Kiến thức của học sinh tiểu học về nghĩa toán tử của phân số

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 18, Số (2021): 1538-1552 ISSN: 2734-9918 Vol 18, No (2021): 1538-1552 Website: http://journal.hcmue.edu.vn Bài báo nghiên cứu* KIẾN THỨC CỦA HỌC SINH TIỂU HỌC VỀ NGHĨA TỐN TỬ CỦA PHÂN SỐ Lê Thị Hồi Châu1*, Phạm Thành Đạt2 Trường Đại học Văn Hiến, Việt Nam Trường THPT Việt Âu, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam * Tác giả liên hệ: Lê Thị Hoài Châu – Email: chaulth@vhu.edu.vn Ngày nhận bài: 28-11-2019; ngày nhận sửa: 23-03-2020; ngày duyệt đăng: 08-4-2021 TÓM TẮT Tính đa nghĩa khái niệm phân số nguồn gốc khó khăn mà học sinh tiểu học gặp phải việc hiểu sử dụng khái niệm Trong nghĩa đó, nghĩa tốn tử liên quan đến vai trị cơng cụ phép nhân phân số Nghiên cứu tri thức luận cho phép thiết lập lưới tổ chức toán học tham chiếu cần xây dựng dạy học để giúp học sinh hiểu cần thiết phép nhân phân số Với lưới tổ chức tốn học tham chiếu đó, viết thực tế dạy học Toán tiểu học chưa hình thành nghĩa tốn tử phân số cho học sinh Hệ không đầy đủ kiến thức học sinh Các em thực quy tắc nhân phân số, lại không huy động phép toán vào việc giải số vấn đề toán học thực tiễn Khẳng định hợp thức hoá nghiên cứu thực nghiệm trình bày cuối báo Từ khóa: phân số; nghĩa toán tử phân số; tổ chức toán học tham chiếu Đặt vấn đề Phân số tác động vào nhiều hoạt động khác sống hàng ngày, phân chia, so sánh, đo lường Trong nhà trường, khơng mơn học sử dụng phân số như: Địa lí, Vật lí, Hố học, Kĩ thuật, Hội hoạ… Trong thân toán học, kiến thức phân số cần thiết cho việc hiểu số thập phân phép toán chúng, để làm việc với số hữu tỉ Mối liên hệ chương trình mơn Tốn trường phổ thơng tính đến: phân số bắt đầu xuất từ lớp 2, trình bày cách có hệ thống lớp 4, tảng cho việc nghiên cứu số thập phân năm cuối bậc tiểu học tập số hữu tỉ trung học sở Ý tưởng phân số xuất sớm lịch sử toán học, văn minh Babylon Ai Cập (tất nhiên dạng tại), bắt nguồn từ vấn đề nảy sinh sống liên quan đến đo lường, chia tách đối tượng, so sánh, thừa kế Cite this article as: Le Thi Hoai Chau, & Pham Thanh Dat (2021) Knowledge of primary students on the operator meaning of fractions Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 18(8), 1538-1552 1538 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu tgk phân phối Trải qua nhiều thời kì, phân số gắn với việc giải vấn đề khác nhau, từ có nhiều nghĩa khác Lịch sử tiến triển phân số để lại dấu vết chứng tỏ phức tạp Chính phức tạp khiến phân số đối tượng dạy học (DH) đặt nhiều vấn đề cho giáo viên lẫn học sinh (HS) Một số cơng trình nghiên cứu cho thấy “học sinh nhiều nước có khó khăn chung việc hiểu khái niệm phân số, thực quy tắc tính tốn sau sử dụng vào việc giải vấn đề toán học hay ngồi tốn học” (Le & Nguyen, 2018, p.29) Một nguyên nhân gây khó khăn cho việc hiểu khái niệm phân số tính đa nghĩa Câu hỏi nghiên cứu đặt là: việc DH tốn tiểu học hình thành cho HS nghĩa phân số? HS hiểu nghĩa sao? Lưu ý tập số nguyên ℤ chưa nghiên cứu tiểu học, nên phần báo thuật ngữ “phân số” dùng để nói phân số khơng âm Như vậy, nói đến 𝑎 𝑏 ta hiểu 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ 𝑏 ≠ 1.1 Các nghĩa phân số Về nghĩa phân số, nhà nghiên cứu khơng có đồng thuận tuyệt đối Mỗi tác giả đề xuất họ nghĩa khác nhau, tuỳ theo mục tiêu nghiên cứu họ Kieren (1976) người tách phân số thành bốn nghĩa có quan hệ gắn bó với nhau: Tỉ số, tốn tử, thương, đo lường Tác giả khơng xem “phân số phần tổng thể” nghĩa riêng mà cho chứa đựng bốn nghĩa liệt kê Behr, Lesh, Poste, & Silver (1983) đề nghị mơ hình lí thuyết cho phép liên kết nghĩa khác phân số, lại tách “phân số - phần tổng thể” thành nghĩa riêng biệt Một số tác giả khác đưa mơ hình riêng mình, cố gắng mơ tả tính đa nghĩa khái niệm phân số Những mơ hình có phần trùng không tương đương, việc xác định nghĩa lẫn mối liên hệ chúng (Le & Nguyen, 2018, p.29) Đề nghị Kieren có lí xét mặt toán học Thế nhưng, lịch sử, việc hình thành khái niệm phân số phân số