm chuyển đến công trường Tị từ 2 cơ sở là:

xi, + x2, ding bang 15 ,

Tổng số tấn đá giăm chuyên đến công trường T; từ 2 cơ sở là:

X12 + X22 dung bang 20

Tổng số lương thực chuyển đến công trường T; tir 2 co sé là:

Trang 13

Chương 1: Giới thiệu về môn học và một số tình hudng 13

Tổng cước phí phải chỉ trả là :

5x11 + 7x12 + 2 x13 + 4x21 + 3x22 + 6293 (tong này càng nhỏ càng tot)

Theo đề ta có mô hình toán học của bài toán 1a: Tim x = (xụ) với (i=1 m; j= 1 n) thoa mãn: ' )x,>0 Œ=12 ,j=l,3) Xịi t#;; +x¡;¿ =20 Xa +Xz +x; =40 (2) 4x, +X, =15 Xp +X, = 20 Xy3 + X45 =25 (3) f(x) = 5X] 1+7xX4242 XI3T 4x›¡†3x;z+ 6X23 min 1.3.5 Tinh huéng 5

Một nhà máy sản xuất nước uống từ 3 loại hoa quả cây như táo, lê và mận thành 2 loại nước giải khát, một số lượng hoa quả cần cho một lít nước giải khát Lượng hoa quả có được và hao phí sản xuất được cho ở bảng dưới đây Biết rằng số lượng táo không vượt quá 500kg, lê là 400kg và mận là 300kg - Loại nước Loại hoa quả Sô lượng n Táo 500 0,3 0,2 Lê 400 0,2 0,3 Mận 300 0,3 0,2 Tống chỉ phí sản xuất 0,5 0,8 Vấn đề phải cực tiêu chỉ phí sản xuất đồng thời đạt cực đại tổng sản phẩm thu được

Trang 14

14 Giáo trình Các mô hình ra quyết định — min 5 - f= 0,5x, + 0,6x, X, +X, với ràng buộc 0,3x, +0,2x, < 500 0,2x, +0,3x, < 400 0,3x, +0,2x, < 300 x, 20 x, 20

Qua cac tinh huống được trinh bay o' phan trên, để có được một quyết định tốt nhất trong điều kiện bị hạn chế (do tiềm năng các nhân tố sản xuất, do chiến lược tiếp thị, đo lời khuyên của chuyên gia, do yêu cầu của đối tác, ) đòi hỏi chúng ta phải giải bài tốn có dạng sau:

1.4 MƠ HÌNH LP - MƠ HÌNH LPP

Trong giáo trình này, chúng tôi chỉ khảo sát kỹ lưỡng mô hình quy hoạch tuyến tính LP (Linear Programming), mô hình LPP độc giả có thể tham khảo trong tài liệu tham khảo

1.4.1 Mô hình quy hoạch tuyến tính LP 1.4.1.1 Mô hình LP

-_ Là bài toán có dạng: Tìm X =(x,,x;, ,x„)c R" thỏa mãn:

(1) x,2(9)0 (j=Ln) (tham chi x, tùy ý)

a,,X, tay, x;+ ta,x, Sb,

Ay ,X, ty) Xz + +05,X, 2d,

(2)

A,X; +Ayy Xp +, X, =D m2 HH TH m

Trang 15

Chương l1: Giới thiệu về môn học và một số tình huồng 15 Hay viết gọn: TÌm x = (Xị, X;, , Xa) VỚI x,€ #., V7 =1,n thỏa mãn: l)x,>0 Vj=l,n Œ) x; J (2) Sa,x,(@ ,=hode Sb, Vi=1m JA

(3) f(x)= Sox, —min (max)

1.4.1.2 Phương án - miền phương án - phương án toi wu

Phương án x=(x,x,, ,x„,) được gọi là phương án cha LP nếu

x=(w,x,, , x„) thỏa mãn đồng thời điều kiện (1) và (2)

Miền phương án là tập hợp tất cả các phương án Ký hiệu: D

Phương án cực biên Phương án x = (Xị, Xạ, Xu)” được gọi lả phương án cực biên của bài toán LP nêu x thỏa mãn chặt (dâu băng xảy ra) đúng n ràng buộc tạo thành hệ độc lập tuyên tính

Phương án tối wu Phuong 4n x° = (x°,x9, ,x°)' duoc goi 1a phuong an tối ưu của LP nếu f(x°)< f(x)VxeD (voi hàm mục tiêu

#(zx}>mm)

1.4.2 Mô hình quy hoạch phân tuyến tính

Quy hoạch phân tuyến tính là một trong những bài toán có nhiều ứng dụng trong kinh tế, cơng nghiệp hố chất, sinh học,

Trang 16

16 Giáo trình Các mô hình ra quyết định n » CX; “ 3 — min Hay: Tim x=(%,,%,, x,)’ € R" thod man: f= n 4x; j=l n : : Sax; <b, i=1,2, m Với hệ ràng buộc: 4 x, 20 _ JF12 ,n Ví dụ

Một nhà máy có thể sản xuất ra l loại sản phẩm theo n công nghệ khác nhau Các yếu tố sản xuất gồm có m loại, với đự trữ của yếu tô sản

xuất thứ ¡ là b,,¡ =1,m Sản xuất theo công nghệ thứ j trong một đơn vị

thời gian cần a, yếu tố sản xuất thứ ¡ và làm ra dị sản phẩm với chỉ phí là

Trang 17

Chương 1: Giới thiệu về môn học và một số tình huông 17

Bài tập chương 1

LẬP MƠ HÌNH LP CHO CAC TINH HUONG SAU:

BT 1.1

Trang 18

18° Giáo trình Các mô hình ra quyết định Để tìm được quyết định tôi uu cho van dé trên ta cần giải bài toán LP như sau + Mô hình LP: Tìm x = (xi, x;) thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện sau: ()x¡>0;1= 1,2 X,< 4 (2) 4x, 25 800000x; +1600000x; < 3200000 (3) f(x) =x, + 6x2 — max + Tim quyét dinh tối ưu (dùng các phương pháp giải bài toán LP) BT 1.2

Một xí nghiệp có thể sản xuất 3 loại sản phâm ký hiệu la: A, B, C Định mức hao phí nguyên liệu, vốn, lao động (quy ra giờ công) và lợi nhuận thu được tính cho một đơn vị sản phâm mỗi loại cho trong bảng sau: sinonin MS | vn | Getta | “tomo A 2 1 4 2 B 3 3 8 3 Cc 3 5 { 5 Mức huy động tối đa 150 120 100

Xí nghiệp sẽ sản xuât bao nhiêu đơn vị sản phâm môi loại sao cho trong phạm vi sô nguyên liệu, vôn, giờ công huy động được, xí nghiệp đạt lợi nhuận cao nhât

Trang 19

Chuong 1: Gidi thiéu vé mén học và một sô tình huông 19

Hướng dẫn và đáp số

Gọi xị, xạ, x; lần lượt là số sản phẩm A, B, C sẽ sản xuất Khi đó ta

có mơ hình tốn học của bài toán đã cho là bài toán quy hoạch tuyến tính (P) sau: f(x) = 2x, + 3x2 + 5x3 — max 2x, + 3x2 + 5x3 < 150 X, + 3x2 + 5x3 < 120 4x, + 8x2 +x3 < 100 X1, X2, X32 0 BT 1.3

Một xí nghiệp sản xuất 3 loại sản phẩm (SP), ký hiệu là 8), S;, S:

cung ứng cho thị trường Cho biết năng suất của xí nghiệp đối với sản

phẩm S¡ là 50 SP/giờ, sản phẩm S,, sản phẩm S: là 75 SP/giờ Năng lực

sản xuất trong một tuần của toàn xí nghiệp thể hiện bằng số giờ sản xuất

tối đa là 45 giờ Nhu cầu hàng tuần về sản phẩm của xí nghiệp ở thị

Trang 20

20 Giáo trình Các mô hình ra quyết định Giải thích: (50x45)+(25x45)+ (75x45) = 6750 6750 50x45 - 6750 25x45 ˆ 6750 15x45 - BT 1.4

Công ty trang trại Cao Nguyên dự định trồng hai loại cây cà phê và tiêu trên 3 khu đất A, B, C có diện tích tương ứng là 50, 60, 40 ha Do đặc điểm của các khu đất khác nhau nên chỉ phí sản xuất (triệu đồng/ha) và năng suất (tạ/ha) khác nhau và cho ở bảng sau: Khu đất Cà phê Tiêu A 2 1,8 9 6 B 2,2 1,6 10 5 C 2,5 1,5 12 4

