KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XIII, NĂM 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC - LỚP 10 Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 14/7/2022 Đề thi gồm 01 trang Bài (4,0 điểm) Giải phương trình Bài (4,0 điểm) Cho số k ∈ { 0;1;2; ; n} n số tự nhiên cho: cắt BC , ( O ) x − + ( x + 1) x + = x − 3x + ( x ∈ ¡ a0 , a1 , a2 , , an ABC Gọi M x ∈ [ 0;1] với ( O ) , AB < AC nội tiếp đường tròn D, E ( E ≠ A ) ) số thực Chứng minh tồn a0 + a1 x + a2 x + L + an x n ≤ a0 + a1 + L + ak Bài (4,0 điểm) Cho tam giác · BAC ( x − 4) đường phân giác trung điểm AD BM cắt ( O) AC N P B EP điểm thứ hai khác cắt điểm N AC a) Chứng minh trung điểm EMN M BM R b) Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt khác Chứng minh RA ⊥ RC Bài (4,0 điểm) Cho am − a, m, n số nguyên dương cho a > 1, m ≠ n Chứng minh an − a +1 có tập ước ngun tố trùng lũy thừa n S Bài (4,0 điểm) Cho số nguyên dương lớn Ta gọi tập hợp tất ( a ) = ( a1 , a2 , , an ) a1 , , an ∈ { 0;1} Hai phân biệt có số ( a ) = ( a1, , an ) i ∈ { 1;2; ; n} mà ≠ bi ( b ) = ( b1, , bn ) S Khoảng cách hai n ( a) ,( b) S d ( a; b ) = ∑ − bi định nghĩa i =1 Gọi T tập S mà hai phần tử phân biệt 2n n + 1 T có khoảng cách khơng nhỏ Chứng minh T có khơng q phần tử HẾT -(Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm.) Họ tên thí ………………… sinh:………………………………………………… Số báo danh: