BẤT ĐẲNG THỨC đại số toán 8

BẤT ĐẲNG THỨC I Phương pháp giải Định nghĩa * Hệ thức dạng a  b (hay a  b; a  b; a  b ) gọi bất đẳng thức * a  b  a  b  0; a  b  a  b  Tính chất a) a  b  b  a d) Tính chất nhân: b) Tính chất bắc cầu: * a  b  ac  bc c  a  b; b  c  a  c a  b  ac  bc c  a  b; b  c  a  c a  b  ac  bc c  * a  b  ac  bc c  c) Tính chất cộng: a bac bc a  b  ac  bc c  a bac bc a  b  ac  bc c  e) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức chiều bất đẳng thức chiều f) Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức thứ (Không trừ vế với vế hai bất đẳng thức chiều) g) a  b   a n  b n  n   ; a  b  a 2n  b2n ; a  b  a n1  b2 n1 h) Với m  n  a   a m  a n ; a   am  an ;  a   am  an i) Nếu ab  a  b 1  a b Các phương pháp chứng minh A  B ; ( A  B tương tự): 1) Dùng định nghĩa chứng minh A  B  (Xét hiệu hai vế) 2) Biến đổi tương đương: A  B  A1  B1  A2  B2   An  Bn ; Nếu An  Bn A  B 3) Phản chứng: Giả sử A  B dẫn tới điều vô lý Vậy A  B 4) Chứng minh quy nạp toán học: + Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức với n  n0 + Bước 2: Giả sử bất đẳng thức với n  k  k  n0  , ta chứng minh bất đẳng thức với n  k  Từ kết luận bất đẳng thức với số tự nhiên n  n0 (Phương pháp quy nạp toán học thường sử dụng bất đẳng thức có tham gia n với vai trò số nguyên dương tùy ý số nguyên dương lấy giá trị n0 đó) 5) Phương pháp tổng hợp: + Sử dụng tính chất bất đẳng thức + Sử dụng tính chất bắc cầu (làm trội) A  C; C  B  A  B Một số bất đẳng thức a) a2  a Dấu “=” xảy  a  ; b) a  a a Dấu “=” xảy  a  ; c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: * a  b  a  b (Dấu “=” xảy  ab  ) * a  b  a  b (Dấu “=” xảy  ab  a  b ) d) Bất đẳng thức tam giác: với a; b; c cạnh tam giác: a  b  c; a  b  c e) Bất đẳng thức Cauchy (Augustin Louis Cauchy [1789 – 1857 nhà tốn học Pháp]: Với n số khơng âm a1 , a2 , , an  n  * ta có:  a1  a2   an     a1a2 an n   n Dấu “=” xảy  a1  a2   an * Chú ý: Vài dạng bất đẳng thức cụ thể hay gặp sử dụng bổ đề:  ab 2    ab hay  a  b   4ab; a  b  2ab   f) Bất đẳng thức Bunyakovsky [Victor Yakovlevich Bunyakovsky (1804 – 1889) nhà toán học Nga] Với n số  a1; a2 ; ; an  ;  b1 ; b2 ; ; bn  , ta có:  a1b1  a2b2   anbn    a12  a22   an2  b12  b22   bn2  Dấu “=” xảy  t để  tbi i  1, n  Nếu bi  dấu “=” xảy  a a1 a2    n b1 b2 bn * Chú ý: Dạng cụ thể hay gặp  a  b2  x  y    ax  by 2 II Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho a b hai số chứng minh 2  ab a b ab       * Tìm cách giải: Bài tốn thực chất gồm hai toán: Chứng minh a  b  a  b2 1)      ab 2) ab      1 ;  2 Từ (1) (2) ta suy kết Với câu 1) 2) ta dùng cách: Biến đổi tương đương; Xét hiệu hai vế; phản chứng tổng hợp Giải Ta chứng minh a  b  a  b2 1)  cách:     Cách 1: Biến đổi tương đương: 2 a  2ab  b a  b  ab  a b         a  2ab  b2  2a  2b2  a  2ab  b2     a  2ab  b2      a  b   (hiển nhiên đúng) Dấu “=” xảy  a  b Cách 2: Xét hiệu 2 a  2ab  b  2a  2b   a  b   ab a b    0   4   2 a  b  a  b2 Vậy  Dấu “=” xảy  a  b     Cách 3: Phản chứng a  b  a  b2 Giả sử   a  2ab  b  2a  2b   2    a  2ab  b2     a  2ab  b2      a  b   vô lý 2  ab  a b Vậy      Dấu “=” xảy  a  b Cách 4: Tổng hợp: Ta có:  a  b 2     a  2ab  b2    a  2ab  b2   a  2ab  b2  2a  2b2  a  2ab  b2 a  b2  a  b  a  b2 Hay  1 Dấu “=” xảy  a  b     ab  2 2) Chứng minh: ab       4ab  a  2ab  b     a  2ab  b    a  b  hiển nhiên a  b  a  b2 Từ (1) (2) suy ab   Dấu “=” xảy  a  b     ab * Nhận xét:    ab   a  b   4ab ;   4  ab  a b Từ tốn a) ta suy      a  b  a  b2 Thật  hai vế bất đẳng thức dương nên bình phương hai vế ta có     2  ab   a b           2 a  b  a  b4 có:       a  b2  a  b4 1 ; có tốn a) ta lại có      Ví dụ 2: a) Chứng minh  a   a  8 a   a    1 a  2 Từ (1) (2) ta b) Chứng minh  a  b2  x  y    ax  by 2 a, b x, y Áp dụng chứng minh  x  y  3z 2  13  x  y  z  yz  * Tìm cách giải: a) Hốn vị nhân tử  a   vế trái thực phép nhân  a   a    a  8 a   ta thấy xuất a  15a hai kết quả, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ Ta xét hiệu hai vế để chứng minh b) Xét hiệu hai vế biến đổi Giải a) Xét hiệu  a   a   a  8 a     1   a  15a  54  a  15a  56   Đặt a2  15a  55  b biểu thức  b  1 b  1   b  Vậy  a   a  8 a   a    1 b) Xét hiệu  a  b2  x  y    ax  by 2  a x  a y  b x  b y  a x  2axby  b y  a y  2aybx  b x   ay  bx   2 Vậy  a  b2  x  y    ax  by  a, b x, y Dấu “=” xảy  ax  by Áp dụng: Ta viết bất đẳng thức  x  3z  3t   13  x  z  t  zt  Dưới dạng  x   z  t    22  32   x   z  zt  t  Hay 2 2 x   z  t    22  32   x   z  t     Đặt z  t  y  22  32  x  y    x  y 2 theo bất đẳng thức vừa chứng minh Ví dụ 3: a) Chứng minh tổng bình phương hai số khơng nhỏ hai lần tích hai số x b) Chứng minh với x  x   (tổng số dương với nghịch đảo khơng nhỏ 2) c) Chứng minh với a, b, c, d số dương thỏa mãn abcd  ab  cd  a  b2  c  d  * Tìm cách giải: a) Lưu ý  a  b   b) Khử mẫu, chuyển vế xuất bất đẳng thức c) Lưu ý abcd  nên cd  , sử dụng kết b) để chứng minh ab Giải a) Gọi hai số a b Hiển nhiên  a  b    a  2ab  b   a  b2  2ab x b) Với x  0; x    x2  x     x 1  Dấu “=” xảy  x  c) Đặt ab  x Do a, b, c, d  abcd  nên cd   ab  cd  ab  ab 1  x 2 ab x * Ta ln có a2  b2  2ab c2  d  2cd Nên a  b2  c  d   ab  cd   Dấu “=” xảy  a  b  c  d  Ví dụ 4: a) Chứng minh a  b2  c  ab  bc  ca, a; b; c b) Chứng minh a  b2  c   ab  bc  ca  với a; b; c cạnh tam giác * Tìm cách giải: a) Bất đẳng thức có a  b2 ta nghĩ tới sử dụng bất đẳng thức a2  b2  2ab ,… b) Với a, b, c ba cạnh tam giác phải sử dụng bất đẳng thức tam giác Giải a) Ta có a  b2  2ab; b2  c  2bc; c  a  2ac Cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều ta có  a  b  c    ab  bc  ca   a  b  c  ab  bc  ca Dấu “=” xảy  a  b  c b) Áp dụng bất đẳng thức ba cạnh tam giác: b  c  a  b  c   a2 c  a  b   c  a   b2 a  b  c   a  b   c2 Do  b  c    c  a    a  b   a  b  c 2 2  b2  2bc  c  c  2ca  a  a  2ab  b2  a  b2  c  a  b  c   ab  bc  ca  * Chú ý: a) Ta cách hay sử dụng: biến đổi tương đương: a  b2  c2  ab  bc  ca  2a  2b2  2c  2ab  2bc  2ca  a  2ab  b2  b2  2bc  c  c  2ac  c    a  b    b  c    c  a   hiển nhiên 2 Dấu “=” xảy  a  b  c Ví dụ 5: a) Chứng minh với ba số a, b, c tùy ý ta ln có: a  b  c  ab  bc  ca b) Chứng minh  3a    3b    3c   với a  b  c  2 * Tìm cách giải: a) Ta có  a  b  c   a  b  c  2ab  2ac  2bc Do biến đổi tương đương cách nhân hai vế với xét hiệu hai vế b) Khó chứng minh trực tiếp Ta đổi biến để chứng minh Giải a) a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c   3ab  3bc  3ca Xét hiệu a  b  c  3ab  3bc  3ca  a  b  c  2ab  2ac  2bc  3ab  3ac  3bc  a  b2  c  ab  ac  bc  2a  2b2  2c  2ab  2ac  2bc     a  2ab  b2  b2  2bc  c2  c2  2ac  a2   a  b  c   ab  bc  ca 2   a  b    b  c    c  a    Chứng tỏ  2 Dấu “=” xảy  a  b  c * Chú ý: a) Có thể biến đổi tương đương tiếp từ  a  b  c   3ab  3bc  3ca  a  b  c   ab  ac  bc    ab  ac  bc   a  b2  c  ab  ac  bc bất đẳng thức chứng minh ví dụ Ta dùng cách khác (phản chứng, tổng hợp được) b) Cách 1: Đặt 3a   3x; 3b   y; 3c   3z Do a  b  c  mà  a  b  c     x  y  z  Suy x  y  z  Ta có:  3a    3b    3c   1  3x   1  y   1  3z  2 2 2   6x  x2   y  y   6z  z    x  y  z    x2  y  z     x  y  z   (do x  y  z  ) Vậy  3a    3b    3c   Dấu “=” xảy  a  b  c  2 Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có: 3  32  32  a  b2  c    3a  3b  3c    a  b  c   2  27  a  b  c    9a  9b  9c  3 Hay  3a    3b    3c   Dấu “=” xảy  a  b  c  2 Ví dụ 6: Chứng minh a  1 với số nguyên dương n, ta có 1  a  n   na (Bất đẳng thức Becnuli) * Tìm cách giải: Bất đẳng thức có xuất n với vai trò số nguyên dương tùy ý Ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh Giải Với n  ta có 1  a    a hiển nhiên Giả sử toán với số nguyên dương n  k tức 1  a    ka k Nhân hai vế với số dương 1 a  ta có 1  a  k 1  1  ka 1  a  Ta có 1  ka 1  a    a  ka  ka    k  1 a  ka    k  1 a Vậy 1  a  k 1    k  1 a Bài toán với số nguyên dương n   k  1 Theo nguyên lý quy nạp toán với số nguyên dương n Ví dụ 7: Với a, b, c số dương chứng minh rằng: 1 a)  a  b      ; a 1 b)  a  b  c       a b b c * Tìm cách giải: Các bất đẳng thức biến đổi vế trái xuất số dương nghịch đảo Do ta sử dụng kết ví dụ 3b): số dương cộng với nghịch đảo khơng nhỏ chứng minh Giải a)  a  b               b a b a b a a b 1 a (theo ví dụ ta có b a a b b b a hai số dương nghịch đảo nhau) b a Dấu “=” xảy  a  b b)  a  b  c               a b c b c a c a b 1  a a b b c c  a b a c c b  3          3 2 2  b a c a b c Dấu “=” xảy  a  b  c * Nhận xét: Từ hai bất đẳng thức ta suy toán tương tự: Cho a, b, c, d , e  chứng minh  a  b  c  d   1 1      16 a b c d   a  b  c  d  e   1 1 1       25 a b c d e Tổng quát cho a1; a2 ; a3 ; ; an  ta có 1 1        n ,  n  2; n  an   a1 a2 a3  a1  a2  a3   an    Chứng minh: 1 1       an   a1 a2 a3 Ta có:  a1  a2  a3   an   a a  a a  a a  a a a  a a  a   n             n          n     n 1  n   a2 a1   a3 a1   an a1   a3 a2   an a2   an an 1   n   n  1   n     n  3   2.2   n  1     n  1  n   n  n  1  n  n2  n  n2 Dấu “=” xảy  a1  a2  a3   an Ví dụ 8: Cho x; y; z  Chứng minh rằng: x y z    yz zx x y * Tìm cách giải: Ta thấy cộng vào hạng tử vế trái, sau quy đồng mẫu ta thấy xuất nhân tử chung  x  y  z  Vì ta biến đổi vế trái cách thêm bớt số đưa dạng toán chứng minh Giải Biến đổi vế trái ta có:  x   y  x y z   z     1    1    1  yz zx x y  yz   zx   x y   x yz x yz x yz   1           x  y  z 3 zx x y   yz  yz zx x y   1 1     x  y    y  z  z  x    3 3 2  yz zx x y [Áp dụng kết ví dụ 7b với  x  y   a;  y  z   b;  z  x   c ] Ví dụ 9: Cho a, b, c  chứng minh rằng: a)  a  b  b  c  c  a   8abc 1 1 1    b)         ab bc ca   ab bc ca  * Tìm cách giải: Để có  a  b  b  c  c  a  thử xét  a  b   b  c   c  a  ta có  x  y   xy (bất đẳng thức Cauchy) 2 2 a  b2 2ab a b     2 ab ab b a Dấu “=” xảy  a  b b) Chứng minh: Từ  a  b    b  c    c  a   2   a  b  c   2ab  2ac  2bc   a  b  c   a  b  c  2ab  2ac  2bc   a  b2  c    a  b  c  Chia vế bất đẳng thức cho ta có đpcm Dấu “=” xảy  a  b  c a  b  a3  b3 a3  3a 2b  3ab2  b3  4a3  4b3 c) Xét hiệu       2 3a  a  b   3b  a  b  3  a  b   a  b  3  a  b   a  b      với a, b  8 Dấu “=” xảy  a  b 21.2 Chứng minh rằng: a) a  b2  c    a  b  c  , a, b, c ; b) a  b2  c  d  a  b  c  d  , a, b, c, d c) a  b2  c  d  e2  a  b  c  d  e  , a, b, c, d , e d) a  b2  c  d  ab  cd  6, a, b, c, d  abcd  Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có nhân, chuyển vế, tách    xuất a  2a    a  1 … Do đó: ta có a  b2  c2    a  b  c   a  2a   b2  2b   c  2c     a  1   b  1   c  1  2 Dấu “=” xảy  a  b  c  b) Vế phải có ab  ac  ad Nếu nhân vào hai vế, chuyển vế tách 4a2  a  a  a  a kết hợp với hạng tử khác xuất đẳng thức Do Nhân hai vế với ta 4a  4b2  4c2  4d  4ab  4ac  4ad   a  2b    a  2c    a  2d   a  2 Dấu “=” xảy  a  b  c  d  a a a2 a2 a2 a2 c) Nhận xét: ab  .b; ac  .c; ta nghĩ tới việc tách a thành    để 4 4 2 2 2 ghép với b , c , d , e Ta có a  b2  c  d  a  b  c  d  e   a2   a2   a2   a2     ab  b     ac  c     ad  d     ae  e           2 2 a  a  a  a     b     c     d     e   2  2  2  2  * Chú ý: Cách khác: Nếu nhân hai vế với ta biến đổi tương đương thành  a  2b    a  2c    a  2d    a  2e  2 2  d) Với a, b, c, d  , áp dụng bất đẳng thức Cauchy: a  b  2ab; c  d  2cd a  b  c  d  ab  cd   ab  cd  Do abcd   ab  cd  ab   Ta có đpcm ab 21.3 a  b3 b3  c c  a    0; ab2 bc ca a) Cho a.b.c  Chứng minh b) Cho a, b, c  Chứng minh a b c    ab bc ca Hướng dẫn giải – đáp số a) Nhận xét a  b3 a b   … Do bất đẳng thức biến đổi thành ab2 b a 2 a b2 c b c a b c a a b c                  2 b c a a b c a b c b c a 2 a b a b a Áp dụng bất đẳng thức x  y  xy có        b c c b c 2 Xét tương tự cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta đpcm b) Vì a, b, c  nên a  b  c  a  b  Dùng phương pháp làm trội  b c a c b a Tương tự Cộng vế với vế ba bất đẳng    abc ca abc bc abc a b thức chiều ta a b c a bc    1 ab bc ca abc 21.4 a) Chứng minh x, y  , ta có 1 ;   x  y 4x y b) Từ chứng minh a, b, c  , ta có: 4 1      2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b a b c Hướng dẫn giải – đáp số a) Biến đổi tương đương: x, y  1 1 x y       x  y   xy x  y 4x y x  y xy  x  xy  y  xy  x  xy  y    x  y   Dấu “=” xảy  x  y b) Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh ta có: 1 1 1 1        1 2a  b  c 8a  b  c  8a 4b  4c 8a 16b 16c Tương tự 1 1    2b  c  a 8b 16c 16a 1 1    2c  a  b 8c 16a 16b  2  3 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều (1); (2); (3) ta được: 1 1 1 hay      2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 4a 4b 4c 4 1      2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b a b c Dấu “=” xảy  a  b  c 21.5 Chứng minh: a) a3  b3  abc  ab  a  b  c  với a, b, c  ; b) a3  b3  c3  3abc với a; b; c  ; c)  a3  b3  c3    a  b 3   b  c 3   c  a 3 với a, b, c  Hướng dẫn giải – đáp số a) Xét hiệu a3  b3  abc  ab  a  b  c    a  b  a  b   b) Xét hiệu a3  b3  c3  3abc   a  b  c   a  b  c  ab  ac  bc   a  b  c  a  b  b  c   c  a  2 2 0 c) Biến đổi thành  a  b3    a  b    b  c    b  c    c  a    c  a   3 Xét  a3  b3    a  b 3   a  b  4  a  ab  b2    a  b 2    a  b  a  b   Tương tự với  b3  c3    b  c 3  c3  a3    c  a 3 ta suy đpcm 21.6 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh a) a  b  c  a   b  c  a  b   c  a  b  c   3abc ; b) a b c    bc ca ab Hướng dẫn giải – đáp số a) Vai trị a, b, c nhau, khơng tổng quát giả sử a  b  c  Biến đổi bất đẳng thức cho bất đẳng thức tương đương: a3  b3  c3  3abc  a  b  c   b  c  a   c  a  b    a3  b3  c3  3abc  a 2b  a 2c  b2c  b2a  c 2a  c 2b   a  a  b   b  b  a   c  2ab  a  b   c  c  bc  ab  ac     a  b   a  b2   c  a  b   c  c  a  c  b     a  b   a  b  c   c  a  c  b  c   Hiển nhiên a  b; a  b  c; a  c; b  c  b) Trước hết ta chứng minh với x, y, k số dương hiệu x xk x Thật xét   y yk y x x  k k  x  y    y  y  k   x  y  (do giả thiết x  y ) y y  k y y  k Do a  b  c; b  c  a; c  a  b nên ta có: a aa b bb c cc  ;  ;  bc bca ca cab ab abc Cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều ta được: 2a  b  c a b c     bc ca a b a bc 21.7 a) Chứng minh  x  3 x   x   x  10   36  Dấu “=” xảy nào? b) M  x2016  x2013  x4  x   x Hướng dẫn giải – đáp số a) Nhận xét: nhân  x  3 với  x  10   x   với  x   xuất x  26 x Do đặt biến phụ Biến đổi vế trái  x  3 x   x   x  10   36   x  26 x  30  x  26 x  42   36 Đặt x  26 x  36  y ta có:  y   y    36  y  36  36  y  Dấu “=” xảy  y   x  26 x  36   x  13x  18    x   x     x  2; x  4,5 b) Ta có M  x 2013  x3  1  x  x3  1  * Với x  nên x3   x3   0; x 2013  M  1 * Với x  ta có M  x 2016  x 1  x 2009   1  x  Do  x nên  x2009 hay  x 2009  0;  x  0; x 2016  0; x  nên M    Từ (1) (2)  đpcm 21.8 Cho a, b, c  chứng minh a b c a  b b  c c  a 15       bc ca ab c a b Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: ab bc ca  a b   a c  b c                    1 c a b b a c a c b Theo chứng minh ví dụ thì: a b c    bc ca ab  2 Từ (1) (2) suy đpcm Dấu “=” xảy a  b  c Cách giải khác: Đặt A  a b c a b bc ca      bc ca ab c a b Ta có A   2a 2b 2c  ab bc ca     2    bc ca ab a b   c 2a 2b 2c   a  b b  c c  a           b  c c  a a  b  2  c a b  a b  3 a b a c b c   2a b  c   2b c  a   2c               2b   a  b 2c   b a c a c b   b  c 2a   c  a x Áp dụng toán: với x  x   ta có: 2A     15    2    15  A  2 Dấu “=” xảy  a  b  c * Cần tránh sai lầm sau giải toán này: A a b c a b bc ca      bc ca ab c a b bc  b ca  c bc  a        a  ca b   ab a  bc x Do x   với x  nên A     kết sai Sai lầm chỗ xét riêng cặp xét đồng thời ba cặp số dấu đẳng thức khơng thể xảy a  b  c; b  c  a; c  a  b  a  b  c   a  b  c  vô lý 21.9 Cho x; y; z số dương Chứng minh rằng:  1  2     x y yz zx x yx Hướng dẫn giải – đáp số  1    9  x y yz zx Biến đổi thành  x  y    y  z    z  x    Đặt x  y  a; y  z  b; z  x  c ta  a  b  c   1 1     (Bạn đọc tự làm tương tự ví dụ 7) a b c 21.10 a) Chứng minh 2016 2016 2016 2016      1008 ; 1.3 3.5 5.7 2015.2017 b) Biết n !  1.2.3  n  1 n  n  * Chứng minh G  với G 2015 ;     2! 3! 4! 2016! c) Chứng minh với số tự nhiên n  ta có H  với H  1 1      2  2n  1 Hướng dẫn giải – đáp số a) Đặt B  1 1     1.3 3.5 5.7 2015.2017 1 3 2B       1   1   đpcm 2015 2017 2017 b) Nhận xét với k  *; k  ta có: k 1 k 1 k 1      k !  k  1!k  k  1!k  k  1!k  k  1! k ! 1 1 1       1  1! 2! 2! 3! 2015! 2016! 2016! Do G   c) Ta làm trội cách từ hạng thứ hai H ta bớt mẫu số đơn vị Ta có: H  1 1     2 1 1  2n  1   1 1    2.4 4.6  2n   2n 11 1 1  11             1     22 4 2n  2n   2n  21.11 Chứng minh: 1 1 1       2 2 2016 2015  2015  2015  2015  2015 2015 Hướng dẫn giải – đáp số Nhận xét: 20152  2015  2015  2015  1  2015.2016 Ta có: 1 ;   2015.2016 2015  20152 1 ;   2015.2016 2015  20152 1 ;   2015.2016 2015  20152 … … … 1   2015.2016 2015  2015 20152 Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có: 2015 2015 hay S S 2015.2016 2016 2015 2015 Với S  1 1     2 2 2015  2015  2015  2015  2015 21.12 Tìm số nguyên x, y, z, t thỏa mãn bất đẳng thức: x  y  z  t  13  xy  y  z  6t Hướng dẫn giải – đáp số Do x, y, z, t  nên ta có: x  y  z  t  13  xy  y  z  6t    x  xy  0, 25 y    0, 75 y  y  3   z  z  1   t  6t      x  0,5 y    0,5 y  1   z  1   t  3    x, y, z, t   1; 2;1;3 2 21.13 Chứng minh với số tự nhiên n  Sn   1 1 37      n 1 n  n  2n 24 Hướng dẫn giải – đáp số Ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học: 1 - Với n  S2     19 37  12 24 - Giả sử bất đẳng thức với n  k  k  , k   tức Sk  Ta chứng minh bất đẳng thức với n  k  , tức Sk 1  Thật vậy: Sk   Sk 1   37 24 37 24 1 1 37      k 1 k  k  2k 24 1 1     k 2 k 3 k 4 2k  Do Sk 1  Sk  1 1    0 2k  2k  k   k  1 2k  1 Suy Sk 1  Sk  37 Vậy bất đẳng thức n  24 21.14 Chứng minh x  2; y   x  y    xy Hướng dẫn giải – đáp số Do x  2; y  nên x  4; y  Nghĩa   x     y   Ta có:   x   y   Mà   x   y   16  x y   x  y   16  8xy  x2 y    x2  xy  y     xy   2  x  y   2 Do đó:   xy   2  x  y  Hay  x  y    