(Số liệu ở góc bên trái, phía trên của mỗi ô là chỉ phí sản xuất; ở góc bên phải phía dưới của mỗi ô là năng suất) Yêu cầu sản lượng của cà

phê tối thiểu là 500 tạ và tiêu tối thiểu là 480 tạ

Anh chị hãy lập mô hình bài toán xác định phương hướng phân phối đất trồng sao cho đảm bảo yêu cầu về sản lượng với chỉ phí thấp nhất (chỉ lập mô hình, không giải bài toán)

Gọi xị, xạ, x; lần lượt là điện tích (ha) khu đất A, B, C dùng dé trồng

Trang 21

Chương 1: Giới thiệu về môn học và một số tình huống 21 X;>0;J=1, 2, 3, 4, 5, 6 XỊ † Xa 50 X2+X5< 60 X3 + X65 < 40 9x, + 10x + 12x; > 500 6X4 + 5X5 + 4X¢ = 420 - Ấx) = 2xị + 2,2x¿ + 2,5x3 + 1,8x, + 1,6x5 + 1,5x5 — min BT 1.5

| Hãng Hàng không Vietnam Airlines có nhu cầu vận chuyển 1500 hành khách và 150 tấn hàng hóa tại sân bay Nội Bài Giả sử có hai loại máy bay có thể sử dụng với khả năng vận chuyên mỗi loại như sau:

- Máy bay loại A: Một máy bay có thế chở 180 hành khách và 40 tấn hàng hóa với chỉ phí tương ứng là 350 triệu đồng

- Máy bay loại B: Một máy bay có thể chở 200 hành khách và 20 tấn

hàng hóa với chỉ phí tương ứng là 320 triệu đồng

Hãy lập mơ hình bài tốn tìm phương án sử dụng số máy bay mỗi loại sao cho thỏa mãn yêu cầu vận chuyến với tổng chỉ phí ít nhất (yêu

cầu chỉ lập mô hình, không giải bài toán)

Gọi xị, x; lần lượt là số may bay A, B cần sử dụng thì mơ hình tốn học của bài toán trên là bài toán quy tuyến tính sau: XI; X2 > 0 180x, + 200x = 1500 40x, + 20x = 150 f(x) = 350x, + 320x2 > min BT 1.6

Trang 22

- Nguyên liệu loại Œ với trữ lượng: 120 tấn - Nguyên liệu loại H với trữ lượng: 160 tan

Để sản xuất 1 tấn sơn trong nhà cần 4 tấn nguyên liệu G và 2 tấn nguyên liệu loại H

Để sản suất 1 tấn sơn ngoài trời cần 3 tấn nguyên liệu G và 6 tan nguyên liệu loại H

Qua nghiên cứu thị trường, phòng tiếp thị dự báo nhu cầu thị trường trong một tuần như sau:

- Nhu cầu sơn trong nhà không lớn hơn sơn ngoài trời 2 tắn - Nhu cầu lớn nhất của sơn trong nha 1a 4 tan

Giá bán cho đại lí là 30 triệu đồng/tấn cho sơn trong nhà và 38 triệu

đồng/tân cho sơn ngoài trời

Yêu câu: Hãy lập kế hoạch sản xuất như thế nào để công ty đạt đoanh thu lớn nhất (chỉ lập mô hình, không giải bài toán)

Hướng dẫn và đáp số:

Goi x), x; lần lượt là số sơn (tấn) trong nhà và ngoài trời cần sản xuất mỗi tuần Khi đó mơ hình tốn học của bài toán đã cho là bài toán quy hoạch tuyến tính sau: X1, X22 0 4x, + 3x» < 120 2x, + 6x2 < 160 Xy - X2 < 2 XI: 4 f(x) = 30x; + 38x; —> max BT 1.7

Trang 23

Chương 1: Giới thiệu vỀ môn học và một số tình huống 23

sinpnim | NHAN | vượng | em | Hư A 2 1 4 2 B 3 3 8 3 Cc 3 5 1 5 Mức huy động tối đa 150 120 100

Xí nghiệp sẽ sản xuât bao nhiêu đơn vị sản phẩm mỗi loại sao cho trong phạm vi sô nguyên liệu, vôn, giờ công huy động được, xí nghiệp đạt lợi nhuận cao nhât Ngoài ra, đê đảm bảo nhu câu hợp đồng đã kí thì ít nhât phải sản xuât 10 đơn vị sản phâm A

