ĐỀ Tuyển sinh vào LỚP 10 MÔN TOÁN chuyên năm 2022 2023 Trường THCS Chuyên Hạ Long Quảng Ninh

Qua đó, giúp các em học sinh tham khảo, so sánh với bài thi vào lớp 10 năm 2022 2023 của mình thuận tiện hơn. Kỳ thi tuyển sinh vào 10 năm học 2022 2023 ... Các dạng toán xuất hiện trong bài thi gồm: giải hệ phương trình, giải phương trình, tính giá trị biểu thức ... de thi vao lop 10 mon toan chuyen ... ĐỀ Tuyển sinh vào LỚP 10 MÔN TOÁN chuyên năm 2022 2023 Trường THCS Chuyên Hạ Long Quảng Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: Tốn (chun) (Dành cho thí sinh thi vào Trường THPT Chuyên Hạ Long) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề (Đề thi có 01 trang) Câu (3,0 điểm) a) Cho số hữu tỉ x, y thỏa mãn ( x − )( y − ) = Chứng minh A = x − xy + y số hữu tỉ + x 5x −1 b) Giải phương trình: x − x =  x2  y +x=  c) Giải hệ phương trình:  y + y =  x Câu (2,0 điểm) a) Chứng minh với x số ngun 25 x + khơng thể viết dạng tích hai số nguyên liên tiếp  3x + x + 1 b) Tìm tất số thực x cho   = , kí hiệu {a}= a − [ a ] với  2x +1  số nguyên lớn không vượt a Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y ≤ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= ( 2x [a]  1  + y2 + z2 )  + +  y 2z  x Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Đường trịn (O) đường kính BC cắt AB E ( E khác B ) Gọi D điểm cung nhỏ BE ( D khác B , D khác E ) Hai đường thẳng DC AH cắt G , đường thẳng EG cắt đường tròn (O) M ( M khác E ), hai đường thẳng AH BM cắt I , đường thẳng CI cắt đường tròn (O) P ( P khác C ) a) Chứng minh tứ giác DGIP nội tiếp; b) Chứng minh GA.GI = GE.GM ; c) Hai đường thẳng AD BC cắt N , DB CP cắt K Chứng minh hai đường thẳng NK AH song song với Câu (0,5 điểm) Chứng minh 16 số nguyên dương đôi khác nhỏ 23 , tìm hai số khác có tích số phương Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (3,0 điểm) a Cho số hữu tỉ x, y thỏa mãn ( x − )( y − ) = Chứng minh A = x − xy + y số hữu tỉ + x 5x −1 b Giải phương trình: x − x =  x2  y +x=  c Giải hệ phương trình:  y + y =  x Lời giải Chứng minh A = a Cho số hữu tỉ x, y thỏa mãn ( x − )( y − ) = x − xy + y số hữu tỉ ( 3x − )( y − ) = Ta có ⇔ xy − x − y + = ⇔ xy = x + y − ⇔ xy = x + y − ⇔ xy = ( x + y ) − x − xy + y 2= A= ( x + y) x + xy + y − xy= Vì x, y hữu tỉ nên suy x + y − số hữu tỉ ⇒ A hữu tỉ (đpcm) + x x − (1) b Giải phương trình: x − x = Điều kiện: x ≥ Phương trình (1) tương đương với phương trình ⇔ x − x + − x x − =0 ) ( ( ) ⇔ x − 3x x − + x x − − x + = ( ) ( ) ⇔ 3x x − x − + x − x − x − = ( )( ) ⇔ x − x − 3x + x − = ⇔ x − 5x −1 = x + x − = 0 TH1: x − x − = − ( x + y ) + 1= ( x + y − 1) = x + y −1 ⇔ 2x = 5x −1 ⇔ x =5 x − ⇔ x2 − 5x + = 0 ⇔ 4x2 − 4x − x + = ⇔ x ( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1)( x − 1) =  x − =0 ⇔  x − =0 x = ⇔ (thỏa mãn đk) x =  TH2: x + x − = Do điều kiện x ≥ nên x + x − > với giá trị x ⇒ Phương trình vơ nghiệm  1 Vậy tập nghiệm phương trình S = 1;   4  x2  +x= y c Giải hệ phương trình:  y + y =  x Điều kiện x ≠ 0; y ≠  x2 (1)  y +x=  Ta có hệ phương trình  y + y = ( 2)  x Nhân vế với vế hai phương trình (1) ( ) ta được:  x2  y  + x   + y  =  