Đề kiểm tra đội tuyển HSG Toán năm 2021 - 2022 trường chuyên VI Thanh Hậu Giang

Đề kiểm tra đội tuyển HSG Toán năm 2021 - 2022 trường chuyên VI Thanh Hậu Giang. Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2021 – 2022 trường THPT chuyên Hùng Vương – Bình Dương gồm 02 trang với 07 bài ...

SỞ GD & ĐT TỈNH HẬU GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN VỊ THANH ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KIỂM TRA ĐƠI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHĨA NGÀY 01/03/2022 MƠN TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian phát đề) Câu I: (5,0 điểm) 1) Giải phương trình ( x - 1) x + - x - x = x - x - tập số thực  x3  y  (với x, y Ỵ  ) 2) Giải hệ phương trình  2  x  y  x  y Câu II: (3,0 điểm) Cho hàm số f ( x )  ax  bx  x  d (với a , b, c, d   ) có đồ thị hình vẽ 1) Tìm hàm số f ( x ) 2) Phương trình f ( x  x)  2 có tất nghiệm thực Câu III: (4,0 điểm) 1) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn điều kiện x + y £ Chứng minh 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + xy + ³ x +y xy x y x+y 2) Cho dãy số (un ) xác định sau u1 = 4; u2 = un+2 = un2 - (n + 1) un+1 , với n Ỵ , n ³ Tính u3 u4 Tìm số hạng tổng quát un dãy số Câu IV: (3,0 điểm) 10   1) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x   1 ? x   2) Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có chia hết cho 10? Câu V: (5,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, biết cạnh tam giác có trung điểm M  1;1 ; hai cạnh nằm x   t đường thẳng x  y     t    Hãy viết phương trình tham số cạnh thứ ba tam y  t giác đó? 2) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AD  a , AB  2a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc SD mặt phẳng ( ABCD) 45 Tính khoảng cách hai đường thẳng SD BC HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Đáp án thang điểm Câu Nội dung 1) Giải phương trình ( x - 1) x + - x - x = x - x - tập số thực Điểm Điều kiện: 1  x  0,25 2,0 Ta có ( x -1) x + - x - x = 3x - x -1 0,25  ( x - 1) x + - ( x -1) + x - x - x = x - x  ( x - 1)( x + - 1) + x(2 - - x ) - x + x = x ( x -1) x ( x -1) + - x ( x -1) = x +1 +1 + - x 0,25 é f ( x ) = x ( x -1) = ê ê 1 ê g( x ) = + -3 = êë x +1 +1 + - x 0,25  Câu I.1 (2,0 điểm) 0,25 x  Ta có f ( x)    (nhận) x  0,25 x + + ³ + - x ³ nên + < x +1 +1 + - x Do g ( x)  0, x   1;5 Do đó, phương trình g ( x)  vô nghiệm Do  x3  y  (với x, y Ỵ  ) 2) Giải hệ phương trình  2 x y x y     Câu I.2 (3,0 điểm)  x3  y   x3  y   (1)  Ta có  2 2  x  y  x  y (2) 3 x  y  x  12 y  Lấy phương trình thứ trừ cho phương trình thứ hai theo vế, ta được: x3  3x  3x   y  y  12 y    ( x  1)3  ( y  2)3   x 1   y  y  3 x Thay y   x vào (2), ta có x  3x    x  x  (nhận) x  x  Vậy nghiệm hệ phương trình   y  y 1 0,25 0,25 3,0 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Cho hàm số f ( x )  ax  bx  x  d (với a , b, c, d   ) có đồ thị hình vẽ Câu II.1 (1,25 điểm) 1,25 1) Tìm hàm số f ( x ) Dựa vào hình vẽ  Đồ thị qua điểm: (-1; -1), (0; -3) (1; -3) 0,25 a  b   d  1 Ta có hệ : d  3  a  b   d  3  0,5 a  Suy  b  0,25 d  3  Vậy f ( x )  x  x  x  0,25 2) Phương trình f ( x  x)  2 có tất nghiệm thực 1,75 Hoành độ giao điểm đồ thị y  f ( x  x) y  2 nghiệm phương trình : Câu II.2 (1,75 điểm)  x2  2x  a   2; 1  f ( x  x)  2   x2  2x  b   1;    x2  2x  c   1;   0,5 (*) Xét: x  2x  m  x  2x  m  có nghiệm  ʹ    m   m  1 Từ (*)  Phương trình có nghiệm phân biệt 0,5 Vậy f ( x  x)  2 có nghiệm phân biệt 1) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn điều kiện x + y £ Chứng minh 0,25 1 + ³ x y x+y 2,0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + xy x +y xy 1 + ³ x + y ³ xy x y xy ỉ1 1 Khi ú ỗỗ + ữữữ ( x + y ) + ỗố x y ữứ x y x+ y Ta có Câu III.1 (2,0 điểm) 0,5 0,5 1 1 + + + + xy 2 xy xy xy x +y ³ + +2 2 x + y + xy ỉ x + y ư÷ çç çè ÷÷ø Ta có P = 0,25 + + ³ ( x + y) ( x + y)2 Ta có P   x  y  Vậy Pmin  giá trị nhỏ biểu thức ³ 0,25 0,25 0,25 2) Cho dãy số (un ) xác định sau u1 = 4; u2 = un+2 = un2 - (n +1) un+1 , Câu III.2 (2,0 điểm) 0,5 với n Ỵ , n ³ Tính u3 u4 Tìm số hạng tổng quát un dãy số Ta có u3 = u12 - 2u2 = 42 - 2.5 = u4 = u22 - 3u3 = 52 - 3.6 = Từ u1 = 4; u2 = 5; u3 = u4 = 7, ta dự đoán un = n + 3; "n Ỵ  * 2,0 1,0 0,25 * Ta chứng minh quy nạp un = n + 3; "n Ỵ  Thật vậy, ta có u1 = = + 3; u2 = = + 3; u3 = = + (đúng) 0,25 Giả sử với n  k  Ta có uk = k + Khi uk 1  k  Ta có uk 1  uk21  k uk  (k  2)  k (k  3)  k   (k  1)  Vậy, mệnh đề với n  k  Do đó, ta có un = n + 3; "n Ỵ * 0,25 0,25 10   1) Tìm số hạng không chứa x khai triển  x   1 x   1,5 Từ lý thuyết ta có cơng thức tổng qt sau: Với  q  p  n số 10 Câu IV.1 (1,5 điểm)   hạng tổng quát khai triển tam thức  x   1 x   0,5 pq q q 20 q 3 p 1 p q    1  C10C p  1 x  x Số hạng không chứa x khai triển ứng với 20  q  p   p  q  20 Mà  q  p  n q, p, n   nên  p; q    7;1 ,  8;  9;  , 10;10  Tp  C10p C pq  x2  10 p Lúc số hạng không chứa x khai triển 10  1 C107 C71   1 C108 C84   1 C1010C1010   1 C109 C97  1951 0,25 0,25 0,25 10   Vậy Số hạng không chứa x khai triển  x   1 1951 x   2) Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có chia hết cho 10? Gọi biến cố A : “Lấy thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn, có thẻ mang số chia hết cho 10 ” 10 10 Số cách lấy ngẫu nhiên 10 thẻ 30 thẻ: C30 cách    C30 Câu IV.2 (1,5 điểm) Trong 30 thẻ có 15 thẻ mang số lẻ, 15 thẻ mang số chẵn, thẻ mang số chia hết cho 10 (chú ý thẻ chia hết cho 10 số chẵn) Số cách chọn thẻ mang số lẻ: C155  3003 cách Số cách chọn thẻ mang số chia hết cho 10 C31  cách Số cách chọn thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 : C124  495 cách Số cách lấy thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ chia hết cho 10 : 3003.3.495  4459455 cách   A  4459455 Vậy P ( A)   A 4459455 99   10  C30 667 0,25 1,5 0,25 0,75 0,25 0,25 1) Trong mặt phẳng Oxy, biết cạnh tam giác có trung điểm M  1;1 ; hai Câu V.1 (2,5 điểm) x   t cạnh nằm đường thẳng x  y     t    Hãy viết y  t phương trình tham số cạnh thứ ba tam giác đó? 2,5 A 0,5 B M C x   t Giả sử AB : x  y   0, AC :  M  1;1 trung điểm cạnh BC y  t  x  x  2 Do M  1;1 trung điểm cạnh BC nên ta có:  B C  yB  yC  (1) Điểm B  AB  xB  yB   (2) 0,25 x   t Điểm C  AC   C (3)  yC  t 0,25  x   t  2  xB  4  t Thế  3 vào 1 ta được:  B   yB  t   yB   t Thế   vào   ta được:  4  t     t     t   4 1 7 Từ ta tìm được: C  ;  4 4 0,25 0,25 0,25    Đường thẳng chứa cạnh BC qua M  1;1 nhận MC   ;  làm vtcp 4 4  x  1  5t nên có phương trình tham số là: BC :  t    y   3t  x  1  5t Vậy phương trình tham số là: BC :  t    y   3t 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AD  a , AB  2a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc SD 0,25 0,25 0,25 2,5 mặt phẳng (ABCD) 45 Tính khoảng cách hai đường thẳng SD BC S 0,25 A D H Câu V.1 (2,5 điểm) B C + Gọi H trung điểm AB  SAB    ABCD   +  SAB    ABCD   AB  SH   ABCD  SH  AB  + Hình chiếu SD lên mp (ABCD) DH  Góc SD mặt phẳng (ABCD) 450  SDH  450 0,25 0,25 + Xét tam giác AHD vuông A  DH  AD2  AH  2a 0,25 + Xét tam giác SDH vng H có  SDH  450  DH = SH = 2a 0,25 + d(SD, BC)  d(BC,  SAD )  d  B,  SAD    2.d  H,  SAD   d  H,  SAD   d  H,  SAD   d(SD, BC)   SH  AH  4a  a  4a 4a 2 5a   d H,  SAD   5  0,5  a 0,5 0,25 - - Hết - -