Yêu câu: Anh (chị) chỉ lập mô hình bải tốn, khơng cân giải bài toán Hướng dân và đáp sé:

Gọi x,,x,,x, lần lượt là sô đơn vị sản phâm A, B, C sản xuất Mơ hình tốn học của bài toán: (1) x, 20,Vj=13 2x, +3x,+3x, £150 X,+ 3x, + 5x,=120 (2) 4x, +8x; +x, £100 x, 210 (3) f (x) = 2x, +3x, +5x, > max BT 1.8

Trang 24

các nhóm thiết bị huy động được để sản xuất một xe du lịch cũng như xe tải trong một giờ cho trong bảng sau Nhóm thiết bị Xe du lịch (%) Xe tải (%) Lắp ráp xe du lịch 5 0 Lắp ráp xe tải 0 4 Lắp ráp động cơ 2 3,33 Dập khung xe 3,33 2,5

Tìm khối lượng xe du lịch và xe tải mà hãng cần sản xuất trong một

giờ đề cho trong phạm vi công suât các loại thiệt bị cho phép, hãng đạt

lợi nhuận tôi đa biệt răng chi phí bât biên cho mỗi loại xe không được xét đên trong mô hình này

Lập công thức một mô hình LP cho vấn đề này

Hướng dẫn và đáp số:

Trang 25

Chương 1: Gidi thiéu vé mén hoc và một số tình huồng 25

Hang Essex Corpration có hai nhà máy sản xuất hoá chất và ba nhà kho để lưu trữ sản phẩm và nguyên liệu các loại Các nhà máy được đặt ở hai bang Florida và Texas; các nhà kho đặt tại California, Illinois va New York Chi phí vận chuyên 1 tấn sản phẩm từ mỗi nhà máy đến từng nhà kho cho trong bảng sau (đơn vị tính: $/tan) Nha kho Nha may California Illinois New York Florida 15 10 7 Texas 6 8 11

Khôi lượng sản phâm (tân) được sản xuât ra mỗi ngày ở môi nhà máy và nhu câu sản phâm ở môi kho cho trong bảng sau Nhà máy: Khối Kho: Khối lượng sản phẩm yêu cầu lượng sản phẫm —— — ` Ẩ California lllinois New York sản xuât 2.500 2.000 2.500 Florida: 4.000 ? + ? Texas: 3.000 ? 2 ?

Hãng cân phải tình toán xác định khôi lượng (2?) sản phâm được vận chuyên từ môi nhà máy đên mỗi kho sao cho đảm bảo chuyền hệt sản phâm sản xuất ra ở mỗi nhà máy và đảm bảo đủ nhu câu của mỗi kho với tông chi phí vận tải là tôi thiêu

Hướng dân và đáp so:

Đây là dạng bài toán vận tải sẽ trình bày ở chương 3 Tuy nhiên do chỉ có ba kho và hai nhà máy nên có thê giải băng phương pháp đơn

hình |

Trang 26

26 Giáo trình Các mô hình ra quyết định sản phẩm chuyên từ N; đến K¡, Kạ, K¿ tương ứng, khi đó ta có bài toán sau Z=15x, +10x, + 7x, +6x, +8x, + 11x, > min X, +X, +x, = 4000 X, +X; +x, =3000 x, +X, = 2500 X, ‘x5; =2000 X; +X = 2500 x, 20, 7 =1,2,3,4,5,6 BT 1.10

Đề chuẩn bị ký niệm 1000 năm Thăng Long Hà Nội, ban tổ chức

(BTC) cho phép tổ chức lễ hội Để chuẩn bị cho lễ hội, ban tổ chức cần cung cấp một số thiết bị chuyên dùng từ 3 cơ sở: A1, A2, A3 đến 4 địa

điểm tổ chức lễ hội: B1, B2, B3, B4

_ Với lượng thiết bị có tại các cơ sở này lần lượt là: 500, 150, 350

(thiết bị)

Nhu cau thiét bi tại các nơi tổ chức lễ hội tương ứng là: 100, 200, 300, 400 (thiết bị) Đơn giá cước phí vận chuyến từ cơ sở A, (i=1,3) dén các nơi tổ chức lễ hội B, (7 =1,4) lần lượt là:

4 12 16 28 40 32 16 20

24 8 12 8 (nghin déng/thiét bi)

Hãy lập kế hoạch vận chuyên thiết bị sao cho các cơ sở phân phối hết thiết bị, các nơi tổ chức lễ hội thoả mãn nhu cầu về thiết bị, đáp ứng yêu cầu của ban tô chức và tổng chi phí vận chuyển bé nhất

Trang 27

Chương 1: Giới thiệu về môn học và một sô tình hudng 27 Hướng dẫn và đáp số: Gọi xự là sô thiệt bị vận chuyên từ cơ sở A;¡ đên nơi tô chức B; Xi >0 Gi = 1,334 =],4) Xj, +X, +X, +x,, = 500 Xqy +X +X, +Xz4 =150 X34, +Xy) +X, +X,, = 350 X14, +X +x,, = 100 x;¡ +X¿; +x;; = 200 X3, + %Xy +X3, = 300 [Xap + X yy + X43 = 400 (3) fs) = Ax, + 12X29 + 16x13 + 28X14 + 40x21; + 32x22 + 16x23 + 20X24 + 24x3\+ 8xX32+ 12x33 4+ 8X34 —> mịn

Đây là bài toán vận tải, mỘt loại bài toán có nhiêu ng dụng trong

Trang 29

Chương 2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HỮU HẠN GIẢI MƠ HÌNH LP

2.1 CƠ SỞ TOÁN HỌC 2.1.1.Tập lồi

Tập D được gọi là tập lồi nếu "x, y Mta có Ix+ (1-Dy D.,

Đường thăng, hình tròn, tam giác, tứ giác lỗi, hình tứ diện, là các

tập lồi

C1)\ 7z A<

2.1.2 Một sô tính chât về câu trúc miền nghiệm và sự tôn tại nghiệm của LP Tính chất 1 Giao hữu hạn các tập lồi là tập lôi Tính chất 2 Miền phương án D của bài toán LP là một tập hợp lôi Tính chất 3

Trang 30

30 Giáo trình Các mô hình ra quyết định H1 —— Sax, ($,2)b, 1=1,m j=l Miễn phương án D là tập lỗi đa điện Tính chất 4

Bài toán LP nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau đây:

Điêu kiện 1: Miền phương án D z# ø

Điểu kiện 2: Hàm mục tiêu f(x) (voi f là hàm liên tục) bị chặn (chặn dưới đối với bài toán min, chặn trên đối với bài toán max) trên D thì tôn tại phương án tôi ưu

Tính chất 5

Bài toán LP, nếu có phương án tối ưu, thì có phương án cực biên tối ưu

Tính chất 6

Mỗi hệ ràng buộc tuyên tính chỉ có hữu hạn điêm cực biên

2.2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MÔ HÌNH LP 2.2.1 Phương pháp đồ thị 2.2.1.1 Xét bài toán dạng chuẩn với 2 biễn số (1) x>0,x,>0 (2) dyx,+a,x, <b, Vi=lm (3) f(x) =¢,x,+¢,x, > min (max) Từ ý nghĩa hình học ta biết rằng mỗi bất phương trình: đ,¡xị +đ,;x, <b, xác định một nửa mặt phẳng

Như vậy: Miền D (miền chấp nhận) được xác định như là giao của các nửa mặt phăng và sẽ là một đa giác lõi trên mặt phăng

Phương trình e¡ xị + cạ xạ = a Khi a thay đổi sẽ xác định trên mặt phăng các đường song song với nhau và ta sẽ gọi là các đường mức

Trang 31

Chương 2: Một số phương pháp hữu hạn giải mô hình LP 31

Mỗi điểm x* = (x¡*, x¿*) D sẽ nằm trên đường mức với giá trị mức

a* = cIXI* + cạX¿*

Bài toán đặt ra có thê phát biểu theo ngôn ngữ hình học như sau: Trong số các đường mức cắt D, hãy tìm đường mức với giá trỊ mức

nhỏ nhất (lớn nhất -

Nếu dịch chuyến song song các đường mức theo hướng vectơ pháp tuyến của chúng n= (c,,c,) thì giá trị mức sẽ tăng (hoặc giảm nếu địch

chuyển theo hướng ngược lại) Do đó để giải bài toán ta tiến hành như

sau:

