CHUONG 5

Bài giảng Giải tích Chương CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ §1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số Xét không gian Euclide n chiều ¡ n , n > Một phần tử x ∈ ¡ n n số thực ( x1 , x2 , , xn ) D tập hợp ¡ n f :D→¡ Ánh xạ x = ( x1 , x2 , , xn ) a u = f ( x) = f ( x1, x2 , , xn ) hàm số n biến số xác định D D gọi miền xác định hàm số f x1 , x2 , , xn gọi biến số độc lập Nếu xem x1 , x2 , , xn tọa độ điểm M ∈ ¡ n hệ tọa độ viết u = f ( M ) Trong trường hợp n = hay n = , ta dùng kí hiệu z = f ( x, y ) hay u = f ( x, y, z ) Trong chương này, ta xét hệ tọa độ Decarte vng góc 1.2 Tập hợp ¡ n Khoảng cách ¡ - n Cho hai điểm M ( x1 , x2 , , xn ) , N ( y1 , y2 , , yn ) ¡ n , khoảng cách hai điểm  n 2 d ( M , N ) =  ∑ ( xi − yi ) ÷  i =1  - Với ba điểm A, B, C ¡ n , ta có: d ( A, C ) ≤ d ( A, B ) + d ( B, C ) (Bất đẳng thức tam giác) ε - lân cận lân cận điểm ¡ n n Cho điểm M ∈ ¡ , o ε - lân cận M tập hợp tất điểm ¡ n cho d ( M , M ) < ε o Lân cận M tập hợp chứa ε - lân cận M Điểm trong, điểm biên - Điểm M ∈ D gọi điểm D tồn ε - lân cận M cho lân cận nằm hồn tồn D - Điểm M gọi điểm biên D với ε - lân cận M mà lân cận vừa chứa điểm thuộc D, vừa chứa điểm khơng thuộc D Tập mở, tập đóng, tập bị chặn, tập liên thông - n gọi mở điểm M D điểm - Tập D không gian ¡ Tập D khơng gian ¡ n gọi đóng chứa điểm biên - Tập D không gian ¡ n gọi bị chặn tồn hình cầu chứa Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 74 Bài giảng Giải tích - Tập D không gian ¡ n gọi liên thơng nối hai điểm M , M thuộc D đường liên tục nằm hoàn toàn D 1.3 Miền xác định hàm số nhiều biến số Nếu hàm số u cho biểu thức u = f ( M ) mà khơng nói thêm miền xác định miền xác định u hiểu tập hợp tất điểm M cho biểu thức f ( M ) có nghĩa, thường tập liên thơng Ví dụ Hàm số z = − x − y xác định miền x + y ≤ , tức cầu đóng tâm O bán kính §2 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 2.1 • Giới hạn hàm số nhiều biến số Dãy điểm { M n ( xn , yn )} gọi dần tới điểm M ( x0 , y0 ) ¡ , kí hiệu M n → M d ( M n , M ) = hay lim xn = x0 , lim yn = y0 n → ∞ , lim n→∞ n→∞ n→∞ Định nghĩa Cho hàm số z = f ( M ) = f ( x, y ) xác định lân cận U điểm M ( x0 , y0 ) (có thể trừ M ) - Ta nói hàm số f ( M ) có giới hạn L M ( x, y ) dần tới M ( x0 , y0 ) với moi dãy điểm { M n ( xn , f ( xn , yn ) = L yn )} (khác M ) thuộc lân cận U dần đến M , ta có lim n→∞ Kí hiệu: - lim ( x , y )→( x0 , y0 ) f ( x, y ) = L hay lim f ( M ) = L M →M Hàm số f ( M ) có giới hạn L M dần tới M ∀ε > 0, ∃δ > : d ( M , M ) < δ ⇒ | f ( M ) − L | < ε • Khái