108 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 6: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: 1) Một số tính chất lũy thừa: • Nhân, chia hai lũy thừa số ( m, n ∈ ¥ ) a m a n = a m + n a m : a n = a m−n (m, n ∈ ¥ ; m ≥ n) m am a = ÷ bm b ( b ≠ 0) (a ) m n • • Lũy thừa lũy thừa: Lũy thừa tích: n am = a • ( a.b ) (m ) Lũy thừa tầng: n n = a m.n = a n b n ( m, n ∈ ¥ ) ( n∈¥) ( m, n ∈ ¥ ) 2) Một số công thức đặt thừa số chung a.b + a.c + a.d + + a.k = a ( b + c + d + + k ) • 1 a a a + + + = a + + + ÷ x1 x xn xn x1 x2 • DẠNG 1: LŨY THỪA, PHỐI HỢP CÁC PHÉP TÍNH Bài 1: Thực phép tính: 75.54 + 175.54 311.11 + 311.21 B = A= 20.25.125 − 625.75 39.25 a, b, ( 3.4.2 ) c, 16 C= 11.213.411 − 169 A= a, Ta có: ; 11 + 21 39.25 Liên hệ tài 039.373.2038 11 liệu Hướng dẫn giải ( 11 + 21) 311.32 32 = = =9 39.25 39.32 11 11 = word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com B= b, Ta có: 75.54 + 175.54 3.52.54 + 52.7.54 3.56 + 7.56 56.10 = = = = 10 20.25.125 − 625.75 5.52.53 − 54.3.52 2.56 − 3.56 ( 3.4.2 ) 16 32.236 32.236 32.236 C= = = = =2 11.213.411 − 169 11.235 − 236 235 ( 11 − ) 235.9 c, Ta có: Bài 2: Thực phép tính: a, 5.415.99 − 4.320.89 A= 5.29.619 − 7.229.276 510 73 − 255 492 B= ( 125.7 ) b, + 59 143 ( 3.4.2 ) 16 C = c, 11.213.411 - 49.218 Hướng dẫn giải a, Ta có: 29 18 29 18 5.415.99 − 4.320.89 5.230.318 − 22.320.2 27 = ( 10 − ) = = = 228.318 ( 15 − 14 ) 28.318 5.29.619 − 7.229.27 5.2 28.319 − 7.229.318 B= b, Ta có: 510 73 − 255 492 ( 125.7 ) + 59 143 ( 3.4.2 ) 16 C = 11.213.411 - 49.218 5.711 + 712 A= - 13.7 a, Ta có: b, Ta có: 510 73 ( − ) ( −6 ) −10 510 73 − 510 = = = × 59 + 59 73 23 59 73 ( + 23 ) c, Ta có: Bài 3: Thực phép tính: a, = = 32.236 235 ( 11- 2) =2 215.7 − 216 B= 5.215 b, Hướng dẫn giải C= c, 5.415.99 − 4.320.89 5.29.619 − 7.229 27 5.711 + 712 711 (5 + 7) 711.12 A= = = = = 49 - 13.7 ( - 13) 12 B= 15 215.7 − 216 ( − ) = = =1 5.215 5.215 229.318 ( 5.2 − 32 ) 2.1.1 5.415.99 − 4.320.89 5.230.318 − 22.320.227 A= = = = =2 5.29.619 − 7.2 29 27 5.29.219.319 − 7.2 29.318 28.318 ( 5.3 − 7.2 ) 1.1.1 c, Ta có: 13 19 23 8 ×( 0, ) ì3 + ữ:1 15 15 60 24 Bài Tính: Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com Ta có: 13 19 23 28 8 79 24 ×( 0,5 ) ×3 + − ÷:1 = + − ÷ = − =1 15 15 15 60 24 15 60 47 5 151515 179 1500 176 B= + 10 ÷− − ÷ 161616 17 1600 187 Bài 5: Tính biêu thức: Hướng dẫn giải Ta có: Bài 151515 179 1500 176 15 15 16 B= + 10 ÷− − ÷= + − + =1 161616 17 1600 187 16 17 16 17 A = 24.5 − 131 − ( 13 − ) 6: Thực phép tính: Hướng dẫn giải A = 24.5 − 131 − ( 13 − ) = 16.5 − ( 131 − ) = 80 − ( 131 − 81) = 80 − 50 = 30 Ta có : Bài 7: Thực phép tính: 2 ( −8) : 25 − 18 : ( 52 + 22 ) :11 − 20180 ( 11.37.97 − 915 ) : ( 2.314 ) a) b) { } Hướng dẫn giải ( −8) a) { } : 25 − 18 : ( 52 + 22 ) :11 − 20180 ( 11.3 b) 11 − 915 ) : ( 2.314 ) = 64 : { 25 − 18 : [ 33 :11 − 1] } = ( 11.37.322 − 330 ) : ( 2.328 ) = 64 : { 25 − 18 : 2} = ( 11.329 − 330 ) : ( 22.328 ) = 64 :16 = = 329.8 : ( 22.328 ) = 329.23 : ( 22.328 ) = 3.2 = 1 + ( −2 ) : − 2−2.4 + ( −2 ) 2 Bài 8: Thực phép tính: Hướng dẫn giải 1 + ( −2 ) : − 2−2.4 + ( −2 ) = 16 + 8.1 − 4 + = 27 2 Ta có : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com Bài 