Bước I: Vẽ miền chập nhận được D

Bước 2: Bắt đầu từ một đường mức cắt D ta dịch chuyển song song các đường mức theo hướng (ngược hướng) vectơ pháp tuyến của chúng n= (c¡,€„) cho đến khi nào cho đến khi nào việc dịch chuyên tiếp theo

làm cho đường mức không cắt d nữa thì đừng

Điểm cắt D (có thê nhiều điểm) năm trên đường mức cuối cùng này sẽ là lời giải tối ưu Còn giá trị của hàm mục tiêu (tức là giá trị mức) tại

Trang 32

32 Giáo trình Các mô hình ra quyết định | 0 Dinh Các đường qua đỉnh Giá trị hàm mục tiêu (2,3) 27x†9y = 8]; 2x†y = 7 57 (3,0) 27x+9y = 81; y=0 45 (1,5) 2xty = 7; 2x†2y = 12 60 Max (0,6) 2x†2y =12;x=0 54 (0,0) x=0;y=0 0 Ví dụ 2.2 Tìm x = (Xi, X¿, X:) thỏa mẫn: (1) x, 20, x, 20, x, 20 (2) { (3) f(x) =x, +2x, +3x, —20—> max Giải: X, +X, +x, 54 x, <2 * Vẽ miên phương án D:

Từ (I) và (2) ta thấy miền phương án D là hình chóp cụt ABCOB'C' Đó là một đa diện lỗi kín, nên bải toán đã cho có phương án

Trang 33

* Tìm phương án tối ưu x°: Thấy ngay rằng các điểm:

A(2,0,0) có A)=- 18 O (0, 0, 0) có f(O) = - 20 B' (0,4, 0) có f(B/) = -12

Trang 34

Chú ý:

Có nhiều bài toán khi ta tiến hành giải bằng phương pháp hình học

miên phương án là tập lôi nhưng không phải là đa diện Ví dụ 2.3: Tìm x = (x¡, x;) thỏa mãn: (1) x, 20, x, 20 (2) (4 +5x, 210 3x, + 2x, 212 2x, +4x, 216 2x, +2x, 210 x, 21 (3) f(x) = 2x; + 3x2 + 7>min Giải: * Vẽ miền phương án D: Gọi các đường thắng đị: xị † 5x¿ = l0 dy: 3x; + 2x = 12 d3: 2x; + 4x2 = 16 da: 2X; + 2x = 10 ds: X; = |

thì từ (1) và (2) miền phương án D là một tập lỗi (không kín):

+ eABCE + và không rỗng Bởi vậy bài toán đã cho muốn có phương án tôi ưu thì hàm mục tiêu ƒ{x) phải được chặn dưới

- Gọi đ(m) là đường thắng 2x, + 3x; = m (m là tham số) Ta thấy

đ = (2,3) của đường thăng d(m) Điều đó chứng tỏ hảm mục tiêu f(x) = +7 bi chan dưới bởi biên của miễn phương án D, nên bài toán đã

Trang 35

Chương 2: Một số phương pháp hữu hạn giải mô hình LP 35 A 6 ` \ E 4 NQ —— * Tim phuong án tôi ưu xŸ: x, +5x, =10 (5 | 67 B=d.nd;: => ƒ(B)=-—=22,33 OG 2x, +4x,=16 —,— ⁄ữ) 3 3x, +2x, =12 - C=d, Ad, Ad, :|2%1 + 4%2 =16 = 02,3) > f(C)=20 xX, +x, =5 x, =1 3x, +2x, =12 45 `: h5 =12)5 ƒ(E)=—=225 Từ đó mịn f= min {27; 22,33; 20; 22,5} = 20 =f(C) Vậy phương án tối ưu: x° = (2, 3) Nhận xét:

Điểm tối ưu của bài toán LP có thể đạt tại nhiều điểm

Đối với các bài toán có dạng hai, ba biến thì đùng phương pháp hình học chứng tỏ là rất đơn giản trong việc tìm phương án tối ưu xŸ của bài

Trang 36

phương pháp hình học không giải được nếu bài toán không thể biến đối về bài toán dạng 2,3 biến (làm giảm biên) Vậy ta sẽ thực hiện như

thể nào?