đơn vị (phân số có tử số 1) Như nghĩa phần tổng thể (kí hiệu phần/tổng thể phần cịn lại báo) hình thành Và nghĩa chứa đựng bốn nghĩa tỉ số, toán tử, thương, đo lường Kieren phân tích, nên DH người ta thường nó, lấy làm điểm tựa để đưa vào bốn nghĩa Chính từ ghi nhận mà quan niệm tách phân số thành năm nghĩa thừa nhận nghiên cứu trình bày viết Phần viết làm rõ nghĩa tốn tử cịn xem xét cơng trình nghiên cứu nước Về bốn nghĩa kia, bạn đọc tìm thấy trình bày chi tiết Lamon (2012), Duong (2014), Le & Nguyen (2018) Trước giới thiệu nghĩa toán tử cần phải làm rõ thuật ngữ tốn tử vốn khơng xuất bậc tiểu học Trong toán học, toán tử (tiếng Anh: operator, tiếng Pháp: opérateur) 1539 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 1538-1552 hàm phần tử tập hợp tác động lên tập hợp khác (tham khảo Manturov et al., 1993; Ngo, Doan, & Nguyen, 2000) Toán tử hàm biến gọi toán tử ngôi, hàm hai biến gọi tốn tử hai ngơi – tổng qt, hàm n biến gọi tốn tử n-ngơi Đi kèm với tốn tử cịn có thuật ngữ phép tốn (tiếng Anh: operation, tiếng Pháp: opération) người ta dùng không phân biệt chúng Đối với phân số, nghĩa tốn tử xuất “tình phải thực phép nhân số với phân số Ví dụ: người bị thua số bi mình, hay dùng 70% số tiền 500 ngàn đồng” (Le & Nguyen, 2018, p.30) Cụ thể hơn: ( ) phân số trình bày tốn tử tình liên quan đến phép nhân số với phân số Ví dụ: 24 cục tẩy đưa vào máy đóng gói máy đưa 12 gói, có nghĩa phép tốn này, 2 × 24 = 12 thực Trong trường hợp không biểu diễn phần tổng thể (ví dụ: cục tẩy), mà đại lượng tác động lên 24 cục tẩy Các tình mà phân số sử dụng tốn tử biểu diễn sơ đồ minh họa đây: Nhân với (Ministère l’Éducation de l’Ontario, 2008, p.37) Như vậy, nghĩa toán tử phân số gắn liền với tình tìm 𝑎 𝑏 đại lượng Lúc này, phân số khơng đại diện cho kích thước hay số lượng, mà đề cập đến hàm, ánh xạ Nó mơ tả biến đổi đại lượng thành một đại lượng khác, hay đặt tương ứng tập hợp (hoặc miền) với tập hợp (miền) khác, cách tănggiảm, co-giãn hay phóng to-thu nhỏ, tùy vào chất đại lượng (tham khảo Behr et al., 1982) 1.2 Nghĩa “toán tử”: Học sinh tiểu học cần hiểu gì? Một trình bày ngắn gọn phân tích tri thức luận cho thấy khó hiểu nghĩa tốn tử phân số Hồn tồn tự nhiên, khơng thể nói nghĩa với HS tiểu học Điều quan trọng là: trước tình cần tìm phóng to-thu nhỏ 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 đại lượng, hay cần lần đối tượng, HS biết phải nhân đại lượng hay đối 𝒂 tượng với 𝒃 Điều có nghĩa HS hiểu vai trị cơng cụ phép tốn nhân với phân số Việc hiểu có ý nghĩa quan trọng, mà DH toán thực tế thường trọng vào quy tắc tính tốn, bỏ qua coi nhẹ vấn đề dạy khái niệm hình thành nghĩa khái niệm Theo xu hướng này, người ta quên nghĩa khái niệm làm nên lí tồn Tại lại bắt HS học quy tắc nhân phân số 1540 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hồi Châu tgk sau giải nhiều tập luyện tập sử dụng quy tắc họ dùng để làm gì? Lập luận giải thích cho câu hỏi nghiên cứu đặt báo này: việc DH phân số hình thành cho HS cuối cấp tiểu học nghĩa toán tử hay chưa? Phương pháp luận nghiên cứu Câu hỏi liên quan đến vấn đề xem xét chuyển hố sư phạm ngoại vi, tức mắt xích “tri thức bác học  tri thức cần dạy” Theo đề xuất Chevallard (1992) dùng cơng cụ tổ chức tốn học (TCTH) để phân tích chuyển hố sư phạm Mỗi TCTH hình thành từ kiểu nhiệm vụ (KNV) Như vậy, cần phải xác định hệ thống KNV liên quan đến nghĩa toán tử mà việc DH phân số tiểu học đưa vào Vấn đề xem xét tính đầy đủ hay khơng hệ thống KNV Để làm điều người ta đối chiếu với lưới TCTH tham chiếu Lưới TCTH tham chiếu cung cấp đồ vấn đề mà nhà nghiên cứu sử dụng để phân tích thể chế xác định hay thực hành dạy học, điểm tựa để giáo viên thiết kế dự án dạy học (Le & Comiti, 2018, p.127) Làm để xây dựng lưới TCTH tham chiếu này? Trước hết, việc thiết lập TCTH tham chiếu phải thực sở phân tích tri thức luận đối tượng tri thức bàn đến Đồng thời, người ta sử dụng khái niệm hệ sinh KNV để thành lập lưới Hệ sinh KNV hệ thống KNV hình thành từ KNV kết hợp với hệ thống biến