SKKN Một số biện pháp giúp học sinh khắc phục các lỗi thường gặp khi giải các bài toán đếm trong chương ii tổ hợp – xác suất, sgk đại số và Giải Tích 11 1 MỤC LỤC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜ[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC CÁC LỖI THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM TRONG CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT, SGK ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11” Người thực hiện: Lê Kim Hoa Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2018 MỤC LỤC SangKienKinhNghiem.net Trang 1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Các giải pháp 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 21 Kết luận kiến nghị 22 SangKienKinhNghiem.net Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Toán học đời để giải nhiều vấn đề đời sống, khoa học kỹ thuật Nhờ tính gắn liền với thực tế nên Tốn học ln mang lại niềm say mê hứng thú cho người học Một phần toán học mang tính ứng dụng cao chương trình tốn THPT chương “Tổ hợp Xác suất” SGK Đại số Giải tích lớp 11 Phần mở đầu chương Hai quy tắc đếm bản, Hoán vị, tổ hợp chỉnh hợp phần kiến thức mới, học sinh chưa làm quen lớp dưới, khái niệm, thuật ngữ, ký hiệu lạ, tập “nhiều chữ” nhiều tập khó Do đó, q trình dạy học cịn gặp số khó khăn định, thực tế giảng dạy nhận thấy em hạn chế việc nắm cú pháp, hiểu ngơn ngữ tốn học, mơ hồ định nghĩa ký hiệu Đặc biệt chưa hiểu quy tắc đếm, khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Nhầm lẫn quy tắc cộng quy tắc nhân, nhầm lẫn chỉnh hợp với tổ hợp dẫn tới lúng túng lựa chọn phương pháp giải dẫn tới giải sai đáp án giải mà khơng biết có giải khơng Nhằm giúp học sinh khắc phục nhược điểm nêu trên, từ đạt kết tốt giải tốn Tổ hợp nói riêng đạt kết cao trình học tập nói chung tơi chọn đề tài: “Một số biện pháp giúp học sinh khắc phục lỗi thường gặp giải toán đếm chương II: Tổ hợp– Xác suất, SGK Đại số Giải tích 11” 1.2 Mục đích nghiên cứu Đại số Tổ hợp phần tốn quan trọng khơng thiếu chương trình phổ thơng đưa vào chương trình Đại số Giải tích lớp 11 Học đại số tổ hợp trang bị cho học sinh khả suy luận cao, tư logic chặt chẽ, xác giúp em giải nhiều tình thực tế như: thiết kế số điện thoại, mã khóa, số seri sản phẩm, mã vạch, thiết kế biển số xe, phân chia nhóm người nhóm vật, tính nhanh tập tập hợp , tính nhanh số vec tơ thành lập từ điểm… Ngồi tốn Tổ hợp cịn móng quan trọng để giải tốn Xác suất, có học tốt tốn Tổ hợp giải tốn xác suất, phần tốn có nhiều ứng dụng thực tế áp dụng môn học khác Tổ hợp xác suất lại phần thiếu kỳ thi quan trọng THPT quốc gia kỳ thi Olimpic, kỳ thi học sinh giỏi Khi giáo viên nghiên cứu sâu toán tổ hợp cụ thể toán dùng hai quy tắc đếm dùng hốn vị, tổ hơp, chỉnh hợp khả suy luận, phân tích, tư phát triển Nâng cao nghiệp vụ chuyên môn rút kinh nghiệm q trình giảng dạy Qua truyền thụ kiến thức cách có hệ thống cho học sinh, mang tới kiến thức hay mẻ, sáng tạo cho em Làm tốt vai trò hướng dẫn người thầy để học sinh tự tìm tịi gải vấn đề tự phát mâu thuẫn, tự nhận sai lầm sữa chữa sai lầm, nhận đặc biệt, điều bổ ích tốn Tổ hợp Giúp học sinh phát triển kỹ tư sáng tạo, vận dụng cách linh hoạt, thông minh việc học toán sống Truyền cho em hứng thú say mê có niềm u thích với Tổ hợp nói riêng mơn Tốn nói chung SangKienKinhNghiem.net 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu học sinh trung bình, học sinh phận học sinh có lực trng bình khối 11 bậc THPT Nội dung Quy tắc đếm 2: Hoán vị- Tổ hợp-Chỉnh hợp chương trình sgk Đại số Giải tích lớp 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Điều tra, quan sát - Thực nghiệm sư phạm - Tổng kết rút kinh nghiệm - Tôi xây dựng hệ thống tập phù hợp với lực học sinh, củng cố khái niệm, so sánh khái niệm để học sinh tự nhận giống khác chúng, tự lựa chọn phương pháp giải tập, sai lầm em mắc phải, chỉnh sửa lời giải, đưa lời giải rút kết luận cho em Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận Trong khoa học đời sống chúng thường gặp toán xác định số lượng đối tượng thỏa mãn yêu cầu Ta gọi tốn đếm Tổ hợp nghiên cứu nhiều vấn đề mang cấu trúc rời rạc có tốn đếm Các kiến thức, kỹ tốn tổ hợp cần thiết cho nhiều mơn khoa học từ kinh tế tới tin học, sinh học, hóa học, quản trị kinh doanh… Phần tổ hợp chương “Tổ hợp Xác suất” có mục đích trang bị cho học sinh hai quy tắc đếm bản, khái niệm hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp Nhờ xác định số lượng phần tử tập hợp cách nhanh chóng xác mà khơng cần liệt kê nhiều liệt kê hết số lượng phần tử lớn Căn vào yêu cầu mục tiêu hệ thống giáo dục bậc THPT Căn vào tình hình học tập hệ THPT việc học môn Đại số Giải tích 2.2 Thực trạng vấn đề Trong cơng tác giảng dạy tốn THPT nội dung Tổ hợp đánh giá khó dạy, khái niệm mới, học sinh chưa làm quen lớp dưới, khái niệm “na ná” làm học sinh khó phân biệt, cơng thức ký hiệu lạ, khái niệm tập “nhiều chữ” cách suy luận khơng hồn tồn giống suy luận toán học học Thực tế học sinh trường THPT Thạch Thành đa số em đồng bào dân tộc thiểu số sinh sống miền núi vùng đặc biệt khó khăn, đời sống cịn thấp ảnh hưởng không nhỏ tới việc học em, điều kiện học tập khơng có nên học lực cịn yếu khả tiếp thu mơn tốn chậm, khơng tự học tự làm tập, phần “khó nhằn” tổ SangKienKinhNghiem.net hợp xác suất Học sinh lười học, nhiều thầy cô không hào hứng dạy làm phần tốn khó lại khó Thời lượng phân phối chương trình cho bài: Hai quy tắc đếm tiết, Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp tiết, tiết tập tiết thực hành Thời lượng để truyền tải hết quy tắc khái niệm phân biệt quy tắc khái niệm Khơng cịn thời gian cho em luyện tập Dẫn tới kết không mong muốn Kết điểm kiểm tra chương II Tổ hợp- Xác suất học sinh (năm học 20142015) sau: Lớp Số Tỷ lệ học sinh đat điểm HS Giỏi Khá TB Yếu Kém 11C2 49 3hs (6%) 9Hs (18%) 23hs (47%) 15hs (30.6%) 0hs (0%) 11C3 36 1Hs (2.8%) 5hs (13.9%) 7hs (19.4%) 10hs (27.8%) 13hs(36.1%) 11C5 41 0hs (0%) 1hs (2.4%) 5hs (12.2%) 20 hs (48.8%) 15hs (36.6%) Hầu em đạt điểm trung bình trung bình, số lượng học sinh đạt điểm khơng nhiều, có học sinh đạt điểm gỏi Do vấn đề dạy học chủ đề Tổ hợp cần nghiên cứu rèn luyện cho học sinh nắm vững chất hai quy tắc đếm, khái niệm Hoán vị, Tổ hợp, Chỉnh họp phân biệt quy tắc, khái niệm với Nhớ xác ký hiệu P n , Ank , Cnk , rèn luyện dạng tập hai quy tắc đếm, đếm số hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, tập hoán vị thẳng, hoán vị vòng, đếm số thỏa mãn điều kiện cho trước… với mức độ bản, phổ thông phù hợp lực học sinh THPT Thạch Thành 2.3 Các giải pháp - Trong học lý thuyết làm rõ cho học sinh khái niệm bản, để học sinh phân biệt quy tắc cộng vơi quy tắc nhân, dùng quy tắc cộng, dùng quy tắc nhân phân biệt khái niệm Hoán vị, Chỉnh hợp tổ hợp cho học sinh cách so sánh điểm giống điểm khác khái niệm có ví dụ minh họa - Sau tiết tự chọn tơi xây dựng hệ thống tập đơn giản phù hợp với học sinh Có phải lược bỏ bớt câu hỏi phức tạp giữ lại câu dễ, phải diễn đạt lại câu hỏi lạ thành câu quen thuộc Xong xắp xếp lại tập loại cho học sinh vận dụng tập tương tự Cho em trình bày lời giải tơi phân tích, sai lầm em mắc phải, sữa chữa sai lầm đưa lời giải cho em Sau dạng nêu lưu ý kết luận cho em Cuối đưa hệ thống tập trắc nghiệm cho em tự luyện nhà giải đáp vào buổi học Trong qua trình gải tốn tổ hợp tơi định hướng cho học sinh sau: Bước 1: Đọc kỹ đề bài, xem xét yêu tố lựa chọn cách giải SangKienKinhNghiem.net Bước 2: kiểm nghiệm lại bài, xét xem khả xảy mà bị bỏ sót Xét xem có thiếu hay thừa kiện tốn khơng Khích lệ học sinh làm theo nhiều cách khác Để củng cố khắc sâu khắc niệm quy tắc, phân biệt chúng với Tự giải toán, tự phát sai lầm sửa chữa sai lầm Kích thích tính tị mò ham học hỏi học sinh Quy tắc cộng Khái niệm: Giả sử công việc thực theo hai phương án: - Phương án A có m cách thực - Phương án B có n cách thực (không trùng với phương án phương án thứ nhất) Quy tắc cộng dạng tổng quát: Giả sử công việc thực k phương án: A1, A2, … Ak - A1 có n1 cách thực - A2 có n2 cách thực - … - Ak có nk cách thực Khi cơng việc thực n1+n2+…+ nk phương án Phương pháp dùng quy tắc cộng để đếm - Bước 1: Chia yêu cầu tập thành trường hợp không giao (rời nhau) - Bước 2: Tính số cách thực trường hợp - Bước 3: Tính tổng cộng cách thực tất trường hợp Quy tắc nhân Khái niệm: Một công việc thực hai hành động liên tiếp - Hành động thứ có m cách thực - Ứng với cách thực hành động thứ có n cách để thực hành động thứ hai Thì ta có m.n cách thực công việc Quy tắc nhân dạng tổng quát: Giả sử cơng việc có k hành động để thực công việc A1, A2, …, Ak - Cơng đoạn A1 có n1 cách thực - Cơng đoạn A2 có n2 cách thực - … - Cơng đoạn Ak có nk cách thực Khi dó công việc thực n1 N2 …nk cách - Phương pháp dùng quy tắc nhân để đếm: Bước 1: Chia yêu cầu toán thành cách hành động khơng giao rời nhau) Bước 2: Tính số cách thực hành động Bước 3: Nhân số cách tất hành động SangKienKinhNghiem.net Chú ý: Phân biệt quy tắc cộng quy tắc nhân: - Một cơng việc có nhiều phương án để thực hiện, ta cần thực theo phương án hồn thành cơng việc ta dùng quy tắc cộng - Một công việc thực nhiều công đoạn liên tiếp nhau, tức phải thực bước khơng bỏ qua bước hồn thành cơng việc ta dùng quy tắc nhân Dùng quy tắc cộng quy tắc nhân để đếm Phương pháp: Chia toán thành trường hợp: - Trường hợp 1: thường dùng quy tắc nhân để tính có n1 cách thực - Trường hợp 2: thường dùng quy tắc nhân để tính có n2 cách thực - … - Trường hợp k: thường dùng quy tắc nhân để tính có nk cách thực Vậy theo quy tắc cộng có: n1+n2+…+ n3 Bài ví dụ 1: Có số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho 5? Lời giải có sai lầm 1: Gọi số tự nhiên cần lập là: N = abcd , Chọn d: d Ỵ {0;5} , d có cách chọn Chọn a: a ¹ , a Ï {0;5} a có cách chọn Chọn b: b Ï {0;5} , b ¹ a , b có cách chọn Chọn c: c Ï {0;5} , c ¹ a, c ¹ b , c có cách chọn Theo quy tắc nhân có: 2.8.7.6 = 672 số cần tìm nên chọn đáp án B Lời giải có sai lầm 2: Gọi số tự nhiên cần lập là: N = abcd , Chọn d: d Î {0;5} , d có cách chọn Chọn a: a ¹ , a ¹ d , a có cách chọn Chọn b: b ¹ d , b ¹ a , b có cách chọn Chọn c: c ¹ d , c ¹ a, c ¹ b , c có cách chọn Theo quy tắc nhân có: 2.8.8.7 = 896 số cần tìm Lời giải có sai lầm 3: Gọi số tự nhiên cần lập là: N = abcd , Chọn a: a ¹ , a có cách chọn Chọn b: b ¹ a , b có cách chọn Chọn c:, c ¹ a, c ¹ b , c có cách chọn Chọn d: d Ỵ {0;5} , d có cách chọn Theo quy tắc nhân có: 9.8.7.2 = 1008 số cần tìm SangKienKinhNghiem.net Phân tích ngun nhân sai lầm: Hai lời giải học sinh nhầm lẫn điều kiện chữ số khác thành a, b, c khác nên thiếu trường hợp Lời giải thiếu điều kiện d ¹ a, b, c nên thừa trường hợp Ngoài em thường quên điều kiện yêu cầu toán đưa ra: - Quên điều kiện chữ số khác - Quên điều kiện chữ số đứng đầu a phải khác Phân tích tốn: Gọi số tự nhiên có chữ số chia hết cho là: N = abcd , a ¹ b ¹ c ¹ d a ¹ 0, d Ỵ {0;5} Ta chia thành hai trường hợp theo d là: d = d =5 Lời giải chi tiết: Gọi số tự nhiên có chữ số chia hết cho là: N = abcd , iu kin a 0, d ẻ {0;5} a ¹ b ¹ c ¹ d Ta chia thành hai trường hợp sau: - Trường hợp 1: d = , N có dạng N = abc0 Chn a: a ị a ẻ {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} nên a có cách chọn Chọn b: b Ỵ {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} , b ¹ , b ¹ a nên b có cách chọn Chọn c: c Ỵ {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} c ¹ , c ¹ a, c ¹ b nên c có cách chọn Theo quy tắc nhân có: 9.8.7=504 số có dạng N = abc0 mà chữ số khác - Trường hợp 2: d = , N có dạng N = abc5 Chn a: a , a ị a Ỵ {1, 2,3, 4, 6, 7,8,9} nên a có cách chọn Chọn b: b Ỵ {0,1, 2,3, 4, 6, 7,8,9} b ¹ , b ¹ a nên b có cách chọn Chọn c: c Ỵ {0,1, 2,3, 4, 6, 7,8,9} c ¹ c ¹ a, c ¹ b nên c có cách chọn Theo quy tắc nhân có: 8.8.7=448 số có dạng N = abc5 mà chữ số khác Vậy theo quy tắc cộng có 504+448 =952 số cần tìm Bài ví dụ 2: Bà Nga cần tìm chủ nhân số điện thoại di dộng mà quên hai chữ số cuối Hỏi để tìm chủ nhân số điện thoại bà Nga phải kiểm tra tối đa số điện thoại? Lời giải có sai lầm: Gọi số điện thoại cần tìm có hai chữ số cuối xy Ta có: Chọn x: x Ỵ {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} nên x có 10 cách chọn Chọn y: y Ỵ {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} nên y có 10 cách chọn Theo quy tắc cộng có 10+10=20 số điện thoại Phân tích sai lầm: Sai lầm nhầm lẫn hai giai đoạn phải liên tiếp hồn thành cơng việc nên áp dụng sai quy tắc SangKienKinhNghiem.net Lời giải chi tiết: Để tìm chủ nhân số điện thoại cần tìm bà Nga phải kiểm tra nhiều số tất số điện thoại với chữ số đầu biết có hai chữ số cuối xy Giai đoạn chọn x: x Ỵ {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} nên x có 10 cách chọn Giai đoạn chọn y: y Ỵ {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} nên y có 10 cách chọn Đây hai giai đoạn liên tiếp nhau, theo quy tắc nhân có: 10.10 = 100 số Vậy bà Nga cần kiểm tra tối đa 100 số điện thoại Hoán vị Khái niệm: Cho tập A gồm n phần tử (n ³ 1) Mỗi xếp gồm n phần tử - tập A gọi hoán vị A Phương pháp dùng hoán vị để đếm: Số hoán vị n phần tử Pn = n ! ( qui ước 0!=1) Hai hoán vị n phần tử khác thứ tự xếp Kết luận: Dấu hiệu nhận dạng tốn đếm có sử dụng hốn vị Chúng ta thường dựa dấu hiệu: + Tất n phần tử có mặt + Mỗi phần tử xuất lần + Có phân biệt thứ tự phần tử Bài ví dụ 3: Một tổ gồm em học sinh nam em học sinh nữ ngồi vào bàn dài a) Hỏi có cách xếp chỗ ngồi? b) Hỏi có cách xếp họ ngồi bàn dài ngồi nam, nữ xen kẽ nhau? Sai lầm thường gặp: câu b, sai lầm chủ yếu em xét thiếu trường hợp xét trường hợp mà quên trường hợp ngược lại Phân tích tốn: câu b, ta xét hai trường hợp sau: TH1: Một bạn nam ngồi vị trí thứ kết thúc vị trí thứ 10 bạn nữ bảng sau: 10 Nam Nữ Nam Nữ Nam Nữ Nam Nữ Nam Nữ Vậy để đảm bảo tính xen kẽ ta cần xếp bạn nam vào vị trí 1,3,5,7,9 Và bạn nữ vào vị trí 2,4,6,8,10 TH2: bạn nữ ngồi vị trí thứ kết thúc vị trí thứ 10 bạn nam bảng sau: 10 SangKienKinhNghiem.net Nữ Nam Nữ Nam Nữ Nam Nữ Nam Nữ Nam Vậy để đảm bảo tính xen kẽ ta cần xếp bạn nữ vào vị trí 1,3,5,7,9 Và bạn nam vào vị trí 2,4,6,8,10 Lời giải chi tiết: a) hàng gồm 10 học sinh xếp thành hàng dọc cách hàng hốn vị 10 phần tử Vậy số cách xếp hàng là: P10 = 10! b) + TH1 ta có: xếp bạn nam vào vị trí 1,3,5,7,9 có 5! Cách xếp bạn nữ vào vị trí 2,4,6,8,10 Có 5! Cách xếp Theo quy tắc nhân ta co 5!.5! cách xếp + TH2 ta có: xếp bạn nữ vào vị trí 1,3,5,7,9 có 5! Cách xếp bạn nnam vào vị trí 2,4,6,8,10 Có 5! Cách xếp Theo quy tắc nhân ta co 5!.5! cách xếp Vậy theo quy tắc cộng ta có 5!.5! +5!.5! = 28800 cách xếp Chỉnh hợp Khái niệm: Cho tâp A gồm n phần tử (n ³ 1) k số tự nhiên với £ k £ n Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập A xếp chúng theo thứ tự họi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Phương pháp dùng chỉnh hợp để đếm - Số chỉnh hợp chập k n phần tử là: Ank = n! = n(n - 1)(n - 2) (n - k +1) (n - k)! - Phân tích toán để dùng số chỉnh hợp chập k n phần tử, toán phải thỏa mãn: + k phần tử đôi khác + k phần tử xếp có thứ tự - Kết luận: Dấu hiệu nhận dạng tốn đếm có sử dụng chỉnh hợp: + Chọn k phần tử từ n phần tử + Có phân biệt thứ tự phần tử Bài ví dụ 4: Có số tự nhiên có chữ số đơi khác nhau? Lời giải có sai lầm: Mỗi số tự nhiên có chữ số đôi khác chỉnh hợp chập 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Do số số tự nhiên lập thỏa mãn là: A105 = 30240 Nguyên nhân sai lầm: Quên điều kiện chữ số a đứng đầu phải khác Phân tích tốn: Gọi số tự nhiên có chữ số đơi khác là: N = abcde số tự nhiên có tính chất là: 10 SangKienKinhNghiem.net + chữ số đôi khác + chữ số xắp xếp có tính thứ tự (ví dụ:12345 54321 hai số khác nhau) + Chú ý vị trí đứng đầu phải khác nên a ¹ Lời giải chi tiết: Gọi