Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP QUÃNG TRỊ - NĂM 2019 – 2020 Câu 1: (5,0 điểm) a a 3a 1 P : a a a 3a a Rút gọn biểu thức Tính giá trị P biết Câu 2: a 1 3 2 3 2 3 2 3 2 (2,0 điểm) 5 Cho a, b số thực thỏa mãn a b 5, ab Tính giá trị a b Câu 3: (3,0 điểm) mn mn 1 m n mn Cho số nguyên m, n Chứng minh chia hết cho 36 Câu 4: (4,0 điểm) Cho số thực x thỏa mãn x Chứng minh x x Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 5a 5b 5c Câu 5: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có E nằm đường chéo AC cho AE 3EC , F trung điểm AD Chứng minh tam giác BEF vuông cân Cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc A BC E , F hình chiếu vng góc H AB, AC BE AB5 a) Chứng minh: CF AC b) Gọi S1 , S diện tích tam giác ABC diện tích hình chữ nhật AHEF Tìm S2 đặc điểm tam giác ABC để S1 đạt giá trị lớn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP QUÃNG TRỊ - NĂM 2019 – 2020 Câu 1: a a 3a 1 P : a a a 3a a Rút gọn biểu thức Lời giải a a 3a 1 P : a a a 3a a a a a 3a a : a2 a 3a 3a a 3a a 2a a 3 a a 3 3a a a 2a 2a 2 Tính giá trị P biết a 1 3 2 3 2 3 2 3 2 Lời giải a 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 9 2 2 1 1 1 1 1 a 1 P Câu 2: 3.1 3 2.1 5 Cho a, b số thực thỏa mãn a b 5, ab Tính giá trị a b Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a b5 a b a a 3b a 2b ab3 b a a b2 b4 a b 2a 2b a b a b a b 1 1 2 a b 2ab a b 2ab 1 25 25 1 2525 mn mn 1 m n mn Cho số nguyên m, n Chứng minh chia hết cho 36 Câu 3: Lời giải Ta có: A mn mn 1 m n mn 2 2 mn mn 1 m n mn mn m n mn m n mn m n 1 n 1 m n 1 n 1 mn m 1 n 1 n 1 m 1 m 1 m m 1 M6 Ta có: m 1, m, m số nguyên liên tiếp (1) n 1 n n 1 M6 Ta có: n 1, n, n số nguyên liên tiếp (2) Từ (1), (2) AM36 Câu 4: Cho số thực x thỏa mãn x Chứng minh x x Lời giải 1 x x 1 x 0 x 1 x (1) Giả sử: x x x x2 x x (mẫu thuẫn (1)) Giả sử sai Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy x x Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 5a 5b 5c Lời giải Ta có a, b, c mà a b c a, b, c Ta chứng minh bất đẳng thức Với a 0;1 5a a ta có: 5a a 5a a 4a a2 a a a 1 Cmtt, ta có: Suy ra: (đúng) 5b b 2, 5c c 5a 5b 5c a b c Đẳng thức xảy a 1, b c hoán vị Vậy giá trị nhỏ 5a 5b 5c Câu 5: Cho hình vng ABCD có E nằm đường chéo AC cho AE 3EC , F trung điểm AD Chứng minh tam giác BEF vuông cân Cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc A BC E , F hình chiếu vng góc H AB, AC BE AB5 a) Chứng minh: CF AC b) Gọi S1 , S diện tích tam giác ABC diện tích hình chữ nhật AHEF Tìm S2 đặc điểm tam giác ABC để S1 đạt giá trị lớn Lời giải Chứng minh tam giác BEF vuông cân Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vẽ FP BC P BC , BE DC M , FE BC N Đặt độ dài cạnh hình vng ABCD a Ta có: F trung điểm AD mà FP BC FP AB a AD // BC AF AE AF a a NC PC NC EC mà a2 10 10 NP a FN FP PN FN a a EF a (1) AB // CD AB AE a a2 10 10 MC MB a a BE a MC EC (2) 10 BE EF a BEF cân E (3) Từ (1), (2) a 5a 2 2 FB AB AF a BE EF 10 5a Ta có: BEF vng E (Py – ta – go đảo) (4) Từ (3), (4) BEF vuông cân Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com BE AB a) Chứng minh: CF AC Ta có: CF 2 AC HC CF AC HC BE BH BE AB.BH AB AB BE AB BH AB BC AB CF AC HC AC AC AC BC S2 b) Tìm đặc điểm tam giác ABC để S1 đạt giá trị lớn Ta có: AH AH S2 AE AF AH BH CH BH CH AB AC AH 2 S1 AB AC AB AC AB AC BC BC BC BC BC 2 Đẳng thức xảy BH CH H trung điểm BC mà AH BC ABC vuông cân S2 Vậy S1 đạt giá trị lớn ABC vuông cân Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... giác ABC vng A Gọi H hình chiếu vng góc A BC E , F h? ?nh chiếu vng góc H AB, AC BE AB5 a) Chứng minh: CF AC b) Gọi S1 , S diện tích tam giác ABC diện tích h? ?nh chữ nhật AHEF Tìm S2 đặc điểm... Đẳng thức xảy a 1, b c hoán vị Vậy giá trị nhỏ 5a 5b 5c Câu 5: Cho h? ?nh vng ABCD có E nằm đường chéo AC cho AE 3EC , F trung điểm AD Chứng minh tam giác BEF vuông cân Cho tam... cân Liên h? ?? tài 039.373.2 038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN H? ??C Website:tailieumontoan.com BE AB a) Chứng minh: CF AC Ta có: CF 2 AC HC CF AC HC BE BH BE AB.BH AB AB