Những biến giá trị lựa chọn gán cho chúng phụ thuộc vào mục đích nhà nghiên cứu (tham khảo Le & Comiti, 2018, p.132-132) Sơ đồ trình phương pháp luận nghiên cứu để tìm câu trả lời đặt Kết nghiên cứu 3.1 Thiết lập lưới tổ chức toán học tham chiếu  Hai tổ chức toán học giữ lại từ phân tích tri thức luận Như nói, tốn tử thuật ngữ tốn học có hai nghĩa: Phần tử tập hợp tác động lên tập hợp khác 1541 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 1538-1552 Đồng nghĩa với nghĩa “ánh xạ” “hàm” (Ngo, Doan, & Nguyen, 2000) Cách hiểu thứ hai quen thuộc với người làm toán Cách hiểu thứ giải thích rõ thêm Theo cách hiểu này, Davis (1991, pp.91-93) lấy nghĩa toán tử phân số để minh họa sở toán học việc xây dựng trường số hữu tỉ Xét mặt toán học, 𝑎 𝑏 toán tử tương ứng với hàm 𝑓: 𝑏ℤ → ℤ thỏa mãn tính chất 𝑓(𝑚 + 𝑛) = 𝑓(𝑚) + 𝑓(𝑛) xác định 𝑓(𝑏) = 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏ℤ ={𝑏𝑧: 𝑧 ∈ ℤ } Behr cộng (1982) xem phân số 𝑎 𝑏 hàm biến đổi hình hình học thành hình hình học khác với hình dạng tương tự có kích thước 𝑎 tập hợp khác có số phần tử gấp chẳng hạn), tốn tử tốn tử 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 hình ban đầu, biến đổi tập hợp thành Khi hoạt động đối tượng liên tục (chiều dài tổ hợp giãn-co Khi hoạt động đối tượng rời rạc, tổ hợp nhân-chia, biến đổi tập hợp có n phần tử thành tập hợp có na phần tử, sau số giảm xuống qua phép chia na cho b Tóm lại, nghĩa tốn tử phân số 𝑎 liên quan đến phép nhân 𝑏 𝑎 𝑏 với đại lượng, hình thành qua tình liên quan đến phép nhân phân số Phép toán gồm ba trường hợp: - nhân số tự nhiên với phân số - nhân phân số với số tự nhiên - nhân hai phân số Trong nối tiếp với phép nhân hai số tự nhiên (hiểu theo nghĩa “phép cộng lặp 𝑎 lại”), tích 𝑛 × 𝑏 hiểu n lần 𝑎 𝑏 Lúc phân số hiểu theo nghĩa phần/tổng thể Tuy nhiên, chưa có tính giao hốn phép nhân việc nghiên cứu tích 𝑎 𝑏 × 𝑛 bị cản trở với cách hiểu (tham khảo Le & Nguyen, 2018, p.33) Cách hiểu vận dụng cho trường hợp nhân hai phân số Vì lẽ đó, lưới TCTH tham chiếu xây dựng, viết xem xét KNV liên quan đến hai phép tốn 𝑎 𝑏 × 𝑛 𝑎 𝑏 × 𝑐 d mà việc DH làm cho HS hiểu rõ nghĩa toán tử phân số qua việc nghiên cứu chúng KNV tổng quát bao trùm lên tập hợp KNV cho phép làm rõ nghĩa tốn tử T1 = tìm 𝑎 𝑏 đại lượng Liên quan đến tốn tử f có KNV: - (1) Biết quy tắc f tạo ảnh x, tìm ảnh f(x) - (2) Biết quy tắc f ảnh y, tìm tạo ảnh x y - (3) Biết cặp tạo ảnh - ảnh (x, y), tìm quy tắc f Trong trường hợp f tốn tử ứng với phân số ba KNV phát biểu là: 1542 𝑎 𝑏 , nói cách khác phép nhân với 𝑎 𝑏 , Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM - (1’) Tìm 𝑎 Lê Thị Hoài Châu tgk đại lượng 𝑏 - (2’) Tìm giá trị đại lượng, biết 𝑎 𝑏 đại lượng - (3’) Tìm phân số biến đổi đại lượng có giá trị a thành đại lượng có giá trị b Do khn khổ có hạn báo, (2’) khơng xét cịn liên quan đến phép chia phân số (1’) T1 (3’) kí hiệu T2 Đây KNV giữ lại để lập lưới TCTH tham chiếu cách kết hợp với biến lựa chọn  Hai mơ hình biểu diễn phân số giữ lại Phân tích Behr cộng (1982) cho thấy để biểu diễn nghĩa toán tử phân số ta dùng mơ hình liên tục rời rạc Mơ hình rời rạc tập hợp chứa số đối tượng rời rạc Đếm thao tác để xác định số lượng phần tử mơ hình rời rạc Một tập hợp rời rạc đối tượng lúc chia được, theo nghĩa chia kết khơng cịn đối tượng Ví dụ, nửa táo khơng táo Như vậy, mơ hình rời rạc chia thành số phần định phù hợp với số lượng đối tượng chứa tập hợp Chẳng hạn với tập hợp chứa trứng chia thành hai, ba, hay sáu, chia thành năm phần Mơ hình liên tục liên quan đến đại lượng có số đo liên tục, chiều dài diện tích băng giấy Khác với mơ hình rời rạc, mơ hình liên tục chia thành phần tùy ý Ví dụ đoạn thẳng chia thành hai, ba, năm phần nhau… Có bốn loại mơ hình dùng để biểu diễn phân số DH, tập hợp (mơ hình rời rạc), độ dài, diện tích, tia số (ba mơ hình liên tục) Việc sử dụng mơ hình cần thiết, khơng tránh khỏi, với chuyển hoá sư phạm DH toán tiểu học – bậc học mà khái niệm trừu tượng cần phải giới thiệu kèm với biểu diễn trực quan (tham khảo Le & Nguyen, 2018) Để thiết kế lưới TCTH tham chiếu, tác giả viết giữ lại mơ hình tập hợp mơ hình độ dài, diện tích Mơ hình tia số khơng khai thác đây, có nhiều lợi ích lớn lao lại khơng thuận tiện cho việc mơ tả nghĩa tốn tử (tham khảo Le & Nguyen, 2018, p.32)  Xây dựng lưới tổ chức toán học tham chiếu Xét phân số - T1 = tìm 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 Lưới TCTH tham chiếu lập từ hai KNV: đại lượng, - T2 = tìm phân số mà việc nhân với làm biến đổi đại lượng ứng với giá trị a thành đại lượng ứng với giá trị b Hai biến V1 = giá trị đại lượng (nếu đại lượng số) V2 = mô hình biểu diễn đại lượng (được nói đến T1, T2) sử dụng để lập lưới Khi V1 số n n bội b, khơng phải bội b, chí phân số Trong trường hợp thứ mơ hình rời rạc vận hành tốt Đối với trường hợp cịn lại mơ hình liên tục lại chiếm ưu Vì thế, giá trị chọn cho V2 tập hợp có n 1543 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 1538-1552 phần tử (mơ hình rời rạc) n chia hết cho b, hình vẽ (mơ hình liên tục) trường hợp ngược lại Bảng mô tả lưới TCTH tham chiếu thiết lập để phân tích tri thức cần dạy nghiên cứu kiến thức HS nghĩa toán tử phân số Bảng nói đến KNV mơ tả kĩ thuật Cơng nghệ chung nghĩa tốn tử phân số Bảng Lưới TCTH tham chiếu liên quan đến nghĩa toán tử phân số Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝟏𝟏 vẽ = 𝑎 𝑇𝑎/𝑏 hình vẽ =Tìm 𝑏 hình 𝑎 𝑻𝟏𝟐 = 𝑇𝑎/𝑏 tập hợp (𝑛) = Tìm 𝑏 tập hợp có n phần tử, với n chia hết cho b (Kĩ thuật thứ vận hành n không q lớn) Vẽ hình minh hoạ tập hợp có n phần tử Nhóm phần tử tập hợp cho có b phần đếm số phần tử a phần Lấy n chia cho b, nhân với a Thực phép toán 𝑎 T1 Kĩ thuật Chia hình vẽ thành b phần Sau đó, đánh dấu vào a phần 𝑻𝟏𝟑 = 𝑇𝑎/𝑏 𝑛 = Tìm 𝑏 n, với n chia hết cho b (đối với kĩ thuật thứ minh hoạ mơ hình tập hợp n khơng q lớn) 𝑎 𝑏 × 𝑛 theo quy tắc Lấy n chia cho b, nhân với a Thực phép toán 𝑎 𝑏 × 𝑛 theo quy tắc 𝑻𝟏𝟒 = 𝑇𝑎/𝑏 𝑛∗ = Tìm 𝑏 n, với n số tự nhiên không chia hết cho b n Thực phép tốn phân số 𝑎 𝑏 × 𝑛 theo quy tắc 𝑎 𝑻𝟏𝟓 = 𝑇𝑎/𝑏 𝑐/𝑑 hình vẽ = Tìm hình vẽ 𝑻𝟏𝟔 = 𝑇𝑎/𝑏 𝑐/𝑑 = Tìm T 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 Chia hình vẽ thành b phần tô màu a phần Tiếp tục chia phần tô màu thành d phần tơ màu vào c phần Cuối cùng, tìm phân số phần tô màu hai lần Thực phép tốn 𝑎 𝑏 × 𝑐 𝑑 theo quy tắc 𝑇𝑎2 thành 𝑏 = Tìm phân số biến đoạn thẳng có độ dài a thành đoạn thẳng có Lấy b làm tử số, a làm mẫu số độ dài b 3.2 Nghĩa toán tử sách giáo khoa Toán bậc tiểu học Khái niệm phân số tổng quát phép toán phân số bắt đầu nghiên cứu lớp 4, thực HS biết đến phân số đơn vị từ lớp 2, sau lớp  Nghĩa toán tử sách giáo khoa Toán Toán Lưu ý lớp lớp thuật ngữ phân số chưa xuất – người ta nói đến “một phần hai, phần ba, phần tư…” Chẳng hạn, khái niệm “một phần hai” SGK Toán đưa vào sau nội dung “Bảng chia 2”, trình bày sau: 1544 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hồi Châu tgk Chia hình vng thành hai phần Lấy phần, phần hai hình vng Một phần hai viết Một phần hai gọi nửa (SGK Tốn 2, 2014, tr.110) Tình hình thành nên nghĩa phần/tổng thể phân số Sau SGK Toán yêu cầu HS giải toán thuộc hai dạng Với dạng thứ nhất, qua quan sát hình cho sẵn, HS phải trả lời câu hỏi: tơ màu hình nào? Ở dạng thứ hai, hình vẽ biểu diễn tập hợp rời rạc có số đối tượng khoanh vùng, câu hỏi đặt cho HS là: hình khoanh vào số đối tượng? Để giải toán thuộc loại này, HS cần đếm số phần tử tập hợp cho thực chép chia số cho Ta thấy dù phép nhân với chưa thể trình bày tường minh, rõ ràng cách trình bày Toán cho thấy mối liên hệ với phép chia cho 2 Ta thấy xuất hai kiểu nhiệm vụ sau, trường hợp a = 1 - 𝑻𝟏𝟏 = 𝑇𝑎/𝑏 hình vẽ = Tìm 𝑎 𝑏 hình vẽ - 𝑻𝟏𝟐 = 𝑇𝑎/𝑏 tập hợp (𝑛) = Tìm 𝑎 tập hợp có n phần tử, với n chia hết cho b 𝑏 Theo cách hoàn toàn tương tự, SGK Tốn cịn đưa vào phân số , , tương ứng sau nội dung “Bảng chia ba”, “Bảng chia bốn”, “Bảng chia năm” Việc xếp nội dung kiểu thể rõ ý đồ gắn phân số đơn vị với phép chia Chương trình Tốn lớp tiếp tục nghiên cứu “Bảng chia sáu”, …, “Bảng chia chín” lúc