Trong hoạt động kinh tế xã hội luôn đặt ra các bài toán tối ưu Thí

dụ tìm phương án sản xuất cho lợi nhuận cao nhất, chất lượng sản phẩm

tốt nhất giá thành rẻ nhất và ảnh hưởng môi trường sống ít nhất Dạng bài

toán như thế này người ta gọi là rối ưu ẩa mục tiêu (quy hoạch đa mục tiêu)

Bài tập áp dụng

Lập mô hình LP cho câc tình huỗng sau đây và tìm quyết định tối uu cho tình huống đó, bằng sử dụng phương pháp hình học

Bài 1

Một doanh nghiệp ABC sẽ sản xuất 2 loại sản phầm PI và P2 đê cung câp cho thị trường

Trang 37

Hãy lập kế hoạch sản xuất cho doanh nghiệp để không bị động về tiềm năng các nhân tố sản xuất, đáp ứng nhu cầu thị trường và thu được

Trang 38

Bài 2

Một trường Đại học có nhu cầu cần trang bị ít nhất 15 phân mềm loại A và B, trong đó tối đa phải có 10 loại A so một công ty phần mềm

Y sản xuất và thời gian nhận phần mềm không quá 25 giờ Hiện tại Đội ngũ ở công ty Y gồm: 30 lập trình viên

Biết rằng: để sản xuất hoàn thành I phần mềm loại A cần 2 lập trình viên, để sản xuất hoàn thanh 1 phần mềm loại B cần 1 lập trình viên - (nếu lập trình viên tham gia công việc loại A thì không tham gia công việc loại B)

Thời gian cài đặt cho mỗi loại phần mềm này chỉ tốn 1 giờ

Anh (chị) hãy lập kế hoạch sản xuất cho công ty Y để: thoả mãn yêu cầu bên trường X, không bị động về đội ngũ ở công ty, lợi nhuận đem về

cho công ty lớn nhất: (Các chỉ phí khác là 5000USD) Lợi nhuận cho một

loại phần mềm A là: 2000USD và cho một loại phần mém B là:

3000USD

Huong dan va dap so:

Trang 39

Chương 2: Một số phương pháp hữu bạn giải mô hình LP 39 i i i ị ị 0 Đỉnh Cac đường qua đỉnh Giá trị hàm mục tiêu (10,5) xty = 15;x=10 5000 (0,15) xty = 15;x=0 45000 (10,10) 2x+y = 30; x = 10 50000 (5,20) 2x+y = 30; xty = 25 70000 (0,25) xty =25;x =0 75000 Max Bai 3 ‘

Một xí nghiệp có thể sản xuất một loại sản phâm từ hai phân xưởng khác nhau, ký hiệu Œ) và (II) Căn cứ vào nguồn lực hiện có phân xưởng () có thể sản xuất tối đa là 70 sản phẩm, phân xưởng (TT) sản xuất tối đa là 100 sản phẩm trong một tuần Tổng số giờ công có thê sử đụng trong tuần ở cả hai phân xưởng là 600 giờ

Số giờ công cần thiết để sản xuất một đơn vị sản phẩm ở phân xưởng (J) là 10 giờ, ở phân xưởng (1) là 5 giờ Mức sản lượng tối thiểu trong tuần của xí nghiệp là 80 sản phẩm Chi phí sản xuất cho một đơn vị sản phâm tương ứng với phân xưởng () là 20.000 đồng và cho một đơn vị sản phẩm tương ứng với phân xưởng (II) là 30.000đồng

1 Hãy lập mơ hình bài tốn LP, giải và tìm kế hoạch sản xuất trong tuần đảm bảo tổng chỉ phí sản xuất thấp nhất

Trang 40

3 Cho biết giá bán cho một đơn vị sản phẩm được ấn định là 50.000 đồng Dựa vào năng lực hiện có và yêu cầu sản lượng tôi thiểu trong tuần, mỗi phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất? Hướng dẫn và đáp số: 1 Goi x,,x, lần lượt là số sản phẩm do phân xưởng (1), (II) sản xuất trong tuần Mô hình LP Tim x =(X,,X,): x, 20,x, 20 x, $70 x, £100 10x, +5x; <600 X, +x, 280 f(x) =20x, +30x, —> min (ngàn đồng) Đỉnh Các đường qua đính Giá trị hàm mục tiêu (40,40) 10x + 5y = 600; x+ y = 80 2000 min (10,100) 10x + 5y = 600; y = 100 3200 (0,80) x+y = 80; x =0 2400 (0,100) y = 100; x = 0 3000 PATU x* = (40,40); finin = 2000

2 Không còn ý nghĩa vì miền phương án để thay đổi

Định dạng
Số trang	240
Dung lượng	4,3 MB