niệm giới hạn vô hạn định nghĩa tương tự hàm số biến số → +∞ ( x, y ) → (0, 0) x + y2 Ví dụ • Các định lý giới hạn tổng, tích, thương hàm số biến số cho hàm số nhiều biến số Ví dụ Tìm lim ( x , y ) →(0; 0) f ( x, y) với f ( x, y ) = xy x + y2 Giải Ta có: Hàm số f ( x, y ) xác định ¡ \ {(0; 0)} Nếu cho ( x, y ) → (0, 0) theo phương đường thẳng y = kx , ta có: f ( x, kx) = Do đó: lim f ( x, kx) = x →0 k x ≠ 1+ k2 k 1+ k2 Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 75 Chương CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Vậy ( x, y ) → (0, 0) theo phương khác nhau, f ( x, y ) dần tới giới hạn khác Do đó, khơng tồn giới hạn 2.2 lim ( x , y ) →(0; 0) f ( x, y ) Tính liên tục hàm số nhiều biến số Định nghĩa Giả sử hàm số f ( M ) xác định miền D ⊂ ¡ M ∈ D Hàm số f ( M ) gọi liên tục M tồn giới hạn lim f ( M ) = f ( M ) M →M - f ( M ) hiểu giới hạn Nếu miền D đóng, M điểm biên D Mlim →M f ( M ) M dần tới M bên D • Giả sử M có tọa độ ( x0 , y0 ) , M có tọa độ ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) Đặt ∆f = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) Định nghĩa phát biểu là: - Hàm số f ( x, y ) gọi liên tục ( x0 , y0 ) xác định ∆f → ∆x → 0, ∆y → - Hàm số f ( M ) gọi liên tục miền D liên tục điểm thuộc D - Hàm số f ( M ) gọi liên tục miền D ∀ε > , ∃δ > cho với cặp điểm M ', M '' ∈ D mà d ( M ', M '') < δ , ta có: | f ( M ') − f ( M '') | < ε o Hàm số nhiều biến liên tục có tính chất hàm số biến số liên tục Ví dụ Khảo sát tính liên tục hàm số:  | xy |α ( x, y ) ≠ (0, 0)  f ( x, y ) =  x + y 0 ( x, y ) = (0, 0)  ( α số dương) f ( x, y ) liên tục ∀( x, y ) ≠ (0, 0) hàm số | xy |α , x + y liên tục ∀( x, y ) ≠ (0, 0) Nên ta cần xét điểm (0, 0) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: | xy | ≤ ( x + y ) ⇒ | xy |α 1 ≤ α ( x + y )α−1 ⇒ | f ( x, y ) | ≤ α ( x + y ) α−1 2 x +y 2 Do đó, + Nếu α > + Nếu α ≤ , lim ( x , y ) →(0; 0) Khi đó: f ( x, x) = f ( x, y) = , từ suy f ( x, y ) liên tục điểm (0, 0) x 2α = 2(1−α ) : không dần tới x → 2x 2x Vậy f ( x, y ) không liên tục điểm (0, 0) Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 76 Bài giảng Giải tích §3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 3.1 Đạo hàm riêng Cho hàm số z = f ( x, y ) xác định lân cận U điểm M ( x0 , y0 ) o ∆x = x − x0 ∆y = y − y0 với ( x, y ) ∈U gọi số gia biến số x y o ∆ x z = f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∆ y z = f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) gọi số gia riêng hàm z = f ( x, y ) theo biến số x y M ( x0 , y0 ) o ∆z = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) gọi