Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2017-2018 I – PHẦN GHI KẾT QUẢ ( Thí sinh ghi kết vào tờ giấy thi ) Câu 1: Tìm số cạnh đa giác lồi có 27 đường chéo Câu 2: Cho = 2017 an+1 = an + 2017 với n ³ 1, n Ỵ ¥ Tìm a2018 Câu 3: Cho 4a + b = 5ab với b> 2a > p= Tính giá trị 5ab 3a + 2b2 Câu 4: 200m Hai vật chuyển động đường trịn có chu vi , vận tốc 4m/ s 6m/ s vật thứ , vận tốc vật thứ hai Hai vật xuất phát thời điểm vị trí chuyển động chiều Hỏi sau 16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ lần? (không kể lúc xuất phát) Câu 5: Có tam giác khác mà độ dài cạnh số tự nhiên (cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp {1;2;3;4;5;6;7} Câu 6: Giải phương trình 1- x + x + = Câu 7: Cho số a, b thỏa mãn a3 + 8b2 = 1- 6ab Tính a + 2b Câu 8: a b c ( b> c) Tìm số nguyên dương , , , thỏa mãn ìï b2 + c2 = a2 ï í ïï 2( a + b+ c) = bc ïỵ Câu 9: Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến cạnh tỉ lệ với 26 ABC số ; ; chu vi tam giác Tìm độ dài cạnh tam ABC giác Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 10: Cho tam giác ABC µ = 30° B µ = 50° AC ( AC + BC) AB = A có ; , cạnh Tính II – PHẦN TỰ LUẬN ( Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi ) Câu 11: ìï 2y2 - x2 = ï í ïï 2( x3 - y) = y3 - x ïỵ Câu 12: Giải hệ phương trình ABC AB < AC O A D Cho tam giác vng có ngoại tiếp đường tròn tâm Gọi ( O) AB, AC, BC I tiếp điểm với cạnh Gọi giao điểm BO CE EF M H BM điểm di động đoạn Gọi giao điểm EF AM = AB BDHF ABHI a) Chứng minh tứ giác , nội tiếp , E , F Câu 13: » EF ( O) Q P giao điểm cung nhỏ , lần N DE DF lượt hình chiếu đường thẳng , Chứng minh PQ £ EF x y Cho , số nguyên không đồng thời Tìm GTNN b) Gọi N BM F = 5x2 +11xy- 5y2 ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí ………………… sinh:…………………………………………….….Số báo danh: LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: Tìm số cạnh đa giác lồi có 27 đường chéo Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi số cạnh đa giác lồi n , ( nỴ ¥ , n> 3) n( n- 3) Ta có = 27 Þ n= Câu 2: (5,0 điểm) Cho a1 = 2017 an+1 = an + 2017 vi mi a2018 n nẻ Ơ , Tìm Lời giải Ta có Do Câu 3: a2 = a1 + 2017= 2.2017 a3 = a2 + 2017 = 3.2017 , ,… a2018 = 2018.2017= 4070306 (5,0 điểm) Cho 4a + b = 5ab Û với b> 2a > p= Tính giá trị 5ab 3a + 2b2 Lời giải Ta có b = 4a Câu 4: 4a2 + b2 = 5ab Û P= Suy ( a- b) ( 4a- b) = 20a2 = 2 3a + 32a Do b> 2a > nên (3,0 điểm) 200m Hai vật chuyển động đường trịn có chu vi , vận tốc 4m/ s 6m/ s vật thứ , vận tốc vật thứ hai Hai vật xuất phát thời điểm vị trí chuyển động chiều Hỏi sau 16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ lần? (không kể lúc xuất phát) Lời giải Gọi t thời gian để hai vật gặp tính từ lúc xuất phát Quảng đường vật đến lúc gặp hai vật chiều nên Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn S2 - S1 = S Þ toán: S1 = vt = 4t , S2 = v2t = 6t 6t - 4t = 200 Þ t = 100 Vì (giây) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do sau 100 giây chúng gặp lần Vậy sau giây chúng gặp số lần trước lần Câu 5: é960ù ê ú= ê ë100ú û 16 phút = 960 Vậy vật thứ hai vượt lên (3,0 điểm) Có tam giác khác mà độ dài cạnh số tự nhiên (cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp {1;2;3;4;5;6;7} Lời giải Số tam giác khác Câu 6: é( n+1) ( n+ 3) ( 2n+1) ù é8.10.15ù ê ú= ê = 50 ê ú ê 24 ú ú 24 ê ú ë û ë û (3,0 điểm) 1- x + x + = Giải phương trình Lời giải ĐKXĐ Ta có x³ - 3 Đặt ìï a + b = ùớ ùùợ a3 + b3 = ị 1- x = a ; x+ = b ³ a( a2 + a- 4) = Þ é a= ê ê - 1± 17 êa = ê ë ïì 15± 17ïü ï S = ùớ 1; ý ùù ùù ợ ỵ T ú tìm tập nghiệm phương trình cho Câu 7: (3,0 điểm) Cho số a, b thỏa mãn a3 + 8b2 = 1- 6ab Tính a+ 2b Lời giải Ta có Liên hệ tài 039.373.2038 x3 + y3 + z3 = 3xyz Þ liệu word môn éx + y+ z = ê ê x = y= z ë tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do Þ Câu 8: a3 + 8b3 = 1- 6ab Û é a+ 2b = ê êa+ 2b =- ë 3 a +( 2b) +( - 1) = 3a( 2b) ( - 1) Þ (3,0 điểm) a b c ( b> c) Tìm số nguyên dương , , , thỏa mãn Lời giải Ta có Vì 2 = ( a + 2) b +c = a ( b+ c- 2) b> c ³ Vì TH2: Þ Û b- 4> c- 4³ - TH1: ( b+ c) b+ c - ³ nên b2 + c2 = ( b+ c- 4) Câu 9: éa+ 2b- 1= ê êa = 2b =- ë - 2bc = a2 - 4( a + b+ c) = a2 b+ c- = a + Þ ( b- 4) ( c- 4) = Þ ( b+ c) ìï b2 + c2 = a2 ï í ïï 2( a + b+ c) = bc ợ ị a = b+ c - Þ nên có trường hợp sau ìï b- = ïí ïïỵ c- = ị ỡù b = 12 ùớ ùùợ c = Þ a= 13 ìï b- = ïí ùùợ c- = ị ỡù b = ùớ ùùợ c = ị a= 10 (3,0 điểm) Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến cạnh tỉ lệ với 26 ABC số ; ; chu vi tam giác Tìm độ dài cạnh tam ABC giác Lời giải BC = a AC = b AB = c Gọi độ dài cạnh , , Độ dài đường cao x y z A B C kẻ từ đỉnh , , , , Khoảng cách từ trọng tâm tam giác Liên hệ tài 039.373.2038 ABC liệu đến cạnh tỉ lệ với số word mơn tốn: ; ; nên ta có x y z = = =k TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mặt ax = by = cz = 2SABC khác a c a c a + b+ c = = = = = = = 24k 1 1 1 13 x y z 2k 3k 4k 12k Câu 10: Suy nên a= 12 b= c= ; ; (3,0 điểm) Cho tam giác ABC µ = 30° B µ = 50° AC ( AC + BC) AB = A có ; , cạnh Tính Lời giải CD Kẻ đường phân giác · · · ACB = 100° Þ BCD = ACD = 50° Ta có BCD BD = DC D Suy tam giác cân Suy AC AD = D ADC D ACB Þ AB AC Þ AC = AB.AD Lại có Và AC CD = AB BC Þ Suy AC.BC = AB.CD AC.BC + AC = AB( AD + CD) = AB( AD + BD) = AB2 = 12 AC ( AC + BC) = 12 hay II – PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11: (3,0 điểm) Giải hệ phương trình ìï 2y2 - x2 = ï í ïï 2( x3 - y) = y3 - x ïỵ Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1= 2y2 - x2 Thay phương 2x3 - 2y( 2y2 - x2 ) = y3 - x( 2y2 - x2) x3 ( 5t3 - 2t2 - 2t - 1) = Û trình thứ x3 - 5y3 + 2x2y+ 2xy2 = Xét , thay vào phương trình thứ hai ta khơng thỏa mãn phương trình thứ Xét ta Đặt có y = xt x= 5t3 - 2t2 - 2t- 1= Û hai ( t- 1) ( 5t2 + 3t +1) = Û y( y2 + 2) = Þ y= y= x t =1 Do , ìï x2 = ï í ïï x( x2 - 1) = Û x= ±1 ïỵ ta có hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 12: ( x; y) Ỵ {( - 1;- 1) ,( 1;1) } (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O ( O) AB, AC, BC D E F Gọi , , tiếp điểm với cạnh Gọi BO CE I EF M H giao điểm điểm di động đoạn Gọi BM EF giao điểm AM = AB BDHF ABHI a) Chứng minh tứ giác , nội tiếp b) Gọi N » EF BM ( O) P Q giao điểm cung nhỏ , lần N DE DF lượt hình chiếu đường thẳng , Chứng minh PQ £ EF Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com BO DF IKF K giao điểm Ta có tam giác vng ADOE OD = OE Hình chữ nhật có nên hình vng Suy K Gọi 1· · DEF = DOE = 45° Suy · BIF = 45° AMB AM = AB A a) Khi tam giác vng cân suy · · DBH = 45°= DFH BDHF B D O H F Nên tứ giác nội tiếp Do năm điểm , , , , thuộc đường · · BO BFO = BHO = 90° Þ OH BM ABM trịn đường kính Suy ⊥ , mà tam giác AH AH BM A O H vng cân có phân giác nên ⊥ Suy , , thẳng hàng Suy · · BAH = BIH = 45° b) Tứ giác PNQD ABHI Vậy tứ giác nội tiếp · · · NPQ = NDQ = NEF nội tiếp suy Tương tự ta có · · · NQP = NDP = NFE D NQP D NEF · · · NQP = NDP = NFE Suy PQ £ EF Dấu ( O) Þ PQ NQ = £1 Þ EF NE "=" xảy P trùng F , Q trùng E hay DN đường kính Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 13: (3,0 điểm) x Cho , y số nguyên không đồng thời Tìm GTNN F = 5x2 +11xy- 5y2 Lời giải F = 5x2 +11xy- 5y2 = f ( x, y) Đặt Ta có , m số nguyên m f( 0;1) = GTNN F ( 1;0) = Þ m£ 5x2 +11xy- 5y2 ¹ x y Vì , số ngun khơng đồng thời nên F¹ hay f ( x; y) = f ( 2n;2k) = f ( n; k) f ( 2n;2k) x = 2n y = 2k Xét ; Ta có nên giá trị x y F GTNN Do GTNN xảy , khơng m chẵn, số lẻ * Nếu m= suy tồn 100x2 + 220xy- 100y2 = ±20 ( 10x+11y) x , ( 10x+11y) 5x2 +11xy- 5y2 = Û để ( 10x+11y) Û ± 20 = 221y2 M3 y - 221y2 = ±20 Û Suy chia 13 dư dư Mà số phương chia 13 có dư 0,1,3,4,9,10,12 Do vơ lý * Nếu m= tồn 100x2 + 220xy- 100y2 = ±60 Û ( 10x+11y) suy 5x2 = 11xy- 5y2 = x y , để ( 10x+11y ) = ±60 = 221y M3 2 Suy chia 13 dư dư Mà số phương chia có dư 0,1,3,4,9,10,12 Do vơ lý Vậy GTNN Liên hệ tài 039.373.2038 Û liệu F word 13 mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... điểm) Cho a1 = 2017 an+1 = an + 2017 vi mi a2 018 n nẻ Ơ , Tìm Lời giải Ta có Do Câu 3: a2 = a1 + 2017= 2.2017 a3 = a2 + 2017 = 3.2017 , ,… a2 018 = 2 018. 2017= 4070306 (5,0 điểm) Cho 4a + b = 5ab... thêm Họ tên thí ………………… sinh:…………………………………………….….Số báo danh: LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2017-2 018 Câu 1: Tìm số cạnh đa giác lồi có 27 đường chéo Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038... Website:tailieumontoan.com Do sau 100 giây chúng gặp lần Vậy sau giây chúng gặp số lần trước lần Câu 5: é 960? ? ê ú= ê ë100ú û 16 phút = 960 Vậy vật thứ hai vượt lên (3,0 điểm) Có tam giác khác mà độ dài cạnh số tự nhiên