BO GIAO DUC VA BAO TAO
NHA XUAT BAN GIAO DUC
Trang 2
Kắnh thua Ban bién tap, tôi rốt vui vì TIT2 s6 6 da dang dé thi giổi toán quo thư 2(6) ctia tôi và chọn có h nh vẽ lên trong bìỦ
nữa, điều đó lòm tôi rất cẻm động vò hạnh
phúc Do vộy hôm noy Tôi việt vời dòng đề a é n sức khỏe, uy Du xa van thay r Cam on thay 44 gop phan rat tol
C6 một lồn, chóu đến đo mỗi,
lên tới Tòo soợn TII2 để hỏi về
ộ hôm Lúc đó chu rốt rụt rè
Vì sợ làm phiền cóc cô chú Ẩrong Bạn Biên tap Khi chóu gọi đến Ẩhì có một chú nghe
móy Thới độ Gn cồn, nhẹ nhàng của chú Ay da lam chóu mết đi cảm gióc rụt rè DO la lan dau Tiên chúu được nói chuyện với một người Ẩrong Bơn Biên tập TIT2 vờ lễn đồ Thực su da dé Iai trong chau mét én tugng Tôi đẹp LE VO CHAU ANH (8A, THCS Nguyén Trong Binh, Kì Anh, Hè Tĩnh)
Việc chi chau phải rụi rễ ?
Toớn Tuôi thơ cũng bạn bé ma thoi
: _ Nhiều khắ vỉ quớ xơ xôi me 16 bao dén cham ngu6i ơi, đừng buôn
ẹe eeeằoẰ6e6e6eeooeeoe
HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP TẠP CHÍ TỐN TUỔI THƠ
Tổng biên tập : PGS TS.NGƯT Vũ Dương Thụy
Phó tổng biên tập : TS Lê Thống Nhất
Ủy viên Hội đồng biên tập Toán Tuổỉthơ2:
'@S Nguyễn Khắc Phi, PG8 TS Trần Kiều, PGS TS Tôn
Than, TS Nguyễn Văn Trang, PGS TS Vũ Nho, TS Trinh
Thi Hải Yến, ThS Nguyễn Khắc Minh, Ông Phạm Đình :
Hiến, P@S T$ Ngô Hữu Dũng, TS Trần Binh Chau, ĐT:04.5142650.Fax:
'NGND Vũ Hữu Bình, TS Nguyễn Minh Hà, TSKH Vũ Đình _ *Đường dâynóng (24g/ngày):0909436757
'Hòa, TS Nguyễn Minh Đức, TS Lê Quốc Hán, Ông Đào Giấy phép xuất bản : 31/GP-BVHTT ngày 23/1/2003
Ngọc Nam, Ống Nguyễn Đức Tấn, TS Nguyễn Dang Bộ Văn hóa và Thông
Quang, T8 Trần Phương Dung, TS Ngơ Ánh Tuyết, Ơng * Intại : Nhàin Sac
Trang 3o Kindy : WN Tắch các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 25 có 10 chữ số tận cùng là 1307000000, đúng hay sai 2 LE QUANG NAM (Cao học Toán khóa 12, ĐHKHTN, ĐHQG TP Hồ Chắ Minh) Ủ CHỮ TOÁN Hục
Bạn Nguyễn Thị Thoa, 9A, THCS Đặng, Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An tâm sự :
là ô chữ chứa đựng nhiều khái niệm có
trong mơn tốn của chúng em Như vậy em cảm thấy mình và các bạn cùng trang lứa rất có lợi khi giải ô chữ nàyỢ Anh cũng
quá bất ngờ vì các bạn "lôi" ra được rất
nhiều cách giải ô chữ Sau day la dap an:
Hàng 1 : tam giác cân, tương đương,
tâm đối xứng, trung tuyến, tam giác đều, tập xác định, tập hợp điểm, tia nằm giữa, fỳ lệ nghịch Hàng 2 : đường tròn, trung trực Hàng 3 : cắt nhau, lắp hình Hàng 4 : căn thức, chia hết, cạnh đối, cách đều, cạnh lớn, cạnh nhỏ, cộng trừ, cực tiểu, cung lớn, chia đôi, cạnh đáy, chuỗi số, chóp cụt, cạnh bên, cùng dấu, chia đều, công bội
Hàng 6 : hình cầu, bán kắnh, hình nón, hình trụ, đồng quy
Hang 6 : nghiệm, nguyên
Hang 7 : canh, tinh, đỉnh, hina, tắch
Hàng 8 : tia số, giả sử, đi qua Hàng 9 : hệ phương trình, mệnh để toán học, mệnh đề phản đảo, hệ quả của Talet Hàng 10 : tìm nghiệm nguyên, tam Ki nay : 2 Ậ ^ A ẹ Ochi Nhé on thay co
Nhân dịp Ngày Nhà giáo Việt Nam, bạn Nguyễn Sông Lam (ĐHSP TP Hồ Chắ Minh) gửi
tặng các thầy cõ bài thơ Nhớ ơn thầy cô cùng một
ô chữ Bạn chỉ cần hoàn chỉnh bài thơ là giải ngay được ô chữ Nào ! Các bạn hãy bắt tay vào nhé !
Thấy cô khuyên, biết Nói năng là người trò ngoan Bài học từng trang
Sáng bao tháng năm tuổi hồng
Cho em mênh mông
người đã nhiều công luyện rèn Như là Cảng thêm của em cảng thêm nghĩa tình chăm sóc học sinh quên mình ngày đêm em nhớ không quên Dù em đi tới bao miễn gắn xa Quần bao
giác đồng dạng, tam giác vuông cân, tâm của đa giác đều, tam giác bằng nhau, tâm hình bình hành, hàm số
nghịch biến, tìm mẫu thức chung, tìm giá trị phân số,
tâm của đường tròn, tìm tỉ số của hai số
Xin trao tặng phẩm cho các bạn Ộbiện luậnỢ được nhiều cách giải : Vữ Thị Thu Hương, 8A, THCS Ngô
Gia Tự, TP Hải Dương ; Nguyễn Chắ Hưởng, 8B,
THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh ; Huỳnh Ngọc Vương, 8/3, THCS Nguyễn Tự Tân, thị trấn Châu Ổ, Bình Sơn, Quảng Ngãi ; Vương Bằng Việt, 7M, THCS Nam Hà, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ; Võ Thái Thông, 8/4, THCS Ngô Gia Tự, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa và bạn Thoa
Ộ
Trang 4
rộng này cũng !à mộ TS Lê Quốc Hán TTT2 châi Quốc Han là Trong SGK Hình học lớp 9, trang 38, có bài toán số 14, nội dung như sau :
Bài toán 1 : Cho tam giác đều ABC và
điểm M thuộc cung 8ẹ (không chứa A)
của đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh rằng : MA = MB + MC Bài toán 1 (BT1) được giải khá đơn giản : A Lời giải : Trên MA lấy điểm N sao cho MN =MB (1) (hình 1) ; do BMN = BCA = 60ồ nên ABMN đều = BN = BM (2)
AABC đều nên BA = BC, mặt khác ABC = MBN = 60ồ > ABN=MBC (3) Tit (1), (2), (3) suy ra: AABN = ACBM (c.g.c) => NA=MC (4) Từ (1), (4) suy ra : MN + NA = MB + MC = MA = MB + MC BT1 là sự khởi đầu cho rất nhiều mở rộng đẹp và sâu sắc Do sự hạn chế về chương trình, trong bài viết này, chúng tôi chỉ có thể anh cam ơn TS hong Ƒ NHỮNG MỞ RỘNG BAN ĐẦU
TU MOT BAI TOAN TRONG SACH GIAO KHOA
TS LÊ QUỐC HÁN (ửHSP Vinh) goes CN V000) trong SGK Hinh hoe lép 9, thú vị Con đường mỏ ẩn rèn luyện Minh Hà đã cùng TS Lễ ing md rộng nay
với bạn đọc những mở rộng ban đầu
của BT1 Mặc dù vậy, những mở rộng này,
trong chừng mực nào đó, sẽ giúp các bạn trả
lời câu hỏi lớn được đặt ra trong chuyên mục:
của chúng ta : "Học toán ra sao 2Ợ
Trong BT1, giả thiết tam giác ABC đều
tương đương với giả thiết các đường thẳng MA,
MB, MC đôi một tạo với nhau một góc 609
Nhận xét trên cho ta một cách mở rộng BT1 Bài toán 2 : Cho đường tròn (O) và
điểm M nằm trong đường tròn Các dây
A,B, AgBp, AgB, di qua M (A,, Bp, A, B,,
A,, Bg theo thét tự nằm trên (O)) và đôi một
tạo với nhau một góc 60ồ Chứng minh rằng : MA, + MA, + MA; = MB, + MB, + MB,
Vì BT2 được sinh ra từ BT1 nên ta nghĩ
ngay tới việc dùng BT1 để giải BT2
1 thêm
Hình 2
Lời giải : Không mất tắnh tổng quát, giả
Trang 5OMB, < OMA, (hinh 2) Dung dutng tron
(e) tâm O, bán kắnh OM Đường tròn này theo thứ tự cắt các oan A,B,, AyBy, AB,
tại Cạ, Cạ, Ca Dễ thấy M thuộc cung C2C;
(không chứa C¡) của (o) C¡C2C2 = CMCs =60ồ C{C3C> = CMC, = 60ồ = AQ¡C;C; đều Theo kết quả của BT1, tac6 : MC, = MC, + MC, (1) Lại chú ý rằng, (O) và (o) đồng tâm, MA; =C,B, CạAƯ =MB; (2) CạAs =MBƯ Từ (1), (2) dễ dàng suy ra :
MA, + MA, + MA; = MB, + MB, + MBs
Tiếp theo mở rộng trên, BT1 còn có một
mổ rộng khác cũng khá hấp dẫn Nó giới thiệu với chúng ta mối quan hệ đẹp giữa ba
số MA2, MB2, MC?
