HÌNH VUÔNG

HÌNH VNG A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Hình vng tứ giác có bốn góc vng bốn cạnh ◊ABCD hình vng µ =C µ =D µ  µA = B ⇔  AB = BC = CD = DA Nhận xét: Từ định nghĩa hình vng ta suy - Hình vng hình chữ nhật có bốn cạnh - Hình vng hình thoi có góc vng ⇒ Hình vng vừa hình chữ nhật vừa hình thoi Tính chất: Hình vng có tất tính chất hình bình thoi hình chữ nhật - Tính chất cạnh: +) Có bốn cạnh +) Các cạnh đối song song - Tính chất góc: Bốn góc - Tính chất đường chéo: +) Hai đường chéo +) Hai đường chéo cắt trung điểm đường +) Hai đường chéo vng góc với +) Hai đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi Dấu hiệu nhận biết - Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng - Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng - Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng - Hình thoi có góc vng hình vng - Hình thoi có hai đường chéo hình vng Nhận xét: Một tứ giác vừa hình chữ nhật vừa hình thoi tứ giác hình vng Tính chất đối xứng hình vng - Hình vng có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo - Hình vng có bốn chục đối xứng: +) đường chéo hình vng +) đường thẳng nối trung điểm cạnh đối diện hình vng Cách vẽ hình vng Có cách vẽ hình vng có hai cách vẽ hay sử dụng Cách 1: Vẽ đường chéo, dựng đường trung trực đường chéo Lấy trung điểm vừa dựng làm tâm vẽ đường trịn có đường kính đường chéo vừa vẽ, cắt đường trung trực hai điểm ta đường chéo thứ hai B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình vng Cách giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình vng Bài 1: Cho hình vng điểm A DEBC , tia đối tia tia đối tia CA = DK = EM DKIH ( H ∈ DE ) ABMI Trên cạnh ED Vẽ DC CD lấy điểm lấy điểm M lấy K , cho hình vng Chứng minh tứ giác hình vng Lời giải Ta có: ∆ABC = ∆BEM = ∆HIM = ∆AKI ⇒ AI = MI = AB = BM · · ∆ACB = ∆BEM ⇒ ·ABC = EBM ⇒ ·ABE + EBM = 900 ⇒ ◊ABMI biết) Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AB, AC theo thứ tự lấy điểm cho BD = EC D E M , N , P, Q Gọi theo thứ tự hình vng (dấu hiệu nhận DE , EB, BC , CD trung điểm Chứng MNPQ minh tứ giác hình vng Lời giải 1 EC = BD (1) 2 MN = PQ = NP = MQ = Ta có  MN / / AB ⇒ MN ⊥ MQ ( AB ⊥ AC )(2)   MQ / / AC Từ (1)(2) ⇒ ◊MNPQ hình vng Bài 3: Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABDE ACFG Gọi Q, N giao điểm đường chéo hình vng ABDE hình vuông M,P Gọi trung điểm BC ACFG EG MNPQ Chứng minh tứ giác vng hình Lời giải Ta có  QM = PN = EC , QM / / PN / / EC (1)  QP = MN = BG , QP / / MN / / BG  ∆AEC = ∆ABG (cgc ) ⇒ EC = BG (2) Từ (1)(2) Gọi (Do I ⇒ QM = PN = QP = MN ⇒ ◊MNPQ giao điểm ·ACE , ·AGB EC BG , ta có: hình thoi (dấu hiệu nhận biết) · · · · ICG + IGC = ·ACG + ·ACE + IGC = ·ACG + ·AGB + IGC cặp góc tương ướng hai tam giác nhau) · · · · · ICG + IGC = ·ACG + ·ACE + IGC = ·ACG + ·AGB + IGC = ·ACG + AGC = 900 ⇒ EC ⊥ BG (4) Từ (1)(4) ⇒ QM ⊥ QP ⇒ ◊MNPQ hình vng (hình thoi có góc vng hình vng) Cho hình thang µA = D µ = 900 , CD = AB = AD chiếu D lên AC Bài 4: có: ABCD, Gọi H hình M , N, P CD, HC , HD trung điểm a Chứng minh tứ giác vuông, tam giác BCD hình vng cân b Chứng minh tứ giác hành c ABMD DMPQ hình bình AQ ⊥ PD Lời giải AB / / DM , AB = DC = DM ⇒ ◊ABMD a Ta có hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) Lại có: +) Xét b Xét c AB = AD ⇒ ◊ABMD ∆BCD ∆DHC , có hình thoi, mà BM = MD = DC ⇒ ∆BDC PQ / / DM , PQ = , có: PQ / / DM , DM ⊥ AD ⇒ PQ ⊥ AD µA = 900 ⇒ ◊ABMD vuông cân ( DM ⇒ ◊DMPQ Ta có tam giác hình vng · BDC = 450 ) hình bình hành ADP Q có trực tâm ⇒ AQ ⊥ DP Dạng 2: Vận dụng tính chất hình vng để chứng minh tính chất hình học Cách giải: Vận dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc, đường chéo hình vng Bài 1: ABCD Cho hình chữ nhật CB tia lấy điểm AE minh lấy hai điểm CE = DF = CD Sao cho CD DA Trên tia đối H F Trên tia đối tia cho vuông góc E CH = CB Chứng FH Lời giải Tứ giác Ta có: Gọi K CDFE có µ = 900 ⇒ CDFE CE = DF = CD, DF / / CE , D · · · AF = HD, HDF = ·AFE = 900 , FE = DF ⇒ ∆AFE = ∆HDF ⇒ EAF = FHD giao điểm AE CD ·AKD = HKE · · · · · , AKD + FAE = 900 ⇒ HKE + FAE = 900 Mà Vậy · · · · EAF = FHD ⇒ HKE + FHD = 900 AE vng góc với HF Bài 2: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AD, CD AE = DF a b hình vng E, F lấy điểm cho Chứng minh ∆ADF = ∆BAE BE ⊥ AF Lời giải a Ta có I b Gọi Có: · ∆ADF = ∆BAE (cgc) ⇒ ·AEI = DFA giao điểm AF · · · EAI = ·AEI = EAI + DFA = 900 BE (đpcm) Bài 3: ABCD Cho hình vng BA lấy điểm điểm F E b Gọi I IB = ID , tia đối tia cho a Chứng minh Trên tia đối tia CB AE = CF ∆EDF lấy vuông cân trung điểm EF Chứng minh A, C , I c Chứng minh thẳng hàng Lời giải a · ∆AED = ∆CFD(cgc) ⇒ DE = DF , ·ADE = CDF · · · · · ⇒ EDF = EDC + CDF = EDC + ADE = 900 IB = ID = b Ta có c Do IB = ID nên EF I thuộc đường trung trực BD ⇒ I ∈ AC Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành hai hình vng a b ADGH Chứng minh AC = FH ∆CEG ABEF AC ⊥ FH vuông cân a ∆AFH = ∆BAC ( cgc ) ⇒ FH = AC Gọi Do b Lời giải I giao điểm FH AC ·AFH = BAC · · · · ⇒ IAF + ·AFH = IAF + BAC = 900 ⇒ FH ⊥ AC ∆GCD = ∆CEB (cgc) ⇒ GC = CE Ta có: mà · · · · · · · · · 1800 = ECB + CBE + BEC = ECB + CBA + 90 + BEC ⇒ ECB + CBA + BEC = 900 · · · · · BEC = GCD ⇒ ECB + CBA + GCD = 900 (1) Mặt khác Từ (1)(2) ABCD · · · · · · DCB + CBA = 900 ⇔ ECB + GCE + GCD + CBA = 1800 (2) hình bình hành, · ⇒ GCE = 900 Bài 5: Cho hình vng thuộc cạnh cắt CD AC , CD F ABCD a Tính độ dài H , điểm HF E DAE hình