số gia toàn phần hàm z = f ( x, y ) M ( x0 , y0 ) Định nghĩa đạo hàm riêng ∆yz ∆x z lim tồn hữu hạn giới hạn gọi đạo hàm riêng ∆x → ∆x ∆y → ∆y o Nếu lim hàm z = f ( x, y ) ( x0 , y0 ) Kí hiệu là: • z 'x ( x0 , y0 ) (hay f 'x ( x0 , y0 ) hay ∆ z ∂z ( x0 , y0 ) ) = lim x ∆ x → ∂x ∆x • z ' y ( x0 , y0 ) (hay f ' y ( x0 , y0 ) hay ∆ z ∂z ( x0 , y0 ) ) = lim y ∆y → ∆y ∂y o Nếu hàm z = f ( x, y ) có đạo hàm riêng theo biến x y điểm ( x, y ) ∈ D ta nói z = f ( x, y ) có đạo hàm riêng theo biến x y miền D Kí hiệu: • Đạo hàm riêng z = f ( x, y ) theo biến x miền D là: z 'x hay f 'x ( x, y ) hay • ∂z ∂x Đạo hàm riêng z = f ( x, y ) theo biến y miền D là: z ' y hay f ' y ( x, y ) hay Ví dụ ∂z ∂y f ( x, y ) = x y ∂f = yx y −1 ; ∂x ∂f = x y ln x ∂y 3.2 Vi phân riêng vi phân toàn phần 3.2.1 Vi phân riêng Định nghĩa: Cho hàm số z = f ( x, y ) xác định lân cận U điểm M ( x0 , y0 ) Nếu tồn A, B phụ thuộc vào x0, y0 (không phụ thuộc vào x, y) cho: xz = f(x0 + x, y0) – f(x0, y0) = A.x + (x) yz = f(x0, y0 + y) – f(x0, y0) = B.y + (x) (x0 + x, y0 + y)  U ; (x), (x) VCB bậc cao x, y Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 77 Chương CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Khi đó, biểu thức A.x, B.y gọi vi phân riêng hàm z = f ( x, y ) M ( x0 , y0 ) theo biến x y Kí hiệu : dxz = A.x, dyz = B.y Định lý Điều kiện cần đủ để hàm z = f ( x, y ) có vi phân riêng (x0, y0) có đạo hàm riêng điểm Khi đó, dxz = z’x x, dyz = z’y y Định nghĩa : Nếu hàm z = f ( x, y ) có vi phân riêng điểm (x, y)  D ta nói z = f ( x, y ) có vi phân riêng D 3.2.2 Vi phân toàn phần Định nghĩa: Cho hàm số z = f ( x, y ) xác định lân cận U điểm M ( x0 , y0 ) Nếu tồn A, B phụ thuộc vào x0, y0 cho: z = f(x0 + x, y0 + y) – f(x0, y0) = A.x + B.y + (x) + (x) (x0 + x, y0 + y)  U ; (x), (x) VCB bậc cao x, y Khi đó, biểu thức A.x + B.y gọi vi phân toàn phần hàm z = f ( x, y ) M ( x0 , y0 ) Kí hiệu : dz(x0, y0) (hay df(x0, y0)) = A.x + B.y Khi đó, ta nói hàm z = f ( x, y ) khả vi M ( x0 , y0 ) Định nghĩa: Nếu hàm z = f ( x, y ) khả vi điểm (x, y)  D ta nói z = f ( x, y ) khả vi D Kí hiệu: dz hay df(x,y) Định lý Nếu hàm z = f ( x, y ) khả vi M0(x0, y0) liên tục điểm Định lý (Điều kiện cần để hàm hai biến khả vi) Nếu hàm z = f ( x, y ) khả vi M0(x0, y0) điểm tồn đạo hàm riêng z’x , z’y ta có : dz(x0, y0) = z’x(x0, y0) x + z’y(x0, y0) y Hệ Nếu hàm z = f ( x, y ) khả vi miền D có đạo hàm riêng z’x , z’y miền có dz = z’x.x + z’y.y Định lý (Điều kiện cần đủ để hàm hai biến khả vi) • Nếu hàm số z = f ( x, y ) xác định lân cận U điểm M ( x0 , y0 ) có đạo hàm riêng liên tục M0(x0, y0) z = f ( x, y ) khả vi M0(x0, y0) Và dz(x0, y0) = z’x(x0, y0) x + z’y(x0, y0) y • Nếu hàm số z = f ( x, y ) có đạo hàm riêng liên tục miền D hàm z = f ( x, y ) khả vi D có dz = z’x.x + z’y.y Điều kiện cần đủ để hàm z = f ( x, y ) có vi phân riêng (x0, y0) có đạo hàm riêng điểm Khi đó, dxz = z’x x, dyz = z’y y o Chú ý Cũng hàm số biến số, x, y biến số độc lập Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 78 Bài giảng Giải tích dx = ∆x, dy = ∆y , dz = z 'x dx + z ' y dy Ứng dụng vi phân toàn phần để tính gần Xét hàm z = f ( x, y ) khả vi M0(x0, y0) Khi z = f(x0 + x, y0 + y) – f(x0, y0) = f’x(x0, y0) x + f’y(x0, y0) y + (x) + (x) Nếu ∆x, ∆y có trị số tuyệt đối bé,   0,   x  0, y  nên ta có: z = f(x0 + x, y0 + y) – f(x0, y0) f’x(x0, y0) x + f’y(x0, y0) y = dz Suy ra: f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ≈ f ( x0 , y0 ) + f x' ( x0 , y0 ) ∆x + f y' ( x0 , y0 )∆y 3.3 Đạo hàm hàm số hợp D tập hợp không gian ¡ n Xét hai ánh xạ: ϕ: D → ¡ m ( x1 , x2 , , xn ) a (u1 ( x1, x2 , , xn ), , um ( x1, x2 , , xn )) f : ϕ( D) → ¡ (u1 ( x1, x2 , , xn ), , um ( x1, x2 , , xn )) a f (u1 ( x1, x2 , , xn ), , um ( x1, x2 , , xn )) Xét n = m = Đặt F = f oϕ Khi đó: ϕ f F : ( x, y ) ∈ D a (u ( x, y ), v( x, y )) ∈ ϕ( D) a f ( u ( x, y ), v( x, y )) = F ( x, y ) Định lý 5.2 Nếu f có đạo hàm riêng ∂f ∂f , liên tục ϕ( D) u , v có đạo hàm riêng ∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ∂F ∂F , , , , D D tồn đạo hàm riêng ta có: ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y  ∂F ∂f ∂u ∂f ∂v  ∂x = ∂u ∂x + ∂v ∂x  ∂F ∂f ∂u ∂f ∂v  = +  ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y - Nếu z = f ( x, y ); y = y ( x) z hàm số hợp x hay z = f ( x, y ( x)) Khi đó, ta có: dz ∂f ∂f = + y '( x) dx ∂x ∂y - Nếu z = f ( x, y ); x = x(t ); y = y (t ) thì: dz ∂f ∂f = x '(t ) + y '(t ) dt ∂x ∂y Ví dụ Cho z = eu ln v với u = xy; v = x + y Ta có: Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 79 Chương CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ  ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v u u  ∂x = ∂u ∂x + ∂v ∂x = e ln v y + e v x  ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v  = + = eu ln v x + eu y v  ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂z eu 2x u = y.e ln v + x = e xy ( y ln( x + y ) + ) Suy ra: ∂x v x + y2 ∂z 2y = x.e xy ln( x + y ) + y.e xy = e xy ( x ln( x + y ) + ) ∂y x +y x + y2 Cho z = x + y với x = cos t ; y = sin t Ta có: dz ∂z ∂z = x '(t ) + y '(t ) = − sin t + 2sin t.cos t = sin 2t − sin t dt ∂x ∂y 3.4 