Giải toán người đưa thư Trung Hoa Tập đỉnh bậc lẻ V0(G) = {D,H,M,O}, nên ta có phân hoạch cặp là: P1 = {(D,H), (M,O)} d(P1) = d(D,H) + d(M,O) = 1+2 = 3, P2 = {(D,M), (H,O)} d(P2) = d(D,M) + d(H,O) = 4+2 = 6, P3 = {(D,O), (H,M)} d(P3) = d(D,O) + d(H,M) = 2+4 = Min( d(P1), d(P2), d(P3)) = d(P1) = Do dó ta vẽ thêm cạnh (D,H), (M,N), (N,O) vào đồ thị G cho để có đồ thị Euler GT Đi theo chu trình Euler, ta có hành trình cần tìm: A, B, C, D, H, L, P, O, N, M, A, I, M, N, O, K, P, H, D, K, J, N, B, E, F, C, K, F, J, I, A Dùng thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn từ đỉnh A đến đỉnh khác đồ thị sau: A - B 5, A 4, E 4, E - C ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 10,B 9,M 9,M - D ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 11,C 11,C 11,C - E 2, A - F ∞, 𝐴 8, E 8, E 8, E 8, E - H ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 17,D 17,D 17,D - I 3, A 3, A - J ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 10,I 10,I 10,I 9,F 9,F - K ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 11,F 11,F 10,J - L ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 18,H - M 7, A 7, A 6, I 6, I - Độ dài ngắn từ A đến: B C D E F H I J K L M N O P qua cạnh (A, E), (E, B) qua cạnh (A, I), (I, M), (M, C) qua cạnh (A, I), (I, M), (M, C), (C, D) qua cạnh (A, E) qua cạnh (A, E), (E, F) qua cạnh (A, I), (I, M), (M, C), (C, D), (D, H) qua cạnh (A, I) qua cạnh (A, E), (E, F), (F, J) qua cạnh (A, E), (E, F), (F, J), (J, K) qua cạnh (A,I), (I,M), (M,C), (C,D), (D,H), (H,L) qua cạnh (A, I), (I, M) qua cạnh (A, I), (I, M), (M, N) qua cạnh (A, E), (E, F), (F, J), (J, K), (K, O) qua cạnh (A, E), (E, F), (F, J), (J, K), (K, P) Có độ dài Có độ dài Có độ dài 11 Có độ dài Có độ dài Có độ dài 17 Có độ dài Có độ dài Có độ dài 10 Có độ dài 18 Có độ dài Có độ dài 11 Có độ dài 15 Có độ dài 18 N ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 11,M 11,M 11,M 11,M 11,M 11,M - O ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 15,K 15,K 15,K - P ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 ∞, 𝐴 18,K 18,K 18,K 18,K 18,K 18,K - Tìm W* cách áp dụng thuật toán Floyd vào đồ thị sau: A A B C D E F C D E A A B C D E F B C 13 D B C 11 E 13 F 20 13 D F 20 8 A A B C D E F B 3 E F A A B C D E F C 11 D 17 14 E 16 11 13 D 17 14 E 16 11 13 D 14 E 16 F 11 11 13 16 C 16 D 13 E 15 F 11 11 16 13 16 A A B C D E F B C 11 A A B C D E F A A B C D E F B B B C 11 F F Tìm khung nhỏ đồ thị sau theo thuật toán Kruskal Theo Kruskal: S ={(D,E), (C,D), (B,F), (A,C), (D,H), (H,I), (F,I), (A,E), (E,F), (B,E), (C,H), (D,I), (A,B)} s = (D,E) s = (C,D) s = (B,F) s = (A,C) s = (D,H) s = (H,I) s = (F,I) Tìm khung nhỏ thuật tốn Prim đồ thị gồm đỉnh A, B, C, D, E, F, H, I A B C D E F H I A ∞ 15 16 16 23 20 32 18 B 15 ∞ 33 13 34 19 20 12 C 16 33 ∞ 13 29 21 20 19 D 19 13 13 ∞ 22 30 21 11 E 23 34 29 22 ∞ 34 23 21 F 20 19 21 30 34 ∞ 17 18 H 32 20 20 21 23 17 ∞ 14 Giải: A 0, A - B 15, B - C 16, A 16,A 16,A 13,D - D 19, A 13,B 11,I - E 23, A 23,A 21,I 21,I 21,I 21,I 21,I - I 18 12 19 11 21 18 14 ∞ F 20,A 19,B 18,I 18,I 18,I 17,H - H 32,A 20,B 14,I 14,I 14,I - Vậy khung cần tìm: E = {(A,B), (B,I), (D,I), (C,D), (C,H), (F,H), (E,F)} Độ dài khung nhỏ nhất: 15+ 12+ 11+ 13+ 14+ 17+ 21 = 103 I 18,A 12,B - VT V(A) V(B) V(I) V(D) V(C) V(H) V(F) V(E) ET (A,B) (B,I) (D,I) (C,D) (C,H) (F,H) (E,F) Cực tiểu hóa hàm Boole F = G + H