|
j ees eae ⁄ thang wide 0n
Trang 2‘& Em bắt đầu đọc TTT từ năt
tham gia giải đố va gửi bài về
soạn phải chia cỏc bài khỏc chấm Cảm ơn em
HOP THU 3T2
đ Cuối cựng thỡ ước mơ của học sinh THCS muốn cú một sõn chơi trớ tuệ riờng cho mỡnh đó thành hiện thực Nhưng tại sao lại đặt tờn tap chớ dành cho chỳng chỏu là TTT2 mà lai khụng đặt tờn là Toỏn Tuổi hồng 2 Đõy là suy nghĩ riờng của chỏu Dự sao chỏu cũng rất vui khi cú TTT2 ! Cảm ơn tạp
chớ nhiều nhiều
NGUYEN MAI TRANG (Xúm 2, xó Phỳc Thọ, Nghi Lộc, Nghệ An)
ở Đấy khụng phải là suy nghĩ riờng của chỏu đõu Vừa rồi
TTT2 lờn Sở GD-ĐT Vĩnh Phỳc vừa vào phũng của Phú
Giỏm đốc (bỏc Lờ Tốn) thỡ đó bị “quạt” ngay :
~ Văn hay chữ tốt như TTT mà lại đặt tờn tạp chớ thế à 2 TTT xin thưa : Giấy phộp hoạt động bỏo chớ của TTT là được phộp ra 2 kỡ, một kỡ dành cho Tiểu học, một kỡ dành cho bậc THOS, nờn đành phải đỏnh số 1, 2 Nghe cũng
khụng thớch lắm ! Nhưng “giấy khai sinh” như vậy thỡ biết làm thế nào ? Mai kia lớn lờn sẽ xin “cha, mẹ” gọi thờm tờn nữa là Toỏn Tuổi hồng cho “hay” hơn vậy Nếu thớch thỡ cỏc
bạn cứ gọi : Toỏn Tuổi hồng ơi ! Thế nào TTT2 cũng tới với
cỏc bạn
Thớch nhau, gọi Toỏn Tuổi hồng
Quen rồi tờn đổi chắc khụng khú gỡ
đ9eosoeooeooooeooeoeooeeooooeooeeeoo
ee ‘DONG BIEN TAP TAP CHI TOAN TUG! THO
Tổng biờn tập : PGS TS NGUT Va Duong Thuy 'Phú tổng biờn tập : TS Lờ Thống Nhất
ỡm lớp 8, nay em đó học lớp 10, em cú thể
cho tạp chớ được khụng ? Nếu giải nhiều
chuyờn mục thỡ cú thể cho chung vào một phong bỡ được khụng ?
DANG NGUYEN VINH HOA
(66 Nguyễn Nghiờm, TX Quảng Ngói, Quảng Ngói) # Bất cứ lứa tuổi nào cũng cú thể tham gia giải đố trờn tạp chớ Toỏn Tuổi thơ Nay tạp chớ cũn ra thờm một kỡ riờng Toỏn Tuổi thơ 2 dành cho bậc THOS, em vẫn cú thể đọc cả TTT2 và TTT1, đồng thời tham gia gửi
bài cho cả 2 kỡ tạp chớ Tất cả cỏc bài gửi cho tạp chớ cú thể cho chung vào một phong bỡ, nhưng khụng được viết chung trờn một tờ giấy vỡ Tũa
nhau cho những giỏm khảo khỏc nhau
Sa Sau khi đọc xong TTT2 số đầu
tiờn, em thấy rất bổ ớch cho việc học
toỏn của em Đặc biệt lại cú cả Thỡ
thầm thỡ thầm thụi nữa chứ ! Tuổi mới
lớn của chỳng em cú rất nhiều bỡ ngỡ cần hỏi anh Phú Gỡ lắm đấy Anh nhớ trả lời nh
NGUYEN QUYNH TRANG
(Lop 8E, THCS Nguyễn Trói, Nghĩ Xuan, Ha Tinh)
# Anh Phú Gỡ toỏt hết cả mồ hụi để
trả lời thư cho cỏc bạn đấy ! Thư thỡ trả lời trờn TTT2, thư thỡ trả lời trực tiếp
Cỏc bạn cứ gửi thư về nhộ ! Cú bạn cũn tiết lộ : em khụng núi với bố mẹ
đõu chỉ thỡ thầm với anh thụi đấy" Thật là : Thỡ thầm cứ thỡ thầm thụù Thương anh Phú Gỡ mồ hụi dầm địa Ong Nau Tổng phụ trỏch hộp thư 3T2 CHIU TRÁCH NHIEM XUẤT ỡm đốc NGễ TRAN Tổng biờn tập VU DUONG THUY ơ
Ủy viờn Hội đồng biờn tập Toỏn Tuổi thơ 2 :
GS Nguyộn Khỏc Phi, PGS TS Trần Kiều, PQS TS Tụn
Thõn, TS Nguyễn Văn Trang, PGS TS Vũ Nho, TS
Trinh Thị Hải Yến, ThS Nguyễn Khỏc Minh, ễng Phạm Dinh Hiộn, PQS, T9: Ngụ Hữu Dũng, TS Tran Dinh Chõu, NGND Vũ Hữu Bỡnh, TS Nguyễn Minh Hà, TSKH Vũ
Đỡnh Hũa, TS Nguyễn Minh Đức, TS Lờ Quốc Hỏn, ễng 'Đào Ngọc Nam, ễng Nguyễn Đức Tấn, TS; Nguyễn Đăng
Quang, TS Tran Phương Dung, TS Ngụ Anh Tuyết, ễng Trương Cụng Thành
* Mithuat : Ngọc Yến
Kĩ thuật vi tớnh : In SCITECH, Đỗ Trung Kiờn
* Trị sự - phỏt hành : Trần Đức Hựng, Trịnh Thị Tuyết Trang, Trinh Dinh Te
* Địa chỉ liờn lạc : 57 Giảng Vừ, Hà Nội ĐT: 045142650 Fax : 045142648
* Đường dõy núng (24 gid/ngay) : 0908436757
Giấy phộp xuất bản : 31/GP-BVHTT ngày 23/1/2003 - Bộ,
'Văn húa va Thụng tin
* In tại: Nhà mỏy ùn Sỏch giỏo khoa Hà Nội
* Nộp lưu chiểu thỏng 4 năm 2003 = se Giỏ : 2500 đ
Trang 3
'Cỏc bạn THCS lớn hơn cỏc em Tiểu học nờn trớ
ỏn Tuổi thơ 2 vừa ra được
bạn đó “phỏ” ngay được
ụ chữ của anh rồi Cỏc bạn hóy đợi kết quả ở số
tạp chớ sau để xem là ai hơn ai nhộ !
Xin mời cỏc bạn lại lao vào thử sức với : Theva O CHU tuệ cũng lớn hơn Khi ớt hụm mà đó cú rất ni o Ky nay:
Để giải được ụ chữ kỳ này, bạn phải điển được những từ cũn thiếu ở bài thơ
sau:
hàng xúm của anh
suy nghĩ tất thành cụng thụi
Trờn cao đang ngồi
ngời ngời làm sao !'
đường chộo đõu nào ?
bốn gúc như nhau tuyệt tran đứng giữa rất cõn xoay vần bờn trong chạm nhẹ đường cong nhầm lẫn đi tong cả bài chẳng chia ai làm hoài sẽ thụng Đường trũn Phộp chia Sacco
Những từ điển vào ở dũng nào sộ phai “khộp” vội_ dong tudng ting 6 6 chit, Cudi cling bạn cú biết cột dọc sẽ là gỡ khụng ? Hay lắm đấy nhộ !
ANH COMPA
Trang 4
: Giao duc 2000) Hướng dẫn
Bài toỏn 1 : Cho tứ giỏc ABCD Gọi M,
P lần lượt là trung điểm hai đường chộo AB,
DC N, Q lần lượt là trung điểm cỏc cạnh
BC, DA Chứng minh rằng tứ giỏc MNPO là
hỡnh bỡnh hành
Hỡnh 2 Hỡnh 3
Bài toỏn 2 : Cho tam giỏc ABD, C la điểm nằm trong tam giỏc ABD Gọi M, N, P,
Q lần lượt là trung điểm cỏc đoạn thẳng AB,
BC, CD, DA Chứng minh rằng tứ giỏc MNPQ là hỡnh bỡnh hành
Xin được cựng bạn đọc trao đổi về b:
 Bai toan A: Cho tit giac ABCD Goi M, N, P, Q theo thứ tự là cỏc s ; ‡ trung điểm của cỏc cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng tứ giỏc › ; : 3 MNPQ là hỡnh bỡnh hành (Bài 6, trang 24 SGK Hỡnh học 8, NXB‡
MN là đường trung bỡnh của tam
giỏc ABC = MN//AC và MN= 3
QP là đường trung bỡnh của tam
giỏc ADC = QP //AC và QP.= 5 AC
Do d6 MN // QP va MN = QP => Tứ ic MNPQ là hỡnh bỡnh hành
3 @ Cõu hồi được đặt ra : Liệu tứ giỏc ABCD khụng lồi thi tứ giỏc
3 MNPQ cú là hỡnh bỡnh hành khụng ?
: Dộ thấy hoàn toàn tương tự trờn ta chứng minh được tứ giỏc s
s MNP là hỡnh bỡnh hành Ta cú hai bài toỏn mới =
_ MOT PHONG CACH HOC TOAN
NGUYEN BUC TAN (TP Hồ Chớ Minh)
I Khai thỏc bài toỏn trong sỏch giỏo khoa nhiều khi đem đến cho
chỳng ta những điều lớ thỳ và sõu sắc Tụi tin rằng đõy là một phong
cỏch học toỏn tốt, gúp phần tỡm kiếm cỏi mới trong toỏn học toỏn sau : ° AC
Từ bài toỏn A nhận ra rằng nếu trờn cỏc
cạnh BC cú điểm E, trờn cạnh AD cú điểm
F (E>N, F z Q) mà tứ giỏc MEPF là hỡnh bỡnh hành thỡ cũng cú tứ giỏc ENFQ là hỡnh bỡnh hành, do vậy giỳp ta giải được bài toỏn hay và khú sau :
Bài toỏn 3 : Cho tứ giỏc ABCD cú M, P
lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, CD E và F lần lượt là cỏc điểm thuộc cỏc cạnh
BC và DA (EB # EC, FA # FD) sao cho tir giỏc MEPF là hỡnh bỡnh hành
Chứng minh rằng BC // AD
Bài toỏn A giỳp ta giải được bài toỏn sau :
Bài toỏn 4 : Cho ngũ giỏc ABCDE, gọi
M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, BC, DE, AE H là trung điểm của
NQ, K là trung điểm của MP Chứng minh
rằng KH // DC
Trang 5giỳp ta đến với bài toỏn Giec gụn :
Bài toỏn 5 : Chứng minh rằng đoạn
thẳng nối trung điểm hai đường chộo và cỏc
đoạn thẳng nối trung điểm cỏc cạnh đối của
tứ giỏc lỗi gặp nhau tại một điểm
Hơn nữa, ta cũng nhận ra rằng ở bài toỏn A cũn cú : AC LBD âMN.LMQ â MNPG là hỡnh chữ nhật AC = BD â MN = MQ <> MNPG là hỡnh thoi
Giỳp ta đến với bài toỏn 6
Bài toỏn 6 : Gọi M, N, P, Q là cỏc trung điểm cỏc cạnh của tứ giỏc ABCD Hai đường chộo AC và BD phải thỏa món những điều kiện nào để M, N, P, Q là 4 đỉnh của : a) Hỡnh chữ nhật ? ; e) Hỡnh vuụng ? (Bài 13, trang 37 SGK Hỡnh học 8, NXB Giỏo dục 2000)
Cõu c bài toỏn 6 giỳp ta cú lời giải bài toỏn Hay và Khú sau :
Bài toỏn 7 : Cho tam giỏc OBC Về phớa ngoài tam giỏc dựng cỏc hỡnh vuụng OBIA, OCKD Gọi M, P lần lượt là tõm của cỏc hỡnh vuụng OBIA, OCKD Và N, Q lần lượt
là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BC, AD Chứng minh rằng tứ giỏc MNPQ là hỡnh vuụng Vẽ hỡnh bài toỏn 7, nhận ra rằng M, N, P, Q lần lượt là trung điểm cỏc cạnh AB, BC, b) Hỡnh thoi 2 ;
CD, DA của tứ giỏc ABCD
Do vay “chia khúa vàng” của bài toỏn là chứng minh AC = BD, AC L BD điều này cú
được từ AOAC = AOBD (c - g - c)
Và như vậy từ hỡnh 2 cũng cho ta bài toỏn mới
Bài toỏn 8 : Cho tứ giỏc ABCD, gọi M,
N, P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn
thẳng AB, AC, CD, BD Tứ giỏc ABCD phải thỏa món những điều kiện nào để M, N, P, Q là bốn đỉnh của : a) Hỡnh chữ nhật ? ; b) Hỡnh thoi 2 ; â) Hỡnh vuụng ? Tương tự từ hỡnh 3 cũng đến với ta bài toỏn 9
Bài toỏn 9 : Cho tam giỏc ABC, C là
điểm nằm trong tam giỏc ABD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng
AB, BC, CD, DA
Cỏc điểm A, B, C, D phải thỏa món những điều kiện nào để M, N, P, Q là bốn đỉnh của :
a) Hỡnh chữ nhật ? ; b) Hỡnh thoi ? ; â) Hỡnh vuụng ?
Va như vậy từ cỏc bài toỏn : A; 1 ; 2; 6 ;
8; 9 cú được bài toỏn tổng quỏt sau chăng ?
Bài toỏn 10 : Cho bốn điểm A, B, C, D
trong đú khụng cú ba điểm nào thẳng hàng
Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
cỏc đoạn thẳng AB, BC, CD, DA
Cỏc điểm A, B, C, D phải thỏa món những điều kiện nào để M, N, P, Q là bốn đỉnh của : a) Hỡnh chữ nhật ? ; b) Hỡnh thoi ? ; â) Hỡnh vuụng ? Lại nhận ra rằng : 1 1 ` 5S Do vay Syne
„seo, đến với bài
toỏn Hay và Khú sau :
Bài toỏn 11 : Cho tứ giỏc ABCD Gọi M,
N,P lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB,
BD, CD Chứng minh rằng S„„„ =4Sss0:
Bài toỏn A chắc chắn cũn nhiều điều
hấp dẫn và thỳ vị, nếu ta tiếp tục suy nghĩ
và tỡm tũi
Trang 6ứ: Vè II NG bang goc Tk
NGUYEN VAN THIEM (st)
Xin giới thiệu với cỏc bạn
cổ cú kết luận sai là “gúc vuụng bằng gúc tự”, để
cỏc bạn thử sức khỏm phỏ ra chỗ sai
ABCD là một hỡnh chữ nhật Cho cạnh BC quay
xung quanh đỉnh 8 đến vị trớ BC' Đường trung trực của DC (cũng là của AB) và đường trung trực của
DC' cắt nhau ở M Do đú : MA = MB ;MD =MC' (1) Ta lại cú AD = BC = BC’ Như vậy hai tam giỏc
MAD và MBC' bằng nhau (c.c.c) Đối diện với
những cạnh bằng nhau là MD và MC' cú những
gúc bằng nhau là MAD =MBC'
Nhưng MAB =MBA (hai gúc ở đỏy tam giỏc
cõn MAB) suy ra BAD = ABC'
Gúc BAD là gúc vuụng cũn gúc ABC' là gúc tự,
húa ra gúc vuụng bằng gúc tự !
Cỏc bạn tỡm xem sai ở đõu ?
Trang 7
LTS : Qua tap chớ TTT2 số 1, cỏc bạn đó biết IQ là gỡ rồi !
Bõy giờ là lỳc chỳng ta cựng thi tài để rốn luyện trớ thụng minh
, j nhộ ! Tất nhiờn ai giỏi hơn thỡ sẽ được thưởng ! Ừ 4 f Bài tric nghiộm 10 kỡ nà Sul y Bai 6 Bạn hóy thay mỗi dấu chấm hỏi bởi một con số mà an cho là hợp lớ nhất D8 C3 A? G21 K89 B2 E13 H? D? 155
Bài 2 : Nếu bạn đau đầu bởi dóy trờn, hóy thử dóy
Trang 8
3 DUNG olen Ther)
trong ching minh hinh hoc
@NGND VO HOU BINH
€ú nhiều bài toỏn hỡnh học tưởng như khụng liờn quan đến diện tớch, nhưng nếu ta
sử dụng diện tớch thỡ lại dễ dàng tỡm ra lời
giải của bài toỏn
Bài toỏn 1 : Tam giỏc ABC cú AC = 2AB
Tia phõn giỏc của gúc A cắt BC ở D Chứng minh rằng DC = 2 DB Phõn tớch bài toỏn (h.7) Để so A sỏnh DC và DB, cú thể so K sanh diộn
tich hai tại E và F Chứng minh rang OE = OF
tam giac I Giải :
ADC va B D 6
An Se chung Hỡnh 1
đường cao kể từ A Ta so sỏnh được diện
tớch hai tam giỏc này vỡ chỳng cú cỏc đường cao kể từ D bằng nhau, và AC = 2 AB theo
đề bài cho
Giải : Kẻ DI L AB, DK 1 AC Xột AADC
và AADB : cỏc đường cao DI = DK, cỏc đỏy Hỡnh 2
AC = 2AB nờn Saoc = 2 Saoa Cỏch 1 : (h.2) Kộ AH, BK, CM, DN
Vẫn xột hai tam giỏc trờn cú chung vuụng gúc với EF Đặt AH = BK = hạ, CM =
đường cao kẻ từ A đến BC, do pN=nh,
Saoc = 2 Saos nờn DC = 2 DB Tả c6 :
Giải tương tự như trờn, ta chứng minh 1 a
được bài toỏn tổng quỏt : D0 TẾ 2 Phố = ĐộnA + Soep = Sonn (1)
Nếu AD là phõn giỏc của AABC thỡ 4 1
DB _AB gOFh, + SOF, = Sora + Soro = Soac (2)
DC AC Ta lại cú :
Bài toỏn 2 : Cho hỡnh thang ABCD S
(AB // CD), cỏc đường chộo cắt nhau tại O
Qua â, kẻ đường thẳng song song với hai“? Soo =Sosc (3)
đỏy, cắt cỏc cạnh bờn AC và BC theo thứtự _ Từ (1), (2), (3) suy ra :
6
Trang 9FOE (hy he) = OF.(h, +h.) nNi= Do dộ OE = OF Cỏch 2 : (h.3) Kớ hiệu như trờn hỡnh vẽ Ta cú Saoc = Saoc Hỡnh 3 â Cựng trừ đi S; được : SĂ+ 8; = S; + S¿ (1) Giả sử OE > OF thỡ S; > Sạ và S; > S„ nộn S, + Sp > Ss + Sq, trai vội (1) Giả sử OE < OF thi S, < S3 va Sp < S, nộn S; + Sp < Sy + Sq, trai với (1) Vay OE = OF
Bài toỏn 3 : Cho hỡnh bỡnh hanh ABCD
Cỏc điểm M, N theo thứ tự thuộc cỏc cạnh
AB, BC sao cho AN = CM Gọi K là giao
điểm của AN và CM Chứng minh rằng KD
là tia phõn giỏc của gúc AKC Giải : (h.4) K6 DH L KA, DI LKC AM B SN Hinh 4 Ta cú : DH AN = 2 Spon (1) DI CM = 2 Soom (2)
Ta lại cú Syoy =5 S4e (tam giỏc và hỡnh bỡnh hành cú chung đỏy AD, đường
cao tương ứng bằng nhau), S.o„ “2S
nộn Spon = Scom (3)
Từ (1), (2), (3) suy raDH AN = DI CM
Do AN = CM nộn DH = DI Do dộ KI la
tia phõn giỏc của gúc AKC
Như vậy khi xột quan hệ giữa độ dài cỏc
đoạn thẳng, ta nờn xột quan hệ giữa diện
tớch cỏc tam giỏc mà cạnh là cỏc đoạn
thẳng ấy Điều đú nhiều khi giỳp chỳng ta đi
đến lời giải của bài toỏn
Bạn hóy sử dụng diện tớch để giải cỏc
bài toỏn sau :
1 Cho tam giỏc ABC cõn tại A Gọi M là một điểm bất Kỡ thuộc cạnh đỏy BC Gọi
MH, MK theo thứ tự là cỏc đường vuụng gúc kẻ từ M đến AB, AC Gọi BI là đường cao của tam giỏc ABC Chứng minh rằng
MH + MK = BI
Hướng dẫn : Hóy chỳ ý đến
SAmp * SAMc = Sasc-
2 Chứng minh rằng tổng cỏc khoảng
cỏch từ một điểm M bất kỡ trong tam giỏc
đều ABC đến ba cạnh của tam giỏc khụng phụ thuộc vị trớ của M
Hướng dẫn : Hóy chỳ ý đến
Sạc + SwAc + San = Sapc-
3 Cho tam giỏc ABC cõn tại A Điểm M thuộc tia đối của tia BC Chứng minh rằng
hiệu cỏc khoảng cỏch từ điểm M đến đường
thẳng AC và AB bằng đường cao ứng với
cạnh bờn của tam giỏc ABC
Hướng dẫn : Hóy chỳ ý đến
SMAc - Swas = SAsc:
4 Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD,
AB < CD) Cỏc đường thẳng AD và BC cắt
nhau tại O Gọi F là trung điểm của CD, E
là giao điểm của OF và AB Chứng minh
rằng AE = EB
Hướng dẫn : Dựng phương phỏp phản
Trang 10Giới thiệu cuộc thỡ :
MU OPEN MATHEMATICS CHALLENGE
(COMC : Cudc thi Todn md rong tai Canada)
ThS NGUYEN VAN NHO (NXBGD)
COMC là cuộc thi Toỏn được tổ chức hằng năm, bắt đầu từ năm
1996 (vào ngày 27 thỏng 72), liờn tục được duy trỡ từ đú đến nay
dưới sự đồng tài trợ của Hội Toỏn học Canada (CMS : Canadian
Mathematical Society) va Trung tam Gido duc Toan hoc va May tinh
(CEMC : Centre for Education in Mathematics and Computing) Cuộc thi này được tổi chức nhằm mục đớch thỳc đẩy phong trào học Toỏn cho học sinh cả nước, và cũng trờn cơ sở kỡ thi này, người ta chọn ra những học sinh xuất sắc để tham dự kỡ thi Vụ địch Quốc gia Canada (CMO : Canadian Mathematical Olympiad) Tuy nhiờn, đối tượng tham gia khụng chỉ là học sinh THPT (senior) mà cũn mở rộng cho cỏc học sinh giỏi ở cỏc lớp dưới, tương ứng với THCS ở nước ta (junior)
Sau đõy, chỳng tụi trớch giới thiệu cựng bạn đọc bài thi được tổ chức vào ngày 29
thỏng 11 năm 2000, thời gian làm bài thi là hai giờ Tưổi, bài thi gồm hai phần : Phần A cú 8 cõu ; Phần B khú hơn, gồm 4 cõu Tuy nhiờn, để phự hợp với cỏc bạn học sinh giỏi THCS trong nước, chỳng tụi đó bỏ đi ba cõu, đú là cõu 6 (phần A - phương trỡnh lượng
giỏc mi), cõu 1 (phần B - Hỡnh học giải Ce cõu 4 (phần B - sử dụng kiến thức về tập hợp, tổ hợp) oe Bai i o phộp toỏn xỏc địn! =1-2b 40 Tỡm giỏ trị (1 * 2) * (3 * 4)
Bai 2 Day 9, 18, 27, 36, 45, 54, gồm cỏc bội
số liờn tiếp của 9 Nhõn cỏc số hạng của dóy trờn với
Trang 11ABDE trong hỡnh bờn,
biết tam giỏc ABC đều, ABDE là hỡnh chữ ni và đường trũn nội tỉ tam giỏc ABC cú bỏn kớnh bằng 1
Bài 8 Trong tam giỏc ABC, cỏc điểm D,
E, F tương ứng nằm trờn cỏc cạnh BC, CA,
AB sao cho AFE=BFD , BDF=CDE va CED = AEF a) Ching minh rang BOF =BAC , CA = 7 Tớnh độ AA? b) Cho AB = dài đoạn BD Bài 9 (a) A và B (nguyờn văn: Alphonse va Beryl) , BC = E é š HƯỚNG DẪN 8IẢI MỘT SỐ BÀI TUẦN *ệ< Ki thi QAMT - 2002 (TTT2 sộ 1) Cõu 1 : Cỏc bạn hóy cắt hỡnh ra và ghộp A B :
Cõu 2 : Từ ABRACADABRA bắt đầu
ang chit A, suy ra ta phải đi từ đỉnh (vỡ ở vị ớ chữ A cuối cựng, khụng cú B đứng kề) Mỗi chữ cỏi tiếp theo đều cú 2 cỏch chọn lờn cú 2'° = 1024 cỏch khỏc nhau Cõu 3 : Gọi t,, t; tương ứng là thời gian Ă và về Ta cú : d = 60 tị = 40 tạ
2 Cõu 4: Gọi số xe được sửa với giỏ 5 đụ-
$ la là x, số xe được sửa với giỏ 7 đụ-la là y hị đồ : 5 x + 7 y = 176 1-5x sy=26+ vả tiến hành một trũ lle chơi như sau Ta cú hỡnh 7 như ở trờn A bat đầu trũ chơi bằng cỏch cắt hỡnh 7 thành 2
mảnh dọc theo một đường thẳng, rồi A
chuyển mảnh cú chứa tam giỏc đen cho B,
vất đi mảnh kia Với mảnh nhận được này, B cũng làm tương tự như A, nghĩa là cũng cất thành 2 mảnh dọc theo một đường thẳng, rồi B chuyển mảnh cú chứa tam giỏc
den cho A, vất đi mảnh cũn lại Trũ chơi tiếp
diễn cho tới khi người nào nhận một mảnh
chỉ cú chứa tam giỏc đen mà thụi, và tuyờn
bố rằng người này thắng cuộc
Hóy chứng minh rằng B luụn luụn cú
chiến lược để thắng cuộc (A đi trước) Š 4(#- v3 )-$ = 82 9.8 (avat)
(b) Cing tiộn hành trũ chơi với thể lệ 3
a ao Cõu 6 : Trừ Richardo thi 9 người cũn lại
hỡnh 2, và B đi s cú số cỏi bắt tay khỏc nhau Do hai người
°
° Suy ra x = 3, y= 23 và x + y = 26, đõy là
iỏ trị bộ nhất của x+y
Cõu 5 : Từ giả thiết, suy ra hai hỡnh trũn 1) và (2) bằng nhau Dễ thấy : AC,B = ACB =120° Diện tớch hỡnh quạt AC;B là : L pin v= S ave Diện tớch tam giỏc ABC; là : ; 28 1 = V8 (avat) Suy ra diện tớch cần tớnh là :
trước Người ựng đội khụng bắt tay nhau nờn số cỏi bắt
chơi phải cắt tay của một người khụng vượt quỏ 8 Vậy
trọn đường thang 2 vẹn v ố cỏi bắt tay chars, inguando lẫn lượt từ 0 re it ° oa a Ke N
Cú thiển lược ~ ‡ đến 8 Cỏc bạn hóy lấy mỗi điểm trờn mat nào để B bảo Hỡnh 2 hẳng biểu diễn cho một người và hai người
đảm thắng cuộc hay khụng ?
Đỏp số cỏc bài tập (xem Hướng dẫn giải ở kỡ tới)
4.-1;2.40;3 16; 4 217 ; 5 30;
6.-17;7 V21 8.00) 3
t tay nhau thỡ nối hai điểm tương ứng Š bởi một đường Hóy bắt đầu từ người cú số
$ cỏi bắt tay nhiều nhất Từ hỡnh vẽ này cỏc
ạn sẽ thấy Gina cú số cỏi bắt tay như
lồng đội của mỡnh là đỳng 4 cỏi
Trang 12ĐỀ THỊ HỌC SINH BIỎI GẤP THÀNH PHO (THCS) TP HO CHI MINH NAM HOC 2002 - 2003 @Mộn thi: Toan e Thời gian : 150 phỳt Bài 1 : (2 điểm) Cho phương trỡnh : (2m - 1) x2 - 2mx + 1 = 0 a) Định m để phương trỡnh trờn cú nghiệm thuộc khoảng (1; 0) b) Dinh m để phương trỡnh cú hai nghiệm x, Xx, thỏa ke —| =1 Bài 2 : (5 điểm) Giải cỏc phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau đõy : a) V7-x +Vx-5 =x? ~12x+38 Bagh b) ty +xtys=8 X?+y°+Xy =7 Ax+1+jy=1 â) Ax+-y+1=1 Bài 3 : (3 điểm) a) Cho a > c, b > c, c > 0 Chứng minh : Íe(a~e)+je(b~e) <ab b) Cho x > 1, y > 1 Chứng minh 1+ ty? xxy Bài 4 : (3 điểm)
Từ điểm A ở ngoài đường trũn (O), kẻ cỏc tiếp tuyến AB, AC với đường trũn (B, C là cỏc tiếp điểm) Trờn tia đối của tia BC lấy
điểm D Gọi E là giao điểm của DO và AC Qua E vẽ tiếp tuyến
thứ hai với đường trũn (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K
Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cựng thuộc một đường trũn
Bai 5 : (2 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú M là trung điểm của BC
Cú hai đường thẳng lưu động và vuụng gúc với nhau tại M cắt cỏc đoạn AB và AC lần lượt tại D và E Xỏc định cỏc vị trớ của D
và E để diện tớch tam giỏc DME đạt giỏ trị nhỏ nhất
Bài 6 : (3 điểm) 4
Cho hai đường trũn (O) và (0’) cat nhau 6 hai diộm A va B | C3
Qua A vẽ hai đường thẳng (d) va (d’), duộng thang (d) cat (0) (ay
tại C và cắt (O') tại D, đường thẳng (ở) cắt (O) tại M và cắt (O') tại N sao cho AB là phõn giỏc của gúc MAD Ching minh rang
CD=MN
Trang 13
Ket qua : THI GIAI TOAN QUA THU
Bài 1 : Chứng minh rằng :
: O6 khỏ nhiều cỏch chứng
minh nhờ "đỏnh giỏ" vế trỏi bởi cỏc kiểu
khỏc nhau Ta gọi vế trỏi của bất đẳng thức làA Cỏch ù : Ta cú : 3.537 Từ (3), (4) (3), (4) suy ra : A Sẽ —==— 20, 144 a Rene Bal eed
301A 0erbijp Sen 0ớ & Từ (6), (6) suy ra:A< 1+1=2 Cỏch 4: aye Rees 11 6 1) 1+ "1 suy< S6 =1 V8 M “hi eth a7 a Từ (7), (8) suy ra : 1.1.1 A<d+txt.=T <2 <Đtt2 “1<
Gan ga rong hoc, 01+ Lục igre Hy
GIể) 10 14 12 18 14 10 2 gil gl Sent oF)
15 16” 77
Từ (9), (10), (14) suy ra : TM Wag
10
Nhận xột : 1) Bạn Phương Minh Chõu, 8A;, THCS Bỡnh An, Can Lộc, Hà Tĩnh nhận xột đỳng : Cú thể dễ dàng chứng minh A> 1 nờn suy ra A khụng phải là số tự nhiờn 2) Bạn Nguyễn Văn Nam, 8D, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phỳc đó nờu ra bất đẳng thức tổng quỏt : “Với n là số tự nhiờn lớn hơn 3 thỡ noi Me rinoH 24 BAG pues 2+1
bạn cú chứng minh được khụng ?
3) Cỏc bạn giải được nhiều cỏch là : Phương Minh Chõu, 8A;, THCS Binh An, Can Lộc, Hà Tĩnh ; Nguyễn Hoàng Hải, 7A, THCS Trần Quốc Toản, Thị xó Tuy Hũa, Phỳ Yờn ; Lờ Xuõn Hiếu, 6B, THCS Trần Phỳ, Nụng Cống, Thanh Húa
Trang 14Nhận xột : 1) Cỏc bạn cú một số cỏch khỏc để tớnh A Chẳng hạn : A= (101! - 2)? = 107 - 4.10" + 4 Tuy nhiờn một số bạn chỉ tớnh 982 ; 9982 ; 99982
rồi suy ra A mà khụng hề chứng minh
2) Cac ban: Phan Văn Du, 8A, THCS
Trần Hưng Đạo, thị xó Quảng Ngói, Quảng
Ngói ; Lờ Sinh Tỡnh và Nguyễn Văn Nam, 8D, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phỳc ; Trần Anh Minh, 6A, THCS Chu Văn
An, Thanh Hà, Hải Dương đó phỏt biểu bài toỏn mở rộng cho số 9 9 98 và cho kết
quả đỳng - n chữ số 9
3) Một số bạn khụng đọc kĩ đề bài nờn đi
tỡm số chữ số của A
Cỏc bài trỡnh bày tốt và giải đỳng là : Vừ
Văn Tuấn, 6A;, THCS Buụn Hồ, KRụng Buk, Đăk Lăk ; Nguyễn Thanh Phỳ, 9',
THCS Hồng Bàng, Q.5, TP Hồ Chớ Minh ;
Lờ Hựng Thanh, 6B, THCS Vĩnh Yờn, Vĩnh Phỳc ; Lữ Trần Diễm Trinh, 7B, THCS
Nguyễn Nghiờm, thị xó Quảng Ngói,
Quảng Ngói ; Trần Văn Ngọc Tõn, 83,
THCS Phan Thỳc Duyện, Điện Thọ, Điện Bàn, Quảng Nam ; Bạch Nguyễn Hoài Anh,
7G và Nguyễn Viết Khụi, 9G THCS Đặng
Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Ngụ Thị Thảo Phương, 8A, THCS Hoành Sơn, Kinh Mụn,
Hải Dương ; Tho Thi Li Nin, 6', THPT An
Phước, Ninh Phước, Ninh Thuận ; Nguyễn Thị Thanh Thủy, 8B, THCS Vĩnh Niệm, An Hải, Hải Phũng ; Huy Ngoc Hoang, 7A,
THCS Thuận Thành, Bắc Ninh
HÀ ANH
Bài 3 : Cho tam giỏc ABC Cỏc trung
tuyến AM, BN, CP đồng qui tại G Giả sử
bỏn kớnh cỏc đường trũn nội tiếp cỏc tam
giỏc AGN, BGP, CGM là bằng nhau Chứng
minh rằng : tam giỏc ABC là tam giỏc đều Lời giải : (Dựa theo bạn Trần Anh Minh, 6A+, THCS Chu Văn An, Thanh Hà, Hải Dương) p
Nhận xột rằng : Trong một tam giỏc
cạnh nào lớn hơn khi và chỉ khi độ dài
đường trung tuyến ứng với cạnh đú nhỏ
hơn
Đặt BC = a, AC = b, AB = c ; AM = mạ, BN =m, ; CP =m,
Khụng mất tớnh tổng quỏt giả sử BC =
min {AB, BC, CA} Theo nhận xột trờn thỡ mạ = max {m;, mụ, m,} 4 1 TU Stacny = Sse) = Stosmy = Bouse) va sử dụng cụng thức S = p.r, suy ra : AG + GN + AN = BG+ GP + BP = GC + MG + CM (*)
Theo tinh chat trong tõm, từ (*) ta cú :
Opes e+ si} 32> Mca Bm tgm tob= 3 213 5m, + i m,+>Â 1 3 Vỡ m, = max {m,, mụ, m.} nờn từ (1) =c>b=m;>m Từ (3) suy ra : 2(b~8)<0 hay b<a Mặt khỏc a = min {a, b, c} nờn a = b =m, = mẹ Từ (1), (2) suy ra b = c Vậy a = b = c hay A ABC đều (đpcm) Nhận xột : Ngoài bạn Minh, những bạn
sau cú lời giải tương đối tốt : Doón Thị Kim
Huế, 9C, THCS Phạm Huy Thụng, Ân Thị,
Hưng Yờn ; Vừ Thỏi Thụng, 7/4, THCS Ngụ Gia Tự, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khỏnh Hũa ; Nguyễn Kim Thuật, 8A, THCS Yờn
Lạc, Yờn Lạc, Vĩnh Phỳc ; Vừ Văn Tuấn,
6Az, THCS Buụn Hồ, KRụng Buk, Đăk Lăk
Chỳc cỏc bạn lần sau giải bài tốt hơn
nữa !
Trang 15
Bài 4 : Tỡm cỏc số nguyờn x, y, z, t sao cho: Jx~y| + Jy~z| + [zt] + [t- x] = 2003 Lời giải : (của bạn Trần Anh Minh, 6A, THCS Chu Văn An, Thanh Hà, Hải Dương)
Nếu a e Zthỡa|+a=|25 nếu 2 > 02 0 nếua <0
do đú [al + a sẽ là số tự nhiờn chấn Phương
trỡnh tương đương với :
(-v|+x-v)+(~z|+y=z)
+(|z~t|+z=t)+(|t~x|+t~x)= 2003 Theo nhận xột trờn thỡ vế trỏi là số tự nhiờn chẩn nờn phương trỡnh khụng cú nghiệm nguyờt Nhận xột : 1) Một số bạn cho rằng x, y, z, tià bỡnh đẳng nhưng khụng phải, thử thay vị trớ của x và z chẳng hạn, cỏc bạn sẽ được một phương trỡnh khỏc Một số bạn giả sử x>y>z > t và coi như xong, nhưng điều này khụng thay được khả năng x > z > y > t Một số bạn kỡ cụng xột tất cả cỏc trường hợp nờn rất dài Cú bạn giả sử x là số lớn nhất và t là số nhỏ nhất, điều này vẫn khụng bao hết cỏc khả năng, chẳng hạn x lớn nhất và y nhỏ nhất thỡ sao 2
2) Cỏc bạn Vũ Xuõn Cương, 6A, THCS Lương Thế Vinh, Cưm'gar, Đăk Lăk ; Nguyễn Hoàng Hải, 7A, THCS Trần Qu Toản, TX Tuy Hũa, Phỳ Yờn ; Hoàng Minh
Hiếu, 7C, THCS Lờ Quý Đụn, Bỉm Sơn, Thanh Húa đó kiờn trỡ xột tớnh chẵn lẻ của x, Ơ, Z, t va cho lời giải đỳng
LE VIET NGA Bài 5 : Giải phương trỡnh :
x=⁄2=xA3=x+3~x-/5~=X +J2~x.V8~x Lời giải : (Theo bạn Nguyễn Thu Thủy, 9A;, THCS Hai Bà Trưng, Phỳc Yờn, Mờ Linh, Vĩnh Phỳc) Đặt u=v2-x ; v=3-x ;t=vB~x vớiu;v;t> 0 thỡ x=2-u2=3-v2=8-tấ= uv + V† + tu Từ đú ta cú hệ (u+v)(u+t)=2 @ (veu)(vat) (2) (t+uJ(t+v)=5 @) Nhõn từng vế của (1), (2), (3) ta cú : [(u+v)(v+9)(t+u)Ÿ =30 Vỡu;v;t>0 nờn (u+v)(v+t)(t+u) = V30 (4) Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dn đến RE: đ) tà @) Dye (7) Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta cú 2(u+v+t)= 3/50 30 Từ đú suy ra: u+v+t= đt đ) Kết hợp (8) với lần lượt (6); (6) ; (7) ta cú _ v80 60 1/30 60 9/30 60 v30 Ÿ _ 239 depo” co Do đú x=2 ( S0 120 Nhận xột : 1) Bạn Thủy ; bạn Nguyễn Kim Thuật, 8A, THCS Yờn Lạc, Yờn Lạc, 'Vĩnh Phỳc đó giải quyết luụn phương trỡnh tổng quỏt : x=x/a=xb=x+Íb=xve=x+X/e=xVa=x với a, b, c khỏc 0 và tỡm được nghiệm duy nhất là : a+b+c _a'b2+b?c?+a2c” 2 4abc
2) Một số bạn khi giải bằng phương phỏp lũy thừa đó đặt thiếu cỏc điều kiện của
ẩn Chẳng hạn khi nhận được phương trỡnh
4x-1=4-=x)(ð-x) thỡ ngoài điểu
13
Trang 16
kiện đó đặt ban đầu là 0<x<2 phải cú
thờm điều kiện 4x-1>0_ tức là xed
3) Ngoài hai bạn Thủy và Thuật, cỏc bạn sau đõy cú lời giải tốt : Trần Anh Minh,
6A;, THCS Chu Văn An, Thanh Hà, Hải
Dương ; Vừ Văn Tuấn, 6A;, THCS Buụn Hồ, KRụng Buk, Đăk Lăk ; Nguyễn Viết
Khụi, 9G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An
4) Riờng bạn Doón Thị Kim Huế, 9C,
THCS Phạm Huy Thụng, Ân Thi, Hưng Yờn
đưa ra lời giải khỏ độc đỏo Bằng con đường
nao d6 (?) ban dua ra x = thử vào
phương trỡnh để chứng tỏ đõy là nghiệm Sau đú dễ dàng chứng minh nếu Dong thỡ vế trỏi < vế phải ; nếu 120 29 x<⁄2_ thỡ vế trỏi > vế phải, nờn T20 x =239 là nghiệm duy nhất Rất đỏng 120 khen ! LTN MEO NHO BE VE MỘT Số ÚC
KHI KHễNG C THƯỚC B0 BÚC
Đụi khi chỳng ta cần vẽ tương đối chớnh xỏc cỏc gúc nhưng lại c khụng cú sẵn thước đo gúc oS ~ Với thước 3 và compa, 40° 70° chỳng ta dễ A ean B dàng vẽ được cỏc gúc 90°, 609, 30°, do đú vẽ được cỏc gộc 45°, 30°, 15°, 135°, Nhưng làm thế nào để vẽ (tương đối chớnh xỏc) cỏc gúc 40°, 20°, 40°, 70° 2 Xin mỏch cỏc bạn một cỏch làm sau : Vẽ một tam giỏc cú ba cạnh bằng 2 cm, 3 cm, 3 cm, ta sẽ được cỏc gúc 409, 70° (xem hỡnh vẽ) ` Do đú ta cũng vẽ được cỏc gúc 209, 109, 957,.405.i/1i10576:7 Chỳ ý rằng ở hỡnh vẽ, bằng tớnh toỏn ta được B~70,5° và A~39° Như vậy độ chớnh xỏc của hỡnh vẽ cú thể giỳp chỳng ta phỏt hiện đỳng cỏc mối quan hệ trong hỡnh vẽ và định hướng chứng minh đỳng VŨ HỮU BèNH
Che BAN DUOC THUONG Ki NAY
THI GIAI TOAN QUA THU
Phương Minh Chõu, 8A+, THCS Bỡnh An, Can Lộc, Hà Tĩnh ; Nguyễn Hoang Hai, 7A,
THCS Trần Quốc Toản, thị xó Tuy Hũa, Phỳ Yờn ; Lờ Xuõn Hiếu, 6B, THCS Trần Phỳ, Nụng Cống, Thanh Húa ; Nguyễn Văn Nam, 8D, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phỳc ; Phan Văn Du, 8A, THCS Trần Hưng Đạo, thị xó Quảng Ngói, Quảng Ngói ; Trần Anh
Minh, 6A, THCS Chu Văn An, Thanh Hà, Hải Dương ; Vừ Văn Tuấn, 6As, THCS Buụn
Hồ, KRụng Buk, Đăk Lăk ; Nguyễn Thanh Phỳ, 91, THCS Hồng Bàng, Q.5, TP Hồ Chớ
Minh ; Nguyễn Viết Khụi, 9G và Bạch Nguyễn Hoài Anh, 7G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vĩnh, Nghệ An ; Huy Ngọc Hoàng, 7A, THCS Thuận Thành, Bắc Ninh ; Nguyễn Thu Thủy, 9A+, THCS Hai Bà Trưng, Phỳc Yờn, Mờ Linh và Nguyễn Kim Thuật, 8A,
THCS Yờn Lạc, Yờn Lạc, Vĩnh Phỳc ; Trần Văn Ngọc Tõn, 8Ÿ, THCS Phan Thỳc
Trang 17TOAN TUGI THO 2 RA DOT RAT LA UUI!
Sỏng 14 thỏng 3 vừa qua, san triingđ — “Tirnay cdc em hoc sinh Tiểu học khụng
THCS Chu Van An, quan Tay Hồ, Hà Nội thật đ cũn lo ngại khớ lờn THCS phải đọc “nhờ” Toỏn
vi nh nh re ee den Cac và s Tuổithơ của cỏc em dưới cấp nữa Vỡ cỏc em
thiếu nhỉ huyện Vũ TES Thư, Thỏi Bỡnh vượt hơn đ ¿- 1 vượt hơn Š đa cú một tạp chớ toỏn học cho mỡnh Đõy sẽ _ú mo TS _
trăm cõy số để cựng cỏc anh chị trường THẫS e , „+ xro kiến thức tặng riờng cho cỏc bạn Chu Văn An chào mừng Toỏn Tuổi thơ 2 ra đời SA TW K75) (Nể
bằng một chương trỡnh văn nghệ đặc biệt ứ 79° sinh, cae thay cụ giỏo và cỏc bậc phụ
Nhiều vị khỏch quý từ Ban Tư tưởng Văn húa đ huynh Với tiờu chớ cựng vưi, cựng tỡm hiểu và
Trung ương, Vụ Bỏo chớ Bộ Văn húa và Thụng e cựng học tập, Toỏn Tuổi thơ 2 sẽ là một địa chỉ
tin, Bộ Giỏo dục và Đào tạo, Bỏo Nhõn Dõn, $ đỏng tớn cậy, một sõn chơi ớ thỳ và bổ ớch Bỏo Giỏo dục và Thời đại, cỏc Sở Giỏo dục và đ khụng chỉ trong phạm vi mụn toỏn mà cũn
Bio tao, cae Cong Sach a nettle s biết bao lĩnh vực cõn thiết khỏc.” ọc, Bỏo Thiếu niờn Tiền phong, Bỏo Sinh s lee BSR iia
viờn Việt Nam ~ Hoa học a Bỏo Phụ nữ Thủ $ Bae cio duc ae pia nhet đồ, Đài Truyền hỡnh Trung ương, Đài Phỏt â (S612 Co) toga ae 2009)
thanh va Truyền hỡnh Hà Nội, Bỏo Nhi đồng, s
Cụng ty Văn phũng phẩm Hồng Hà, Nhà xuất 9 “Vừa nhận được ứn đặc san Toỏn Tuổi thở
bản Giỏo dục, Nhà mỏy in Đụng Anh, Nhà s được Bộ Văn húa và Thụng tin cấp Giấy phộp
mỏy in Diờn Hồng và rất nhiều cộng tỏc viờn $ hoạt động bỏo chớ, chuyển thành tạp chớ Toỏn
thõn thiết của Toỏn Tuổi thơ đó về dự lễ s Tuổi hơ thỡ Yờu trẻ lại nhận được giấy mời dự
Nhiều bạn bố ở nhiều nơi Khụng về đự Š J chào mừng Toỏn Tuổi thơ 2 ra đời (ngày
HT TS TP chỳc mừng sựF2 5 7¿ _ 2 2003) Yờu trẻ vừa vui mừng với sự
PGS TS NGUT Va Duong Thụy, s tưởng thành của “người anh emi, vừa bất ngờ
Phú Giỏm đốc ~ Tổng biờn tập Nhà xuất bản S Với sự Tăng fốo” mau chúng của Toỏn Tuổi
Giỏo dục kiờm Tổng biờn tập tạp chớ Toỏn s fhơ.” Tuổi thơ đó hứa với bạn đọc cả nước : Toỏn
Tuổi thơ 2 sẽ luụn là người bạn đồng hành,
đỏp ứng mọi nhu cầu chớnh đỏng của bạn e
đọc, gúp phan nang cao chat lượng dạy và ¿ _ -Từ nay cỏc em học sinh THOS sẽ cú một
học trong cỏc trường THCS : ‘
Nhà giỏo Vũ Cuốc Lưỡng vài ban NgiySn le sac 7 ue ae ang them Tengiham mộ
Quang Hưởng đó thay mặt bạn đọc cả nước ứ "0° lập, cỏc ủhõy cụ giỏo nhiệt huyết lice
tõm sự những tỡnh cảm ban đầu và đặt niềm $ ỉửi gắm, trao đổi, tham khảo những kiến thức
tin tưởng vào Toỏn Tuổi thơ 2 ổ ớch Tỏc gi của những bài viết trờn tạp chi Cụng ty Văn phũng phẩm Hồng Hà đó gửi Đ cũng chớnh là những nhà giỏo giàu kinh
250 tang phẩm tới bạn đọc nhõn dịp Toỏn ° nghiệm, những tỏc giả soạn sỏch giỏo khoa
Tuổi thơ 2 ra đời Toỏn Tuổi thơ 2 thật hạnh phỳc biết bao â vi anu, muynh tam huyết với sự nghiệp trồng đ bậc học, những nhà quõn lớ giỏo dục, những
khi được làm lễ ra mắt tại ngụi trường Chu BS vậy , a :
Văn An với truyền thống lich Sĩ gần một thế 2 TgƯỜ và cd hing hoe Sinh say mờ học hồi
kỷ cựng với bao lời chỳc mừng thật cảm động, ứ và mồi sỏng fạo.” Pin
Toỏn Tuổi thơ 2 xin cảm ơn tất cả những ° Bỏo Phụ nữ Thủ đụ
Trang 18Tại phũng tranh “Tuyệt tỏc" nằm giữa trỳng tõm thành phố, một sự Việc
khụng thể tớn nổi đó xõy ra -
Bức tranh của một hoạ sĩ lừng danh đó bị lấy, cắp ngay
giữa bai ngày Trong suốt
thời gian mỡ cửa, tại cửa ra vào phũng tranh liờn cú một nhõn viện bảo vệ chuyờn nghiệp Tải cỏc gian trưng bày thỡ liụn cổ cỏc đội ngũ nhõn viờn giảm sỏt Quỏ hoang mang trước vụ trộm
cắp tỏo tợn và bớ ẩn, ụng chủ
phũng tranh đó gọi điện cầu
cứu thỏm tử Sẽ-Lốc-Cốc
Khi thầm tử đến nơi, ụng
chủ đưa ra một cuốn số to vài
núi:
- Tất có khỏch đến tham
quan hàng ngày chỳng tụi
đều ghi tð họ tờn, ngày, giờ đến của từng người Đõy là danh sỏch cỏc vị khỏch đến trong ngày hụm nay Xin mời ngài xenlf Thỏm tử Sờ-Lốc:Oốc Phan-Ti-Xụ thấy, trong danh sỏch cú tất cả 5 vị khỏch Bà Gioan-na, nhà sưu tập, đến lỳc 2 giờ chiều ễng Kớtxi, họa sĩ, đến lỳc 2 giờ 15 phỳt ễng Giụ-dộp, người buụn bỏn tranh, đến lỳc 2 giờ 30 phỳt Bà Nan-di-a, nhà nghệ qhuật học, đến lỳc 2 giờ 50 phat Cụ Me-ti, sinh viờn, đến lỳc 3 giờ 10 phỳt Sau khi xem kỹ danh sỏch, thỏm tử hỏi ụng chủ : - ễng chắc chắn rằng trong ngày hụm nay chỉ cú đỳng 8 vị khỏch này thụi chứ 2 - Vang ! Toi xin đảm bảo điều đú là chớnh xỏc Một trong, số cỏc nhõn Viờn giỏm sỏt kể Với thỏm tử Sờ-LốG-Gốc :
=Lỳc 2 giờ kộm 10 tụi đi
qua gian trưng bày bức tranh
Trang 19treo nhu ‘mei ngày, Đến
khoảng hơn 3 giờ, một cụ gỏi bước vào phũng tranh hỏi tụi
về bức tranh đú Tụi dẫn cố
ta tới xem nhưng trờn tường
chỉ cũn lại mỗi cỏi khung của bức tranh thụi - Cỏc ống đó khỏm xột cỏc vị khỏch chưa 7 - Thỏm tử hồi - Ngài nối gỡ thế, ngài thỏm tử ? - ễng chủ phũng tranh xua xua tay - Tất cả
đều là cỏc vị khỏch quen của chỳng tụi Họ khụng chịu được việc làm bất nhó đú đõu Một nhõn viờn giõm sỏt vội nối : Nhưng chỳng tồi đó theo dừi họ, nhất là những người cú cầm đổ đạc tiờn tay, Chẳng hạn như Bà Gioan- nột phụ nữ thấp, bộo đến n Bà ta sỏch một cải tỳi rất to bằng bỡa cứng - Liệu bức tranh cú chọ vừa vào cỏi tỳi đú khụng 2 - Thỏm tử hồi - Cú lẽ là cụ - Ong chỗ trả
lời rồi núi tiếp - Ong Kitxi di
người khụng, Bà Nan-đi-a thỡ
đeo trờn vai một cỏi xắc nhỏ - Ong kể nết về 2 vị khỏch cũn lại đi - Thỏm tử ngắt lời, vẻ số
- Cụ sinh viờn Ma~i đeo -
một chiếc ba-lụ, nhưng trước
khi cụ ta vào phũng tranh,
chỳng tụi đó yờu cầu - gửi
bald lai ở nơi để đồ của khỏch, Cũn ụng Giụ-dộp thỡ
cầm theo một cải cặp to và
một chiếc ụ rất dài - lo: dành cho đõn ụng Chỳng tụi
cũng đó yờu cầu ụng ta gửi
cặp vào nơi để đồ
~ Bức tranh quý đú treo ở
chỗ nào 2 - Thỏm tử hồi
- Mời ngài theo tụi! - Vừa
núi ụng chủ phũng tranh vừa
dẫn thỏm tử Sờ-Lốc-Cốc đi
qua một dõy mấy gian trưng
bày cú vẻ hơi tối
Tới chỗ treo bức tranh, thoạt đầu thỏm tử khụng nhỡn
thấy cỏi khung trống rỗng đõu cả Nguyờn nhõn là do
bức tranh quý này được treo
cao hơn tất cả cỏc bức tranh
khỏc: Ngấng lờn, ụng nhận
thấy cải khung nhỉnh hơn màn hỡnh của một chiếc ti-vi 21 inch
Quan sỏt một lỳc, thỏm tử Sờ-Lốc-Cốc hỏi ụng chủ :
- Ống cú đảm bảo rằng
cỏc nhõn viờn ở đõy khụng
dinh lớu đến vụ này ?
- Cú Tụi đảm bảo chắc
chắn như vậy, Suốt cả ngày
hụm nay, khụng một nhõn
viờn nào rời khỏi phũng tranh
cả Việo này nhất định là do
người ngoài gõy nờn
+ Được rồi, ống chủ ạ
Nếu đỳng như vậy thỡ cú lẽ
tụi đó cú thể chỉ cho ụng tờn
người mà tụi nghỡ ngờ rồi
* Theo cỏc bạn, vỡ sao
thỏm tử Sờ-lốc-cốc lại đoỏn
ra thủ phạm 2
Trang 20
Ai cũng biết tớnh chất của đường phõn
giỏc trong của tam giỏc, thể hiện qua bài toỏn sau Bài toỏn 1 : giỏc AD Chứng minh rằng DB _ AB IDGIS/AGOIM
Cho tam giỏc ABC, phõn
Bài toỏn sau là sự mở rộng của bài toỏn 1
Bài toỏn 2: Cho tam giỏc ABC Cỏc điểm M,N thuộc đoạn BC và thỏa món điều kiện
BAM = CAM Chứng minh rằng :
MB.MC 8)
NES "Ge
Cú một bài toỏn khỏc liờn quan đến đường phõn giỏc trong của tam giỏc và luụn đi cựng với bài toỏn 1 như hai anh em sinh
đụi
Bài toỏn 3 : Cho tam giỏc ABC, phan
giỏc AD Chứng minh rằng :
AD? = AB AC - DB DC
Tụi đó biết cỏc bài toỏn 1, 2, 3 từ thuở học
lớp 8 và cũng từ lỳc đú tụi đó luụn nghĩ rằng
bài toỏn 2 cũng phải cú người anh em sinh đụi của nú Nhưng cỏi người anh em ấy của
bài toỏn 2 thỡ tụi vẫn khụng hỡnh dung được
mặt mũi nú ra sao Cứ như vậy sau hơn một
năm quan tõm và tim kiếm tụi đó tỡm thấy
nú, người anh em sinh đụi “thõn thiết' của
bài toỏn 2
Bài toỏn 4 : Cho tam giỏc ABC, hai điểm
M, N thuộc đoạn BC và thỏa món điều kiện ABM = ACN Chứng minh rằng :
AM.AN= AB AC - JBM.BN.CM.CN
Lời giải : Lấy P, Q là cỏc giao điểm thứ hai của AM, AN với đường trũn ngoại tiếp AABC 18 LƯƠNG THẾ VINH (Lớp 10A1, Khối PTCTT, ĐHSPHN) BAP = CAQ =CPQ Al no (định fớ Ta-lột) (1) = MP AN Ta dộ dang chứng minh một số cặp tam giỏc đổng dạng và dẫn đến một số đẳng thức như Sau :
AAMC œ2 ABMP = AM MP = BM CM (2) AANB œ2 ACNG => AN NG = BN CN (3) AAMB œ2 AACQ => AM ;AQ= AB.AC (4) Từ đú suy ra : AM NQ —.—=!1 MP AN (theo 1) Bề, AM ibe LINGE ARS AM.MP ` AN.NQ AM? _NQ? —————-l BM.CM BNCN => AM.NQ=VBM.BN.CM.CN AM AN =AM.AQ-—AM.NQ =AB.AC- JBM BN CM CN (theo 4, 5) Vậy ta chứng minh xong bài toỏn
Mở rộng bài toỏn : Cho M, M,N thuộc tia đối của tia BC sao cho BAM+CAN=180°
Khi đú ,
AM AN= ⁄BM BN CM CN - AB AC (Lời giải bài toỏn này gần tương tự như bài
toỏn đầu tiờn)
Cỏc bài toỏn 1, 2, 3, 4 cú rất nhiều ứng
Trang 21TU MOT BAI TOAN TINH TONG
Chỳng ta cựng bắt đầu từ bài toỏn tớnh
tổng rất quen thuộc sau : Bài toỏn A : Tớnh tổng : 41 1 1 1 A=—:t r + — 12252 43.44 44.45 44-43 45-44 tot 4344 ` 44.45 + itera al eee stot 43 44 44 45 W122=2,2.3=9, 3.44 = 1892; 44 45 = 1980 ta cú bài toỏn khú hơn chỳt xớu Bài 1 : Tớnh tổng : điệu xi 1 1 a ee 2 6 12 : Tỡm x e N biết : 1 41 44 —=*' r + 12 23 7 x(x+1) 45 == Hơn nữa ta cú : 1 1 1 1 1 + KỶ 2201121 003204215) — ose 482 ` 44.45 ta cú bài toỏn Bài 3 : Chứng minh rằng : 100 Do vậy, cho ta bài toỏn “TƯỞNG NHƯ KHO" Bài 4 : Chứng tổ rằng tổng : 1 we khụng phải là số TẠ THẬP (TP Hồ Chớ Minh) nguyờn “ Chỳng ta cũng nhận ra rằng nếu a; ; a; ; .Ă a4; là cỏc số tự nhiờn lớn hơn 1 và khỏc nhau thỡ 1 a a,
Giỳp ta đến với bài toỏn HAY và KHể sau :
Bai 5 : Tim cỏc số tự nhiờn khỏc nhau
+; 82; 8a ; Ă 84a ; 3ạ¿ Sao cho
Ta cũn cú cỏc bài toỏn “gần gũi” với bài toỏn 5 như sau :
Bài 6 : Cho 44 số tự nhiờn a; ; 4; ; ; 4x thỏa món 1 =a = Chứng mỡnh rằng, trong 44 số này, tờn tại hai số bằng nhau Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a; ; 8; ; 8; ; ; a¿¿ ; aas thỏa MAN a, < az < a3 < < agg < ays Va 1 1 44
Aen Agõu đụ/au 45
Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị
nữa rồi chăng ?
`
Trang 22DUNG BAT DANG THUC TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài toỏn tỡm giỏ trị lụn nhất (GTLN) và giỏ trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số
hoặc một biểu thức là dạng toỏn cỏc bạn
thường gặp trong cỏc kỉ thớ, khụng chỉ ở bậc THCS mà sau này cỏc bạn vẫn gặp ở
bậc THPT Tất nhiờn ở mỗi bậc học, bài
toỏn được đặt ra với cỏc mức độ khỏc
nhau, Ở bài viết này xin bước đầu trao đổi Với cỏc bạn một chỳt kớnh nghiệm sử dụng bất đẳng thức để giải quyết loại toỏn nay _ Kiến thức cơ bản cần biết để sử dụng là: @Vớia,b>0thị 2~ấ > /2bC) và đẳng thức xõy ra khỡ v: a=b Day: là bất đẳng rong trực số, Cỏc bạn cú thể suy từ bất hiển nhiờn đỳng : (va = aby đỳng _đ Với cỏc số a, b, c, (@ +b?)(c” +@) 26 đẳng thức xảy ra ki Đõy 2 phi bỏ đối với hai cặ PHÙNG KIM DUNG (Trường Hà Nội - Amsterdam) iL (s2 +e°)fe: +) đChoaz0, f(x (ao +bd]” +(ad~beŸ = 8X” +bx+â b bY 4ac-b° al ea 2 2) đn 5, af ao if axed ơ Do dộ: : > Nộu a> 0 thif(x)> với mọi x va dang thức xõy ra khớ và chỉ kh Sẽ nà ; 4ao-~b” 2a Hi
~Nếu a < 01h) f(x) < 449 ~b với mọi
x va dang thức xõy ra khi và chỉ khi
Keo :
_ Bõy giờ cỏc bạn theo dừi cỏc thớ dụ :
_ Thớ dụ ù : Tim giỏ trị nhỏ nhất của hàm
s5 t2
ễ V
š 7 m1
tời giải : Thực hiện phộp chia tử thức
Trang 234
Đẳng thứo xõy ra c>x2+1~—— : mạ x+1
â bờ +1 <tox state x0
Nay y dat giỏ tủ nhỏ nhất là 2 khớ và chỉ khi x= ệ Thớ dụ 2 : Tỡm giỏ trỡ nhỏ phốt so: hàm số y=|x~2003|+ ‹ + 2004] Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức (*°) với a = x + 2003 và b = 2003 - x ta cú y = |x -2003| + |x + 2003| = [2003—x|+]x +2003) 2 (2003 x) +(x + 2008}] = 4006 Đẳng thức xảy ra = (2003 ~ x)(x +2008) = 0 =2005 < x = 2008 Đo đú y dat giỏ trị nhỏ nhất là 4006 <> —2683 < x < 2003 €hỳ ý ; Nhiều bạn lại ỏp dụng với a=x+ 2093 và b - 2003 thỡ chưa được gỡ Bởi khớ đồ la cú y=|fx~ 2003) + (x + 2003)| = l= 2H
xĂ khụng phỏi là hằng số nờn dự
cống th thee cú Xõy ta thỡ cũng khụng kết gle “Thi dụ 3: Tỡm giỏ bớ lớn nhất của hàm a 2003 _4001Ÿ 2001/ a 2007” 3006002 2001 = -2001 x00) C2004 3006002 2091 với mọi X @ 5 SN 5y 3006002 2001 ` Chỳ ý : Khớ gặp đa thức nhiều ẩn, cỏc bạn cú thể tạm coi đa thức là một ẩn với
một ẩn nào đú và thực hiện cỏch biến đổi
tương tự cũng sẽ giải quyết được bài toỏn
Trang 25a ˆ ˆ 5
DE THI TOT NGHIEP TRUNG HOG CO SO
ber TINH THAI BINH
eMụn thi: Toỏn se Thời gian: 120 phỳt e Khúa thi : 2001-2002 A LÍ THUYẾT (2 điểm) Thớ sinh chọn một trong hai dộ: Đề thứ nhất : a) Nờu định nghĩa phương trỡnh bậc hai một ẩn số Cho vớ dụ b) Giải phương trỡnh : x2 - 2x - 8 = 0 Để thứ hai : 7
Nờu định lớ về gúc cú đỉnh ở bờn ngoài đường trũn
Vẽ hỡnh, ghi giả thiết, kết luận cho cỏc trường hợp xảy
B BÀI TOÁN BẮT BUỘC (8 điểm) Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức : Kial¿Af2 shụ2 4321), Ít 4) va-1 a-Ja) \Va+1 a-1 a) Rỳt gọn biểu thức K
b) Tớnh giỏ trị của K khi a=3+2a/2_
c) Tỡm cỏc giỏ trị của a sao cho K < 0 Bài 2 : (2 điểm) mx~y=1 Cho hệ phương trỡnh : ly 334 a3
a) Giải hệ phương trỡnh khi cho m = 1
b) Tỡm giỏ trị của m để hệ phương trỡnh vụ nghiệm
Bài 3 : (4 điểm)
Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB Từ A và B
kẻ hai tiếp tuyến Ax và By Qua một điểm M thuộc nửa đường trũn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt cỏc tiếp tuyến Ax va By lan lượt ở E và F
a) Chứng minh AEMO là tứ giỏc nội tiếp
b) AM cắt OE tai P, BM cat OF tại Q Tứ giỏc MPOQ
là hỡnh gỡ ? Tại sao 2
â) Kế MH vuụng gúc với AB (H thuộc AB) Gọi K là
giao điểm của MH và EB So sỏnh MK với KH
d) Cho AB = 2R và gọi r là bỏn kớnh đường trũn nội
tiếp tam giỏc EOF Chứng minh rằng : ESS:
Trang 26
>———”
Sau khi đọc bài viết ở tạp chớ số 1, chắc
là rất ni bạn cho rằng, những yờu cầu
mà D Ch L Leimus đặt ra cho J Steiner da
được giải quyết trọn vẹn Cuộc tỡm kiếm nỗ lực của biết bao người trong hơn một tram
năm qua cú thể đó tới hồi kết thỳc Võng,
chớnh tụi cũng đó từng nghĩ vậy Nhưng !
Cũng lại chớnh tụi, gần đõy, đó nhận thấy
rằng, vấn đề vẫn chưa kết thỳc, bài toỏn 2
chỉ là hệ quả của bài toỏn tổng quỏt sau
ga nan STEINER = LEIMUS chad 24 — g : TS NGUYEN MINH HÀ (éHSP Hà Nội)
Bài toỏn 3 : Cho tam giỏc ABC, phõn
giỏc AD I là điểm bất kỡ trờn đoạn AD BI,
Cl theo tha tu ct AC, AB tai E, F Biết rang
B<G Chứng minh ring BE>CF
Bai toan 3 duge chting minh thộng qua bổ để 2 sau Bổ để 2 : Cho A tam giỏc ABC M là một điểm thuộ đoạn BC Khi đú AM < max (AB, AC) Chứng minh : is na c pleas (h.4) 1, +M, =180° (h.4) Sỉ M, 290° AB > AM M, 290° |AC>AM => max {AB,AC} > AM Bố đề 2 đó được chứng minh
Bổ đề 3 : Cho tứ giỏc ABCD Cỏc đường
chộo cắt nhau tại I Một đường thẳng đi qua
I, cắt cỏc cạnh AB, CD theo thứ tự tại M, N Khi đú : MN < max {AC, BD} Chứng minh : Mu Trường hợp 1: AB, CD song song (h.5) QuaM, kể cỏc đường _ thẳng song song với F D ẹ AC, BD Chỳng (-5)
theo thứ tự cắt đường thẳng BC tại E,
F;Theo bổ dộ 2, MN < max {ME, MF} = MN < max (AC, BD)
Trường hợp 2 : AB, CD khụng song song
Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử giao
Trang 27điểm của AB, CD nằm trờn tia đối của cỏc tia AB, DC (h.6) Dựng cỏc hỡnh bỡnh (h.6) hành ACEM, BDFM Đặt K = CD ứ EF Dễ thấy K thuộc cỏc đoạn CD, EF Qua M,
dựng đường thẳng song song với CD
Đường thẳng này theo thứ tự cắt AC, BD tại
P, Q Dễ thấy, P thuộc tia đối của tia AC, Q
thuộc đoạn BI Từ đú suy ra : ÍtP >lA _ [SMP) > SIMA) lIQ >IB ”|SMQ) < SMB) S(IMP) _ SMA) sate S(IMQ) ~ S(IMB) bi MẪU, MP _MA_ NC _ EC >a eS MQ “MB ND” FD NC _ KC _ NC =—+!>—!1 ND
=>N đoạn KD = N thuộc tam giỏc AEF Theo bổ dộ 3, ta cú : MN < max (ME, MF} = MN < max (AC, BD) Tộm lại, trong cả hai trường hợp, ta đều cú : MN < max {AC, BD} Trở lại việc chứng minh bài toỏn 3 Trường hợp 1 : Ồ =Ề Dễ thấy BE = CF Trường hợp 2: ễ<Ề A Ta cú AB > AC nờn trờn thấy, CF’ = BE (1) B Áp dụng bổ để 3 : cho tứ giỏc BCEF' ta cú : s CF < max {BE, CF} (2) Từ (1) và (2) suy ra : BE > CF Bài toỏn 3 đó được chứng minh :
Trong bài toỏn 3, nếu cho I trựng tõm
đường trũn nội tiếp của tam giỏc ABC thỡ ta lại nhận được bài toỏn 2 Cũng nờn chỳ ý rằng, trong phộp chứng mỡnh bài toỏn 2 ta phải dựng đến kiến thức của hỡnh học 9 (tứ giỏc nội tiếp) nhưng trong phộp chứng minh bài toỏn 3 ta lại chỉ cần đến kiến thức của hỡnh học 8 (định lớ Talột)
Bạn đọc thõn mến ! Kể từ năm 1840, khi mà D Ch L Leimus gửi thư cho J Steiner, đến nay đó quỏ một trăm năm mươi năm Từ cỏch chứng minh của J Steiner đến cỏch chứng minh của R, W Hegy, từ bài toỏn 1 đến bài toỏn 3, khỏt vọng vươn tới
cỏi đơn giản nhất, cỏi tổng quỏt nhất của con người đó dần dần được thực hiện
Nhưng cú lẽ, quỏ trỡnh này chưa dừng lại ở đõy Hi vọng rằng, một ngày nào đú, một
bạn đọc nào đú của Toỏn Tuổi thơ 2 lại đưa
ra một phộp chứng minh mới, đơn giản hơn phộp chứng minh của R W Hegy, lại đưa ra và chứng minh một bài toỏn mới tổng quỏt hơn bài toỏn 3
Dộ kết thỳc, xin giới thiệu với bạn đọc một
số bài toỏn gần gũi với những vấn đề đặt ra
trong bài toỏn này
Bài toỏn 4 : Cho tam giỏc ABC cú cỏc đường trung tuyến BM, CN Biết rằng
<Ề Chứng minh rằng :
a) BM >CN
b) BM + MC > CN + NB
Bài toỏn 5 : Hóy mở rộng bài toỏn 4 Bài toỏn 6 : Cho tam giỏc ABC cú cỏc
đường cao BH, CK Biết rang B<C
Chứng minh rằng :
a) BH > CK
b) BH + AC > CK + AB
Bài toỏn 7 : Cho tam giỏc nhọn ABC,
đường cao AD, trực tõm H Điểm M thuộc
đoạn HD BM, CM theo thứ tự cắt AC, AB tại
B, C' Biết rằng ễ <ấ Chứng minh rằng :
BB’ > CC’
Bài toỏn 8 : Cho tam giỏc nhọn ABC Biết rằng đường cao AH, phõn giỏc BE, trung tuyến CM cú độ dài bằng nhau Chứng mỡnh rằng : tam giỏc ABC đều
Trang 28
Phú Gụn viết bài tường thuật gửi về bỏo Búng Đỏ Cả Tũa soạn
bỏo kờu trời và chuyển cho TTT2 ễi ! Bài tường thuật này đăng vào “Khụng chỉ là văn” thỡ hơi bị được Nào cỏc bạn yờu thớch búng đỏ
hóy gửi gấp ý kiến của mỡnh về ngay TTT2 nhú!
TRẬN ĐẤU TUYỆT VỜI
Giải búng đỏ cú 10 đội đấu vũng trũn một lượt và đõy là trận
đấu cuối cựng, trận đấu thứ 90 của giải Hai đội ra sõn hừng hực
khớ thế nhưng họ cũng khụng quờn những chiếc bắt tay ngoại giao
với chớnh “kẻ thự” của mỡnh và cả mấy vị trọng tài đang đứng giữa
sõn để chuẩn bị giữ trọng trỏch “chộm đinh, chặt sắt” Tớnh ra cú
đỳng 154 cỏi bắt tay Bõy giờ là 15h00 và búng bắt đầu lắn từ
chấm giữa sõn sang sõn đối phương Ngay từ pha phối hợp đầu
tiờn đội ACB đó lấn sõn đội Sụng Lam Nghệ An Hai anh em Phương Nam và Thanh Phương khuấy đảo hàng hậu vệ của đội bạn Từ sỏt đường biờn ngang, Phương Nam tạt búng vào cho
Thanh Phương nhưng trọng tài đó thổi việt vị Thật tiếc cho một
cơ hội đỏng giỏ ngàn vàng Thủ mụn Vừ Văn Hạnh của ACB đỏ quả phỏt búng lờn rất mạnh nhưng rất tiếc búng lại vào tay của
thủ mụn Tiến Anh Những tranh chấp giữa sõn thật sụi động và
búng đó chạm tay một cầu thủ của ACB ngay vũng trũn trung tõm và đội Sụng Lam Nghệ An được hưởng quả phạt đền Thanh Phương khụng bỏ lỡ dịp may, ghỉ bàn thắng đầu tiờn cho đội mỡnh Trận đấu lại càng quyết liệt và mói tới phỳt 89, đội ACB mới gỡ hũa được Hai đội tạm nghỉ ớt phỳt và bước vào hiệp phụ thứ nhất Đội Sụng Lam Nghệ An quyết định đưa Văn Quyến vào thay Phương Nam bị trật khớp bàn chõn Cầu thủ trẻ này đó tỏa sỏng
ở phỳt thứ 140 của trận đấu và đõy là bàn thắng vàng đưa về chức
vụ địch cho Sụng Lam Nghệ An Như vậy năm năm liền Sụng Lam Nghệ An giữ vững Cup vàng của giải PEPSI
Đội Sụng Lam Nghệ An tưng bừng chào khỏn giả trờn khỏn đài A và chạy đỳng hai vũng trờn sõn chào tất cả cỏc cổ động viờn và dừng lại bờn khỏn đài B để nhận Cup vàng Dư õm trận đấu
cũn theo mói những khỏn giả về từng con đường của thành phố
Trang 29Chỳ Khoa ơi, chỏu nghe núi hổi cũn đi học, chỳ đó từng
làm "cố vấn tỡnh yờu" cho cỏc chị ở quờ phải khụng 2 Thật sự
Ds thỡ cõu chuyện ấy thế nào
i Lấ XUÂN BèNH (Hải Phũng)
TRAN BANG KHOA
Chuyện ấy xõy ra rất lõu rồi Hồi ấy, tụi đang cũn đi học ở quờ Làng tụi cú anh Bản, dạy học
trờn thị xó Chỉ chủ nhật anh mới về Anh về là tưng bừng khắp xúm Anh dạy trẻ con hỏt rồi núi
chuyện thời sự, toàn những chuyện vui anh thu lượm được qua đài bỏo Cú khi hào hứng, anh
cũn ca mấy cõu cải lương rất mựi món ễng Chủ tịch xó bảo : “Cỏi thằng xuya thật Khụng khộo
làng này khối cụ chết mờ chết mệt vi nú !",
Chẳng biết ở làng cú cụ nào “chết” anh khụng, nhưng quả một người cú mờ anh thật Đú là
chị Nụ Chị là xó viờn chăn nuụi lợn Người chị thấp đậm, đi lạch bạch, nhưng trắng nừn Cap ma
bầu bĩnh, lỳc nào cũng đỏ au như quả tỏo chớn Chị hay rủ tụi sang nhà anh Bản mượn sỏch, toàn những cuốn dày cộp Mượn tối hụm trước, sỏng sớm hụm sau, chị đó mang trả Chị kẹp vào trang
sỏch hai sợi chỉ hồng buộc xoắn vào nhau Nhưng anh Bản thỡ dường như khụng biết đến sợi chỉ ấy Anh cứ hớ hoỏy đếm xem cuốn sỏch cú bị thiếu mất trang nào khụng 2 Anh bảo, cho mượn sỏch anh khụng sợ, anh chỉ sợ người ta xộ mất sỏch Chị Nụ bực lắm Rồi bao nhiờu nỗi bực dọc
khụng kỡm nộn được, chị lại trỳt sang tụi : “Người đõu mà ngốc thế Mang danh trớ thức mà lóo cũn đần hơn cả mấy con lợn của chị Chị tặng lóo cỏi khăn mựi-soa, thờu hai con chim dang mộm cho nhau Lóo tưởng chị quờn cỏi khăn trong cuốn sỏch, lại mang đến trả “Người đõu mà đoảng, cú mỗi cỏi khăn cũng bỏ quờn thế này thỡ cũn làm được gỉ" Em bảo thế chị cú điờn khụng ?” Chị gõy xọp hẳn đi Rồi mấy ngày sau, chị lại tỡm tụi : “Chị yờu lóo lắm, Khoa ạ Chị khụng cũn làm &n gỡ được nữa, mà lóo thỡ vừa ngốc vừa đần Vậy mà khụng hiểu sao, lỳc nào chị cũng nghĩ đến lóo Bõy giờ chị cứ núi bộp vào mặt lóo là chị rất yờu lóo, em bảo cú nờn khụng ? Cú vụ duyờn, mang tiếng là cọc lại đi tỡm trõu khụng ? Nhưng mà trõu ngốc, trõu ngu, nờn cọc mới phải đi
ỡm ” Tụi ngẩn ra nhỡn chị Thật là chẳng cũn hiểu ra làm sao cả Chị rơm rớm nước mắt : “Chị
rết tin em, em đi đõy đi đú nhiều, em biết làm thợ, lại chăm chỉ đọc sỏch bỏo " *Nhưng chị phải xem anh ấy cú yờu chị khụng 2 Chị nờn thử đó, rồi hóy núi thật với anh ấy !" "Thử thế nào 7” -
Chị cú vẻ tũ mũ “Thỡ chị cứ gặp anh ấy, tung ra một cỏi tin vịt, là chị sắp phải lấy chồng, lấy gó Tứ hõm Bố chị bắt phải lấy ” “Lóo Tứ thọt ấy à 2 Ối giời, cỏi lóo vừa chấm phẩy, vừa điếc lỏc,
làm sao mà lấy được ” "Thỡ chị chỉ “thử' thụi mà ! Thử xem anh ấy phản ứng ra sao, nếu yờu
chị, anh ấy sẽ cuống lờn cho mà xem " Chị Nụ thở phào Đụi mắt ỏnh lờn một tia sỏng trong trẻo Tự dưng, tụi thấy chị rất đẹp Một vẻ đẹp thậ an hau Chị cười : "Ừ, mày đọc nhiều sỏch cũng cú khỏc Sỏch nú bảo thế hở ?" Chị Nụ vui lắm Nhưng tụi cũn vui hơn Vui và hồi hộp nữa Chả gỡ mỡnh cũng chỉ là “con nớt, thế mà đó đi làm cố vấn cho người lớn rồi, mà cố vấn ỏi tỡnh
hẳn hoi nhộ Ngày hụm sau, tụi tỡm chị Nụ : “Chị thấy anh ấy sao 2 Cú cuống cuồng hốt hoảng khụng ?* "Hốt cỏi khỉ gỡ ? - Chị Nụ rơm rớm nước mắt Lóo lại mừng như vớ được của : "Bao giờ cưới, Nụ nhớ bỏo trước cho tớ nhộ, để tớ làm chủ hụn ! “Gi gidi ơi là giời Em bảo thế thỡ chị cũn biết làm thế nào ?" “Thế thỡ chị trả thự lóo đi !" “Cỏi gỡ ? Chị Nụ trợn mắt nhỡn tụi “Trả thự | Nghĩa là chị lấy bộng luụn cỏi gó chấm phảy ấy cho lóo tiếc !” “Ối giời ơi, làm sao lại cú chuyện
thế được ! Cứ tưởng mày đọc nhiều sỏch, mày thụng minh, hoỏ ra mày cũng ngu ! Ngu hơn cả
Trang 30Ngày xưa một anh chàng tỡm đến một thầy đồ xin học tiếng Anh Thầy vui vẻ nhận lời và khen :
~ Anh thật là nhỡn xa trụng rộng Mai kia, tiếng Anh sẽ là thứ
tiếng thụng dụng trờn cả thế giới I Nhõn dịp anh gặp ta, ta dạy
luụn cho anh một từ đầu tiờn coi như là kỉ niệm Anh nhớ là học đến đõu phải cố gắng thuộc ngay đến đú nhộ ! Mai kia nhiều từ học một lỳc khụng nhớ hết da
Anh chàng thớch quỏ ! Về nhà nhớ lời thầy dặn, tuy chỉ cú một từ nhưng đi đõu anh cũng lẩm bẩm đọc từ tiếng Anh và đọc
luụn nghĩa của từ Cú lỳc anh lại đọc nghĩa của từ và đọc tiếp
từ tiếng Anh Thật là lạ lựng ! Nhiều người trong làng bắt đầu xỡ xào với nhau và đến tai anh Người ta bảo anh dạo này bị
tõm thần Bố mẹ anh lo lắng đưa anh đến một thầy lang để chữa Anh ngạc nhiờn quỏ ! Anh thấy mỡnh vẫn bỡnh thường
Một hụm, anh tới nhà thầy dạy tiếng Anh kờu với thầy : ~ ễi! Thầy ơi ! Thầy mới dạy cho con mỗi một từ mà con đó
khổ Ai cũng bảo con tõm thần Ngay bố mẹ con cũng vậy
Thế thỡ con học tiếng Anh làm gỡ nữa cơ chứ !
Thầy khụng hiểu anh chàng núi gi nhưng cũng thong thả
động viờt
~ Mọi người khụng học nờn thấy con học họ núi vậy thụi
Mai kia cả xó hội học tiếng Anh cho mà xem Khi ấy con sẽ
là người giỏi nhất làng ! Đừng dao động con ạ ! Hụm nay ta dạy
cho con thờm một từ nữa nhộ ! Gõu (go) là đi ! Đi là gõu (go) ! Anh chàng đọc theo thầy vài lần Về nhà anh ta lại lẩm bẩm
cả hai từ được học Bố mẹ anh thở dài :
- Thầy lang gỡ mà càng chữa càng bị nặng thờm thế này
Trang 31e 4090000080984180600850% 7.1 43 Shauh chi Ta ban chi Mở cuộc thi Ÿ_Aigiỏi thỡ Mời tham dự Đừng lưỡng lự = Mat thời cơ = Ca trong mo Chưa từng thấy | Thi gi vay ? Nghe ta ban Cỏc than dan Mau huộng tng â Nay khdi xuộng,
Thi chuyộn cười 'Chỉ ngắn thụi Cười là được "Thờm một cuộc Thi d6 vui Ailà người Ra đố giỏi ?
Tram kộu gọi
Mọi anh tài Gỏi cựng trai Già cựng trẻ Hóy vui về Vào Hội thi ! Tư GOR nu Hi! Hi! Hil Hi Hi! Hi Ban chi! sosenennsaoce: VUA TẾU ` hy
Tiến Tuổi tổ 2 vừa tổ chức Cuộc hội ngộ của cỏc danh hài
'Việt Nam trờn ụ cl ui ơi là vui ! Chỉ thiếu Bảo Quốc và một vài danh hài i , cũn đủ lắm nhộ ! Trong cuộc hội này,
Vua Tếu CƯỜI TÍT CẢ MẮT như ụ chữ ở cột dọc Bạn đó
vào Rừng Cười thỡ ắt phải rất quen cỏc tờn tuổi “tầm cỡ” này
rồi Nào hóy vào cuộc hội ngộ và nhận ra cỏc danh hài ở cỏc
dũng 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13 cũi Dũng 3 : Họ làm ta phải như tỉ
Dũng 7 : Tờn một nhà hỏt hay diễn cỏc vở hài kịch Dũng 10 : Thời điểm hay gặp nhau để cười
Dũng 11 : Nột mặt khi ta cười rất như v: Hie
10 tặng phẩm dành cho những bạn phỏt hiện ra giỏi nhất ! Lấ TUẤN ANH (Pleiku, Gia Lai)
CHANG CAN VAT OC CONG RA
Gi THE NHI 2
l Người thừa coi tới coi lui a
Người thiếu lại muốn kộo lựi mói ra
l Người xem thỡ cứ nhẩn nha
Trang 32
NHUNG THANH TREO THANG BANG
NGO DUC MINH (GV THPT Lam Son, Thanh Hoa)
Hai hỡnh bờn là những vớ dụ về cỏc thống thanh treo thăng bằng, chỳng gĂ
một hay nhiều thanh (nằm ngang nếu ở
trạng thỏi thăng bằng) với độ dài thớch _ ⁄⁄
hợp (tớnh bằng dm ava:
chang han) va
được treo vào đú
cỏc quả cõn với
trọng lượng được 1
ghi bởi cỏc số 5 oh,
tương ứng : 1, 2, (Hỡnh 2) V2
(kg) sao cho mỗi thanh ngang đều ở trạng thỏi thăng bằng Trong hỡnh 1, cú một thanh ngang AB độ dài 3 dm, điểm
treo đặt tại C, độ dài của cỏnh tay đốn AC là 2 dm, của cỏnh tay đũn BC là 1 dm Vỡ thế, với cỏc quả cõn 1 kg và 2 kg thỡ thanh treo là thăng bằng vỡ : 1 kg x 2 dm = 2 kg x 1 dm
Trong hỡnh 2, cú 3 thanh ngang AB, DG, HK cú độ dài lần lượt là 5 dm, 2 dm, 3 dm, cỏc điểm treo lần lượt là C, E, | va ta
nhận thấy : z
- Ở đầu A cú một quả cõn 4 kg, đầu B cú 3 quả cõn với tổng trọng lượng là 6 kg, cỏnh tay đũn AC bằng 3 dm, cỏnh tay đũn
BC bằng 1 dm, nờn : 4 kg x 3 dm = 6 kg x 2 dm Chứng tỏ rằng thanh ngang AB là thăng bằng
~ Ở đầu D cú một quả cõn 3 kg, đầu G oú 2 quả cõn với tổng trọng
lượng là 3 kg, DE = 1 dm, GE= 1 đm, nờn : 3 kgx 1 dm =3 kgx 1 dm
Tớ rằng thanh ngang DG là thăng bằng
- Ở đầu H cú một quả cõn 2 kg, đầu K cú 1 quả cõn 1 kg,
HỊ = 1 dm, KỊ = 2 dm, nờn : 2 kg x 1 dm = 1 kg x 2 dm Chứng
tỏ rằng thanh ngang HK cũng là thăng bằng
Cỏc kết quả trờn cho phộp ta khẳng định : toàn hệ thống
trong hỡnh 2 là thăng bằng
Bài toỏn trờn đõy cú những ứng dụng nhất định trong thực tiến và là một bài toỏn thỳ vị Bõy giờ thỡ mời em hóy giải bài toỏn này trong một trường hợp riờng sau đõy Sẽ cú tặng
thưởng cho em nào chỉ ra được đủ nhiều cỏc hệ thống thanh
treo thăng bằng như vậy
Để bài : Giải bài toỏn trờn (chỉ ra mọi hệ thống thanh treo
thăng bằng) khi cho 3 quả cõn trọng lượng lần lượt sẽ là 1 kg, 2 kg, 3 kg và độ dài tối đa của mỗi cỏnh tay đũn là 5 dm
Trang 33SK Bài 1(2) : Tỡm tất cả cỏc số chớn phương cú dạng abcba NGUYEN PHƯỚC (GV THCS Kim Long, TP Huế) T9 9n 0000609900006 5e e6 SH Bài 2(2) : Tỡm hai số hữu t a và b, biết rằng: = 232 a-b=2(asb)=32 VŨ HỮU BèNH Bài 3(2) : (GV THCS Trưng Vương, Hà Nội) Cho tam giỏc ABC Cỏc điểm , N theo thứ tự thuộc cỏc cạnh 8, AC sao cho diện tớch tam
ỏc AMN bằng một nửa diện tớch
tam giỏc ABC (M # B ; N z â)
hứng minh : trọng tõm của tam
e ABC nam trong tam giỏc MN NGUYEN MINH HA (ĐHSP Hà Nội |) : 3H Bai 4(2) : Giai phương trỡnh ù X24 2x4 35 (x2 +x + 1)(x4 +x? + 4) 1
NGUYEN ANH HOANG '
(GV THCS Nguyễn Du, Q I, TP Hồ Chớ Minh)
"nr—=—===== ==—=—=- Se ng,
! 3H Bai 5(2) : Tim x, y để biểu thức
{A= x2 +29? Oxy e114 oe +BY +O Oy +4 |
ù đạt giỏ trị nhỏ nhất
1 NGUYỄN ĐỨC TẤN (TP Hồ Chớ Minh) i
Trang 34Thi tham tat tat tam tu
Hụm đi dự sinh nhật cụ bạn thõn nhất, em mac “dam” (cỏc bạn gỏi khỏc khụng mặc) Thế là bọn con trai lớp em từ đú cứ trờu em Anh bảo em phải làm sao đõy ?
THAO PHƯỢNG (7B;,THCS Lạc Viờn, Ngụ Quyền, Hải Phũng)
#đẹ Treu gỡ ? Hừi mấy bạn trai ?
Mặc “đầm” thờm đẹp, chứ sai cỏi gỡ ?
Khụng thớch thỡ cứ quay đi
Đó ngắm chỏn mắt lại đi trờu người !
_``-ˆ
â Em ngồi trong lớp cạnh một bạn nam, thỉnh thoảng chõn hai đứa chạm nhau, cả hai đều ngượng và xấu hổ Theo anh lỳc ấy nờn xử lớ như thế nào ?
HƯƠNG NGễ
(9A, THCS Đại Hợp, Kiến Thụy, Hải Phũng) @đ Gần nhau “va chạm” là thường
Nhung đừng dẫn đến “bị thương” mà phiền
“Thấy thờm thanh thần trong thư thỡ thầm
Hai đứa chỳng em thường hay
gặp nhau trao đổi bài vở Thế mà _
cỏc bạn lại "ghộp đụi" chỳng em Anh bảo em phải làm gỡ bõy giờ 2
QUỲNH TRANG
(6E, THCS Nguyễn Trói, Nghĩ Xuõn, Hà Tĩnh) Em gỏi bộ nhỏ (8C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vĩnh Nghệ An)
BB Em và “hắn” hóy kết nạp thờm vài
bạn nữa cựng trao đổi cỏc mụn học Khi
đú cỏc bạn sẽ khụng “ghộp đụi” nữa ma sẽ “ghộp tổ” cho ma xem ! Đừng sợ mà bổ nhau nhộ ! khụng là “Trưởng GỠ? 2 DƯƠNG HỒNG CÚC (7A, THCS Nghĩa Hưng, Nam Định) ' Em ơi! Cú 2 lớ do :
1) Khụng phải bao giờ “Trưởng” cũng hơn
“Pho” Em cú nghe núi người thợ may giỏi là “trưởng may”, người đụng cối giỏi là
“trưởng cối" bao giờ khụng ?
2) Anh chỉ giỳp cỏc em chứ khụng quyết định thay cho cỏc em Vậy anh là Phú Gừ,
cũn cỏc em mới là Trưởng Gừ của chớnh mỡnh
Nghe cú lớ quỏ đi em nhỉ 2
Trang 35Trang tho lần này xin giới thiệu “TAM CA”
Giang - Quynh - Hằng Mới chớm hạ thụi mà
Quỳnh Am và Hằng Huế đó cựng rung động với
khụng khớ mựa hố Gũn Giang thỡ mới hộ một chỳt bớ mật của tuổi mới lớn mà thụi Xin cảm ơn
ba ban gai thõn yờu (aa he Mựa hạ đó đến rồi Chỏy Đồng và khỏt khao 'Vũm phượng lỏ lóo XaO
Bay ve ca trong nang
Ha đựa tà ỏo trắng
Ngoài trời giú nhẹ l3/
Bồi hồi cựng nắm tay Ta di vào mựa hạ NGUYấN NGỌC QUỲNH (Lộp 76, Trường Hà Nội- AmSte
ở mỡnh cất lời chào tạm biệt
ang mắt trũn xoe luyến tiếc
Vấy tay chào Vũ điệu nàng xuõn
Tuổi mới lớn
Tuổi mới lớn biết bao điều ngớ ngẩn
Buồn khụng đõu, hờn giận cũng khụng đầu
Nang dệt thõm trờn từng gúc phố ms cs Dang vui tươi bỗng lặng lẽ u sầu
Phuong kột hoa ruc d6 14 cành & An si
Ve sầu ngõn cả dàn hợp xướng ee en a ae hụ) to HẠ
Hạ mỳa mừng trong từng khỳc tấu ca' Quả đỳng là bớ ệT
HƯƠNG GIANG
Lũng chợt dõng bao niềm xao xuyến 0iljea, 7 +8f0TiS Na IEtRSD)
Sắp phải xa bao kỉ niệm mến thương 'Nhặt lờn từng cỏnh phượng hồng e ấp Tự hỏi mỡnh đõu tiếng trống trường xưa ?
Chào tuổi thơ, khung trời xanh mơ ước
Bước chõn đi trong tiếng mựa hố Chiều nay nghe lời thỡ trầm hoa cỏ
Một chỳt xao lũng, một chỳt nhớ thương
CHAU LE NGOC HANG
(Đội tuyển HS giỏi khối 9,
THCS Kim Long, Thành phố Huế)
đấ` Nhắn tin:
Cỏc bạn nhớ gửi ảnh của
mỡnh khi gửi thơ về
Trang 36Hơi nhanh - Sụi động ~ Ngõy thơ tuổi học trũ Ngõy thơ tà ỏo trắng Xụn xao con đường nẵng se Ss te Vanh nộn trang nghiộng nghiộng Yộu sao tuổi mộng mơ Xanh cỏnh diều chiềugiú ` = 4 Mựa thi phượng thắm đỏ ‘Tim trang sỏch hoc trũ Hỏt mói - hỏt mói cựng tiếng ve như tuổi thơ theo ta mói đến trường' Nhớ mói tỏn lỏ bàng 1 2
mến yờu che tuổi thơ đõy ước mơ Audi thơ đõy ước mơ
Nhạc sĩ Vũ Trọng Tường sinh ngày 4/9/1946 tại thị xó Hải Dương Nhạc sĩ cú nhiều ˆ
cảm xỳc và rất thành cụng khi sỏng tỏo bài hỏt cho thiếu nhi Tuổi thơ đó rất quen thuộc _
với nhiều bài hỏt của anh : Mựa thu ngày khai trường, Cõy bàng mựa hạ, Mựa hố mựa thị, Hạt nắng sõn trường, Ngõy thơ tuổi hồng, Lời ru của mẹ Anh đó được trao
tặng nhiều giải thưởng về sỏng tỏc õm nhac
Nhạc sĩ hiện nay cụng tỏc ở Hội Nhạc sĩ Việt Nam Ngõy thơ tuổi hồng