xy 21.15 Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn điều kiện: abc   a  b  c   ab  bc  ca  1  2  3 a, b, c ba số dương Hướng dẫn giải – đáp số * Ta sử dụng phương pháp phản chứng: Giả sử trái lại, ba số a, b, c có số khơng dương Do vai trị a, b, c nên khơng tổng quát ta coi a  Nhưng theo (1) a phải khác a  ta có bc  Theo (3) ab  bc  ca  a  b  c   bc  nên a  b  c   bc  Mà a  nên b  c  suy a  b  c  trái với (2) Vậy a, b, c phải ba số dương 21.16 Chứng minh với số tự nhiên n  ta có: n 1      n  n 2 1 Hướng dẫn giải – đáp số Bài tốn giải phương pháp quy nạp toán học (bạn đọc tự chứng minh) Cách khác ta sử dụng tính chất bắc cầu, làm trội biểu thức nhóm biểu thức: Đặt 1 A      n 1 a) Chứng minh A  n Ta có: A                   n1   n  15 2 1  1     1    Ta làm trội nhóm cách thay phân số nhóm phân số lớn nhóm, ta có: 1 1 A       n1 2n1       n 2 2 b) Chứng minh A  n : Ta có: 1  1  1 1   A                    n 1   n   n 3  5  9    1 Thay phân số nhóm phân số nhỏ nhóm ta có: 1 1 n n A    2  22   n 2n1  n    n  2 2 2 2 Vậy n  An 21.17 Với bốn số thực a, b, c, d chứng minh: 1  ab   1  cd    ac    bd  2 2 1 (Đề thi Olympic Toán học Thành phố Lêningrat, năm 1985) Hướng dẫn giải – đáp số 1  ab   1  cd    ac    bd  2 2   2ab  a 2b   2cd  c d   ac   bd    ac   2abcd   bd  2   1  ab  cd    ac  bd   2 21.18 a) Cho A  x3 y3 x, y số dương thỏa xy   1 y 1 x Chứng minh A  (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán quận 9, TP Hồ Chí Minh, năm 2011 – 2012) b) Cho ba số dương a, b, c chứng minh  3a  b  2c  a  b    2a  b  c  (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán quận 9, TP Hồ Chí Minh, năm 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số a) Do xy  nên 2 2 2 x3 y3 x  y  x3  y  x  y   x y   x  y   x  xy  y  A    1 y 1 x  xy  x  y 1  x 1  y  x   y     x  y   x  xy  y  Do A  11 x  y Ta có x  y  xy     x  y   1  x  y   (đpcm) 2 x y 2 x y b) Áp dụng bất đẳng thức xy   x  y  ta có:  3a  b  2c  a  b    3a  b  2c  a  b    2a  b  c  2   3a  b  2c  a  b    2a  b  c  (đpcm) 21.19 Cho x, y hai số thực dương Chứng minh rằng: 1  x 1  y    x  y 1  xy  2 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, năm 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số a  b2 Áp dụng bất đẳng thức ab  ta có  x  y 1  xy   x  y   1  xy   2 1  x 1  y   1  x 1  y    2 2 1  x 1  y   x.2 y  2 1  x 1  y   2 đpcm 21.20 Chứng minh a5  b5  a3b2  a 2b3 biết a  b  (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên tỉnh Đồng Nai, năm 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số Xét hiệu a5  b5  a3b  a 2b3  a  a  b   b3  a  b    a  b2  a3  b3    a  b   a  b   a  ab  b2   a  b  0;  a  b  2 b  3b   a  ab  b   a     2  2 21.21 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1 1    2 a  2b  b  2c  c  2a  2 (Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn tỉnh Bắc Giang, năm 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: a  2b    a  b    b  1   2ab  2b  Tương tự: b2  2c   2bc  2c  c  2a   2ca  2a  Do 1 1 1         2 a  2b  b  2c  c  2a   ab  b  bc  c  ca  a   Với abc  1 1 ab b        đpcm ab  b  bc  c  ca  a  ab  b  b   ab  ab  b 21.22 Cho số dương x, y thỏa mãn x  y  x3  y Chứng minh x  y  (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Bắc Ninh, năm 2013 – 2014) Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết  x  y   x  y  x3  y  x3  y   x  y   x  xy  y  Vậy x  y   x  y   x  xy  y   x  xy  y   x  y  (đpcm) 21.23 Cho ba số dương x, y, z Chứng minh rằng: x y z    2x  y  z x  y  z x  y  2z (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, năm 2013 – 2014) Hướng dẫn giải – đáp số Từ 4ab   a  b   Ta có 11 1     với a  0; b  ab 4 a b x x x 1       2x  y  z  x  y    x  z   x  y x  z  Tương tự với y z x  2y  z x  y  2z x y z x 1  y 1  z 1              x  y  z x  y  z x  y  2z  x  y x  z   y  x y  z   z  y z  x  1 x y xz yz        (đpcm) 4 x y x z y z  21.24 x y a) Chứng minh x  y  x   y  ; b) Cho  a, b, c  chứng minh  a  b  c       10 a b c 1   (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng, năm 2013 – 2014) Hướng dẫn giải – đáp số x y x y a) x   y   x  y      x  y  xy  1  xy x  y  b) Do vai trò a, b, c nhau, giả sử  a  b  c  ; b a Đặt x  ; y  c với  x; y  2; xy   y  b x Xét hiệu hai vế áp dụng kết câu a) ta có: 1 1 1  1        10   x     y     xy    x  y  xy  a b c   a  b  c   1 2 x  1 3x  x  1 x      x    2 7     0 x  x 2  2 x 2x  Dấu “=” xảy  x  x  đồng thời xy    a, b, c   1;1;  ; 1; 2;  hoán vị 21.25 Cho hai số thực a b thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng: a  b2  a  b4 (Đề thi vào lớp 10 chun Tốn trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, năm 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có  a  b 2   a  b 2   a  b 2   a  b2  Tương tự  a2  b2    a4  b4    a  b   a2  b2    a  b2  a  b4  2 Mà  a  b     a2  b2    a2  b2  a  b4   a  b2  a  b4 2 21.26 Cho a, b, c  thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    ab  a  bc  b  ca  c  (Đề thi học sinh giỏi lớp trường PTTH Trần Đại Nghĩa, TP Hồ Chí Minh, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – đáp số Áp dụng bất đẳng thức 11 1     với x  0; y  sử dụng giả thiết abc  ta có: x y 4 x y 1 1 1   abc          hay ab  a   ab  1   a  1  ab  a    ab  abc a   1 c  1 a         * ; Tương tự  ** ; ab  a   c  a   bc  b   a  b   1 b      *** Cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều (*), (**) ca  c   b  c   1 (***) ta có:    ab  a  bc  b  ca  c  ... minh ta có: 1 1 1 1        1 2a  b  c 8a  b  c  8a 4b  4c 8a 16b 16c Tương tự 1 1    2b  c  a 8b 16c 16a 1 1    2c  a  b 8c 16a 16b  2  3 Cộng vế với vế ba bất đẳng...  c  c  a   8abc  2   a  b  b  c  c  a   8abc biểu thưc ngoặc [ ] dương Dấu “=” xảy  a  b  c b) Ta có 1 a  b  c 8? ??a  b  c     ab bc ca abc 8abc Từ câu a) chứng... b  c  c  a   8abc ta có: 8? ??a  b  c 1    ab bc ca  a  b  b  c  c  a   1  a  b  b  c    c  a     ab bc ca  a  b  b  c  c  a  1  8   2     