y  x  ⇔ xy + y + x + xy = ⇔ ( x + y) = x + y = ⇔ −3 x + y = TH1: x + y = ⇒ y = − x Thay vào x2 x2 +x= +x= ta 3− x y Điều kiện x ≠ x (3 − x ) (3 − x ) x2 x2 +x=6⇔ + = 3− x 3− x 3− x 3− x ⇒ x + x − x = 18 − x ⇔ 9x = 18 ⇔x= (tmđk) Thay x = vào phương trình (1) ta + = ⇔ y = (thỏa mãn) y TH2: x + y =−3 ⇒ y =−3 − x Thay vào x2 x2 +x= +x= ta −3 − x y Điều kiện x ≠ −3 x2 − x2 x (3 + x ) (3 + x ) +x=6⇔ + = −3 − x 3+ x 3+ x 3+ x ⇒ − x + x + x 2= 18 + x ⇔ 3x = −18 ⇔x= −6 (tmđk) Thay x = −6 vào phương trình (1) ta 36 − = ⇔ y = (thỏa mãn) y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ( 2;1) ; ( −6;3) Câu (2,0 điểm) a Chứng minh với x số nguyên 25 x + khơng thể viết dạng tích hai số nguyên liên tiếp  3x + x + 1 b Tìm tất số thực x cho   = , kí hiệu {a}= a − [ a ] với [ a ]  2x +1  số nguyên lớn không vượt a Lời giải a Chứng minh với x số nguyên 25 x + khơng thể viết dạng tích hai số ngun liên tiếp Giả sử 25 x + viết dạng tích hai số nguyên liên tiếp n ( n + 1) (với n ∈ Z ) Khi đó, ta có 25 x + = ⇔ n + n − =25 x ⇔ n − 2n + 3n − + = 25 x ⇔ ( n − )( n + 3) + = 25 x Vì x số nguyên nên 25x chia hết cho 25 với x nguyên (*) TH1: n − chia hết cho n+3= ( n − 2) + chia hết ( n − )( n + 3) chia hết cho 25 ⇒ ( n − )( n + 3) + không chia hết cho 25 ⇒ Mâu thuẫn với (*) , nên trường hợp loại TH2: n − không chia hết cho ( n − ) + không chia hết ( n − )( n + 3) không chia hết cho ⇒ ( n − )( n + 3) + không chia hết cho hay vế trái không chia hết cho 25 n+3= ⇒ Mâu thuẫn với (*) , nên trường hợp loại Vậy với x số ngun 25 x + khơng thể viết dạng tích hai số nguyên liên tiếp  3x + x + 1 b Tìm tất số thực x cho   = , kí hiệu {a}= a − [ a ] với  2x +1  số nguyên lớn không vượt a Ta có x + x + 1= x + ( x + 1) > với giá trị x 2 x + > với giá trị x ⇒ 3x + x + > (1) 2x2 + Với giá trị x , ta có ( x − 1) ≥ ⇔ x − x + ≥ ⇔ x + ≥ x Hay x ≤ x + ⇒ x + x + ≤ x + 3x + x + x + ⇒ ≤ = ( 2) x2 + 2x +1  3x + x + 1  x2 + =  x + x +  ⇔ Từ (1) ( ) , ta có  =  3x + x +  x +   x + = 3x + x + 1 = ⇔ ( x + x + 1)= x + TH1: 2x +1 ⇔ x + x + 2= x + ⇔ 4x2 + 4x + = [a] ⇔ ( x + 1) = ⇔ x + =0 2 3x + x + = ⇔ ( x + x += TH2: 1) ( x + 1) x2 + ⇔x= − ⇔ x + x + 2= x + ⇔ 4x = 1 ⇔x= 1 Vậy số thực x cần tìm x = − ;x = Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y ≤ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= ( 2x  1  + y2 + z2 )  + +  y 2z  x Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si, ta có 1 1 + ≥2 = x y x y xy ( x − y) ≥ ⇔ x + y ≥ xy ⇔ ( x + y ) ≥ xy ( x − y) ≥ ⇔ x + y ≥ xy ⇔ ( x + y ) ≥ ( x + y ) ( 2x Khi ta có P =  1  + y2 + z2 )  + +  2z  y x   ⇒ P ≥ ( x + y ) + z   +     xy z    ⇒ P ≥ ( x + y ) + z   +     ( x + y )2 z     x + y     z   ⇒ P ≥   +   + 1 8   z     x + y    x+ y Đặt t =    z  Do x + y ≤ z nên < t ≤ 8 1 Ta có P ≥ ( t + 1)  +  với < t ≤  t 2 t 17  t  15 17 t 15 17 ⇒ P = + + = +  + + ≥ + + t  2t  2t 2 2t 2 ⇒ P ≥ 1+ 15 17 17 + = 2 ⇒ P ≥ 17 z Dấu “ =” xảy x= y= Vậy giá trị nhỏ P 17 x= y= z Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Đường trịn (O) đường kính BC cắt AB E ( E khác B ) Gọi D điểm cung nhỏ BE ( D khác B , D khác E ) Hai đường thẳng DC AH cắt G , đường thẳng EG cắt đường tròn (O) M ( M khác E ), hai đường thẳng AH BM cắt I , đường thẳng CI cắt đường tròn (O) P ( P khác C ) a) Chứng minh tứ giác DGIP nội tiếp; b) Chứng minh GA.GI = GE.GM ; c) Hai đường thẳng AD BC cắt N , DB CP cắt K Chứng minh hai đường thẳng NK AH song song với Lời giải A E D G B O C H I M P a) Chứng minh tứ giác DGIP nội tiếp;  =° 90 (góc nội tiếp chắn cung nửa đường trịn) D thuộc đường trịn đường kính BC ⇒ BDC AH đường cao tam giác ABC ⇒ AH ⊥ BC ⇒  AHB =90°  =°  =° G giao điểm DC AH ⇒ BDG 90 ; BHG 90 = 90° + 90°= 180°  + BHG Xét tứ giác BDGH có BDG  , BHG  hai góc vị trí đối Mà BDG Nên suy tứ giác BDGH nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)  =  DBC  = IGC ⇒ DBH HGC  = DPC  (hai góc nội tiếp chắn DC  ) ⇒ DPC =  Xét đường trịn (O) có DBC IGC ⇒ tứ giác DGIP nội tiếp (góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối nó) (dhnb) b) Chứng minh GA.GI = GE.GM ;  =° 90 (góc nội tiếp chắn cung nửa đường trịn) E thuộc đường trịn đường kính BC ⇒ BEC + + =  Ta có BAH ABC =° 90 , BCE ABC =° 90 ⇒ BAH BCE  = BME  (hai góc nội tiếp chắn BE ) Xét đường trịn (O) có BCE =  EAG  = IMG  ⇒ BAH BME Xét ∆GEA ∆GIM có  = IGM  (đối đỉnh), EAG  = IMG  EGA ⇒  ∆GEA # ∆GIM ( g − g ) ⇒ GE GI = (cặp cạnh tỉ lệ) GA GM ⇒ GA.GI = GE.GM (đpcm) Vậy GA.GI = GE.GM c) Chứng minh hai đường thẳng NK AH song song với Xét ∆EGD ∆CGM có  = CGM  (đối đỉnh), EDG  = CMG  (hai góc nội tiếp chắn EC ) EGD ⇒  ∆EGD # ∆CGM ( g − g ) ⇒ GE GC = (cặp cạnh tỉ lệ) GD GM ⇒ GE.GM = GC.GD A E D N G B O C H I M P K Theo câu b, ta có GA.GI = GE.GM nên suy GA.GI = GC.GD ⇒ GA GC GA GD = ⇒ = GD GI GC GI Xét ∆GAD ∆GCI có   (đối đỉnh), GA = GD AGD = CGI GC GI ⇒  ∆GAD # ∆GCI ( c − g − c ) =  (cặp góc tương ứng) ⇒ DAG ICG Xét ∆ANH ∆CKD có  = 90° , NAH  = DCI  AHN= CDK ⇒  ∆ANH # ∆CKD ( g − g )  (cặp góc tương ứng) ⇒ ANH = CKD =  ⇒ DNC DKC  = DKC  Xét tứ giác DNKC có DNC  DKC  hai góc hai đỉnh kề nhìn cạnh DC góc Mà DNC ⇒ tứ giác DNKC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) =  =° ) ⇒ KNC KDC 90 (hai góc nội tiếp chắn KC ⇒ NK ⊥ NC Mà AH ⊥ NC nên suy NK  AH Vậy NK  AH (đpcm) Câu (0,5 điểm) Chứng minh 16 số nguyên dương đôi khác nhỏ 23 , tìm hai số khác có tích số phương Lời giải Lập 15 nhóm sau: Nhóm : 1; 4;9;16 Nhóm : 2;8;18 Nhóm : 3;12 Nhóm : 5; 20 Với 11 nhóm tiếp theo, nhóm có số 11 số khơng nhóm nhóm Với 16 số nguyên dương đôi khác nhỏ 23 xếp vào 15 nhóm ⇒ Có hai số xếp vào nhóm, mà 11 nhóm cuối có số ⇒ Hai số nhóm nhóm từ nhóm đến nhóm ⇒ Tích chúng số phương Vậy 16 số nguyên dương đôi khác nhỏ 23 , tìm hai số khác có tích số phương  ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022- 2023 Mơn thi: Tốn (chun) (Dành cho thí sinh thi vào Trường THPT Chuyên Hạ Long) Thời gian làm bài:... sinh thi vào Trường THPT Chuyên Hạ Long) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề (Đề thi có 01 trang) Câu (3,0 điểm) a) Cho số hữu tỉ x, y thỏa mãn ( x − )( y − ) = Chứng minh... + y = ⇒ y = − x Thay vào x2 x2 +x= +x= ta 3− x y Điều kiện x ≠ x (3 − x ) (3 − x ) x2 x2 +x=6⇔ + = 3− x 3− x 3− x 3− x ⇒ x + x − x = 18 − x ⇔ 9x = 18 ⇔x= (tmđk) Thay x = vào phương trình (1)