Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: Câu 2: Câu 3: (4,0 điểm) Tìm số thực x thỏa (4,0 điểm) Giải hệ phương trình (4,0 điểm) Cho m n x + x3 + x + x + = x + y = y + x = −1 hai số nguyên dương lẻ thỏa ( m + ) Mn ( n + ) Mm 1) Hãy tìm cặp gồm hai số nguyên dương lẻ m >1 n >1 kiện cho với 2 ( m + n + ) M4mn 2) Chứng minh Câu 4: ( m; n ) thỏa điều (4,0 điểm) 1) Tính số ước dương số 1000 2) Tính số ước dương chẵn số 1000 Câu 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc · ·ABC, BCA · CAB, góc ( O) ABC đường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc AB, AC với hai cạnh D, E Gọi M giao điểm hai đường OB OC DE DE thẳng , gọi N giao điểm hai đường thẳng B, C , M , N Chứng minh bốn điểm thuộc đường trịn nhọn Gọi ……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (4,0 điểm) Tìm số thực Ta thấy x x=0 x + x3 + x + x + = thỏa Lời giải không nghiệm phương trình nên chia hai vế x2 ≠ phương trình cho ta được: x + x3 + x + x + = ⇔ x + 1 + x + ÷+ = x x 1 1 ⇔ x + ÷ + x + ÷− = x x x + x = −1 − ⇔ x + = −1 + ⇔ x + + 1÷ = x x x= Giải (1) ta Giải (2) vô nghiệm −1 − − 2 − (1) (2) x= x= Vậy phương trình có hai nghiệm x= Câu 2: −1 − + 2 − −1 − + 2 − −1 − − 2 − x + y = y + x = −1 (4,0 điểm) Giải hệ phương trình Lời giải x + y = 2 3 y + x = −1 ⇒ x + y + x + y = ⇔ ( x + y ) ( x + y − xy + ) = y = −x x + y = ⇔ ⇔ y 3y2 x− ÷ + + = ( vônghiệ m) x + y − xy + = 2 Thay Liên hệ tài 039.373.2038 y = −x liệu vào word x3 + y = mơn ta tốn: x − x − = ⇔ ( x + 1) ( x − x − 1) = TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x = −1 1− ⇔ x = x +1 = x = 1+ ⇔ x − x −1 = Với x = −1 ⇒ y = x= Với x= Với 1− −1 + ⇒ y= 2 1+ −1 − ⇒y= 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) = ( −1;1) , − −1 + ; ÷ ÷ , + −1 − ; ÷ 2 ÷ Câu 3: (4,0 điểm) Cho m n hai số nguyên dương lẻ thỏa ( m + ) Mn ( n + ) Mm ( m; n ) 1) Hãy tìm cặp gồm hai số nguyên dương lẻ thỏa điều m >1 n >1 kiện cho với 2 ( m + n + ) M4mn 2) Chứng minh Lời giải m = 11 n = 41 1) Với thỏa điều kiện toán m + = 123M41 n + = 1683M 11 Vì 2 ( m + ) Mn ( m + n + ) Mn n Mn 2) Vì mà nên (1) ( m2 + n2 + ) Mm Tương tự (2) d m n ⇒ m + n Md Gọi ước chung lớn 2 ( m + n + ) Mm ⇒ ( m2 + n2 + 2) Md ⇒ 2Md Theo chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ d =1 (3) ; d >1 d =2 m n mâu thuẫn với lẻ ( m2 + n2 + ) Mmn Từ (1), (2) , (3) suy m = 2k + k ∈¥ Cuối m lẻ nên (với ) n = 4l ( l + 1) + l ∈¥ Tương tự (với ) 2 ( m + n + ) M4 Suy ( m2 + n2 + ) M4mn ( 4, mn ) = Mà nên suy Câu 4: Câu 5: ⇒ m = 4k ( k + 1) + (4,0 điểm) 1) Tính số ước dương số 1000 2) Tính số ước dương chẵn số 1000 Lời giải 3 1000 = 1) Ta có n, m ∈ ¥ k k = 2n.5m Gọi ước dương 1000 Suy với thỏa n≤3 m≤3 4.4 = 16 Vậy số ước dương 1000 n, m ∈ ¥ k k = 2n.5m 2) Gọi ước dương chẵn 1000 Suy với 1≤ n ≤ m≤3 thỏa 3.4 = 12 Vậy số ước dương chẵn 1000 (4,0 điểm)Cho tam giác ABC có ba góc · ·ABC, BCA · CAB, góc ( O) ABC đường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc AB, AC với hai cạnh D, E Gọi M giao điểm hai đường OB OC DE DE thẳng , gọi N giao điểm hai đường thẳng B, C , M , N Chứng minh bốn điểm thuộc đường tròn Lời giải nhọn Gọi Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Theo giả thiết AD = AE suy ∆ADE cân A 1· · ⇒ CEM = ·AED = 90° − BAC Mà 1· · · · COM = OBC + OCB = 90° − BAC · · CEM = COM COEM suy tứ giác tứ giác nội tiếp OE ⊥ AC BM ⊥ CM Theo giả thiết Từ CN ⊥ BN BCMN Tương tự suy tứ giác tứ giác nội tiếp đường trịn BC đường kính Vậy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ...Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2013-2 014 Câu 1: (4,0 điểm) Tìm số thực Ta thấy x x=0 x + x3 + x + x + = thỏa Lời giải khơng