Bài toán 3: Cho tam giác đều ABC và đểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng
minh ring: MA2 + MB? + MC2=6R2, (R là bán
kắnh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Trước khi giải BT3, ta hãy phát biểu và chứng minh một bổ đề H Mặt khác ta có: Hình 3 Bổ để 1 : Cho tam giác ABC có góc Â=1209
Khi đó : BC? = AB? + AC? + AB.AC
Chứng minh : Gọi H là hình chiếu của C trên AB (hình 3) Dễ thấy : W 5 FAC (0) Theo định lắ Py-ta-go, ta có : BC? = BH? + CH? (2) 41 AH=ỞAC ; CH= 2 Từ (1), (2) suy ra : BC? = (AB + AH)? + CH? = (xe dnc) + [Sac]
= AB? +ABAC+ LAC? +ẾAcP
= AB? + AC? + AB.AC
BĐ1 đã được chứng minh Trở lại việc giải BT3
Không mất tắnh tổng quát, giả sử M
thuộc cung 8C (không chứa A) của (O) (hình 4) Theo kết quả đạt được trong BT1, ta có : MA = MB + MC = MA? = MBÊ + MC? + 2MB.MC => MA2 + MB2 + MC2 = 2(MB2 + MC2 + MB.MC) (1) ái Vì tam giác ABC đều nên BMC = 120ồ Theo BD1, ta cd: MB? + MC? + MB.MC = BC? => MB? + MC? + MB.MC = 3R? (2)
Tir (1), (2) suy ra: MA? + MB? + MC? = 6R2, Từ BT3, tương tự như cách phát triển BT1
thành BT2, chúng ta có thể phát biểu kết quả mổ rộng hơn Các bạn thử suy nghĩ và gửi gấp
ý kiến về TTT2 Ở số tạp chắ sau sẽ giới thiệu
tiếp những phát triển mới Cảm ơn các bạn
Trang 6ẹ Ket quả :
LO HONG NAO ? Tất cả các bạn đều phát hiện ra
Ộlỗ hổng" là ba điểm M, |, N không
thẳng hàng (tương tự thì ba điểm M, J,
P cũng không thẳng hàng) Tuy: nhiên
| ans, Ộ101 nhiều bạn chỉ phát hiện mà không ING @NGUYỄN ĐỨC TẤN ồ chứng minh ẹó bạn chứng mỉnh lại
ẳ (TP Hồ Chắ Minh) 9 _ giả sử ba điểm thẳng hàng để suy ra
ho tam giác đều ABC, điểm s 64 = 66 là điều vô lắ Thế thì còn $M trên cạnh BC (M# B,M#C) Vẽ MD LAB, 9 chứng minh gì nữa ? Vì lắ do 64 = 65 ME LAC (D e AB, E e AC) Xác định vị trắ s - là đương nhiên rồi Nhờ nình 7 xem
Ế điểm M để diện tắch tam giác MDE lớn nhất, $ TTT2 số 7) mà các bạn có thể thấy : s Lờigiải: m5
: S(ABO) Ẽ S(ABM) + S(ACM) IgINH = = va toMIK =
sispc) MOAB), MEAG Do đó INH =MIK Sài a 2B Cũng ti hinh 7 ta có Seay en EO) MD EME) INH+KIN=180ồ = MIK + KIN + 180ồ ồ = MD +ME = 25052)Ừ chứng tổ M, l, N không thẳng hàng ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ ồ Có thể dùng định lắ Py-ta-go để tắnh NI, MI, MN để suy ra NỊ + MI# MN cũng suy ra M, l, N không thẳng hàng
Xin trao qua cho.5 bạn "sắc bénỢ nhất : Phạm Tuấn Anh, 8E, Hà Nội - Amsterdam, Ha NOi ; Hoang Minh Thang, 8C, THCS Dang Thai Mai, TP
Vinh, Nghé An ; Lé Cẩm Nhung, 8E,
THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Héa ; Nguyễn Thị Xuân Thảo, 9A, THCS
Trần Hưng Đạo, TX Quảng Ngãi,
Quảng Ngãi ; Nguyễn Bảo Linh, 9A, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ ANH KÍNH LÚP Ế(h là đường cao của của tam giác ABC) e K@EH 1 DM, tacé: ỳ 1 1 ồ = 2EHMD <ỞMEMD < $ S(MDE) = 5 a <s(ME+MD/ = i (không đổi)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M =.H ;
ME = MD ẹ M là trung điểm của cạnh BC
Vậy khi M là trung điểm của cạnh BC thì
S(MDE) là lớn nhất Ấ
@oeeoooeoooooooooooooooooooo Các bạn hãy nhìn kĩ lời giải bài toán
rên xem có sai sót gì không ?
ẹeooeoooeooooooooeoooooo
Trang 7o Kindy : Bài 1 : Số nào lạc loài trong các số sau : 9; 1000 ; 121 ; 625
Bai 2 : Hay chọn một trong các phương an a,
b, c, d điền vào dấu chấm hỏi cho hgp logic :
9Ẽ Bài 1: Lần này nhiều bạn đành cho đấu Ế chấm hỏi một giá trị thật là "oan uổngỢ với Ế lồi giải thắch không thể chấp nhận Đáp án
ệ thật là giản dị :
Dấu chấm hỏi ở vòng tròn trung tâm ụ chắc phải là "cái gì đóỢ chung cho tất cả
$các số ở các vòng tròn xung quanh Dễ
Ế dàng thấy đó là ước số chung lớn nhất
2 vậy ó lắ nhất là : ? = 2
ài 2 : Rất nhiều bạn vì đã quen với tam Pascal nên đã cho ngay đáp án số
iếp theo là 1331 và còn cao hứng sẵn
$ sàng ghi thêm hàng loạt số tiếp đó : 14641; 18101051 ;
Thai Mai, TP Vinh, Nghé An ; Nguyễn Thị Nguyễn Thảo Nguyên, 7B, THCS Dang
Lam Ngoo, 8B, THCS Nguyén Hữu Tiến, Duy Tiên, Hà Nam ; Vũ Xuân Dương, 9E,
THCS Bình Minh, TX Hải Dương, Hải Duong ; V6 Thai Thông, lớp 8/4, THCS
Ngô Gia Tự, Cam Ranh, Khánh Hòa ;
Pham Thế Vinh, 91A Ngư Ông, Lạc Đạo,
TP Phan Thiết, Bình Thuận ; Nguyễn
Viét Anh, 9D>, THCS Tién An, TX Bac CÁC BẠN DUOC THUONG kÌ NÀY (THỊ GIẢI TOÁN QUA THU) 5 => 6 4>7 ẹ000000000000000000 ồ ồ ồ Ộgỡ' được Đây cũng chắnh là lắ do mà 9 phần thưởng kì này chưa trao được cho ai
con số này sẽ được dịch ra ồ
với ý nghĩa thật là tuyệt vời
Các bạn cần tìm ra mối liên hệ giữa các Ư
số và các chữ cái, đó chắnh là mã khóa để e
phiên dịch Bạn nào dịch được hãy gửi 9
gấp đáp án bài này về trực tiếp :
TS NGUYEN DANG QUANG, Phó Tổng ẹ
Giám đốc Nhà xuất ban Giáo dục, 81 Trân 3
Hưng Đạo, Hà Nội để nhận ngay giải ậ
ởng đặc biệt ! Đây là cuộc thử tài IQ đặc e
tt xưa tới nay Mong các bạn hãy tổ ệ
ội công" của mình !
NGUYEN ĐĂNG QUANG eco
Ninh, Bắc Ninh ; Hoàng Đức Ý, 8E, THCS Trần Mai Ninh, Thanh Hóa ; Phạm Bắeh Ngoc, 7Az, THOS Lương Thế Vinh, TX
Thái Bình, Thái Bình ; Nguyễn Thị Mai
Huong, 9A,, THES Lam Thao, Pha Tho ;
Võ Văn Tuéin, TAy, THS Buôn Hồ, Đăk
Lăk ; Ta Ngọc Thắng, 7B, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Thị Duyên, 8A,
THCS Trung Luong, TX Héng Linh, Ha Tinh
Trang 8
eli ToT? eeeeeod0
Trong chương trình Toán lớp 6, các em đã được học về các bài toán liên quan tới phép chia hết của một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0 và đặc biệt là được giới thiệu về
số chắnh phương, đó là số tự nhiên bằng bình
phương của một số tự nhiên (chẳng hạn :
0;1;4;9;16;25 ; 121 ; 144
Kết hợp các "kiến thức trên, các em có thể giải quyết bài toán : Chứng minh một số không phải là số chắnh phương Đây cũng là một cách củng cố các kiến thức mà các em
đã được học Những bài toán này sẽ làm tăng
thêm lịng say mê mơn tốn cho các em 1 Nhìn chữ số tận cùng
Vì số chắnh phương bằng bình phương của
một số ty nhiên nên có thể thấy ngay số chắnh
phương phải có chữ sỀ n cùng là một
trong các chữ số 0; 1 ;4; 5; 6; 9 Từ đó các
em có thể giải được bài toán u sau đây :
Bài toán 1 : Chứng minh số
n= 2004? + 2003? + 2002? - 2001? không phải là số chắnh phương
Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận cùng
của các số 20042 ; 2003? ; 2002? ; 20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1 Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chắnh phương Chú ý : Nhiều khi số đã cho có chữ số tận
cùng là một trong các số 0; 1;4;5;6; 9
nhưng vẫn không phải là số chắnh phương
Khi đó các bạn phải lưu ý thêm một chút nữa Nếu số chắnh phương chia hết cho số
nguyên tố p thì phải chia hết cho p2
Bài toán 2 : Chứng minh số 1234567890
không phải là số chắnh phương
Lời giải : Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90) Do đó số 1234567890 không phải là = ig gil 0 CHIN PHUONG KHANG (Hà Nội) ồ ồ cùng là 0), nhưng không chữ số tận cùng là 90) nên Ọ chắnh phương inh răng nếu một số 4 thì số đó không cho 2 (vì chữ số chia hết cho 4 (vì h: 1234567890 khôi có tổng các chữ phải là số chắnh p¡ Lời giải : Ta 2004 là 6 nên 2004 chia hết 9 nên số có cũng chia hết cho 3 các chữ số của số 3 mà không do đó số này không phương 2 Dùng tắnh chất của số dự Chẳng hạn các em gỌp 5ãi toán sau đây : Bài toán 4 : Chị ổ có tổng các chữ số là 2006 khô: số chắnh phương Chắc chắn các em bị ỘchoángỢ Vay
ở bài toán này ta sẽ pi e
cho giả thiết về tổng các cỉ
chắn các em phải ng
hoặc cho 9 Nhung fai
Ộkì diệuỢ như bài to: ta nói được điểu gì về số này 2 C¡ n số này chia
cho 3 phải dư 2 Từ đó Ậa có lời giải
Lời giải : Vì số chắnh phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 mà thôi (coi như bài tập để các em tự chứng minh !) Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2 Chứng tỏ số đã cho không phải là số chắnh phương Tương tự các em có thể tự giải quyết được 2 bài toán :
Bài toán 5 : Chứng minh tổng các số tự
Trang 9không là số chắnh phương
Bây giờ các em theo dõi bài toán sau để nghĩ tới một "tình huốngỢ mới
Bài toán 7 : Chứng minh số
n=4$+ 4444 + 444444 + 44444444 + 16
không là số chắnh phương
Nhận xét : Nếu xét n chia cho 3, các em sẽ thấy số dư của phép chia sẽ là 1, thế là không "bắt chướcỢ được cách giải của các bài toán 3 ;4 ; 5 ; 6 Nếu xét chữ số tận cùng các em sẽ thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không làm Ộtương tự' được như các bài toán 1 ; 2 Số dư của phép chia n cho 4 là dễ thấy nhất, đó chắnh là 3 Một số chắnh phương khi chia cho 4 sẽ cho số dư như thế nào
nhỉ ? Các em có thể tự chứng minh và được kết quả : số dư đó chỉ có thể là 0 hoặc 1
Như vậy là các em đã giải xong bài toán 7 pỢ số giữa hai số chắnh phương Các em có thể thấy rằng : Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn n2<k <(n + 1)2 thì k không là số chắnh phương
Từ đó các em có thể xét được các bài toán sau: Bài toán 8 : Chứng minh số 4014025 không là số chắnh phương
Nhận xét : Số này có hai chữ số tận cùng là 26, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1 Thế là tất cả các cách làm trước đều không vận dụng được Các em có thể thấy lời giải theo một hướng khác Lời giải : Ta có 2003? = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 2003? < 4014025 < 20042 Chứng tỏ 4014025 không là số chắnh phương Bài toán 9 : Chứng minh = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chắnh phương với mọi số tự nhiên n khác 0
Nhận xét ; Đối với các em đã làm quen với dạng biểu thức này thì có thể nhận ra A + 1 là số chắnh phương (đây là bài toán quen thuộc với lớp 8) Các em lớp 6, lớp 7
cũng có thể chịu khó đọc lời giải Lời giải : Ta có : A+1 =n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 (n2 + 3n)(n2 + ân + 2) + 1 =(n2+ ân)? + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)Ê Mặt khác : (n2 + 3n)? < (n2 + 3n)? + 2(n? + 3n) =A Điều này hiển nhiên đúng vì n > 1 Chứng tổ: (n2 + 3n}? <A<A + 1= (n2 + 3n +1)2 Suy ra A không là số chắnh phương Các em có thể rèn luyện bằng cách thử giải bài toán sau :
Bài toán 10 : Hãy tìm số tự nhiên n sao cho A = nỶ - 2nẾ + 3n2 - 2n là số chắnh phương Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2 Bài toán 11 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không là số chắnh phương Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho 3 hoặc phép chia cho 4
Bài toán 12 : Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh bìa được ghỉ một số trong các số từ 2 đến 1001 sao cho không có hai mảnh nào ghi số giống nhau Chứng minh rằng : Không thể ghép tất cả các mảnh bìa
này liền nhau để được một số chắnh phương
Bài toán 13 : Chứng minh rằng : Tổng các bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chắnh phương
Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho 4 Bài toán 14 : Chứng minh rằng số 333933 + 688555 + 777717 không là số chắnh phương Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho một chục (2) Bài toán 15 : Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tỉnh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn mảnh Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bia là một số chắnh phương Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ?
Để kết thúc bài viết này, tôi muốn chúc các em học thật giỏi mơn tốn ngay từ đầu bậc THCS và cho tôi được nói riêng với các
quý thẩy cô : nguyên tắc chung để chứng
minh một số tự nhiên không là số chắnh
phương, đó là dựa vào một trong các điều kiện cần để một số là số chắnh phương (mà như các quý thầy cô đã biết : mọi điều kiện cần trên đời là dùng để phủ định !) Từ đó các quý thầy cô có thể sáng tạo thêm nhiều bài toán thú vị khác
Mong các em và quý thầy cô phát hiện thêm nhiều điều kiện cần nữa để chúng ta có
Trang 10FUWMT là tên viết tất của cuộc thi Toán dành cho học sinh phổ thông mang tên Wylie, được tổ chức bởi Khoa Toán trường Đại học Fuman thuộc tiểu
bang Nam Caroina, nuéc Mi : Furman University
Wylie Mathematics Toumament Cudc thi này được
tổ chức tập trung tại trường Đại học, thông thường
vào một ngày tháng hai hằng năm (chẳng hạn, năm 2003 FUWMT duoc 16 chite vào thứ bẩy, 15 tháng 2) Có thể nói, đây là ngày hội cho tất cả các học sinh và sinh viên giỏi Toán từ các trường học thuộc miền Đông Nam nước Mĩ Cuộc thi đã được thừa nhận và hỗ trợ bởi Liên đoàn Quốc gia các hội
Trung hoc tiéu bang (National Federation of State
High Schoo! Associations), do vậy nó được mổ rộng cho học sinh các tiểu bang Nam Carolina, Bac Carolina, Georgia, Tennessee, Alabama va Florida Ngoài bài thỉ dành cho học sinh tương ứng với THPT nước ta (senior) và sinh viên hai năm đầu đại học, còn có bài thắ dành cho học sinh lớp dưới, tương ứng với THCS ở nước ta, với tên gọi Junior Examination, bao gém cdc cau héi trắc nghiém (multiple-choice questions) Giải thưởng cho bài thi cấp THCS này dành cho ba em đạt điểm cao nhất, không tắnh giải đồng đội
'Vợ chồng TS C Ray Wylie đã sáng lập cuộc thi này, đó là lắ do nó được mang tén Wylie Ba Wylie giẳng dạy tại trường Cao Bang Winthrop va sau đó chuyển về Đại học Nam Carolina TS Wylie là giáo sư của khoa Toán trường Đại học Furman, ông đã tổ chức kì thi này trước ngày ông nghỉ hưu
'vào năm 1978 Ông là tác giả của 9 cuốn sách và
n ¡ báo chuyên ngành Ngồi ra, ơng cịn trắch một phần tài sản của mình để dành cho các học bổng Wylie nhằm hỗ trợ các nhà toán học trẻ (Wylie Scholarships in Mathematics)
Bài thì trắc nghiệm trắch giới thiệu cùng bạn đọc dưới đây được tổ chức vào ngày 16-2-2002, gồm 34 câu, trong đó hai câu cuối cùng là hai câu tự luận (nghĩa là phải giải thành lời văn), làm trong 2 giờ
Hình thức trắc nghiệm đã và đang là hình thức được sử dụng với hầu hết các nước tiên tiến, và hiện đang có khuynh hướng được sử dụng ở nước ta Các bạn có thể cho là dễ, nhưng nó không dễ nếu để ý đến thời gian hoàn thành Việc chấm bài sẽ đạt đến độ
os ove SANG TTR NE FUT ThS NGUYEN VAN NHO (NXBGD)
o ASE NGUMEN VANINHONNXBGD)
chắnh xác tuyệt đối nhờ vào máy tắnh điện tử ; ngoài ra, hình thức thi này sẽ rất công bằng, không ai có thể xem bài của ai, vì chỉ cần một lệnh nhỏ của máy tắnh điện tử, các bài thi sẽ khác nhau về thứ tự câu hỏi Mặt khác, nếu bạn muốn hỏi người bên cạnh, người ấy sẽ không bao giờ có đủ thời gian để trả lời Trong số báo này, chúng tôi chọn giới thiệu 5 ỉ thiệu khoảng : p án cũng như HD giải bai
khó sẽ được đăng ở TTT2 số 11 Theo ý tôi, nếu các bạn lam Sược 9 câu dưới đây trong vòng 40
phút thì đã gidi Nào, xin mời bạn đọc hãy thử xem Chúc thấy nhiều hứng thú !
guyên dương liên tiếp ắnh tổng ba số đó )32 D)33 Ej Cả bốn sỹ ne = 8 8 ẤN als A) 30 B) 31 kết quả trước ật của Darby, trò "hức như sau ng hàng với một cái et), các quả còn Người chơi bất đầu ay đến nhặt từng quả rổ (mỗi lần nhặt một Người ta đặt 10 rổ Quả thứ nh: lại cách đề: đứng tại vị trắ ch trứng rồi quay lai quả thì quay Ư phải chạy tất cả trứng về bỏ lạ u bộ để đem hết số (1)605 (2) 1000 (3)1200 (4)1210 (6) Các kết quả sai
Câu 3 Trong tới tôi có toàn những đồng 5 xu (nickel) và đồng hào (dime) Tổng cộng, có b đồng như th: 5 xu của t (1) (10 + 0) ; (4) (c+ 105)/6
trị giá tất cả là c xu Hỏi số đồng
theo b và c thì bằng bao nhiêu 2 (2) (10b - o) ; (3) (c - 10b)/5 > (6) Các kết quả trước đều sai @ Ca-na-da, 1 dime = 2 nickels ác bạn đừng lầm lẫn điều này : ở Mĩ, người ta nói lông, một niokel là 8 dollars
Câu 4 Có bao nhiêu số thực x thỏa mãn phương trình (x - 8)x - 3)& + 1)(x - 1) = = (x- 1)(x + 1)@& + 3)(& + 5) 2
A)1;B) 2; C) 3; D) 4 ; E) Cả bốn kết quả
trước đều sai
Câu 5 Có 8 đồng tiền, tất cả nằm sấp trên bàn
Mỗi lần di chuyển, ta lật ngửa một lượt 5 đồng Hỏi cần bao nhiêu lần di chuyển để cả 8 đồng tiền đều ngửa 2 A)3 ; B)34 ; C)5 ; D)6 ; E)Cả bốn
câu trên đều sai
Trang 11ining Bài 8.1 Tu f(x) = ax + b và các điều kiện f(0) = -6, f(f(0))= -15, dễ dang tinh được f(x) = 2x - 5 Ta có f(x).f(m - x) >0 <> 2m-5 (2x 5J@m-5-2) >0 <> Ế<x< 2=m=3vàm=7 Ễ 2m-5 Bài 8.2 a) Đặt ⁄ CAP = ơ, ta có ⁄ACN = 90ồ - Ủ ; ⁄ MCN = ⁄ ACN - 459
= 45ồ- a= ZLAM ViAM = CM vaAL = CN
nên hai tam giác AML và CMN bằng nhau Do đó ⁄ AML = ⁄ ẹMN, suy ra ⁄LMN = 909 - ⁄ AML + ⁄ CMN = 90ồ b) Theo trên, hai tam giác AML và ẠMN bằng nhau, ta có NT MN và ⁄ LMN = 90ồ nén S(LMN) = ; MN?, Ta lại có S(ABC) = ; AC? Két hop
với giả thiết, suy ra MN = ; AC Gọi Q là
trung điểm AC thì QM =QN= 3 AC=MN,
suy ra Z QNM = 60ồ va Z QNA= 60ồ-45ồ
= 15ồ Mat khac, AQ = QN nén
Bài 8.3 Tại mắ t thời sĩ im nao Gó, ta gia
sử trong hộp có x quả cầu trắng, y quả cầu
xanh và z quả cầu đồ Ta đặtT =x+ 2y + 3z Rõ ràng là, sau mỗi nước đi, T giảm đi một
bội của 4 hoặc không đổi (ta nói rang T
không đổi theo modulo 4)
Ở thời điểm ban đầu, ta có x = 2000,
y=z=0,và 2000
a) Xét thời điểm sau cùng (sau một số hữu hạn các nước đi, trong hộp đã cho
còn lại ba quả cầu), khi đó, x + y + z= 3
và T là bội của 4 (vì ban đầu T = 2000 và
sau mỗi bước đi, nó không đổi theo
modulo 4) Nếu giả sử ngược lại rằng
trong số ba quả cầu này không có một quả màu xanh nào, thì y = 0, suy rax+z.=3,
bhi CUICTH TOM UN) NAM 2000 TA BUIYGILR ThS NGUYEN VAN NHO (NXBGD)
SIDSENGUVENIVAN NHO (NXBGD)
Và T=x+3z=x + 3(3 - x) = 9 - 2x
Thay x bởi 0, 1, 2 hoặc 3, ta thấy T=9- 2x
không thể chắa hết cho 4, điều này mâu thuẫn b) Giả sử rằng tại thời điểm sau cùng, còn duy nhất một quả cầu trong hộp Khi
đó,x+y+z= 1và T=x + 2y + 3z chia
hết cho 4, điều này không thể xảy ra
Bài 9a.1 Khi x + +m, phương trình 1 m 2m X+m x=m m^2-x2 với (m + 1)x = -m(m + 1) Nếu m = -1 thì phương trình này có vô số nghiệm xz + 1 Nếu m z ~1, phương trình trở thành
Ngoài ra, phương trình |x - m] - m = 0 có hai nghiệm x = 0 và x = 2m khi m > 0 ; có
duy nhất nghiệm x = 0 khi m = 0 và vô
nghiệm khi m < 0 Do vậy :
Khi m < 0 và m z -1, phương trình đã cho
có duy nhất nghiệm không âm là x = -m
se Khi m = 0, phương trình đã cho trổ thành =0 tương đương 4 X|=0, vô nghiệm e@ Khi m > 0, phương trình đã cho có ba nghiệm x= m, x = 0, x = 2m là các nghiệm không âm Đắp số : m < 0 vàm #-1
Bài 9a.2 Từ để bài, suy ra M nằm trên
đường tròn ngoại tiếp ABCD
Vì ⁄ MAC = 2 MBC = 5 (6a NC) va
ZMNQ= ZMAG, ttc la Z MNQ = 2 MBC,
ta suy ra các điểm M, N, B, Q cùng năm
trên một đường tròn Do ⁄ MNB = 90ồ, Ẩa có ⁄ BQM = 909 Ta cũng có tam giác
Trang 1241 nae Dy =xỞ =x -10= 5, 3 ĐANG 1 )* a 12
pe THI GiAl Luring The Vinh
Quận 9 - TP 16 Chi Minh 5 Ỷ 1\( 1 y5 1 5(-s)|-s) Ộ[s) Se Sa Bài 2 : (3 điểm) Tắnh : a)A=1+2-3-4+8+6-7~8~ - 1999 - 2000 + 2001 + 2002 - 2003 Vu TA? b) B= ae, ag es 1 A Ah 4 9 16 Bài 3 : (4 điểm) a) Tima, b, c biét : 2a = 3b, 5b = 7c, 3a + 5c - 7b = 30
b) Tìm hai số nguyên dương sao cho : tổng, hiệu (số lớn trừ đi số nhỏ), thương (số lớn chia cho số nhỏ) của hai số đó cộng lại được 38 Bài 4 : (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, có trung tuyến BM Gọi
D là một điểm bất kì thuộc cạnh AC Kẻ AH, CK vuông góc với BD (H, K thuộc đường thẳng 8D) Chứng minh :
a) BH = CK
b) Tam giác MHK vuông cân
Bài 5 : (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có Â_= 209, BC = 2 cm Trên
AB dựng điểm D sao cho ACD = 10ồ Tinh độ dai AD ?
Trang 13DE THI HOC SIN GIOlLGP 9
Tinh Nam Dinh
ề Môn thi : Toán _ s Thời gian : 150 phút _ s Khóa thi :2002 - 2003 Bài 1: 34+V5_ 3-5 Mi0+vj3+v5 vVi0+vJa-5 Rút gọn biểu thức : A = Bài 2:
Gọi a và b là hai nghiệm của phương trình bậc hai
xÊ - x- 1 = 0 Chứng minh rằng các biểu thức P= a + b + a3 + bổ, Q=a2+ b2 + a' + b và R = a2001 Ư p2001 Ư 22003 Ấ p2003 |2, những số nguyên và chia hết cho 5 Bài 3 : Cho hệ phương trình (x, y là các ẩn số) : fe =xy=1 4x2 +4xy-y? =m
a) Giải hệ phương trình với m = 7
b) Tìm m sao cho hệ phương trình (1) có nghiệm
Bài 4:
Cho hai vòng tròn (C;) và (C,) tiếp xúc ngoài với nhau tại T Hai vòng tròn này nằm trong vòng tròn (C;) và tiếp xúc với
(C,) tương ứng tại M và N Tiếp tuyến chung tại T của (C;) (Ạ2)
cắt (C;) tại P PM cắt (C,) tại điểm thứ hai A và MN cắt (C,)tại
điểm thứ hai B PN cắt (C;) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C.)
tại điểm thứ hai C
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp
Chứng minh rằng các đường thẳng AB, CD và PT đồng qui
Bài 5:
Một ngũ giác có tắnh chất : Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tắch bằng 1 Tắnh
diện tắch của ngũ giác đó
@
Trang 14Ket qué : TH GIAI TOAN QUA THU Bài 1(7) : Chứng minh rằng x2 +-{8 + J2 +-V20 +30 + 42 < 24 Lời giải : Đặt A=+/2+/B+/12+-J20 +30 +42, ta có: A <42,25 +J6,25 + 12,25 + 20,25 + + /30,25 + 42,25 = =1,5+2,5 + 3,5 + 4,6 + 6,6 + 6,5 = 24 (đpcm) Nhận xét : 1/ Nhiều bạn đã sử dụng bất
đẳng thức Cô-si để chứng minh bài toán và từ đó đề xuất được bài toán tổng quát :
Từ Jab <2ồ (a,b > 0,a#b) suy ra:
A=V12 +23 +V8.4 +45 +156 +V67
< 1,54 2,5 +35 + 4,5 + 5,5 + 6,5 = 24
Ta có bất đẳng thức sau :
2+ J23+ jn+ ee) (véineN*)
2! Tòa soạn nhận được rất nhiều lời giải
cho bài toán này, nhiều bạn đưa ra được bài toán mở rộng, các bạn sau đây có lời giải gọn gàng nhất : Nguyễn Thảo Nguyên, 7B,
THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh ; Trần Hoàng Khang, 7A, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh
Lưu, Nghệ An ; Tạ Ngọc Thắng, 7B, THCS
Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ; Bạch Nhã Chi, 9A,
THCS Nguyễn Đăng Đạo, TX Bắc Ninh, Bắc
Ninh ; Nguyễn Hồng Chinh, 9A,, THCS
Ngọc Lâm, Gia Lâm ; Nguyễn Đan Tùng, 8E, THCS Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội ; Hoàng
Minh Hiếu, 8C, THCS Lê Quắ Đôn, Bỉm Sơn, Thanh Hóa ; Nguyễn Nhật Linh, 9,, THCS Lê Văn Thiêm, tx Ha Tinh ; Tran Hanh
Nguyên, 9B, THCS Nghèn, Can Lộc, Hà
Tĩnh ; Nguyễn Thanh Quế, 9/1, THCS Trần
Quắ Cáp ; Nguyễn Hồ Duy Hân, 9/8, THCS
Lê Quắ Đôn, Thăng Bình, Quảng Nam NGUYỄN VĂN MẠNH Bài 2(7) : Cho a, b, c thỏa mãn : a bị) c 2002 Ẽ 2003 2004'
Chứng minh rằng : 4(a - b)(b-c) = (c-a)*
Lời giải : Theo tắnh chất của fỉ lệ thức ta có as bee ee abl 003 2004 2002-2003 = ee es Ộ2003-2004 2004-2002 ` S s S nN => (a-b)(b-c) = => 4(a - b)(b - 9 =(c- ay (đpcm) ận xé đã tìm ra 6 lời giải n đều trình bày bày 3 ; 4 cách b a 2003 b, c theo k, thay v minh, rút gọn để e Cũng theo ti n đẳng thức đúng a day ti sé bang = =a+c=2be(e=e =0 ẹ đpem
2! Một số bạn đã nat tbiểu bài tốn tổng
qt Bạn Hồng Phúc Hưng phát biểu bài toán tổng quát 3 tỉ số bằng nhau tốt
nhất : Cho a, b, c thỏa man a c 8 a nhau, à 2002 từ ỞỞỞ aay m+2n" Chứng mi: 4(a- b)(b - c) = (c - a)2 Các bạn có thể phát biểu và chứng minh được bài toán tổng quát cho dãy n tỉ số bằng nhau không ?
3/ Sau đây là các bạn có nhiều cách giải, lời giải ngắn gọn, phát biểu được bài toán tổng quát : Hồ Bá Ngọc Minh, 8A, THCS Hồ
Xuân Hương, Cầu Giát, Quỳnh Lưu ; Nguyễn
Hữu Ngọc Lân, 8G, THCS Đặng Thai Mai,
TP Vinh, Nghệ An ; Hoàng Phúc Hưng, 9,
THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm, Biên Hòa, Đồng Nai ; Nguyễn Mạnh Hưng, 8B, THCS huyện
Trang 15Từ Sơn, Từ Sơn, Bắc Ninh ; Đặng Trần
Sơn, 9C, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Yên ; Cử Quốc Cường, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ; Pham Bich Ngoc, 7Ag, THCS Lương Thế Vinh, TX Thái Bình, Thái Bình ; Nguyễn Văn Linh, 9A, THCS Thị Trấn, Hương Khê ; Phan Thị Thanh Nhàn, 8A, THCS Hoàng
Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh ; Nguyễn
Hoàng Hải, 7A:, THCS Lâm Thao, Phú
Thọ ; Lê Hữu Điền Khuê, 91, THCS Nguyễn
Thị Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế ;
Huỳnh Quốc Uy, 50 Tran Hung Bao, TX
Quảng Ngãi, Quảng Ngãi ; Nguyễn Sử
Phương Phúc, 7AẤ, THCS Ngô Mây, Phù Cát, Bình Định ; Nguyễn Thị Vân Anh, 9A, THCS Gio Mai, Gio Linh, Quảng Trị ;
Nguyễn Thị Lâm Ngọc, 8B, THCS Nguyễn Hữu Tiến, Duy Tiên, Hà Nam
NGUYEN ANH QUAN
Bài 3(7) : Cho các số duong a, a5, .,
a¡o thỏa mãn : a,= 1 ;a¡o= 2; aẼ < a; +
với ¡ = 2, 3, , 9 Chứng minh rằng với mọi 1=1,2, , 10 thì aị < Ỳ2"1, Lời giải : Đặt c, Ta có : Ủ = cạo = Ẩ và với mọi ¡ = 2, 3, , 9 thio? <ằ)4.04,4 Kắ hiệu k e {1, 2, ., 10) théa man k lớn nhất và cụ > c; với mọi ỉ = 1, 2, , 10 (ồ) Ta sẽ chứng minh k e {1, 10) That vậy, phần chứng 1 < k < 10 Do (*) và cễ <Qx-j:Cx,4, Suy ra: `"
mâu thuẫn với cách chọn k lớn nhất
Vậy k e {1, 10} Chú ý eẤ = cạo = 1, ta có
Q<1,tứclà a; <Ỳ2FẨ với mọii=11,2, , 10
Nhận xét : Đây là bài toán bất đẳng thức
của dãy số, nhiều bạn còn chưa được làm
quen Hoan nghênh các bạn sau đã tham gia
và giải tốt bài toán này : Nguyễn Thị Mai
Hương, 9A, THCS Lâm Thao, Phú Thọ ; Đào Đức Chắnh, 102 tập thể 2179, Thanh Trì, Hà
Nội ; Nguyễn Hoài Nam, 9D, THCS Liên Bảo,
Vĩnh Phúc ; Vũ Xuân Dương, 9E, THCS Bình
Minh, TX Hải Dương, Hải Dương ; Nguyễn
Thanh Huyền, 9A, THCS Chu Văn An, Hương Khê, Hà Tĩnh ; Võ Thái Thông, 8/4, THCS Ngô Gia Tự, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Võ Van
Tuấn, 7AẤ, THCS Buôn Hồ, Đăk Lắk ; Đỗ
Thanh Ân, 9/1, THCS Trần Huỳnh, Bạc Liêu
NGUYEN MINH DUC
Bài 4(7) : Cho tứ giác ABCD có AD = BC
Về phắa ngoài của tứ giác này, ta dựng hai
tam giác bằng nhau ADE và BCF Chứng
Trang 16ver
Từ đó ta có : 4 AC'= lro-
= AADE (1)
Y' lần lượt là trung điểm
của AB, DC, EF, EFỖ, D Từ (1) suy ra : A, Y', Z' thẳng hàng (2) Dễ thấy : pe noe [ZZ FF Y'Y AX Z'Z Il AX Y'Y = AX 1 Y'Y ==C'C | 2 ZZ=AX tr Z'2=2F'F 2 Do đó : các tứ giác AXYY' và AXZZ' là hình bình hành (3) Từ (2), (3) suy ra : X, Y, Z thẳng hàng (đpcm)
Nhận xét : 1/ Lời giải của các bạn đều
đúng, tuy nhiên 2/ Ngoài lời giải nêu trên, một số bạn có một số bạn giải quá dài còn có lời giải khác cũng khá ngắn gọn
Gọi M, N, K, I, J lần lượt là trung điểm
của các đoạn AB, CD, EF, EB, DB Dễ thấy
các tam giác IKM, JNM cân lần lượt tại I, J
Sau đó sử dụng nguyên tắc : X, Y, Z thẳng
hang <> YXZ = 0ồ hod YXZ = 180ồ
Từ đó suy ra kết quả
3/ Các bạn sau đây có lời giải tương đối tốt :
Hoàng Vũ Hạnh, 9B ; Nguyễn Duy Đơng, 9l,
Hồng Đức Ý, 8E, THCS Trần Mai Ninh,
Thanh Hóa ; Nguyễn Xuân Dương ; Khổng
Ngọc Trọng, 8A2, THCS Lâm Thao, Phú Thọ ;
Nguyễn Hữu Kiên, 9A, THCS Yên Lạc ; Nguyễn Xuân Thọ, 9B, THCS Vĩnh Yên,
Vĩnh Phúc ; Nguyễn Thị Duyên, 8A, THCS
Trung Lương, TX Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh ; Vũ Xuân Dương, 9E, THCS Bình Minh, TX Hải Dương, Hải Dương ; Cao Mạnh Dũng, 9A, THCS Giao Phong, Giao Thủy, Nam Định NGUYEN MINH HA Bài 5(7) : Tắnh tổng A = a; + a; + + (neN) Lời giải : Ta có aẤ = i Ừ 1 _n+1 Ộ6 _ Xnn+t(Vnặ1zVn) vhAn+T dh pated ỘTh inet 2 et: VayA = a4 + a2 + + 22093 ÍT- # 004 2004 ` các bạn gửi bài về
nhiều bạn khi viết kết quả cuối cùng chưa khử căn ở mẫu Dễ Nhận xét đều giải đúng dàng tắnh được tổng : n+1 S=a,+ : = ee n+1 Những bạn gii đóng và có bình luận mở n Thế Vĩnh, 91A Ngư:
Ông, Lạc Đạo, TP Thiết, Bình Thuận ;
Nguyễn Việt Án: 9D., THCS Tién An, TX
Bac Ninh, Bac Ninh ỘTrần Thị Thanh Hiền, 8B, THCS Xuân ¡, Can Lộc ; Vương
Bằng Viét, 7/1, THCS Nam Ha, TX Ha Tĩnh, = nợ Gấm, số 12 tổ 7,
Viê Linh, Vĩnh Phúc ;
Hoàng Nguyên feng Mai ; Vũ Ngọc Mai, 8A, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu ; Lê Thanh Trà, 9=, THCS Đặng Thai Mai, TP
Vinh, Nghệ An ; Cao Phan Huyền Trang,
xóm 2, thôn Cảnh An l, Phước Thanh, Tuy
Phước, Bình Định ; Đặng Trà My, số 75, tổ
2, khối 8, TT Cao Lộc, Lạng Sơn ; Phạm
Xuân Vũ, 9A, THCS TT Tiên Lãng, Hải
Phòng ; Nguyễn Ái Dân, 9A,, THCS Chu Van An, Thanh Hà, Hải Dương; Nguyễn Thị
Lâm Ngọc, 8D, THCS Nguyễn Hữu Tiến,
Duy Tiên, Hà Nam ; Nguyễn Thị Vân Anh,
9A, THCS Gio Mai, Gio Linh, Quảng Trị ;
Võ Thái Thông, 8/4, THCS Ngô Gia Tự,
Trang 17
ẹ Néu ban dat mua TC U
aqua Buu ign ti ban ph đặt ngay,
6 đủ 12 số tạp chắ phát hành năm 2004 ẹ Đáp ứng 'vọng của nhiều giáo
viên và nhiều thư viện muốn lưu lại cáo số
Tạp chắ của năm tòa soạn Tạp chắ | Toán Tuổi thơ quyết định sẽ phát hành
Tuyển tập Toán Tuổi thơ năm 2004,
được đồng bla cứng rất đọp, gồm 12 số tạp chắ năm 2004 với giá 30000 đồng một
cuốn Thủ tục đặt mua như sau -
4 Tòa soạn chỉ nhận phiếu đặt tập thể có chữ kắ của lãnh đạo và đóng dấu
của đơn vị (ghi rõ sổ lượng đặt mua và địa
| chỉ liên lạc, kể cả số máy điện thoại)
iếu đặt raua chắ có giá trị khi tòa
Soạn nhận được 78% số tiến đặt trước HAY poc NGAY KEO MUON !
li nhận được phiếu đất mua và sé
` ủa đơn vị tòa soạn sẽ gửi giấy chứng
nhận về đơn vị, |
$ Thời Ề gian đặt mua kể từ nay đến |
trước ngày 30 tháng 42 năm 2004
4 Tòa soạn sẽ én tap tdi tan
đơn vị trước ngày 4: ng 1 năm 5 (đơn vị mua khống phải chịu cước vận
chuyển), Đơn vị sẽ thanh toán số tiền còn
lại cho tòa soạn ngay sau Khi nhận đủ số
lượng tuyển tập đã đặt mua |
5 Tòa soạn không nhận đạt mua của |
từng cả nhền, hiếu bạn muốn mua thì bạn
hãy thông qua đơn vị của bạn
Cám ơn các bạn đã đọc thông báo và mong các bạn đến với Toán Tuổi thơ! Ở !
@ Két qua: THU Ti TOAN (TTT2 số7)
ẹ Giả sử dựng được đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu Gọi giao điểm của d với các cạnh AB, AC lần lượt là M, N Do MN // BC nên hai tam giác AMN và ABC đồng dạng (ỳ số k) => a =k () Mặt khác, lạ = ÔBMNC = Suse = SaaMn _ k? (tis dién tich bang binh _Ở 2 phương ti sé déng dang) > k == (2) Từ (1) va (2) suy ra : a (3) an Tanhan Ew ra đây là tỉ Số quen N _d thuộc giữa EI zkipvhi cạnh bên B Ạ và độ dài
cạnh huyền của một tam giác vuông cân Từ
đó ta có cách dựng như sau : Dựng tam giác vuông cân EAB, đỉnh E Lấy điểm M trên AB
thỏa mãn AM =AE Qua M, kẻ đường thẳng d song song với AB, là đường thẳng phải dựng
ẹ Nhận xét : Kì này có nhiều bạn tham
gia, hầu hết các bạn có cách dựng đúng,
một số bạn trình bày còn lủng củng, dài
dòng, hay chỉ nói dựng au 2 ma
không nói dựng như thế nào
ệ@ Các bạn được thưởng kì này : Nguyễn Hương Thảo, con bố Nguyễn Văn
Hiếu, phân xưởng đại tu điện kiểm nhiệt,
nhà máy điện Phả Lại, Chắ Linh, Hải Dương ;
Phạm Ngọc Hà, con bố Phạm Quốc Tuấn,
219, phố Đông Thái, thị trấn Vĩnh Bảo, Hải
Phòng ; Nguyễn Hoàng Tùng, Lớp 7A.,
THCS Chu Văn An, TP Thái Nguyên, Thái
Nguyên ; Cao Phan Huyền Trang, xóm 2,
Cảnh An |, Phước Thành, Tuy Phước, Bình Định ; Vũ Thùy Duyên, 9B, THCS Tam Quang, Vũ Thư, Thái Bình
Trang 18
Ri-chác - cậu con trai lớn của Sê-Lốc-Cốc
rất yêu thắch nghề thám tử của cha mình Đã từ lâu, cậu mong muốn thành lập một
Văn phòng Thám tử "Tuổi Hồng" chỉ gồm
toàn các chàng trai, không có sự tham gia của người lớn và của phe con gái Hôm
nay, nhân cha mẹ và em trai đi vắng,
Ri-chác mời đám bạn đến nhà để bàn bạc
về ý định thành lập Văn phòng Tất cả đều
rất khoái chắ Chỉ còn một việc chưa ngã
ngũ là cậu nào sẽ được bầu làm ỘsếpỢ Mặc
dù Ri-chác là con trai của một thám tử lành nghề nhưng các bạn vẫn chưa tắn nhiệm
cậu ta lắm Sau một hồi
bàn cãi không có kết
quả, cuối cùng Ri-chác
đành ngắt lời đám bạn :
- Tớ sẽ đưa ra một câu hỏi, ai giải được xin mời giơ tay ! Cậu nào làm nhanh nhất sẽ trở thành thủ lĩnh của nhóm ~ Trời ơi ! Như thế thì y như trong lớp học à ? - Một cậu bạn tên là Bốp lập tức phản đối
~ Thôi đi, Bốp ! Tớ xin
hỏi, cậu có biết Sê-Lốc Hôm là ai không ?
- Không Thế tớ nhất thiết phải biết à 2
~ Tất nhiên Cậu có biết thám tử nổi
tiếng nào khác không ?
- Cũng không Mà này, cậu đừng tinh
tướng vội CƯ iều về các thám tử,
nhưng liệu cậu có biết phải làm thế nào để
tạo ra khói không hở Ri-chác ? - Bép ơi ! Chúng ta thành lập Văn phòng Thám tử không phải để làm những trò TT LẦU nghịch ngợm, mà là để tập theo dõi, khám phá những vụ án, để tập Ộgiải mã" những sự
việc phức tạp rnà người khác khó lòng hiểu
nổi Thôi ! Đừng căn văn nhau nữa, các cậu sn sàng nghe câu chuyện của tớ chưa ?
- Rồi Cậu nói đi !
~ Nghe nhé : Trong một căn phòng trống
rỗng vừa xây dựng xong mà chưa kịp bàn
giao, không biết có ai đó nghịch ngợm vẽ nghệch ngoạc lên trần nhà Tất nhiên là cánh thợ xây pỉ công sơn lại trần
Điều quan trọng kẨ hải là ai đã vẽ mà
diéu làm mọi người ngạc nhiên là làm sao
2 ai vẽ được ?
Quá đơn giản - Bốp â lời ngay - Trong ậy Kẻ đó buộc vào, giơ lên ~ Ồ không ! Chẳng có que, có gậy nào hết Viên phấn thì chỉ nhỏ như viên phấn ở lớp thôi ~ Như vậy chỉ còn khả năng ké đó đã trèo lên
anh bám vào khung cửa
cậu bạn học giỏi nhất lớp
trả lời đầy tự tin
- Không phải ! Bức vẽ nằm ở giữa trần
nhà cơ Từ cửa sổ không thể với tay tới đó
được Các cậu cũng cần biết rằng căn
phòng này có trần khá cao, như mọi căn
phòng tiêu chuẩn khác - Ri-chác nói Mắc nhìn Ri-chác, hỏi thêm :
Trang 19cái gì chứ ! Nó đàn hồi, khiến kể đó có thể
nhảy bật lên thì sao ? Hay là kể đó có phép
lạ ? Cậu cho biết thêm chỉ tiết nào nữa đi
- Không có phép lạ nào hết ! Cậu hỏi
thêm chỉ tiết nào đó tức là cậu bắt đầu có
Ộmáu thám tửỢ Tớ cho các cậu biết thêm : trong phòng rất ấm còn nền nhà thì ướt sũng
~ Ngoài đường thế nào ? ~ Ý cậu là ?
~ Là trời có mưa không ?