9: Rút gọn : B= 255 + 257 + 259 511 + 513 + 515 + 517 + 519 + 521 Hướng dẫn giải Ta có: 510 ( + 54 + 58 ) 255 + 257 + 259 510 + 514 + 518 B = 11 13 15 17 19 21 = 11 15 19 = +5 +5 +5 +5 +5 ( + + ) + ( 513 + 517 + 521 ) ( + 54 + 58 ) ( 511 + 513 ) 510 1 = 11 13 = = +5 + 125 130 2 1 − 0,25 + 0,4 − + 11 ÷ : 2013 A= − ÷ 7 1,4 − + − 0,875 + 0,7 ÷ 2014 11 Bài 10: Thực phép tính: Hướng dẫn giải 2 1 0,4 − + − 0,25 + 11 − ÷ : 2013 A= ÷ 7 1, − + − 0,875 + 0,7 ÷ 2014 11 2 2 − + 11 = − − + 11 1 − + ÷ : 2013 ÷ 7 ÷ 2014 − + ÷ 10 1 1 1 − + − + 11 ÷ 2013 2 2013 : = − = − ÷ : =0 1 1 2014 7 2014 − + ÷ − + 11 ÷ DẠNG : TÍNH ĐƠN GIẢN 2 4 + − 4− + − 19 43 1943 : 19 41 2941 A= 3 5 3− + − 5− + − 19 43 1943 19 41 2941 2− Bài 1: Rút gọn : Hướng dẫn giải Ta có : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com 1 1 1 − + − ÷ 1 − + − ÷ 19 43 1943 19 41 2941 A= : 1 1 1 − + − ÷ 1 − + − ÷ 19 43 1943 19 41 2941 5 = : = = Bài 2: Thực phép tính: 2 1 − 0,25 + 0,4 − + 11 ÷: 2014 M = − ÷ 7 1,4 − + − 0,875 + 0,7 ÷ 2015 11 Hướng dẫn giải 2 1 − 0,25 + 0,4 − + 11 ÷: 2014 M = − ÷ 1,4 − + 1 − 0,875 + 0,7 ÷ 2015 11 2 2 − + 11 = − 7 − + 11 1 1 1 1 2 − + ÷ − + ÷ − + ÷ : 2014 = 11 − ÷: 2014 7 ÷ 1 1 ÷ 2015 − + ÷ 2015 − + ÷ − + ÷ ÷ 10 11 3 5 2 2014 = − ÷: =0 7 2015 −1,2 : 1,25 ÷ 1,08 − ÷: 25 + M= + 0,6.0,5 : 36 0,64 − − ÷ 25 17 Bài 3: Thực phép tính: Hướng dẫn giải Ta có : −1,2 : 1,25 ÷ 1,08 − ÷: 25 + M= + 0,6.0,5 : 36 0,64 − − ÷ 25 17 −1,2 : = + + 0,75 = −1 + + = 119 36 0,6 4 36 17 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com Bài 4: Thực phép tính: 193 33 11 1931 A = − + : + + ÷ ÷ 193 386 17 34 1931 3862 25 2 Hướng dẫn giải Ta có : 193 33 193 193 33 2 33 a ) − + = − + = − + =1 ÷ 193 386 17 34 193 17 386 17 34 17 34 34 11 1931 1931 11 1931 11 1931 + 3862 ÷ 25 + = 1931 25 + 3862 25 + = 25 + 50 + = ⇒ A = 1: = = 2 1 0,4 − + − 0,25 + 11 − ÷: 2014 M = ÷ 7 1,4 − + − 0,875 + 0,7 ÷ 2015 11 Bài 5: Thực phép tính: Hướng dẫn giải 2 1 0,4 − + − 0,25 + 11 − ÷: 2014 1) M = ÷ 7 1,4 − + − 0,875 + 0,7 ÷ 2015 11 2 2 − + 11 = − 7 − + 11 1 1 1 1 2 − + ÷ − + ÷ − + ÷ : 2014 = 11 − ÷: 2014 7 ÷ 2015 1 1 ÷ 2015 − + ÷ − + 11 ÷ − + ÷÷ 10 2 2014 = − ÷: =0 7 2015 3 + 11 12 + 1,5 + − 0,75 5 −0,265 + 0,5 − − 2,5 + − 1,25 11 12 Bài 6: Thực phép tính: 0,375 − 0,3 + Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com 3 3 3 − + + + − 10 11 12 a) A = + 53 5 5 5 − + − − + − 100 10 11 12 1 1 1 1 165 − 132 + 120 + 110 3 − + + ÷ + − ÷ 3. ÷ 10 11 12 4 1320 + = + = −53 1 −53 −66 + 60 + 55 1 1 − 5 − + + ÷ 5 + − ÷ − 5 ÷ 100 660 10 11 12 100 263 263 3 3945 −1881 1320 + = 1320 = + = + = −53 49 −1749 − 1225 −5948 29740 − 100 660 3300 3 1 + 0,5 − + − 0, 17 37 + B= 5 7 − + − + − 3,5 17 37 0,5 − Bài 7: Tính biểu thức: Hướng dẫn giải Ta có: 3 1 + 0,5 − + − 0, 17 37 + B= = 5 7 − + − + − 3,5 17 37 0,5 − 3 1 1 − + − + − 17 37 + 5 5 7 7 − + − + − 17 37 1 1 1 1 3 − + ÷ − + − 17 37 = − = 16 × = + 1 1 1 1 35 − + ÷ −7 − + − ÷ 17 37 5 Bài 8: Thực phép tính: Ta có: 1 1 1 (1 + + + + 100) − − − ÷(63.1, − 21.3, 6) 2 9 − + − + + 99 − 100 Hướng dẫn giải 1 1 1 (1 + + + + 100) − − − ÷(63.1, − 21.3, 6) 2 9 63.1, − 21.3, = ⇒ =0 − + − + + 99 − 100 DẠNG : TÍNH TỔNG CÁC SỐ TỰ NHIÊN ĐƯỢC LẬP TỪ MỘT CHỮ SỐ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com S = a + aa + aaa + + aaa 3a n Tính tổng: Phương pháp: Ta có: ( ) S = a + aa + aaa + + aaa 3a = a + 11 + 111 + + 111 123 n n ⇒ 9S = a + 99 + 999 + + 999 123 ÷ n A = + 99 + 999 + + 999 123 Đặt Ta có: n A = ( 10 − 1) + ( 102 − 1) + ( 103 − 1) + + ( 10n − 1) = ( 10 + 102 + 103 + + 10 n ) − n = 111 10 123 − n n a 111 10 123 − n÷ ⇒S= n Bài 1: Tính tổng tự nhiên A = + 99 + 999 + + 999 123 B = + 11 + 111 + + 111 123 10 a, 10 b, Hướng dẫn giải A = ( 10 − 1) + ( 102 − 1) + ( 103 − 1) + + ( 1010 − 1) a, Ta có: = ( 10 + 102 + 103 + + 1010 ) − 10 = 111 10 − 10 = 111 100 { 123 10 9 B = + 99 + 999 + + 9999 99 b, Ta có: ( 10 số 9) 10 A = ( 10 − 1) + ( 10 − 1) + ( 10 − 1) + + ( 10 − 1) = ( 10 + 102 + 103 + + 1010 ) − 10 = 111 10 − 10 = 111 100 { 123 10 A ⇒B= = 9 111 100 123 9 C = + 55 + 555 + + 555 123 Bài 2: Tính tổng tự nhiên a, Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 C= Hướng dẫn giải C = 1 + 11 + 111 + + 111 123 ÷ 10 liệu word toán zalo: 10 ( 10 số 1) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com 9C = + 99 + 999 + + 999 123 ÷ 10 Ta có: A = ( 10 − 1) + ( 10 − 1) + ( 103 − 1) + + ( 1010 − 1) = ( 10 + 10 + 103 + + 1010 ) − 10 = 111 10 { − 10 = 111 100 ⇒C = 5.111 100 123 = 555 500 { DẠNG : TÍNH TỔNG DÃY PHÂN SỐ CĨ QUY LUẬT 1 1 + + + + a n −1a n 1) Tính tổng: S = a1a a a a 3a a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = = an − aa −1 = * Với Phương pháp: Ta có: a −a 1 = 1= − ; a1a2 a1a2 a1 a2 a − a2 1 = = − ; a2 a3 a2 a3 a2 a3 an−1an = an − an−1 1 = − an−1an an−1 an Do đó: 1 1 1 1 1 − + − + − + + − = − a n −1 a n a a n S = a1 a a a a a 1 1 S= + + + + 1.2 2.3 3.4 2004.2005 Bài 1: Tính tổng : Hướng dẫn giải Ta có: 1 = − ; 1.2 1 1 1 = − ; = − 2.3 2004.2005 2004 2005 Cộng vế với vế đẳng thức ta 1 2004 1 1 1 S = + − + − + + − = 1− = − 2005 2005 2 3 3 2004 2004 2005 S= Bài 2: Tính tổng : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 1 + + + 9.10 10.11 2004.2005 word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com Hướng dẫn giải Ta thấy tổng giống hệt tổng ta dùng cách tách số hạng 1: 1 1 1 S = − + − + + − 10 10 11 2004 2005 1 1996 = − = 2005 18045 n( n + 1) Nhận xét : Nếu số hạng tổng quát có dạng: 1 = − n( n + 1) n n + Thì ta tách sau: Từ ta có cơng thức tổng quát để tính tổng sau: 1 1 S= + + + = 1− 1.2 2.3 n( n + 1) n +1 1 1 + + + + a n −1a n 2) Tính tổng: S = a1a a a a 3a a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = = an − aa −1 = k > * Với thì: Phương pháp: Ta có: a −a k 1 = 1= − ; a1a2 a1a2 a1 a2 a − a2 k 1 = = − ; a2 a3 a2 a3 a2 a3 k an−1an = an − an−1 1 = − an−1an an−1 an Do đó: 1 1 1 1 1 1 1 − ÷= − ÷ − + − + − + + k a a a a3 a3 a a n −1 a n k a1 a n S= 2 2 A= + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 Bài 1: Tính tổng : Hướng dẫn giải Ta có : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com a, 1.2.3 + 2.4.6 + 4.8.12 + 7.14.21 1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 7.21.35 a, Ta có : 1.7.9 + 3.21.27 + 5.35.45 + 7.49.63 1.3.5 + 3.9.15 + 5.15.25 + 7.21.35 b, Hướng dẫn giải 1.2.3 + 2.4.6 + 4.8.12 + 7.14.21 1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 7.21.35 = 1.7.9 + 3.21.27 + 5.35.45 + 7.49.63 