Đạo hàm hàm số ẩn 3.4.1 Hàm số ẩn Hàm số ẩn biến số: Cho hệ thức hai biến x, y có dạng F ( x, y ) = (*) Nếu với giá trị x = x0 khoảng đó, có (hoặc nhiều) giá trị y = y0 cho F ( x0 , y0 ) = 0, ta nói hệ thức (*) xác định (hoặc nhiều) hàm số ẩn y theo x khoảng Ví dụ: Hệ thức x + y = xác định hàm số ẩn y = − x y = − − x có miền xác định [-1; 1] Giả sử M ( x0 , y0 ) , F ( x0 , y0 ) = Nếu lân cận điểm M , hàm F ( x, y ) có đạo hàm riêng ∂F ∂F ∂F ( M ) , ≠ hệ thức (*) xác định hàm số ẩn y = ϕ( x) liên tục ∂x ∂y ∂y lân cận x0 thỏa mãn điều kiện y0 = ϕ( x0 ) , đồng thời lân cận hàm số y = ϕ( x) liên tục, có đạo hàm liên tục ∂F ( M ) dy ( x0 ) = − ∂x ∂F ( M ) dx ∂y Ví dụ: Cho hàm số y = y ( x ) xác định từ phương trình sin( x + y ) + y = Tính y’ Giải Đặt F ( x, y ) = sin( x + y ) + y Ta có: ∂F ∂F = cos( x + y ), = cos( x + y ) + ∂x ∂y Suy ra: y ' = − cos( x + y ) cos( x + y ) + o Chú ý Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 80 Bài giảng Giải tích Để tính đạo hàm hàm số ẩn y = y ( x ) xác định từ hệ thức (*), ta đạo hàm hai vế F ( x, y ( x)) = theo biến x: dy F ( x, y ( x)) = ⇔ Fx' + Fy' y '( x) = dx Từ đó, ta tính y '( x) Ví dụ: Cho phương trình x + y + ln( x + y ) = a Tính y '( x) Giải Đạo hàm hai vế phương trình cho theo biến x, ta được: x + yy '+ x + yy '   = ⇔ (2 x + yy ') 1 + =0 2 ÷ x +y  x +y  Suy ra: y ' = y '( x ) = − x y Hàm số ẩn hai biến số: Ứng với cặp (x, y) cho ta giá trị xác định z thỏa mãn đẳng thức F ( x, y, z ) = hàm z = ϕ( x, y ) hàm ẩn hai biến số độc lập x, y xác định từ hệ thức: F ( x, y , z ) = (**) Đồng thời, ta có định lý: Giả sử F ( x0 , y0 , z0 ) = Nếu hàm số F ( x, y, z ) lân cận điểm M ( x0 , y0 , z0 ) có ∂F ( M ) ≠ hệ thức (**) xác định hàm số ẩn z = ϕ( x, y ) có ∂z đạo hàm riêng liên tục đạo hàm riêng liên tục ∂F ( M ) ∂F ( M ) ∂z ( x0 , y0 ) ∂z ( x0 , y0 ) ∂y = − ∂x , =− ∂ F ( M ) ∂ F (M ) ∂x ∂y ∂z ∂z Ví dụ: Cho x + y + z − 3xyz = Tính ∂z ∂z , ∂x ∂y Giải Đặt F ( x, y, z ) = x + y + z − 3xyz , ta có: ∂F ∂F ∂F = y − xz , = x − yz , = z − xy ∂y ∂x ∂z Suy ra: ∂F ∂F ∂z x − yz ∂z y − xz ∂y = − ∂x = − =− , =− ∂F ∂F ∂x z − xy ∂y z − xy ∂z ∂z 3.5 Đạo hàm vi phân cấp cao 3.5.1 Đạo hàm cấp cao Cho hàm số hai biến số z = f ( x, y ) ' ' Các đạo hàm riêng f x , f y đạo hàm riêng cấp Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 81 Chương CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp tồn gọi đạo hàm riêng cấp hai Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai là: ∂  ∂f  ∂ f = f x''2 ( x, y )  ÷= ∂x  ∂x  ∂x ∂  ∂f  ∂ f = f xy'' ( x, y )  ÷= ∂y  ∂x  ∂x∂y ∂  ∂f  ∂ f = f yx'' ( x, y )  ÷= ∂x  ∂y  ∂y∂x ∂  ∂f  ∂ f ''  ÷ = = f y ( x, y ) ∂y  ∂y  ∂y Ví dụ: Cho z = x y + x z 'y = 3x y ' 3 Ta có: z x = xy + x ; z x''2 = y + 12 x ; z ''y = x y z xy'' = xy ; z ''yx = xy Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp hai tồn gọi đạo hàm riêng cấp ba Định lý 5.3 (Định lý Schwarz) Nếu lân cận điểm M ( x0 , y0 ) , hàm số z = f ( x, y ) có đạo hàm '' '' '' '' riêng f xy , f yx đạo hàm riêng liên tục M f xy = f yx M Định lý mở rộng cho đạo hàm riêng cấp cao cho hàm số n biến số với n ≥ 3.5.2 Vi phân cấp cao ' ' Xét hàm số z = f ( x, y ) , vi phân tồn phần dz = f x dx + f y dy tồn tại, hàm số x, y Vi phân toàn phần dz tồn gọi vi phân cấp hai z kí hiệu d z : d z = d (dz ) = d ( f x'dx + f y' dy ) Cứ tiếp tục vậy, ta có định nghĩa vi phân cấp 3, …, cấp n : d z = d (d z ) … d z = d (d n−1 z ) n * * * * * §4 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 4.1 Cực trị tự hàm hai biến Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 82 Bài giảng Giải tích 4.1.1 Định nghĩa Cho hàm số z = f ( x, y ) xác định miền D đó, M ( x0 , y0 ) điểm thuộc D Ta nói f ( x, y ) đạt cực trị M với điểm M ( x, y ) lân cận M , khác M , hiệu số f ( M ) − f ( M ) có dấu khơng đổi • Nếu f ( M ) − f ( M ) > z = f ( x, y ) có cực tiểu • Nếu f ( M ) − f ( M ) < z = f ( x, y ) có cực đại 4.1.2 Qui tắc tìm cực trị ' Kí hiệu: p = f x ( M ) ; A = f xx'' ( M ) ; q = f y' ( M ) B = f xy'' ( M ) ; C = f yy'' ( M ) Định lý 5.4 Giả sử hàm số z = f ( x, y ) có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục lân cận M ( x0 , y0 ) B − AC < f ( x, y ) đạt cực trị M , cực tiểu A > , cực đại • A < • B − AC > f ( x, y ) khơng đạt cực trị • B − AC = f ( x, y ) đạt cực trị M , khơng đạt cực trị M Ví dụ Tìm cực trị hàm số z = x3 + y − x − y Giải Ta có: p = x − ; q = y − ; A = x ; B = ; C = 12 y p = ⇔ x = ±1 ; q = ⇔ y = ±1 Vậy ta có điểm dừng: M (1; 1), M (−1; 1), M (−1; − 1), M (1; − 1) + Với M (1; 1) : B − AC = −6.1.12.1 = −72 < 0, A = 6.1 = > Suy M (1; 1) điểm cực tiểu hàm số + Với M ( −1; 1) : B − AC = −6.(−1).12.1 = 72 > Suy ra: Hàm số không đạt cực trị M ( −1; 1) + Với M (1; 1) : B − AC = −6.1.12.1 = −72 < 0, A = 6.1 = > Suy M (1; 1) điểm cực tiểu hàm số 4.