số tự nhiên có chữ số đơi khác là: N = abcde Vỡ a nờn a ẻ {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} nên a có cách chọn Bốn chữ số lại bcde chọn từ tập hợp {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} \ {a} nên có số cách chọn A94 Vậy có A94 = 27216 số cần tìm Chú ý: Phân biệt hoán vị chỉnh hợp: Từ định nghĩa cho tập A có n phần tử - Mỗi hoán vị mang xếp tất n phần tử - Mỗi chỉnh hợp mang xếp số k phần tử (1 £ k £ n) số n phần tử - Vậy hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử: Vậy Pn = Ann Tổ hợp Khái niệm: Cho tập hợp A có n phần tử (n ³ 1) Mỗi tập gồm k phần tử (1 £ k £ n) A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Phương pháp dùng tổ hợp để đếm - Số tổ hợp chập k n phần tử Cnk = n! k !(n - k )! - Phân tích tốn để dùng số tổ hợp chập k n phần tử: Bài toán phải thỏa mãn: k phần tử tổ hợp phải: + Đôi khác + k phần tử khơng xét tính xếp (nghĩa thay đổi thứ tự phần tử dãy k phần tử không thay đổi) Kết luận: Dấu hiệu nhận dạng tốn đếm có sử dụng tổ hợp Chúng ta thường dựa dấu hiệu: + Chọn k phần tử số n phần tử + Không phân biệt thứ tự phần tử Bài ví dụ 5: Từ mơn học: Tốn, Văn, Anh, Giáo dục công dân, thành lập tổ hợp môn xét tuyển kỳ thi THPT Quốc gia gồm có mơn học từ mơn trên? Lời giải có sai lầm: Ba môn tạo tổ hợp mơn xét tuyển, số tổ hợp mơn xét tuyển lập từ ba mơn: Tốn, Văn, Anh, Giáo dục công dân là: A43 = 24 Nguyên nhân sai lầm: Cách giải tính lặp 3! tổ hợp mơn xét tuyển ba mơn thi khơng có tính thứ tự Ví dụ: tổ hợp: Tốn, Văn, Anh tổ hợp: Anh, Toán, Văn 11 SangKienKinhNghiem.net Lời giải chi tiết: Mỗi tổ hợp xét tuyển lập tập tập cho (hay ba môn thi tổ hợp xét tuyển khơng có tính thứ tự), suy số tổ hợp xét tuyển số tổ hợp chập phần tử Do đó, số tổ hợp xét tuyển lập là: C43 = Bài ví dụ 6: Cho tập A = { A, B, C , D} Hỏi A có tập con? Lời giải: Mỗi tập A có k phần tử số phần tử tổ hợp chập k - TH1: Tập có phần tử (tập rỗng), có: C40 - TH2: Tập có phần tử có: C41 - TH3: Tập có phần tử, có: C42 - TH4: Tập có phần tử, có: C43 - TH5: Tập có phần tử (tập A), có: C44 Do số tập là: C40 + C41 + C42 + C43 + C44 = 24 = 16 tập Sai lầm thường gặp: Sai lầm em thường mắc phải quên đếm tập rỗng Bài ví dụ 7: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ, thầy giáo chủ nhiệm cần chọn đội gồm bạn để tham gia đội niên xung kích nhà trường Hỏi thầy giáo có cách chọn cho có hai bạn nữ? Lời giải có sai lầm: Bước 1: Vì có nữ nên chọn nữ có: C72 cách Khi bạn số 13 bạn cịn lại ln thỏa mãn: “ít nữ” Bước 2: Chọn bạn cịn lại số 13 bạn có: C134 Vậy có: C72 C134 = 15015 cách Lời giải cách tính trực tiếp (chia trường hợp) TH1: nữ+4 nam có: C72 C84 cách TH2: nữ +3 nam có: C73 C83 cách TH3: nữ +2 nam có: C74 C82 cách TH4: nữ +1 nam có: C75 C81 cách TH5: nữ có: C76 cách Vậy có tẩ cả: C72 C84 + C73 C83 + C74 C82 + C75 C81 + C76 = 4585 cách Lời giải cách tính gián tiếp Bước 1: chọn học sinh có: C156 cách Bước 2: chọn học sinh nam, học sinh nữ: C85 C71 cách Bước 3: chọn học sinh nam: C86 cách 12 SangKienKinhNghiem.net Số cách chọn thỏa mãn là: C156 - (C85 C71 + C86 ) = 4585 Nguyên nhân sai lầm: lời giải độc đáo phân biệt thứ chọn liên tiếp, tức bị lặp Ví dụ bạn Nam có tên là: A, B, C, D, E, F, G, H Bạn nữ có tên là: 1, 2, 3, 4, 5, Giả sử chọn hai nữ 1, Và người chọn A, B, 3, Lần sau chọ hai nữ 3, Và chọn người lại A, B, 1, Và hai cách chọn trùng Chú ý: Phân biệt Chỉnh hợp với Tổ hợp: Mỗi chỉnh hợp chập k n phần tử lấy k phần tử số n phần tử kể thứ tự Mỗi tổ hợp chập k n phần tử lấy k phần tử số n phần tử không kể thứ tự Nhấn mạnh cho học sinh là: sau chọn nhóm đối tượng ta tráo đổi vai trò hai phần tử cho cách chọn chỉnh hợp, khơng cách chọn tổ hợp Tức muốn hình thành chỉnh hợp chập k n phần tử ta tiến hành theo hai bước liên tiếp Bước 1: tìm tất tổ hợp chập k n Bước 2: tìm tất hốn vị tổ hợp Vậy: Cnk = k ! Ank B BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Bài toán đếm chỉnh