phương pháp Quine-McCluskey Cho hai hàm Boole G,H có tập đặc trưng: TG = {(0,0,0,1), (0,1,0,0), (0,0,1,1), (0,1,1,0)}, TH = {(1,0,0,1), (1,0,1,1), (1,1,1,0), (1,1,1,1)} Dạng tổng chuần tắc hoàn toàn hàm Boole F = G + H: F= 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 0001* 0100* 0011* 0110* 1001* 1011* 1110* 1111* 00–1* –001* 01–0 –011* –110 10–1* 1–11 111– –0–1 Các nguyên nhân nguyên tố F 𝑤𝑥𝑧, 𝑥𝑦𝑧, 𝑤𝑦𝑧, 𝑤𝑥𝑦, 𝑥𝑧 𝑤𝑥𝑧 𝑥𝑦𝑧 𝑤𝑦𝑧 𝑤𝑥𝑦 𝑥𝑧 𝑤𝑥𝑦𝑧 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 𝑤𝑥𝑦𝑧 + + 𝑤𝑥𝑦𝑧 𝑤𝑥𝑦𝑧 𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑤𝑥𝑦𝑧 + + + + + + + Dạng cực tiểu hàm F F = 𝑤𝑥𝑧 + 𝑥𝑧 + 𝑤𝑥𝑦 + Đồ thị Euler: ĐN: Chu trình (t.ư đường đi) đơn chứa tất cạnh (hoặc cung) đồ thị (vô hướng có hướng) G gọi chu trình (t.ư đường đi) Euler Một đồ thị liên thông (liên thông yếu đồ thị có hướng) có chứa chu trình (t.ư đường đi) Euler Được gọi đồ thị Euler (t.ư Euler) ĐL: Đồ thị (vô hướng) liên thông G đồ thị Euler đỉnh G có bậc chẵn Đồ thị G đơn, liên thông, phẳng, theo Euler: n–p+d=2 𝐸 = 𝑣 ∈ 𝑉 deg (𝑣) 2𝑝 = 𝑛 ∗ 𝑣 ∈ 𝑉 deg (𝑣) Hệ quả: 𝑝 ≤ 3𝑛 − Cho G đồ thị phẳng liên thơng có 10 miền tất đỉnh có bậc Tìm số đỉnh G Do G phẳng, liên thông: n – p + d = (d=10 theo đề bài) n = p – d + = p -8 (1) Ngoài ta cịn có: 𝐸 = 𝑣 ∈ 𝑉 deg (𝑣) 2p = 4n p = 2n (2) Từ (1) (2) ta được: n = 2n – n=8 Vậy số đỉnh G n = Hệ thức truy hồi an = C1an-1 + C2an-2 + … + Ckan-k (Ck ≠0) k k-1 Phương trình đặc trưng: r – C1r – c2rk-2 - … - ck-1r – ck = (có k nghiệm pb) Nghiệm hệ thức truy hồi: an = α1r1n + α2r2n + … + αkrkn Ví dụ: Tìm nghiệm hệ thức truy hồi: an = 6an-1 - 11an-2 + 6an-3 (Với điều kiện đầu a0=2, a1=5, a2=15) Phương trình đặc trưng: r – 6r + 11r - = Nghiệm đặc trưng: r=1, r=2, r=3 n n n Suy nghiệm hệ thức hồi có dạng: an = α11 + α22 + α33 Từ điều kiện ban đầu: a0 = = α1 + α2 + α3 a1 = = α1 + α22 + α33 a2 = 15 = α1 + 4α2 + 9α3 α1 = α2 = -1 α3 = Thế vào (1) Suy nghiệm hệ thức truy hồi là: an = 1n - 2n + 2.3n (1) Có số nguyên dương tương ứng từ đến 1000 mà không chia hết cho 2, không chia hết cho không chia hết cho 7? Gọi U tập số nguyên dương từ đến 1000, A tập số chia hết cho 2, B tập số chia hết cho 3, C tập số chia hết cho Khi U\ ABC tập số khơng chia hết cho 2, không chia hết cho không chia hết cho Theo nguyên lý bù trừ ta có: U\ ABC = |U| - (|A| + |B| + |C| - |AB| - |BC| - |AC| + |ABC|) |U| = 1000, |A|=[1000/2]=500, |B|=[1000/3]=:333, |C|=[1000/7]=142, |AB|=[1000/(2x3)]=166, |BC|=[1000/(3x7)]=47, |AC|=[1000/(2x7)]=71, |ABC|=[1000/(2x3x7)]=23 Suy ra: U\ ABC = 1000 – (500+333+142-166-47-71+23) = 286 Có xâu nhị phân có độ dài có số liền số liền Gọi A tập xâu nhị phân có độ dài có số liền Gọi B tập xâu nhị phân có độ dài có số liền Số xâu nhị phân A có dạng 000XXXXX 25=32 Số xâu nhị phân A có dạng 1000XXXX 24=16 Số xâu nhị phân A có dạng X1000XXX 24=16 Số xâu nhị phân A có dạng XX1000XX 24=16 Số xâu nhị phân A có dạng XXX1000X 24-2=14 Số xâu nhị phân A có dạng XXXX1000 24-3=13 Vậy số phần tử A 32 + 3x16 + 14 + 13 =107 Số xâu nhị phân B có dạng 1111XXXX 24=16 Số xâu nhị phân B có dạng 01111XXX 23=8 Số xâu nhị phân B có dạng X01111XX 23=8 Số xâu nhị phân B có dạng XX01111X 23=8 Số xâu nhị phân B có dạng XXX01111 23=8 Vậy số phần tử B 16 + 4x8 =48 Các phần tử AB là: 0001111, 00011110, 10001111, 11110000, 11110001, 01111000, 11111000 (có phần tử) Vậy số phần tử cần tìm là: |AB| = A| + |B| - |AB| = 107 + 48 – = 147