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số hàm số nhiều biến số Xét D miền đóng, bị chặn, f :D→¡ ( x, y ) a f ( x, y ) • M giá trị lớn f ( x, y ) D ∃( x0 , y0 ) ∈ D : f ( x0 , y0 ) = M ∀( x, y ) ∈ D : f ( x, y ) ≤ M Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 83 Chương CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ • m giá trị nhỏ f ( x, y ) D ∃( x0 , y0 ) ∈ D : f ( x0 , y0 ) = m ∀( x, y ) ∈ D : f ( x, y ) ≥ m Cách tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm Muốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ta tìm giá trị cực đại, cực tiểu so sánh giá trị cực đại, cực tiểu với giá trị đầu mút Cách tìm cực trị hàm miền Đ - Tìm cực trị f ( x, y ) với điều kiện biên ϕ( x, y ) = - Tìm giá trị mút biên So sánh giá trị tìm Ví dụ Tìm giá trị lớn nhỏ hàm sau : z = 3x + y − x − y + x =  miền D =  y = x + y =  B1 Tìm cực trị miền Đ ' Ta có : p = z x ( x, y ) = x − 2; A = > 0; B = 0; q = z 'y ( x, y ) = y − , C = 1 p = 0, q = ⇔ x = , y = 3 1 Với M  ; 3 1 ÷ : B − AC = − 6.6 = −36 < 0, A = > 3 1 Suy M  ; 3 1 ÷ điểm cực tiểu hàm số 3 1 1 Khi đó, z = + − − + = 9 3 B2 Các điểm biên • (1) x = ⇒ z = 3y2 − y + z 'y = y − = ⇔ y = 1  1 Tại  0, ÷ : z = − + = 3  3 • (2) y = ⇒ z = 3x − x + z x' = x − = ⇔ x = 1 1  Tại  , ÷ : z = − + = 3 3  • (3) x + y = ⇒ y = 1− x Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 84 Bài giảng Giải tích z = x + 3(1 − x) − x − 2(1 − x) + = 3x + − x + 3x − x − + x + = 6x2 − x + z x' = 12 x − = ⇔ x= 1 ⇒ y= 2 1 1 Tại  , ÷ : z = 2 2 (4) B3 Các điểm mút Tại (0, 0) : z = (5) Tại (0, 1) : z = (6) Tại (1, 0) : z = (7) Từ (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7) suy giá trị lớn z 3, giá trị nhỏ z 4.3 Cực trị có điều kiện 4.3.1 Định nghĩa Người ta gọi cực trị hàm số z = f ( x, y ) biến số x y bị ràng buộc hệ thức g ( x, y ) = (i) (ii) cực trị có điều kiện 4.3.2 Liên hệ với cực trị tự Với có mặt phương trình ràng buộc (ii), miền biến thiên cặp biến chọn ( x, y ) bị thu hẹp Khái niệm có điều kiện hiểu theo nghĩa địa phương giống cực trị tự do, khác chỗ tất phận giá trị biến chọn phải thỏa mãn điều kiện ràng buộc (ii) Hệ thức (**) áp đặt phụ thuộc lẫn biến chọn dạng hàm ẩn từ (**) ta biểu diễn y dạng hàm y = ϕ( x) tốn cực trị nêu quy toán cực trị tự hàm số biến số x : z = f ( x, ϕ( x)) = h( x ) Ví dụ : Tìm cực trị hàm số z = xy + x với điều kiện (1) x + y − 120 = (2) Giải Từ hệ thức liên hệ (2), ta có y = 30 − x Hàm mục tiêu (1) biểu diễn dạng : z = 32 x − x Tìm cực trị hàm số (3), ta có (3) đạt cực đại x = Khi : y = 30 − 16 = 14 Vậy hàm số (1) với điều kiện (2) đạt cực đại điểm ( x = 8; y = 14) o Chú ý Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 85 (3) Chương CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Trong nhiều trường hợp, từ điều kiện (ii) ta rút y = ϕ( x) , ta phải dùng phương pháp mới, gọi phương pháp nhân tử Lagrange 4.3.3 Phương pháp nhân tử Lagrange Từ hàm mục tiêu (i) điều kiện (ii) ta lập hàm số : L( x, y, λ) = f ( x, y ) + λ.g ( x, y ) (iii) Hàm số có thêm biến chọn λ , gọi nhân tử Lagrange Với tất điểm M ( x, y ) thỏa mãn điều kiện (ii), tức xét biến chọn miền biến thiên bị thu hẹp điều kiện (ii), hàm số mục tiêu z đồng với hàm số L Với giả thiết hàm số f ( x, y ) g ( x, y ) có đạo hàm riêng liên tục g ( x0 , y0 ) ≠ , người ta chứng minh : Nếu hàm số (i) với điều kiện (ii) đạt cực trị điểm ( x0 , y0 ) tồn số λ cho ba số thực λ = λ , x = x0 , y = y0 thỏa mãn hệ phương trình : ∂L  ∂λ = g ( x, y ) =  ∂g  ∂L ∂f −λ =0  = ∂x  ∂x ∂x ∂g  ∂L ∂f  ∂y = ∂y − λ ∂y =  (iv) Vậy điều kiện cần để hàm số (i) với điều kiện (ii) đạt cực trị quy điều kiện cần để hàm số Lagrange (iii) đạt cực trị khơng có điều kiện o Chú thích Các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình (iv) gọi điểm tới hạn (điểm dừng) Để biết điểm có thực cực trị hay khơng, ta dùng định nghĩa để kiểm tra BÀI TẬP CHƯƠNG xy Tìm giới hạn lim x →0 x + y y →0 Tìm giới hạn lim x →0 y →0 xy x2 + y2 Cho z = x y + x + y Tính Cho z = x y , x > Tìm Cho z = xy + arctan ∂z ∂z , điểm (1 ; 2) ∂x ∂y ∂z ∂z , ∂x ∂y x ∂z Tìm y ∂y Cho z = x + ( y − 1) arcsin x ∂z ( x, 1) Tính y ∂x Cho z = eu ln v; u = x − y, v = xy Tìm Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng ∂z ∂z , ∂x ∂y 86 Bài giảng Giải tích Cho f ( x, y ) = x y + y Tìm đạo hàm riêng cấp hai f ( x, y ) Tìm cực trị hàm z = x + xy + y − 3x − y 10 Tìm cực trị hàm z = x y xy + (47 − x − y )  + ÷ 3 4 11 Tìm cực trị hàm z = x + y − x − y − xy 12 Tìm cực trị hàm z = x3 + y − xy 13 Tìm cực trị hàm z = e x + y2 (2 x + y ) 14 Tìm cực trị hàm z = − ( x + y ) 15 Tìm cực trị hàm z = xy với điều kiện x + y − = 16 Tìm cực trị hàm z = x + y với điều kiện x + y − = 17 Tìm a, b, c để hàm số z = x3 − y + ax + by + c đạt cực trị điểm M (−1, 1) z(M ) = Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 87 Bài giảng Toán cao cấp Chương VI ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 88 ... ∂F ∂F ∂z x − yz ∂z y − xz ∂y = − ∂x = − =− , =− ∂F ∂F ∂x z − xy ∂y z − xy ∂z ∂z 3 .5 Đạo hàm vi phân cấp cao 3 .5. 1 Đạo hàm cấp cao Cho hàm số hai biến số z = f ( x, y ) ' ' Các đạo hàm riêng f... 1 Tại  , ÷ : z = 2 2 (4) B3 Các điểm mút Tại (0, 0) : z = (5) Tại (0, 1) : z = (6) Tại (1, 0) : z = (7) Từ (1), (2), (3), (4), (5) , (6), (7) suy giá trị lớn z 3, giá trị nhỏ z 4.3 Cực trị... f ( x, kx) = Do đó: lim f ( x, kx) = x →0 k x ≠ 1+ k2 k 1+ k2 Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 75 Chương CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Vậy ( x, y ) → (0, 0) theo phương khác nhau, f ( x, y ) dần