hợp, tổ hợp Bài tập 1: Trong kỳ đại hội đoàn trường THPT Thạch Thành nhiệm kỳ 2017- 2018 có 30 đồng chí đồn viên tham dự, cần bầu ban chấp hành đoàn trường gồm đồng chí, có bí thư, phó bí thư hai ủy viên, hỏi có cách lập? Lời giải có sai lầm: Chọn đồn viên để làm bí thư phó bí thư có C302 = 435 cách chọn Chọn ủy viên số 28 đồn viên cịn lại có C282 cách chọn Theo quy tắc nhân có: C302 C282 = 164430 cách bầu chọn Nguyên nhân sai lầm: Trong bước chọn đồn viên để làm bí thư phó bí thư bước chọn có thứ tự, ví dụ chọn đồn viên A B có cách: Alàm bí thư, B làm phó bí thư B làm bí thư, A làm phó bí thư Nên cách chọn phải chỉnh hợp chập 30 Lời giải 1: Để chọn ban chấp hành ta có bước sau: Bước 1: Chọn đoàn viên để làm bí thư làm phó bí thư có: A302 cách chọn 13 SangKienKinhNghiem.net Bước 2: Chọn đồn viên làm ủy viên có: C282 cách chọn Vậy có: A302 C282 = 328860 cách bầu chọn Lời giải 2: Để chọn ban chấp hành ta có bước sau: Bước 1: Chọn bí thư có 30 cách Bước 2: Cịn lại 29 đồn viên Chọn phó bí thư có 29 cách Bước 3: Cịn lại 28 đồn viên Chọn ủy viên có: C282 cách Theo quy tắc nhân có: 30.29.C282 = 328860 cách bầu ban chấp hành Lời giải 3: Để chọn ban chấp hành ta có bước sau: Bước 1: chọn đoàn viên (cách chọn khơng thứ tự) có: C304 cách Bước 2: số đoàn viên chọn tiếp tực chọn đồn viên để làm bí thư làm phó bí thư ( cách chọn định rõ làm tức có thứ tự) nên có A42 cách Và chọ đồn viên cịn lại làm ủy viên có cách chọn Vậy có : C304 A42 = 328860 Bài tập 2: Trong hộp có bút bi mầu đỏ, bút bi mầu xanh bút bi mầu đen Cần lấy từ hộp bút bi cho bút chọn khơng có đủ mầu Lời giải có sai lầm: Số cách chọn bút khơng có mầu đỏ là: C114 Số cách chọn bút khơng có mầu xanh là: C104 Số cách chọn bút khơng có mầu đen là: C94 Theo quy tắc cộng có: C114 + C104 + C94 = 666 cách lấy Nguyên nhân sai lầm: Cách giải sai chỗ tính lặp lại lần số bút bi mầu đỏ mầu xanh mầu đen Lời giải 1: Chọn trực tiếp: Số cách chọn bút mầu là: C44 + C54 + C64 = 21 Số cách chọn bút có mầu đỏ xanh là: C41 C53 + C42 C52 + C43 C51 = 120 Số cách chọn bút có mầu xanh đen là: C51.C63 + C52 C62 + C53 C61 = 310 Số cách chọn bút có mầu đen đỏ là: C41 C63 + C42 C62 + C43 C61 = 194 Theo quy tắc cộng có: 21 +120 + 310 +194 = 645 cách Lời giải 2: Chọn gián tiếp Số cách chọn tùy ý bút hộp là: C154 14 SangKienKinhNghiem.net Số cách chọn bút đủ mầu: + đỏ, xanh, đen: C42 C51.C61 + đỏ, xanh, đen: C41 C52 C61 + đỏ, xanh, đen: C41 C51.C62 Số cách chọn bút khơng có đủ mầu là: C154 - (C24 C15 C16 + C14 C52 C16 + C14 C15 C62 ) = 645 Chú ý: với cách giải trực tiếp có nhiều phương án, việc xét đủ trường hợp dài ta lấy số tất phương án trừ số phương án “đối lập” với Bài tập 3: Cơ giáo dạy tốn có 12 câu hỏi giải tích khác 10 câu hỏi hình học khác Biết đề thi gồm câu hỏi giải tích câu hỏi hình học, hỏi có cách chọn câu hỏi giải tích câu hỏi hình học để ghép thành đề thi Lời giải có sai lầm 1: Số cách chọn câu hỏi giải tích số 12 đề là: A123 cách Số cách chọn câu hỏi hình học số 10 đề là: A103 cách Vậy số cách chọn đề thi là: A123 A103 = 950400 Lời giải có sai lầm 2: Số cách chọn câu hỏi giải tích số 12 đề là: C123 cách Số cách chọn câu hỏi hình học số 10 đề là: C103 cách Vậy số cách chọn đề thi là: C123 C103 = 26400 Lời giải có sai lầm 3: Số cách chọn câu hỏi giải tích số 12 đề là: C123 cách Số cách chọn câu hỏi hình học số 10 đề là: C103 cách Trong đề chọn có câu hỏi giải tích câu hỏi hình học khác nhau, ta hốn đỏi vị trí cho đề giải tích đề hình học Vậy số cách chọn đề thi là: 3!.3!C123 C103 = 950400 Nguyên nhân sai lầm: - Lời giải sai thứ tự tốn khơng u cầu thứ tự - Lời giải 2: sai thiếu số cách chọn để ghép đề giải tích với đề hình học - Lời giải 3: Sai hốn vị đề giải tích đề hình học xảy trùng lặp 15 SangKienKinhNghiem.net Lời giải đúng: Số cách chọn câu hỏi giải tích số 12 đề là: C123 cách Số cách chọn câu hỏi hình học số 10 đề là: C103 cách Trong đề chọn có 3! Cách ghép đề gồm câu giải tích câu hình học với (là hốn vị đề giải tích đề hình học) Vậy số cách chọn đề thi là: 3!C123 C103 = 158400 cách Bài toán hoán vị thẳng hốn vị vịng Bài tập 1: Một nhóm gồm người, hỏi có cách xếp họ vào bàn: a Bàn hình chữ U b Bàn hình trịn Lời giải: a Mỗi cách xếp người vào bàn hình chữ U hốn vị thẳng phần tử, nên số cách xếp P7 = 7! = 5040 b Lời giải có sai lầm : Mỗi cách xếp người vào bàn trịn hốn vị vịng phần tử nên số cách xếp là: P7 = 7! = 5040 Nguyên nhân sai lầm: lời giải tính lặp lần Lời giải câu b: Chọn vị trí cố định dể xếp người thứ có cách xếp Số cách xếp người cịn lại số hốn vị Số cách xếp là: 1.P6 = 1.6! = 720 Phương pháp đếm hốn vị thẳng hốn vị vịng: Số hoán vị thẳng n phần tử là: Pn = n ! Với hốn vị vịng n phần tử chuyển dổi liên tiếp n phần tử kết nhận nhau: Chẳng hặn cách sau thực chất cách xếp A D D B C C A C A B D B A B A C D Do số hốn vị vịng n phần tử giảm n lần so với hoán vị thẳng tức số hốn vị vịng n phần tử là: Pn = Pn - n Bài toán đếm số số thỏa mãn tính chất cho trước 16 SangKienKinhNghiem.net Bài tập 1: Cho tập A = {0,1, 2,3, 4,5, 6} lập số tự nhiên chẵn có chữ số đơi khác Lời giải có sai lầm 1: Gọi số cần tìm là: abcde Chọn e: e Ỵ {0; 2; 4;6} e có cách chọn Chọn a, b, c, d có C64 cách chọn Có: 4.C64 = 60 số chẵn có chữ số đơi khác có số có chữ số đứng đầu Tìm số chẵn có số đứng đầu: Vì chữ số đứng đầu nên e Ỵ {2; 4;6} , e có cách chọn Cịn lại vị trí b, c, d có C53 cách chọn suy có: 1.3.C53 = 30 số Vậy số cần tìm là: 60 - 30 = 30 Nguyên nhân sai lầm: Lời giải khơng tính thứ tự chọn a, b, c, d, bước chọn b, c, d bước hoán vị số khác Lời giải 1: Gọi số tự nhiên chẵn có chữ số đôi khác là: abcde Chọn số vị trí e có cách chọn từ {0, 2, 4, 6} Chọn số vị trí a,b,c,d có A64 cách Theo quy tắc nhân có: A64 = 1440 số chẵn có chữ số đứng đầu Tìm chữ số chẵn có chữ số đứng đầu Vì chữ số đứng đầu nên e có cách chọn từ tập {2, 4, 6} Chọn số vị trí b,c,d có A53 cách ( trừ số vị trí e số Þ 1.2 A53 = 180 số có chữ số đứng đầu Vậy số cần tìm là: 1440 - 180 = 1260 số Lời giải có sai lầm 2: Gọi số tự nhiên chẵn có chữ số đôi khác là: abcde Chọn số vị trí e Ỵ {0, 2, 4, 6} có cách chọn Chọn số vị trí a (trừ 5) có cách chọn Chọn số vị trí b (trừ e a) có cách chọn Chọn số vị trí c có cách chọn Chọn số vị trí d có cách chọn Theo quy tắc nhân có: 4.5.5.4.3 = 1200 số 17 SangKienKinhNghiem.net Nguyên nhân sai lầm: Trong trường hợp e ¹ chọn số vị trí e có cách Trong trường hợp e = chọn số vị trí e có cách sai lúc chọn số vị trí a có cách chọn trừ e Lời giải 2: Dùng quy tắc nhân: Gọi số tự nhiên chẵn có chữ số đơi khác là: abcde Vì số cần tìm số chẵn nên số cần tìm có dạng: abcd 0, abcd 2, abcd 4, abcd - Tìm số hạng abcd Chọn a (a khác 0) có cách chọn Chọn b có cách chọn trừ a Chọn c có cách chọn Chọn d có cách chọn Theo quy tắc nhân có: 6.5.4.3 = 360 số - Tìm số hạng abcd Chọn a có cách chọn (trừ 0) Chọn b có cách chọn trừ a Chọn c có cách chọn Chọn d có cách chọn Theo quy tắc nhân có: 5.5.4.3 = 300 số Tương tự dạng abcd , abcd cho ta 300 số.theo quy tắc cộng có 360 + 300 + 300 + 300 = 1260 số Lời giải 3: (Sử dụng kiến thức chỉnh hợp): Cần cho học sinh thấy rõ số cần tìm chỉnh hợp chập phần tử tập cho, ví dụ: 12340, 13240,14032… Hay nói cách khác số cần tìm tập có tính thứ tự - Tìm số dạng abcd có A64 = 360 số - Tìm số chẵn dạng abcde với e Ỵ {2, 4, 6} Chọn số vị trí e có cách chọn Chọn số vị trí a có cách chọn Chọn số vị trí b, c, d có A53 = 900 cách Theo quy tắc cộng có 360 + 900 = 1260 só cần tìm Chú ý: 18 SangKienKinhNghiem.net - Khi thành lập số tự nhiên từ tập hợp cần ý xem tập có chứa số hay không Nếu chứa số nên chia thành trường hợp để giải - Cách giải dùng quy tắc nhân e quen phần quy tắc nhân gặp tương tự liền làm theo, cần cho em thấy ưu điểm chua cách dùng chỉnh hợp tổng quát cho e loại toán nên dùng kiến thức hoán vị chỉnh hợp để giải Bài toán đếm số số thỏa mãn tính chất cho