phân số đơn vị ,…, hiểu tương tự , , … mà khơng trình bày tường tận cho trường hợp SGK Toán Cũng theo chương trình lớp HS nghiên cứu “phép chia cho số có chữ số” nên phân số đơn vị có mẫu số lớn Hai dạng toán nghiên cứu lớp gặp lại Ngoài ra, SGK cịn đưa thêm nội dung “Tìm phần số” KNV xuất TÌM MỘT TRONG CÁC PHẦN BẰNG NHAU CỦA MỘT SỐ Bài tốn: Chị có 12 kẹo Chị cho em số kẹo Hỏi chị cho em kẹo? Nhận xét: chia 12 kẹo thành phần Mỗi phần số kẹo Bài giải Chị cho em số kẹo là: 12 : = (cái) Đáp số: kẹo (SGK Toán 3, 2014, tr.26) 1545 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 1538-1552 Bài tốn “chia kẹo” KNV gặp lớp (𝑻𝟏𝟐 = 𝑇𝑎/𝑏 tập hợp (𝑛) = Tìm 𝑎 𝑏 tập hợp có n phần tử, với n bội b) Nó có mặt để hình thành nên kĩ 𝑎 thuật giải KNV 𝑻𝟏𝟑 = 𝑇𝑎/𝑏 𝑛 = Tìm 𝑏 n, với n chia hết cho b Hiển nhiên người ta xét trường hợp a =1 Kĩ thuật “lấy n chia cho b” Tóm lại, cuối lớp 3, HS biết xét ba KNV bảng trên, trường hợp a = 1, chương trình đề cập đến phân số đơn vị 𝑏 (mẫu số  b  9)  Nghĩa toán tử sách giáo khoa Toán Lúc khái niệm phân số định nghĩa tường minh phép toán phân số nghiên cứu cách có hệ thống Tất nhiên, định nghĩa tổng quát (trừu tượng) phân số không giới thiệu, mà người ta dùng mơ hình trực quan (tơ màu hình) để đưa vào phân số 𝑎 𝑏 cụ thể Các nghĩa phần/tổng thể, thương, tỉ số, đại lượng đưa vào, nhờ mơ hình tập hợp, độ dài, diện tích, qua toán cụ thể SGK Toán đưa vào phép nhân hai phân số qua tình tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài 𝑚 chiều rộng 𝑚 Vốn HS lớp biết từ trước cơng thức tính diện tích hình chữ nhật, tất nhiên làm việc với kích thước số tự nhiên Để giải toán này, SGK Tốn mở rộng cơng thức cho trường hợp số đo cạnh phân số, dùng hình vẽ để đưa kết quả, sau phát biểu ln quy tắc nhân tổng qt Ví dụ: tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài 𝑚 chiều rộng a) Để tính diện tích hình chữ nhật ta phải thực phép nhân: 𝑚 × b) Ta tính diện tích dựa vào hình vẽ bên Nhìn hình vẽ ta thấy: - Hình vng có diện tích 1m2 gồm 15 ơ, có diện tích 15 𝑚2 - Hình chữ nhật (phần tơ màu) chiếm Do diện tích hình chữ nhật 15 𝑚2 c) Ta thực phép nhân sau: × = 4×2 5×3 = 15 Muốn nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số (SGK Toán 4, 2014, tr.132) Như vậy, thơng qua tốn trên, SGK đưa vào quy tắc nhân hai phân số với lời giải thích khơng rõ ràng Nghĩa tốn tử khơng hình thành đây, quy trình làm nên nghĩa (chia hình vẽ thành phần nhau, tô màu phần; chia phần tô màu thành phần nhau, tô màu phần Phần tô màu hai lần 1546 × ) khơng giới thiệu Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu tgk tường minh Các ví dụ, tập sau nhiệm vụ thuộc kiểu tính 𝑎 𝑏 × 𝑐 d tính diện tích hình chữ nhật có số đo cạnh phân số cách áp dụng quy tắc nêu Các phép toán 𝑛 × 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 × 𝑛 đưa vào sau xem trường hợp riêng phép nhân hai phân số Cho đến lúc SGK Tốn đưa vào quy tắc tính tốn, theo cách áp đặt cho trường hợp nhân hai phân số Tuy nhiên, sau có mục “Tìm phân số số”, bắt đầu tình sau : Bài tốn: Một rổ cam có 12 Hỏi Nhận xét: 3 số cam rổ cam số cam rổ là: 12 : = (quả) số cam rổ là:  = (quả) Ta tìm 12  3 số cam rổ sau: = (quả) Muốn tìm số 12 ta lấy số 12 nhân với (SGK Toán 4, 2014, tr.135) Ta gặp lại KNV nghiên cứu lớp (𝑻𝟏𝟐 = 𝑇𝑎/𝑏 tập hợp (𝑛) : Tìm 𝑎 𝑏 tập hợp có n phần tử, với n chia hết cho b), trước xét với a = lúc a lấy giá trị nguyên dương khác Cũng từ toán trên, SGK đưa vào kĩ 𝑎 𝟏 thuật giải KNV 𝑻𝟏𝟑 = 𝑇𝑎/𝑏 𝑛 : Tìm 𝑏 n, với n chia hết cho b Giống 𝑻𝟐 , KNV mở rộng cho trường hợp a  Ba nhiệm vụ thuộc 𝑻𝟏𝟑 sau SGK yêu cầu HS giải Ví dụ: Một lớp học có 35 học sinh, số học sinh xếp loại Tính số học sinh xếp loại lớp (SGK Tốn 4, 2014, tr.135) Đó mà SGK Tốn đề cập đến nghĩa toán tử phân số Ở lớp 5, kiến thức học phân số nhắc lại, ngồi chương trình đưa vào khái niệm hỗn số Khơng có thêm KNV nói lên chất nghĩa tốn tử 3.3 Quan hệ cá nhân học sinh tiểu học Việt Nam nghĩa tốn tử Phân tích cho thấy nhiều KNV cho phép hiểu nghĩa toán tử không đề cập DH phân số lớp 2, 