XKaCctc de thi hoc sinh gioi mon toan lop 11 so gd

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012- 2013 Môn thi: Tốn ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 27 tháng năm 2013) SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(3.0 điểm) x  x    10  y y a) Giải hệ phương trình:   x   x  12  y2 b) Giải phương trình:  cos x  cos x    2sin x Câu 2:(2.5 điểm) a) Tính giới hạn dãy số: lim  n4  n2   n6   u1  2013 b) Cho dãy số  un  xác định sau:  n (n  1) un 1  n 1 un  2013n  Tìm cơng thức số hạng tổng qt giới hạn dãy số  un  ? Câu 3:(2.5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang cân (AD//BC) BC=2a, AB=AD=DC=a (a>0) Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Biết SD vng góc với AC a) Tính SD b) Mặt phẳng (  ) qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D) song song với hai đường thẳng SD AC Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (  ) Biết MD = x Tìm x để diện tích thiết diện lớn Câu 4:(2.0 điểm) Cho phương trình: x  ax  bx  cx  d  a) Với d  2013 , chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Với d  , giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh a  b  c  HẾT SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn (Khóa ngày 27 tháng năm 2013) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn có trang) yêu cầu chung * ỏp ỏn ch trỡnh by lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai cho điểm * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm tồn tổng (khơng làm trịn số) điểm tất Câu Nội dung Điểm 1,5 điểm a) ĐK: y  Đặt a  x  1; b  y Ta có hệ phương trình trở thành  a  b  ab  11  a  b  a  b  7  a  a    ( VN )       ab  ab  18 b  a  b  13    b   a   1 TH1:   ( x; y )  1;   3 b  a   1 TH2:   ( x; y )   2;   2 b  2 b)  cos x  cos x    2sin x 0,25 0,75 0,25 0,25 1,5 điểm  4sin x sin x   2sin x  4(1  sin x sin x)  2(1  sin x)  0,5  sin x(1  sin x)  cos x   2(1  sin x )   4(sin x cos x  cos x )  2(1  sin x)  0,5 sin x  1 sin x  1    sin x cos x     x   k 2 (k  Z ) cos x  cos x   0,5 Trang: - Đáp án Toán 11 a) lim   n  n2   n6   lim  n4  n   n  ( n6   n )  1,0 điểm 0,25 Ta có:   1      n 1 n   lim n  n2   n  lim   lim  2 1   n  n   n    1  1 n n   lim( n   n )  lim 0 ( n6  1)  n ( n6  1)  n Do lim n  n2   n6       b) un  0, n  N 0,25 0,25 0,25 1,5 điểm 0,25 * 1  unn11  unn  n 2013 2013n Do đó: u22  u11  20131 u33  u22  20132 unn11  unn  unn  unn11  Suy ra: unn  u11  2013n 1 0,5 1    2013 2013 2013n 1   1  n 2013  un  2013   2012   1   2013    2012 n 1 n 1 0,25 n 1   1   n     2014 2013 2013    un  2013   n 2014  1 (Cô si) 2012 n n 2013  Mặt khác lim 1    Vậy lim un  n   Trang: - Đáp án Toán 11 0,25 0,25 2,5 điểm S K Q B C J T 0,25 P O M A D N a) Dễ thấy đáy ABCD hình lục giác cạnh a Kẻ DT//AC (T thuộc BC) Suy CT=AD=a DT vng góc SD Ta có: DT=AC= a Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a, SCT  1200  ST  a Xét tam giác vng SDT có DT= a , ST  a  SD  2a b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC N,P Qua M, N, P kẻ đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC K, J, Q Thiết diện ngũ giác NPQKJ Ta có: NJ, MK, PQ vng góc với NP 2 0,25 0,25 0,25 0,25 dt(NPQKJ)=dt(NMKJ)+dt(MPQK)= ( NJ  MK ) MN  ( MK  PQ )MP  ( NJ  MK ).NP (do NJ=PQ) NP MD AC.MD x.a Ta có:   NP    3x a AC OD OD  a  2a   x NJ AN OM SD.OM    2(a  x 3)    NJ   a SD AD OD OD   KM BM SD.BM 2a a  x   KM    (a  x ) SD BD BD a 3 1  Suy ra: dt(NPQKJ)=  2(a  x 3)  (a  x )  x  2(3a  x) x 2  1  3 (3a  3x )2 3x  (3a  3x )  3x   a  4 3 3 Diện tích NPQKJ lớn a x  a 4  Trang: - Đáp án Toán 11 0,25 0,5 0,25 0,25 1.0 điểm a) d= -2013 Đặt f ( x)  x  ax  bx  cx  2013 liên tục R Ta có: f    2013  Mặt khác lim f ( x)   , nên tồn số   0;   cho 0,25 x  f ( )  0; f (  )  Do f (0) f ( )  0; f (0) f (  )  Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc hai khoảng ( , 0) (0,  ) 0,5 0,25 1.0 điểm b) d=1: Gọi x0 nghiệm phương trình ( x0  ) 1 x04  ax03  bx02  cx0    b   x02   ax0  c x0 x0 0,25   1 1  2 Ta có:  a  b  c  ( x   1)  a  c    x0   ax0  c   ( x0   1) x0 x0 x0   x0    2 2  1 1     ax0  c  x02   ax0  c    x02   x0 x0 x0   x0   0,25    x0   x0  t2 2 Suy ra:  a  b  c     với t  x02   x0 x02   t  x0 t2   3t  4t    (t  2)(3t  2)  (đúng t  ) t 1 Vậy a  b  c  Dấu xảy a  b  c   (ứng với x0  ) 2 a  c  , b   (ứng với x0  1 ) 3 Mặt khác: Trang: - Đáp án Toán 11 0,25 0,25 ...SỞ GD& ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn (Khóa ngày 27 tháng năm 2013) HƯỚNG DẪN CHẤM... 0,25 0,25 0,25 1,5 điểm 0,25 * 1  unn? ?11  unn  n 2013 2013n Do đó: u22  u11  20131 u33  u22  20132 unn? ?11  unn  unn  unn? ?11  Suy ra: unn  u11  2013n 1 0,5 1    2013 2013 2013n... DT= a , ST  a  SD  2a b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC N,P Qua M, N, P kẻ đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC K, J, Q Thi? ??t diện ngũ giác NPQKJ Ta có: NJ, MK, PQ vng