trước chữ số trùng Bài tập 1: Từ chữ số tập A = {1, 2,3, 4,5, 6} lập số tự nhiên gồm chữ số cho chữ số chữ số có mặt lần, cịn chữ số khác có mặt lần Phân tích tốn: - Khi thành lập số tự nhiên có chữ số đơi khác việc đổi chỗ hai vị trí hai chữ số cho ta số khác - Khi thành lập số tự nhiên có hai chữ số giống việc đổi chỗ hai vị trí hai chữ số cho ta không số khác (tức số giữ nguyên) Khi chọn vị trí để viết dố giống vị trí khơng có thứ tự ví dụ 12325 ta đổi vị trí hai số cho 12325 Lời giải chi tiết: Cách 1: số cách chọn số tự nhiên gồm chữ số cho chữ số chữ số có mặt lần số cách xếp chữ số từ tập A vào ô liên tiếp Có C82 cách chọn vị trí để viết chữ số Có C62 cách chọn vị trí để viết chữ số Có 4! Cách viết chữ số vào vj trí cịn lại Thao quy tắc nhân có C82 C62 4! = 10080 số Cách 2: coi hai chữ số khác hai chữ sô khác số cần tìm thành lập từ tập có chữ số Số số có chữ số là: 8! Do chữ số giống đổi vị trí cho cho kết tức chữ số có mặt hai lần, chữ số có măt lần nên số kết cần tìn phải giảm 2.2=4 lần có 8! = 10080 số Như qua hệ thống tập đơn giản cho em phân biệt hai quy tắc công quy tắc nhân, khái niệm hoán vị với chỉnh hợp, chỉnh hợp với tổ hợp qua em vận dụng linh hoạt vào tập phần đại số tổ hợp Đưa thêm số tập nhà dạng trắc nghiệm cho em tự rèn luyện 19 SangKienKinhNghiem.net C MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài Từ hoa màuvàng, hoa màu trắng hoa màu đỏ (các hoa đôi khác nhau) Người ta chọn bó hoa gồm bơng Có cách chọn a Có đủ màu số bơng hoa màu trắng khơng b Có bơng hoa màu vàng bơng hoa màu đỏ Bài Có 12 giống loại: Mít có cây, Ổi có cây, Xồi có Hỏi có cách chọn cho số Ổi nhiều số Xồi Bài Một đội văn nghệ có 15 người có 10 nam nữ hỏi có cách chọn người cho có nam nữ Bài Từ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, vó thể lập bao nhieu số gồm chữ số khác tồng số hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị Bài (Cao đẳng khối A - 2004) Một lớp học có 30 học sinh, có cán lớp Có cách chọn em lớp để trực tuần cho em ln có cán lớp Bài Một trường tiểu học có 40 em học sinh giỏi, có cặp sinh đôi Cần chọn học sinh số 50 em để dj trại hè Hỏi có cách chọn mà khơng có cặp sinh đơi Bài Một đội văn nghệ có 15 người gồm nam nữ Hỏi có cách thành lập nhóm đồng ca gồm người cho có nữ Bài Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có chữ số mà chữ số đứng canh Bài Từ hộp đựng bi đỏ, bi trắng bi vàng Người ta chọn viên Hỏi có cách chọn số bi lấy không đủ màu giác Bài 10 Có số gồm chữ số khác có chữ số lẻ hai chữ số đứng cạnh Bài 11: Trong mặt phẳng cho tập gồm điểm A, B, C, D, E khơng có điểm thẳng hàng, hỏi lập tam giác với đỉnh thuộc tập cho 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm - Sáng kiến nghiên cứu áp dụng năm Qua q trình nghiên cứu giúp tơi nghiên cứu sâu dạng tốn Tổ hợp, tích lũy thêm nhiều kinh nghiệm chuyên môn Truyền thụ kiến thức phần cho học sinh thật hay thật sáng tạo - Sau năm áp dụng thấy chất lượng kiểm tra chương II tổ hợp _ Xác suất, sgk Đại số Giải tích 11 nâng lên rõ rệt kết kiểm tra chương II tổ hợp – xác suất năm học sau: Năm học: 2016- 2017 Lớp Tỷ lệ học sinh đat điểm Số HS Giỏi Khá TB Yếu Kém 11A2 43 8hs (19%) 12Hs (28%) 23hs (53%) 0hs (0%) 0hs (0%) 11A3 38 3Hs (8%) 12hs (32%) 18hs (47%) 5hs (13%) 0hs(0%) 20 SangKienKinhNghiem.net ... học sinh (năm học 2 014 2 015 ) sau: Lớp Số Tỷ lệ học sinh đat điểm HS Giỏi Khá TB Yếu Kém 11 C2 49 3hs (6%) 9Hs (18 %) 23hs (47%) 15 hs (30.6%) 0hs (0%) 11 C3 36 1Hs (2.8%) 5hs (13 .9%) 7hs (19 .4%) 10 hs... số 12 đề là: C123 cách Số cách chọn câu hỏi hình học số 10 đề là: C103 cách Vậy số cách chọn đề thi là: C123 C103 = 26400 Lời giải có sai lầm 3: Số cách chọn câu hỏi giải tích số 12 đề là: C123... hỏi hình học số 10 đề là: C103 cách Trong đề chọn có câu hỏi giải tích câu hỏi hình học khác nhau, ta hốn đỏi vị trí cho đề giải tích đề hình học Vậy số cách chọn đề thi là: 3!.3!C123 C103 = 950400