3, Nó cho phép đưa giả thuyết sau kiến thức HS tiểu học: “Học sinh không huy động phép nhân hai phân số giải tình liên quan đến tốn tìm a b đại lượng mà giá trị đại lượng cho dạng phân số”  Nghiên cứu thực nghiệm Giả thuyết kiểm chứng qua thực nghiệm Thực nghiệm thiết kế 1547 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 1538-1552 với toán xoay quanh KNV 𝑻𝟏𝟔 = 𝑇𝑎/𝑏 𝑐/𝑑 = Tìm 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Bài toán Viết phân số thích hợp vào chỗ chấm a) kg …… kg ; b) Bài tốn Trong tủ lạnh Tùng có m …… m bánh Pizza Vào buổi trưa, Tùng ăn phần bánh tủ lạnh Hỏi buổi trưa Tùng ăn phần bánh Pizza? Bài toán Lan mẹ cho số bánh có hộp bánh quy Sau đó, Lan ăn hết số bánh mẹ cho Hỏi Lan ăn phần hộp bánh quy?  Những chiến lược giải dự kiến xuất HS Chiến lược S1 “tuổi thuyền trưởng”1 HS kết hợp hai phân số cho với phép toán cộng; trừ; nhân chia cho đáp án chấp nhận Chiến lược S2 “sử dụng đơn vị chuyển đổi” Tìm đơn vị ví dụ M, từ dẫn đến việc tìm 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 M tìm gắn vào 𝑎 𝑏 𝑐 “ M” Vì 𝑑 đơn vị đo cho đề quen thuộc nên hình dung lời giải có cách chuyển đơn vị đo Chẳng hạn, với Bài toán 1a đơn vị gắn vào phân số kg, lời giải : kg = 4 1000g = 1000g : 4= 250g = 250g = 250g : 2= 125g = kg Chiến lược S3 “sử dụng hình vẽ minh họa đơn vị” Theo chiến lược trước tiên vẽ hình biểu thị cho đơn vị đánh dấu vào 𝑐 𝑑 𝑎 hình Sau đó, đánh dấu vào 𝑏 phần đánh đấu Phân số phần đánh dấu đơn vị phân số cần tìm Chiến lược S4 “sử dụng phép nhân hai phân số” chiến lược tối ưu toán  Những biến chọn thiết kế tốn thực nghiệm Phần mơ tả biến giá trị biến chọn để thiết kế toán thực nghiệm Ba toán thuộc KNV T1= Tìm 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Biến V1 = cấu tạo hai phân số cho Các giá trị biến V1 mô tả V1a: 𝑎 𝑏 > 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑑 < 1; V1b : 𝑎 𝑏 > 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑑 > V1c “ 𝑎 𝑏 < 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 + 𝑑 > 1” Giá trị biến tạo thông tin loại trừ lẫn hợp thức chiến S1 Biến V2 = xuất đơn vị gắn với phân số Các giá trị biến V2 V2a = không xuất đơn vị; V2b = đơn vị phân số gắn với đại lượng cho “Tuổi thuyền trưởng” toán Brousseau (1990) xây dựng để nghiên cứu kiểu ứng xử HS tình không quen thuộc Tác giả trường hợp HS khơng quan tâm đến nghĩa phép toán chất kiện cho đề bài, tìm cách kết hợp kiện vào phép tốn học để tìm câu trả lời mà họ cho phù hợp (tham khảo A.Bessot et al, 2009, p.198) 1548 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu tgk đơn vị phân số yêu cầu đáp số V2c = đơn vị phân số gắn với đại lượng cho khác với đơn vị phân số yêu cầu đáp số Giá trị V2b chọn nhằm tạo yếu tố cho xuất chiến lược S2 chiến lược S3 Biến V3 = tương thích phân số cho với hình vẽ minh họa đơn vị Các giá trị biến V3 V3a = tương thích V3b = khơng tương thích Việc chọn giá trị V3a tạo yếu tố thuận lợi cho xuất chiến lược S4  Kết thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành 40 HS lớp Thời gian thực nghiệm vào cuối tháng đầu tháng năm học 2018-2019, thời điểm HS tham gia thực nghiệm hoàn thành xong chương trình tiểu học bắt đầu vào năm học Học sinh chưa học thêm kiến thức mới, đồng thời tổng kết vần đề phân số chương trình tiểu học Bảng Thống kê câu trả lời học sinh Chiến lược S1 Chiến lược Cộng Bài toán 1a 19 Bài toán 1b 18 Bài toán Bài toán Trừ 6 19 17 Chia 12 12 4 Phối hợp nhiều phép toán Chiến lược S2 Chiến lược S3 Chiến lược S4 Chiến lược khác 5 Tổng 40 40 40 40 Mặc dù giá trị biến V1 lựa chọn nhằm hạn chế xuất nó, chiến lược S1 (tuổi thuyền trưởng) HS lựa chọn nhiều giải ba toán (31/40 với 1a chừng với 1b, 35/40 với 35/40 với 3) Một lời giải minh hoạ Hình Trái lại, chiến lược S2 (sử dụng đơn vị chuyển đổi) HS sử dụng, mặc dù, giá trị chọn biến V2 tạo hội cho chiến lược xuất Chiến lược S3 (sử dụng hình vẽ minh họa đơn vị) khơng sử dụng Điều khơng nằm ngồi dự kiến, khơng trình bày SGK toán tiểu học, trừ trường hợp ngầm ẩn đưa vào quy tắc nhân