1.3.5 + 3.9.15 + 5.15.25 + 7.21.35 b, Ta có : 1.7.9 ( + 3.3.3 + 5.5.5 + 7.7.7 ) 1.7.9 21 = = 1.3.5 ( + 3.3.3 + 5.5.5 + 7.7.7 ) 1.3.5 Bài 7:Thực phép tính: 1.2.3 ( + 2.2.2 + 4.4.4 + 7.7.7 ) 1.2.3 = = 1.3.5 ( + 2.2.2 + 4.4.4 + 7.7.7 ) 1.3.5 = 1.2 + 2.4 + 3.6 + 4.8 + 5.10 3.4 + 6.8 + 9.12 + 12.16 + 15.20 Hướng dẫn giải 1.2 ( + 2.2 + 3.3 + 4.4 + 5.5 ) 1.2 1.2 + 2.4 + 3.6 + 4.8 + 5.10 = = 3.4 + 2.2 + 3.3 + 4.4 + 5.5 3.4 ( ) 3.4 + 6.8 + 9.12 + 12.16 + 15.20 Ta có : = 2.3 + 4.6 + 6.9 + 8.12 B= 3.4 + 6.8 + 9.12 + 12.16 B= Bài 8: Tính giá trị biểu thức sau: 2a 5b 6c d + + + 5b 6c 7d 2a a, b, c, d ≠ Đặt B= biết 2a 5b 6c 7d = = = 5b 6c d 2a Hướng dẫn giải 2a 5b 6c d 2a 5b 6c 7d B= = = = =k⇒ = k = ⇒ k = ±1 ⇒ B = ±4 5b 6c d 2a 5b 6c 7d 2a ±4 => a 2m − a2n − b2n + b2m a + b2 Bài 9: Tính gá trị biểu thức: B= Hướng dẫn giải 2 2 a ( m − n) + b ( m − n) ( a + b ) ( m − n) B= = = m−n a + b2 ( a + b2 ) Ta có : ( ab + bc + cd + da ) abcd ( c + d ) ( a + b) + ( b − c) ( a − d ) Bài 10: Thực phép tính: Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com Ta có : MS = ca + cb + da + bd + ab − bd − ca + cd = ( ab + bc + cd + da ) Khi : TS ( ab + bc + cd + da )abcd = = abcd MS ( ab + bc + cd + da ) A= ( a + b) ( −x − y ) − ( a − y ) ( b − x) abxy ( xy + ay + ab + bx ) Bài 8: Tính giá trị biểu thức: Hướng dẫn giải Ta có: ( a + b) ( − x − y ) − ( a − y ) ( b − x) abxy ( xy + ay + ab + by ) a ( −x − y ) + b( −x − y ) − a ( b − x) + y ( b − x) = abxy ( xy + ay + ab + by ) A= = −ax − ay − bx − by − ab + ax + by − xy abxy ( xy + ay + ab + by ) = −ay − bx − ab − xy − xy + ay + ab + by −1 = = abxy ( xy + ay + ab + by ) abxy ( xy + ay + ab + by ) abxy Bài 9: Tính tổng 20 + 21 + 22 + + 2004 + 25 + 210 + + 2000 a, A= A= b, B= Hướng dẫn giải + + 52 + 53 + + 5100 + + 42 + 43 + + 4100 a, Ta có: ( + + 22 + 23 + 24 ) + ( 25 + 26 + 27 + 28 + 29 ) + + ( 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 ) + 25 + 210 + 215 + + 2000 (1+ + A= ( 1+ + A= b, Ta có: + 23 + 24 ) + 25 ( + + 2 + 23 + 24 ) + + 2000 ( + + 2 + 23 + 24 ) + 25 + 210 + 215 + + 2000 + 23 + 24 ) ( + 25 + 210 + + 22000 ) ( 1+ + + + 10 2000 M = + + 52 + 53 + + 5100 ⇒ 5M = + 52 + 53 + + 5100 + 5101 ) = ( + + 2 + 23 + ) ⇒ 5M − M = 4M = 5101 − ⇒ M = 5101 − N = + + 42 + 43 + + 4100 ⇒ N = + 42 + 43 + 44 + + 4101 ⇒ N − N = N = 4101 − ⇒ N = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: 4101 − TÀI LIỆU TOÁN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com B= Khi đó: M N Bài 11: Tính tổng: A= 101 + 100 + 99 + + + 101 − 100 + 99 − 98 + − + Hướng dẫn giải TS = ( + 101) 101 = 101.51 = 5151 Ta có: MS = ( 101 − 100 ) + ( 99 − 98 ) + + ( − ) + = + + + = 51 A= Khi đó: TS 51.101 = = 101 MS 51 Bài 12: Cho x tổng tất số nguyên có hai chữ số, y số 2018 2017 nguyên âm lớn Hãy tính giá trị biểu thức : A = 2020.x − 2019 y Hướng dẫn giải Vì x tổng tất số nguyên có hai chữ số nên : x = ( −10 ) + (−11) + + ( −99 ) + 10 + 11 + + 99 = ( −10 ) + 10 + ( −11) + 11 + + ( −99 ) + 99 = + + + = y số nguyên âm lớn nên: y = −1 Do đó: A = 2020.x 2018 − 2019 y 2017 = 2020.02018 − 2019 ( −1) 2017 = − 2019 ( −1) = 2019 DẠNG 11: TÍNH TỈ SỐ CỦA HAI TỔNG 2010 2009 2008 + + + + 2010 C= 1 1 + + + + 2011 Bài 1: Thực phép tính: Hướng dẫn giải 2010 2009 2008 + + + + 2010 a) Ta có 2009 2008 2007 = + ÷+ + ÷+ + 1÷ + + ÷+ 2010 2011 2011 2011 2011 2011 = + + + + + 2010 2011 1 1 1 = 2011 + + + + + ÷ 2010 2011 2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com 1 1 1 2010 2009 2008 2011 + + + + + + + + + ÷ 2010 2011 2010 = = 2011 C= 1 1 1 1 + + + + + + + + 2011 2011 Do Bài 2: Tính giá trị biểu thức : a) 1 1 + + + + + 97 99 A= ; 1 1 + + + + + 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 b) 1 1 + + + + 100 B= 99 98 97 + + + + 99 Hướng dẫn giải a) Ghép phân số số bị chia thành cặp để MC giống mẫu phần số tương ứng số chia Biến đối số bị chia : cộng cặp phân số cách hai đầu ta : 1 1 100 100 100 100 + + + + + ÷+ + ÷+ + ÷+ + + ÷ = 49.51 99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 Biểu thức gấp 50 lần số chia Vậy A = 50 b) Biến đổi số chia : viết phần tử thành hiệu : 100 − 1,100 − 2, ,100 − 99 số chia : 100 − 100 − 100 − 100 − 99 + + + + 99 100 99 100 100 100 = + + + + ÷− + + + + ÷ 99 99 1 1 = 100 + 100 + + + ÷− 99 99 2 1 1 1 1 + 100 + + + ÷ = 100 + + + + ÷ 99 99 100 2 2 B= Biểu thức 100 lần số bị chia Vậy D= Bài 3: a) Tính Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 100 + ( + ) + ( + + 3) + + ( + + + + 98 ) 1.98 + 2.97 + 3.96 + + 98.1 word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com b*) Chứng minh biểu thức E có giá trị E= 1.98 + 2.97 + 3.96 + + 98.1 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99 Hướng dẫn giải a) Số bị chia gồm 98 tổng, số có mặt 98 tổng, số có mặt 97 tổng, số có mặt 96 tổng…, số 97 có mặt tổng, số 98 có mặt tổng Như số bị chia D = 1.98 + 2.97 + 3.96 + + 97.2 + 98.1 , số chia Vậy b) Theo câu a, số bị chia bằng: + ( + ) + ( + + ) + + ( + + + 98 ) Theo công thức tính tổng số 1.2 2.3 98.99 + + + 2 2 tự nhiên liên tiếp, biểu thức bằng: , số chia Vậy E= 1 1 1 + + + B= + + + 1.2 3.4 37.38 20.38 21.37 38.20 Bài 4: Cho A Chứng minh B số nguyên A= Hướng dẫn giải 1 1 1 1 + + + = − + − + + − 1.2 3.4 37.38 37 38 1 1 1 = 1 + + + + ÷− + + + ÷ 37 38 b) A = 1 1 1 = + + + + + ÷− + + + ÷ 38 38 1 2 1 = + + + 20 21 38 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com 1 + + + 20.38 21.37 38.20 1 1 1 1 ⇒ 58B = + + + + + + = + + + ÷ = A 20 38 21 37 38 20 38 20 21 A 58 B = A⇒ = = 29 ∈ ¢ 58 B B= A Bài 5: Tính tỉ số B Biết A= 7 11 + + + B= + + + 7.31 7.11 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 Hướng dẫn giải A 1 1 1 1 1 = + + + = − + − + − + − = − 35.31 35.41 50.41 50.57 31 35 35 41 41 50 50 57 31 57 B 11 1 1 1 1 1 = + + + = − + − + − + − = − 38.31 38.43 46.43 46.57 31 38 38 43 43 46 46 57 31 57 ⇒ A B A = ⇒ = B Bài 6: Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lý: 1 1 1 + + +L + + + 9120 9506 9900 A = 12 30 50 51 52 97 98 99 50 − − − − − − − 51 52 53 98 99 100 Hướng dẫn giải Xét tử: 1 1 1 + + +L + + + 12 30 9120 9506 9900 1 1 1 T= + + +L + + + 1.2 3.4 5.6 95.96 97.98 99.100 1 1 1 T = − + − + + − + − 97 98 99 100 1 1 1 1 1 T = + + + + + + + + ÷− + + + + ÷ 97 98 99 100 98 100 2 1 1 1 1 T = + + + + + + + ÷ ÷− + + + + 99 100 49 50 1 1 T = + + + + + (1) 51 52 53 99 100 T= Xét mẫu: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com 50 51 52 97 98 99 − − − − − − 51 52 53 98 99 100 