chiếu giao điểm F BC AH b Chứng minh góc 6cm , tia phân giác góc Gọi AC cạnh AK · BAE c Tính chu vi tam giác phân giác CFK Lời giải a Ta có b ∆ADF = ∆AHF (cgc ) ⇒ AH = HD = 6cm ¶ ⇒ AK ∆AHK = ∆ABK (ch − cgvc ) ⇒ µ A3 = A c Chu vi phân giác · BAE ∆CFK = CF + FK + KC = CF + FH + HK + CK = CF + FD + KB + KC = 12(cm) Bài 6: E, F ABCD Cho hình vng theo thứ tự AB, BC trung điểm CE ⊥ DF a Chứng minh M b Gọi giao điểm Chứng minh AM = BM CD trung điểm CE DF (Gợi ý gọi N ) Lời giải a Ta có: b Gọi +) +) +) ¶ = 900 ⇒ D ¶ +C ¶ = 900 ⇒ D ả =C DCF = CBE (cgc ) M 1 N ◊AECN ∆DMC ∆ADM CD trung điểm hình bình hành có: có ⇒ AN / / EC ⇒ DF ⊥ AN = H  ND = NC ⇒   NH / / MC ( AN / / EC ) H AH đường cao, H trung điểm trung điểm Bài 7: ABCD Cho hình vng nằm hai điểm tia CB a Tính b Gọi lấy điểm F · EDF = 900 G A điểm B cho E Trên tia đối AE = CF điểm đối xứng với D qua trung MD MD ⇒ AM = AD = AB (đpcm) I EF điểm Vì sao? DEGF Tứ giác hình gì? AC , DG , EF c Chứng minh ba đường thẳng đồng quy điểm Lời giải a · · · · · · · EDF = EDC + CDF = EDC + EDA = 900 (CDF = EDA ) ◊DEGF b Xét có hình chữ nhật EI = IF , DI = IG ⇒ ◊DEGF ∆ADE = CDF ⇒ ED = FD ⇒ ◊DEGF mà c Ta có giao IB = ID = EF ⇒ I Có: BD EF DG hình bình hành , lại có I I , ta chứng minh thuộc đường trực thuộc đường trung trực Bài 8: CB lấy điểm điểm hành a N M ABCD cho AFMN Trên tia đối tia , tia đối tia BM = DN DC lấy Vẽ hình bình Chứng minh rằng: ∆ABM = ∆ADN b Tứ giác c Kẻ AFMN hình vng FH ⊥ BM , FK ⊥ CN ·ACF = 900 B , O, D d AF thẳng hàng ( O , chứng minh trung điểm ) Lời giải a là hình vng (dấu hiệu nhận biết) ) Cho hình vng µ = 900 ⇒ ◊DEGF D · · ∆ABM = ∆ADN (cgc) ⇒ AM = AN ⇒ DAN = BAM BD ⇒ I ∈ AC AC ( AC đường trung trực AMFN b Hình bình hành hình thoi AM = AN ⇒ ◊AMFN , có · · · · · MAB = MAD + DAN = MAD + MAB = 900 ⇒ ◊AMFN Lại có hình vuông c ·ACF = ·ACD + DCF · · = 450 + DCF Ta chứng minh · DCF = 450 ⇒ ◊CHFK hình vng ¶ +M ¶ = 900 ⇒ N ¶ +M ¶ = 900 , N ¶ +N ¶ = 900 ⇒ M ¶ =N ¶ ⇒ ∆MHF = ∆NKF (ch − gn) ⇒ FH = FK M 2 2 Có ⇒ ◊CHFK hình vng · · DCF = 450 ⇒ DCF = 900 d Ta chứng minh điểm Ta có O ABCD hình vng trung điểm Lại có B , D, O ⇒ B, D AF ⇒ O nằm đường trung trực nằm đường trung trực trung điểm thẳng hàng Bài 9: Cho tam giác ABC trung tuyến vuông , đường cao AM a Chứng minh b Kẻ trung trực MD = MA D A · · MAC = BAH BC D lấy điểm A cho ( nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ đường thẳng BC góc ) Chứng minh AD · MAH , µA DE ⊥ AB, DF ⊥ AC c Kẻ hình gì? d Chứng minh: phân giác Tứ giác AEDF ∆DBE = ∆DCF 10 AC AC MN ⇒ OA = OM OC = OM = AC ⇒ OM = OC ⇒ OA = OC ⇒ O ⇒ B , D, O AH (đpcm) nằm đường trung trực AC Lời giải a b ∆ABC ( µA = 900 ) ⇒ AM = BC ⇒ ∆AMC ∆AMD cân d Xét , m ả ả ả ả M A2 = D1 , A3 = D1 ( slt ) ⇒ A2 = A3 AEDF c Tứ giác cân µ M⇒µ A1 = C hình chữ nhật có ∆DBE , ∆DCF có AD DE = DF , DB = DC ⇒ ∆DBE = ∆DCF (ch − cgv) phân giác ( MD µ +B µ = 900 = ảA + B C = ảA C 4 · EAF ⇒ ◊AEDF trung trực BC hình vng ) Bài 10: Cho tam giác cao AH hạ từ M,N D ABDE c D, A, E AH A , đường K G và I E BC đến F E Chứng minh FG AH D qua trung điểm DE Chứng minh thẳng hàng d Giả sử ACFG chân đường vuông góc DM + DN = BC b vng Vẽ phía ngồi tam giác hai hình vng a Gọi ABC EG M cắt qua K A K Lời giải a b ∆DMB = ∆AHB ⇐ DM = BH , FN = HC ⇐  DM + FN = BC ⇐ DM + FN = BH + HC ∆AHC = ∆CNF D, A, F c Gọi I thẳng hàng · · · · ⇔ DAF =1800 ⇔ DAE + EAG + GAF = 1800 giao điểm AH EG , ta chứng minh 11 H B EI = GI ( = AI ) C N ∆AIG +) Ta chứng minh cân µ =µ I ⇔G A3 µ µ µ =C µ G G1 = C11 µ =µ ∆ABC = ∆AEG ⇒  ⇒ ⇒G A3 ⇒ ∆AIG µ µ µ µ C1 = A1  A1 = A3 Chứng minh tương tự ta có d Có Tứ giác Lại có AI AI qua AEKG ∆IAE cân cân I I ⇒ IE = IG = IA hình bình hành (các cạnh đối song song) qua trung điểm EG mà AI đường chéo thứ nên AI qua K Vậy K Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác hình vng Cách giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết hình vng Bài 1: Cho tam giác ABC điểm thuộc cạnh BC vuông Qua thẳng song song với cạnh AC , AB a Tứ giác FFME AB AFME M A vẽ đường AC theo thứ tự , chúng cắt E E F F B M hình b Xác định vị trí điểm để tứ giác A, M M cạnh C BC hình vuông Lời giải a Tứ giác AFME b Để tứ giác · BAC ⇒M có góc vng nên hình chữ nhật AFME hình vng đườn chéo giao điểm đường phân giác 12 · BAC AM trở thành đường phân giác µA Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F , G, H theo thứ AB, BC , CD, DA tự trung điểm cạnh ABCD Tìm điềm kiện tứ giác B E A F để tứ EFGH H giác a Hình chữ nhật b Hình thoi c Hình vng C G D Lời giải Ta có tứ giác EFGH a Để EFGH c Để hình bình hành (các cạnh đối nhau) EF ⊥ FG ⇒ AC ⊥ BD trở thành hình chữ nhật EFGH b Để EFGH trở thành hình thoi EF = FG ⇒ AC = BD AC ⊥ BD, AC = BD trở thành hình vng BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Cho đoạn thẳng AB điểm M thẳng Vẽ phía vng AB H H D AE ⊥ BC Chứng minh ba điểm D, H , F c Chứng minh đường thẳng điểm cố định O' C giao điểm đoạn thẳng cố định F I hình AMCD, BMEF a Chứng minh b Gọi E thuộc đoạn M AE BC O DF M A thẳng hàng K B qua di chuyển AB Lời giải a Có mà MD / / BE (hai góc đồng vị nhau) MD ⊥ AC ⇒ AC ⊥ BE b Gọi O O' Lại có EC ⊥ AB ⇒ C trực tâm tam giác tâm hai hình vng 13 AMCD BMEF ∆ABE ⇒ AE ⊥ BC AHC Tam giác vuông ⇒ OH = OH có 1 AC = DM µ = 900 ) ⇒ DH ⊥ MH (1) ⇒ ∆DMH ( H 2 Chứng minh tương tự, ta c Gọi I giao điểm Chứng minh Kẻ IK AC đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vng góc Mặt khác OI AC HF ⊥ MH (2) ⇒ D, H , F thẳng hàng DF đường trung bình tam giác AB ( K AB ⇒ K thuộc ) 1 IK = ( AD + BF ) = AB 2 DMF trung điểm (không đổi ) ⇒I I , hay AB trung điểm K , cố định Vậy DE DF cố định qua I cố định Bài 2: Cho tam giác ABC giác hình vuông trung tuyến a Chứng minh ABDE , BM A D · DBH + ·ABC = 180 DBHN ∆ABC = ∆NHB d Chứng minh BCKH AC b Vẽ hình bình hành c Chứng minh E , vẽ phía ngồi tam M B C Chứng minh O DH = BM N BM ⊥ DH H Lời giải a) Chú ý: b) Gọi Tca có O · · · · DBH + HBC + CBA + ·ABD = 3600 , HBC = ·ABD = 900 giao điểm DH ∆ABC = ∆NHB ⇒ OH = BM BN ⇒ O b) ∆ABC = ∆NHB (cgc) trung điểm DH (hai đường trung tuyến tương ứng) 14 BN K DH = OH mà (đpcm) · · BHO = MBC ⇒ d Chứng minh đpcm Bài 3: Cho đoạn thẳng AB M điểm thẳng Vẽ phía thuộc đoạn AB , hình AMCD, BMEF vng a) Chứng minh H b) Gọi AE vng góc với giao điểm D, H , F Chứng minh ba điểm đoạn thẳng cố định AB BC thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định AE BC M DF di chuyển Lời giải a) Chứng minh Mà MD MD ⊥ AC ⇒ AC ⊥ BE lại có EC ⊥ AB ⇒ C song song với BE trực tâm tam giác ABE O, O ' b) Gọi OH tâm hai hình vng AC ⇒ OH = đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ ∆DMH vuông H , hay c) Gọi I giao điểm Chứng minh IK OI vuông góc với BMEF Tam giác vng AHC có 1 AC = DM 2 DH ⊥ MH ( 1) Chứng minh tương tự, ta Từ (1) (2), suy đpcm Kẻ AMCD AC HF ⊥ HM ( ) DF đường trung bình tam giác AB ( K ∈ AB ) 15 DMF , hay I trung điểm DF ⇒K trung điểm Mặt khác DF Vậy AB K , tức 1 IK = ( AD + BF ) = AB 2 cố định (không đổi) ⇒I cố định qua điểm I cố định Bài 4: Cho tam giác ABC , vẽ phía ngồi tam giác hình vng ABDE BCKH · DBH + ·ABC = 1800 b) Vẽ hình bình hành DBHN ∆ABC = ∆NHB c) Chứng minh d) Chứng minh a) Chú ý Mà Chứng minh DH = BM BM vng góc với O = DH ∩ BN trung điểm DH ∆ABC = ∆NHB ⇒ OH = BM Mà DH = 2OH ⇒ d) Chứng minh Lời giải ⇒ đpcm b) Chứng minh hai tam giác ⇒O DH · · · DHB + HBC + CBA + ·ABD = 360 · HBC + ·ABD = 900 c) Gọi BM ABC đường trung tuyến tam giác a) Chứng minh BN ABC NBH theo trường hợp Ta có: (2 đường trung tuyến tương ứng) đpcm · · BHO = MBC Từ quy đpcm 16 ( cgc ) ...- Hình vng có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo - Hình vng có bốn chục đối xứng: +) đường chéo hình vng +) đường thẳng nối trung điểm cạnh đối diện hình vng Cách vẽ hình vng Có cách vẽ hình. .. a Hình chữ nhật b Hình thoi c Hình vng C G D Lời giải Ta có tứ giác EFGH a Để EFGH c Để hình bình hành (các cạnh đối nhau) EF ⊥ FG ⇒ AC ⊥ BD trở thành hình chữ nhật EFGH b Để EFGH trở thành hình. .. BG (4) Từ (1)(4) ⇒ QM ⊥ QP ⇒ ◊MNPQ hình vng (hình thoi có góc vng hình vng) Cho hình thang µA = D µ = 900 , CD = AB = AD chiếu D lên AC Bài 4: có: ABCD, Gọi H hình M , N, P CD, HC , HD trung