hai phân số phân tích sách giáo khoa 1549 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 1538-1552 Chiến lược S4 (nhân hai phân số) sử dụng HS Bài toán 3, giá trị biến V3 chọn với mục đích tạo thuận lợi cho xuất Việc phần lớn HS khơng giải ba toán theo chiến lược S1 (tìm đáp số cách thử nghiệm phép tốn khác cho có đáp số xem chấp nhận được) cho thấy nghĩa phép nhân hai phân số chưa xây dựng HS Khi rời bỏ tình “tính diện tích hình chữ nhật” chuyển sang tình khác, cụ thể 𝑎 “tìm 𝑏 𝑐 𝑑 đại lượng”, HS cảm thấy lúng túng Lúc này, em bộc lộ bất ổn, biểu việc chọn thay đổi phép toán liên tục để đáp ứng tốn Một số HS theo đuổi chiến lược khác để tìm cách tính 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 , chẳng hạn S2, tỏ “tốn kém” Các em không nghĩ đến việc sử dụng phép tốn nhân hai phân số (chỉ có HSV chọn chiến lược S4) Kết luận kiến nghị Ba toán thuộc KNV T1= Tìm 𝑎 𝑏 đại lượng, xác “tìm 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ” Kết thực nghiệm cho thấy dường HS chưa hiểu nghĩa phép nhân phân số Nó cho phép khẳng định bước đầu tính thoả đáng giả thuyết: “Học sinh khơng huy động phép nhân hai phân số giải tình liên quan đến tốn tìm 𝑎 𝑏 đại lượng mà giá trị đại lượng cho dạng phân số” Nói “khẳng định bước đầu”, thực tác giả viết chưa vấn HS để biết sử dụng chiến lược S1 em loay hoay với phép toán cộng, trừ, chia, mà không nghĩ đến phép nhân Thực ra, từ phân tích SGK cịn hình thành giả thuyết khác liên quan đến nghĩa toán tử: “Phép nhân phân số không HS huy động để tìm hình phóng to, thu nhỏ hình” Bài tốn liên quan đến KNV T2 = tìm phân số mà việc nhân với biến làm đổi đại lượng ứng với giá trị a thành đại lượng ứng với giá trị b Đây toán mang lại nghĩa toán tử cho phân số mà số chương trình SGK nước ngồi quan tâm Chẳng hạn, chương trình Tốn tiểu học Mĩ u cầu HS hiểu phép nhân phân số qua “sự phóng to thu nhỏ hay thay đổi kích thước hình vẽ” (Common Core State Standards Initiative, 2010, p.36) Trái lại, việc hiểu nghĩa tốn tử qua kiểu tình khơng chương trình hay SGK Tốn tiểu học nói đến Để kiểm chứng giả thuyết thứ hai này, tác giả viết tiến hành thực nghiệm với HS, khơng thể trình bày khn khổ có hạn viết Nghiên cứu thực cho phép củng cố thêm ghi nhận nhiều nhà nghiên cứu khác khó khăn việc hiểu sử dụng khái niệm phân số HS tiểu học Khó khăn chứa đựng nhiều vấn đề mà nguồn gốc trước hết nằm tính đa nghĩa đa biểu diễn khái niệm phân số Kết nghiên cứu cho thấy vết nghĩa toán tử thể chế dạy học toán bậc tiểu học Việt Nam xuất mờ nhạt, nghĩa 1550 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hồi Châu tgk cho thấy vai trị công cụ phép nhân hai phân số Sự thiếu vắng nghĩa tốn tử gây khó khăn giải tình liên quan 𝑎 𝑏 đại lượng mà giá trị đại lượng cho dạng phân số Điều chứng tỏ cần phải xây dựng tình dạy học bổ sung vào quan hệ cá nhân HS với KNV “tìm 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ” Đây hướng nghiên cứu phát triển tiếp từ nghiên cứu  Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆUTHAM KHẢO Behr, M., Post, T., & Lesh, R (1982) Interpretations of Rational Number Concepts In L Silvey & J Smart (eds.) Mathematics for Grades 5-9, 1982 NCTM Yearbook (pp 59-72) Reston, Virginia: NCTM Bessot A., Comiti C., Le T H C., & Le, V T (2009), Eléments fondamentaux de Didactique des Mathématiques Publishing House of the National University of Ho Chi Minh City Brousseau G (1990) Le contrat didactique, le milieu Recherches en Didactique des Mathématiques, 9(3), 309-336, éd La Pensée Sauvage, Grenoble Chevallard Y (1992), Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportées par une approche anthropologique Recherches en Didactique des Mathématiques, 12/1, 73-112 Grenoble: La Pensée Sauvage Édition Common Core State Standards Initiative (2010) Common Core State Standards for Mathematics Washington DC: National Governors Association Center for Best Practices and the Council of Chief State School Officers Davis G (1991) Fractions as Operators and as Cloning Machines In: Hunting R.P., Davis G (eds) Early Fraction Learning Recent Research in Psychology Springer, New York, NY Duong, H T (2014) Day hoc phan so o truong tieu hoc thong qua hoat dong giai cac bai toan Teach fractions in primary school through problem-solving activities Doctoral thesis Science of education, specialty: Didactics of mathematics Ho Chí Minh City University of Education Ho ChI Minh City Do, D H et al (2014) Sach giao khoa Toan 2, 3, 4, Manual of Mathematics 2,3,4,5 Vietnam Education Publishing House Kieren T E (1976), On the mathematical, cognitive, and instructional foundations of rational numbers In R Lesh (Ed.) Number and Measurement: Papers frome a Researche Worksop ERIC/SMEAC, 101-144, Columbus, OH Lamon, S J (2012) Teaching fractions and ratios for understanding: essential content knowledge and instructional strategies for teachers Routledge New York and London Le, T H C (2018) Thuyet Nhan hoc Didactic Toan The anthropological theory of didactics mathematics  Ho Chi Minh City Publishing House of Ho Chi Minh City University of education, ISBN: 978-604-958-410-7 1551 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 1538-1552 Le, T H C., & Nguyen, L H T (2018) Day hoc phan so o tieu hoc: Mot nghien cuu khai thac cac bieu dien truc quan Teaching the fraction in primary school: a study aiming at exploiting models of concrete representation Ho Chí Minh City University of Education Journal of Science, 15(1), 27-39 Manturov O V., Solntxev In.k., Sorkin In.I., & Phedin N.G (1993) Dictionary explains the mathematical terminologies Tu đien giai thich thuat ngu Toan hoc Translator: Hoang Huu Nhu and Le Dinh Thinh Ministère de l’Éducation de l’Ontario (2008) Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e la 6e année Canada Ngo, T L., Doan, Q., & Nguyen, D T (2003) Tu đien Toan hoc thong dung Common mathematical dictionary Hue: Vietnam Education Publishing House KNOWLEDGE OF PRIMARY STUDENTS ON THE OPERATOR MEANING OF FRACTIONS Le Thi Hoai Chau1*, Pham Thanh Dat2 Van Hien University, Vietnam Viet Au High School, Ho Chi Minh City, Vietnam * Corresponding author: Le Thi Hoai Chau – Email: chaulth@vhu.edu.vn Received: November 28, 2019; Revised: March 23, 2020; Accepted: April 08, 2021 ABSTRACT The multi-signification of the notion of fraction is at the origin of the difficulties encountered by primary school pupils to understand and use this notion Among the signification of fractions, the meaning of operator is related to the instrumental role of the multiplication of fractions Our epistemological research has enabled us to build a reference grid for mathematical organization that must be built in teaching to help students understand the need for the multiplication of fractions This grid of reference of mathematical organizations helped us analyze the teaching of mathematics in elementary schools It was found that the teaching did not succeed in completely constructing the signification of the operator of the fractions for the pupils Therefore, the knowledge of the students is incomplete They can implement the rules for multiplying fractions, but they not know how to use this operation to solve some math and reality problems This statement has been validated by an experimental study presented at the end of the article Keywords: fraction; signification of operator; reference mathematical organization 1552 ... dụ: Một lớp học có 35 học sinh, số học sinh xếp loại Tính số học sinh xếp loại lớp (SGK Tốn 4, 2014, tr.135) Đó mà SGK Tốn đề cập đến nghĩa toán tử phân số Ở lớp 5, kiến thức học phân số nhắc lại,... tri thức cần dạy nghiên cứu kiến thức HS nghĩa toán tử phân số Bảng nói đến KNV mơ tả kĩ thuật Cơng nghệ chung nghĩa tốn tử phân số Bảng Lưới TCTH tham chiếu liên quan đến nghĩa toán tử phân số. .. toán tử sách giáo khoa Toán bậc tiểu học Khái niệm phân số tổng quát phép toán phân số bắt đầu nghiên cứu lớp 4, thực HS biết đến phân số đơn vị từ lớp 2, sau lớp  Nghĩa toán tử sách giáo khoa Toán