99 50 51 98 M = 1 − ÷+ − ÷+ + 1 − ÷+ − ÷ 51 52 99 100 1 1 M = + + + + (2) 51 52 99 100 M = 50 − Từ (1) (2) suy ra: tử mẫu Do đó: 1 1 A = + + + + 2019 ÷: 1 − 2019 ÷ 2 2 A =1 Bài Tính Ta có Hướng dẫn giải 1 1 A = + + + + 2019 ÷: 1 − 2019 ÷ 2 2 1 1 A = + + + + 2019 ÷: 1 − 2019 ÷ 2 2 ⇒ 1 A = 1 + + + + 2018 2 ÷: 1 − 2019 ÷ Xét hiệu: 1 A − A = 1 + + + + 2018 2 ÷: 1 − 2019 1 1 ÷− + + + + 2019 2 2 ÷: 1 − 2019 ÷ 1 1 1 A = 1 + + + + 2018 − − − − − 2019 ÷: 1 − 2019 ÷ 2 2 2 A = 1 − 2019 ÷: − 2019 ÷ = Vậy A =1 A B A= Bài 8: Tính tỉ số biết: 1 1 B= + + + + 1.2 3.4 5.6 99.100 Ta có : Liên hệ tài 039.373.2038 2012 2012 2012 2012 + + + + 51 52 53 100 Hướng dẫn giải 1 1 A = 2012 + + + + ÷ 100 51 52 53 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com 1 1 1 1 1 1 1 1 B = − + − + + − = + + + + + ÷ − + + + + ÷ 99 100 99 100 100 2 1 1 1 1 1 1 B = + + + + + + + + ÷− + + + + ÷ = 100 50 51 52 53 100 1 Khi : A 2012 = = 2012 B A B A= 1 1 + + + + 1.2 3.4 5.6 199.200 Bài 9: Tính tỉ số biết: 1 B= + + + 101.200 102.199 200.101 Hướng dẫn giải 1 1 1 1 1 A = − ÷ + − ÷ + + − ÷ = + + + + ÷− + + + ÷ 200 200 1 199 200 2 1 1 1 1 1 A = + + + + + + + ÷− + + + + ÷= 200 100 101 102 200 1 1 301 301 301 A= + + + + + + ÷+ ÷ + + ÷= 150.151 101 200 102 199 150 151 101.200 102.199 Và B= 1 1 B= + + + ÷+ ÷ + + ÷ 101.200 200.101 102.199 199.102 150.151 151.150 2 + + + 101.200 102.199 150.151 Khi : A 301 = B A B A= 1 1 + + + + 1.2 3.4 5.6 101.102 Bài 10: Tính giá trị biết: 1 1 B= + + + + + 52.102 53.101 54.100 102.52 77.154 Hướng dẫn giải 1 1 1 1 1 1 A = − ÷+ − ÷+ + − = − + − + + − ÷ 101 102 101 102 1 Ta có : 1 1 1 1 A = + + + + + ÷− + + + ÷ 101 102 102 1 2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com 1 1 1 1 1 1 A = + + + + + + + + ÷− + + + ÷ = 102 51 52 53 101 102 1 1 154 154 154 154 A= + = + + + + ÷+ + ÷+ + + ÷ + 76.78 77.154 52 102 53 101 76 78 77 52.102 53.101 B= 1 B= + + + ÷+ ÷ + + ÷+ 52.102 102.52 53.101 101.53 76.78 78.76 77.154 2 2 + + + + 52.102 53.101 76.78 77.154 Bài 11: Chứng minh rằng: A 154 = = 77 B => 1 1 1 1 1 + + + + ÷− + + + + ÷ = + + + 99 100 51 52 100 Hướng dẫn giải 1 1 1 1 VT = 1 + + + + + + ÷− + + + + ÷ 99 100 100 Ta có : 1 1 1 VT = + + + + + = VP ÷− + + + + ÷ = + + + 100 50 51 52 100 Bài 12: Cho P= S =1− 1 1 1 + − + + − + 2013 2014 2015 1 1 2016 + + + + + 1008 1009 1010 2014 2015 Tính ( S − P ) Hướng dẫn giải Ta có : P= 1 1 + + + + + 1008 1009 1010 2014 2015 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + + + + + + ÷− 1 + + + + ÷ 1006 1007 1008 2014 2015 1006 1007 1 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + + + + + + ÷− + + + + ÷ 1006 1007 1008 2014 2015 2012 2014 1 1 1 + − + + − + =S 2013 2014 2015 2016 S − P) =0 Do ( =1− Bài 13: Chứng minh rằng: 99 1 100 − 1 + + + + ÷ = + + + + 100 100 Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com 99 1 1 VT = ( − 1) + 1 − ÷+ 1 − ÷+ + 1 − ÷ = + + + + 100 = VP 2 3 100 Ta có : (đpcm) A B Bài 14: Tính tỉ số biết : 92 A = 92 − − − − − 10 11 100 B= 1 1 + + + + 45 50 55 500 Hướng dẫn giải Ta có : 2 3 92 8 1 1 A = − ÷+ − ÷+ 1 − ÷+ + 1 − = + + + ÷ = + + + ÷ 100 100 10 11 100 10 10 11 1 B = + + + ÷ 10 100 Khi : A = = 40 B DẠNG 12: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài 1: Cho a , b, c ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện: a +b −c b +c −a c + a −b = = c a b Hãy tính giá trị biểu thức +Nếu a+b+c≠0 b a c B = + ÷ + ÷ + ÷ a c b Hướng dẫn giải , theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a +b −c b +c −a c + a −b a +b −c +b +c −a +c + a −b = = = =1 c a b a+b+c Mà Vậy a+b−c b+c−a c+a−b a +b b+c c +a +1= +1 = +1 = ⇒ = = =2 c a b c a b b a c b + a c + a b + c B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ = ÷ ÷ ÷= a c b a c b +Nếu a+b+c=0 , theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a +b −c b+c −a c + a −b a +b −c +b+c −a +c +a −b = = = =0 c a b a +b+c Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com a+b−c b+c−a c+a−b a+b b+c c+a +1= +1= +1 =1 ⇒ = = =1 c a b c a b Mà Vậy b a c b + a c + a b + c B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ = ÷. ÷. ÷= a c b a c b x3 − x − x + 2005 A= 3 x − x + x + 2014 Bài 2: Cho biểu thức Tính giá trị biểu thức với x= Hướng dẫn giải Ta có : x = ⇒ 3x = ⇒ 3x − = x ( 3x − 1) − ( x − 1) + 2014 2014 ⇒ A= = x ( x − 1) + ( 3x − 1) + 2015 2015 Bài 2: Cho ( a + 3) ( b − ) − ( a − 3) ( b + ) = Chứng minh: a b = Hướng dẫn giải Ta có: ( a + 3) ( b − ) − ( a − 3) ( b + ) = ⇒ ab − 4a + 3b − 12 − ab − 4a + 3b + 12 = 6a = 8b ⇒ Tính a a b = = ⇒ = b 4 Bài 3: Cho x, y, z số thực thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: 1 P= + + =1 1+ x + xy 1+ y + yz 1+ z + zx Ta có: Mặt khác: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu Hướng dẫn giải x x = = 1+ y + yz x + xy + xyz 1+ x + xy ; xy xy = = 1+ z + zx xy + xyz + x yz 1+ x + xy word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com P= Do đó: = 1 + + 1+ x + xy 1+ y + yz 1+ z + zx xy 1+ x + xy x + + = =1 1+ x + xy 1+ x + xy 1+ x + xy 1+ x + xy B= Bài 4: Cho abc = 2, Tính (đpcm) a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + Hướng dẫn giải a b abc a b abc B= + + = + + =1 ab + a + abc bc + b + ac + abc + abc a ( b + + bc ) bc + b + ac ( + bc + b ) Bài 5: Cho xyz=2010, Chứng minh rằng: 2010 x y z + + =1 xy + 2010 x + 2010 yz + y + 2010 xz + z + Hướng dẫn giải x yz y z VT = + + =1 xy + x yz + xyz yz + y + xyz xz + z + A = 10a + 16b + 4a − 2b Bài 8: Tính giá trị biểu thức : Hướng dẫn giải Ta có : với a + b = 50 A = ( 10a + 4a ) + ( 16b − 2b ) = 14a + 14b = 14 ( a + b ) = 14.50 = 700 5x2 + 6x − x −1 = Bài 9: Tính giá trị biểu thức: Hướng dẫn giải x −1 = x = x − = => => x − = −2 x = Ta có : Khi x = ⇒ A = x + x − = 5.9 + 6.3 − = 61 x = ⇒ A = x + x − = −2 Khi Khi P = x 2020 + y 2020 Bài 10: Tính giá trị biểu thức: Hướng dẫn giải Ta có : x − + ( x + y − 2) 2020 =0 x −1 ≥ 2020 ⇒ x − + ( x + y − 2) ≥0 2020 ( x + y − ) ≥ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com x − + ( x + y − 2) 2020 =0 Do để 2020 2020 2020 2020 P=x +y = +1 = Vậy : x −1 = x =1 ⇒ ⇔ x = y = 2020 ( x + y − ) = x + y = ( x − 1) x4 − y3 + 2020 + ( y + 2) 2022 =0 Bài 11: Tính giá trị biểu thức: , biết Hướng dẫn giải 2020 ( x − 1) ≥0 x −1 = x = 2020 2022 ⇒ ( x − 1) + ( y + 2) =0⇒ => 2022 y + = y = −2 ≥0 ( y + ) Ta có : Vì , Thay A = 14 − ( −2 ) + = + 40 + = 45 vào ta : Bài 12: Cho a, b,c khác đôi khác thỏa mãn : a ( b + c ) = b ( a + c ) = 2013 , Tính A = c ( a + b) Hướng dẫn giải Ta có : a ( b + c ) = b ( a + c ) = 2013 ⇒ a b + a c − b a − b c = ⇔ ab ( a − b ) + c ( a − b ) ( a + v ) = ( a − b ) ( ab + bc + ca ) = ⇒ ab + bc + ca = Khi : a≠b ( ab + bc + ca ) b = ⇒ b2 ( a + c ) = −abc ⇒ −abc = 2013 tương tự : A= ( ab + bc + ca ) c = ⇒ c ( a + b ) = −abc = 2013 1,11 + 0,19 − 1, 3.2 1 − + ÷: 2, 06 + 0,54 3 Bài 13: Cho a, Rút gọn A B b, Tìm x nguyên cho: 23 B = − − 0,5 ÷: 26 A< x< B Hướng dẫn giải a, Ta có : −1 −1 −11 25 75 13 A = − ÷: = − = B= : = 6 12 12 26 12 , Và b, Ta có : 12 x = −11 13 −11 12 x 13 A < x < B => < x < => < < => −11 < 12 x < 13 => 12 12 12 12 12 12 x = 12 Bài 14: Cho a, Rút gọn P Liên hệ tài 039.373.2038 P = 2a − − ( a − ) liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com b, Có giá trị a để P = khơng? Hướng dẫn giải Ta có : 1 1 2a − − a + 5, vs a ≥ ÷ a + a ≥ ÷ P= = 1 1 1 − 2a − a + 5, a < ÷ 6 − 3a a < ÷ 2 2 a, b , Để 1 a = ( l ) a + = a ≥ ÷ P = => => a = ( l ) 1 − 3a = a < ÷ 2 Vậy khơng có giá trị a đề P =4 ( x − 1) + C= ( x − 1) Bài 15: Cho biểu thức: +2 a) Chứng tỏ với x, biểu thức C ln có giá trị số dương b) Tìm tất số nguyên x, để C có giá trị số nguyên c) Với giá trị x biểu thức C có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải x − 1) + > ( x − 1) + > a) Ta thấy: ( 2 Vậy biểu thức C dương b) 2 ( x − 1) + − 3 C= =2− 2 ( x − 1) + ( x − 1) + x − 1) Để C nguyên, ta phải có ( Vì ∀x , ( x − 1) + ≥ , nên + ước dương x = 2 ( x − 1) + = ⇒ ( x − 1) = ⇒ x = c) C nhỏ ( x − 1) +2 Vì ( x − 1) Vậy + ≥ nên ( x − 1) + MinC = Liên hệ tài 039.373.2038 lớn ≤ 3 ⇒2− ≥ 2− 2 ( x − 1) + hay C≥ ⇔ x =1 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 108 Website:tailieumontoan.com 4x − 3x − x + A= ;B = x−2 x−3 Bài 16: Cho biểu thức: a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức có giá trị nguyên b) Tìm giá trị nguyên x để hai biểu thức có giá trị nguyên Hướng dẫn giải 4x − 4( x − 2) + 1 = = 4+ x−2 x−2 x−2 a) Ta có: Với x ∈¢ x − ∈ ¢ A= x − = x = ⇒ x − ∈U (1) ⇒ ⇒ x − = −1 x = Để A nguyên x − nguyên x − x + x ( x − 3) + 2 B= = = 3x + x−3 x−3 x−3 Với x ∈ ¢ ⇒ x − ∈ ¢ ⇒ x − ∈ U ( ) = { ±1; ±2} Để B nguyên x − nguyên Do x = 5, x = 1, x = 4, x = x ∈ { 5;1;4;2} Vậy để B nguyên b) Từ câu a suy để A, B nguyên x = ab bc ca = = Bài 17: Cho số a, b, c khác thỏa mãn a + b b + c c + a ab + bc + ca M= a + b2 + c Tính giá trị biểu thức Hướng dẫn giải ab bc ca abc bca cab = = ⇔ = = a+b b+c c+a ( a + b) c ( b + c) a ( c + a) b abc abc = ⇔ ac + bc = ab + ac ⇔ bc = ab ⇔ a = c ac + bc ab + ac Tương tự, chứng minh a = b = c ⇒ M = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... + + ÷ ⇒ 5B = ÷ 61 .66 61 .66 11. 16 16. 21 21. 26 11. 16 16. 21 21. 26 1 1 1 1 55 5B = − + − + + − ÷ = − ÷ ⇒ B = ⇒B= = 11 16 16 21 61 66 11 66 11 .66 66 33 Bài 4: Tính giá... 2 .6 + 3 .62 + 4 .63 + + 100 .69 9 Hướng dẫn giải H = + 2 .62 + 3 .63 + 4 .6 + + 100 .61 00 Ta có : H − H = −5 H = ( 2 .6 − ) + ( 3 .62 − 2 .62 ) + ( 4 .63 − 3 .63 ) + + ( 100 .69 9 − 99 .69 9 ) + ( − 100 .61 00... −5 H = + 62 + 63 + + 69 9 + ( − 100 .61 00 ) A = + 62 + 63 + + 69 9 Đặt A= , Tính A ta : ? ?6 100 , Thay vào H ta : 61 00 − 61 00 − + − 500 .61 00 499 .61 00 + −5 H = A + − 100 .61 00 = + − 100 .61 00 = =−