- Không Trời rất lạnh, băng tuyết rất dày
Bên cạnh có một hồ nước đóng băng, trên bờ hồ có những tảng băng cứng
- Hồ thì có ý nghĩa gì trong chuyện này
nhi ? - Bốp cau mày suy nghĩ
Với vẻ mặt đăm chiêu, đột nhiên như
bừng tỉnh, Mắc cười lớn :
~ Xong rồi ! Cậu cũng rất khá khi đặt ra
tình huống này để thử bọn tớ Nhưng tớ cũng
không đến nỗi thua "con nhà tông" lắm đâu ! Còn các bạn - những Ộthám tử nhắỢ
yêu thắch Sê-Lốc-Cốc tài ba - có thể Ộgiải
mãỢ câu chuyện của Ri-chác không ? ẹ Xéi qua : KE LAY CAP BAI HAT anessn
Lần này, hầu hết tất cả
| cae Ộthám tử nhắ" đều fìm
ngay ra điều vô lắ trong lời
khai của ông Xen - đội
- trưởng bảo vệ Ông ta nói
_rắng : Sau khi suýt tóm được tên trộm ở ngồi
vườn, ơng cuống cuồng
chạy vào căn phòng mà nhac si Mac-tin vừa ngồi
xem có mất gì khong Ong vội đến nỗi không kịp cởi giày, cứ thể lao vọt qua cánh cửa kắnh đang hé mở Thế nhưng, theo quan sát của Thám tử Sê-Lốc-Cốc thì tấm thảm trải sàn trong căn phòng này vẫn "trắng tốp như bôngỢ, không hề có một vết bùn đất nào Thêm vào đó, lúc xảy ra vụ trộm, trời lại mưa
Ẩo khiến cả khu vườn ướt đấm Vậy mà, thật kì lạ, tấm thảm vẫn sạch tỉnh, trắng muốt !? Bằng tài quan sát nhanh nhạy của mình, Thám tử Sê-Lốc-Cốc đã mau chóng phát hiện sự gian dối trong lời khai của
ông Xen Có khả năng ông
Xen đã thông đồng với tên
trộm, hẹn trước thời điểm rồi trao cho hắn bản nhạc đắt giá Ông Xen không hề
-chạy ra vườn, chỉ mở cửa đưa cho hắn và tạo hiện trường giả là khóa bị phá a Xin trao quà cho năm bạn có lập luận Ộsắc bénỢ va hém hinh hơn cả : Trần Xuân Hiệu, 8D, THGS Na Sầm, Văn Lãng, Lạng Sơn ;
Mai Thị Hoàng Giang, 8H, THCS Chu Văn An, Ngô
Quyền, Hải Phòng ; Hà Thị Thanh Huyền, 7A1, THCS Lâm Thao, Lâm
Thao, Phú Thọ ; Dương
Thị Bắch Trâm, 7!1 THCS Dinh Tiên Hoàng, Ninh Hòa, Khánh Hòa ; Chiêm Hải Yến, 17A Điện Biên Phú, Thị xã Rạch Giá,
Kiên Giang
Trang 20THIHOC SINH GIOI TUMOT BAI TOAN TRẦN QUỐC HOÀN
(10T, THPT Nguyễn Trãi, Hải Dương) Trong một đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 2000 - 2001
có bài toán sau :
Bài toán : Cho a, b là hai số tự nhiên lớn hơn 1 Giả sử
al945 + p1945 và a1954 + p195Ộ đều chia hết cho 2001 Hỏi a2002 + 52002 có chia hết cho 2001 không 2
Về bài toán này, nhiều bạn #ã chỉ kết luận rằng :
Ộa2902 + b2002 chỉ chia hết cho 2001 khi ab chia hết cho 2001
hoặc aẨ98 + p199 chịa hết cho 2004
Khó hài lòng với kết luận trên (m:
kết luận), tôi đã tiếp tục suy n a khá bất ngờ, đó là a và b đều
lời giải trình bày dưới đây
Lời giải 1 : Gọi p là ước số nguy
ra p lẻ và af945 + p1945 ; a1954 + 5
Nếu một trong hai số a ; b chia ỉ số còn lại cũng chia hết cho p
Néu(a,p)=(b,p)=1 (
Áp dụng hằng đẳng thức :
an *9 + bn*9= (a9 + b9)(an + b?) - a5pS(an "9 + b"~9), ta có ; at984 + p1954 = (a9 + p9)(a1946 + o/945) _ 29pS(a1938 + p1936)
Vì (a1945 + p1948) : p ; (912 5 ip
nên a9b9(a1938 + p1936) : p Ở (27925 = p 1936) : p (do (1)
Vi 1936 mod 9 = 1, tiếp tục = Binh tn cho a!936 + 5196;
ta chứng minh được (a + b) :p (2)
Dễ thấy (a1954 - 1954) : tếỪ b2), mặt Khác
(aẼ - bổ) = (a - b)(a + b) Ậ p (do (2))
= (aẨ9% - b195%) ; p, Kết hợp với giả thiết :
a1984 + p1984 = (91984 _ 1954 + 251954) : p
= 20195! : p Ở b : p (do p nguyên tố lẻ), điều này vô lắ do b>1,p> 1à (b, p) = 1
Do đó trường hợp này không xảy ra
Vậy : với p là ước nguyên tố bất kì của 2001 thì a : p và b : p Mặt khác, 2001 = 3.23.29 là tắch của 3 số nguyên tố lẻ nên
Trang 21Phân tắch lời giải 1 : Có hai mắt xắch chắnh
để đi đến lời giải 1, đó là sử dụng hằng đẳng
thức nêu trên và một tắnh chất chia hết : Tắnh chất : Cho p là số nguyên tố lẻ Nếu
(a+b) p và (a2" + b?") : p với a, b e Z và n e N' thì a : p và b : p (chứng minh tắnh chất này hoàn toàn tương tự như trường hợp 2n = 1954) Theo hướng khác, các biểu thức ở đề bài gợi ý ta nghĩ đến định lắ nhỏ Féc-ma, từ đó ta có lời giải 2 như sau
Trước hết, ta phát biểu và chứng minh một bổ đi
Bổ đề : Cho các số nguyên x, y và số nguyên tố p Nếu p có dạng 4k + 3 và
(x2 + y?) ip thix ip vay ip
Chứng minh : Giả sử x không chia hết
cho p, suy ra y cũng không chia hết cho p Áp dụng định lắ Féc-ma nhỏ ta có : @Pồ1-1):p;@P"1-1)!p =xP 1-1+yP"f-4=(@6^1+yPỢ1- 2) ỉp Mặt khác : xP T+ yP (x24 1 + (y2J2K * 1 =
= M(x? + y2) : p (do giả thiết : (x2 + y2) : p)
Suy ra , vô lắ vì p nguyên tố lễ
Vậy x : p, suy ra y : p, bổ đề được chứng minh Lời Đặt x= 2977 ;y=b#77 = x2 + y2 = (a1954 + p1954) : p, Áp dụng bổ đề cho x ; y và p = {3 ; 23} ta có a9Ợ? và b#Ợ7 cùng chia hết cho 3 và 23, suy ra a và b cùng chia hết 3 và 23 Ta chỉ cần chứng minh a : 29 và b : 29 Vi(a1945 + b1945) :2001 va (a! + pẨ952) : 2001 nên (a1945 + p1945) : 2g và (a195% + p1994) : 29,
áp dụng hằng đẳng thức trong lời giải 1, ta
chứng minh được : (aẨ983 + b1969) : 20 ; (a2044 + p2044):29 (3)
Giả sử a không chia hết cho 29, suy ra b cũng không chia hết cho 29 Theo định lắ Féo-ma nhỏ, (a?8 - 4) : 29 và (b2Ế - 1) : 29 Mặt khác a2 - 1 = (a28)73 - 1) : (a28 - 1) = (4204 1) : 29, tương tự thì (b2044 - 4) : 29 => (a2044 + p2044 _ 2) : 20 = 2 : 29 (do (3)), vô lắ Vậy a ¡ 29 => b ¡ 29 => đpcm 232324232423 ?42324242323232329292923? ệ Một góc nhỏ của EUREKA ệ Mỗi kì sẽ có một Ộvõ sĩỢ đứng ra
thách đấu bằng một bài toán
ệ Bài toán đưa ra thách đấu có thể
sưu tầm ở bất cứ nguồn gốc nào nhưng
phải kèm theo lời giải, xuất xứ bài toán
và những lời bình luận (nếu có)
ệ Bất cứ ai cũng có quyền nhận lời
thách đấu bằng cách gửi lời giải và bình luận của mình về chuyên mục này
@ Néu "võ sĩỢ nào làm cho "võ sĩỢ thách đấu phải Ộtâm phục khẩu phụcỢ thì
sẽ được đăng quang trên sàn đấu với Ế danh hiệu vô địch và phần thưởng giá trị ệ Sau 12 trận đấu, Ban tổ chức sẽ
cho bình chọn danh hiệu Vạ SĨ XUẤT 3S SẮC NHẤT TRONG NĂM CIE NO " ca Ộ NOI ors} Gd TRAN BẦU THỨ NHẤT ?
ệ Người thách đấu : TS Nguyễn ? Minh Hà, Khối Phổ thông Chuyên toán Ậ
Đại học Sư phạm Hà Nội 2
ệ Bài toán thách đấu : Cho đường ặ
tròn tâm O và hai điểm A, B cố định nằm Ế
trên đường tròn Hai điểm M, N chạy trên ? đường tròn sao cho MN cắt đoạn thẳng + AB Tìm quỹ tắch trung điểm I của MN
ệ Xuất xứ : Đây là bài toán số 251 7
Trang 22
Kiến thức về xét dấu các nghiệm của
một phương trình bậc hai là một trong
những kiến thức cơ bản của THCS Sau
này khi học lên bậc THPT, các em vẫn cần sử dụng Ta nhớ lại những điều cần thiết :
ẹ Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a z 0), ta thường kắ hiệu P va a a
và X;, xạ là các nghiệm của phương trình ệ Các điều kiện quan trọng : #)x;<0<xƯeỦP<0 P=0 +)0=X; <X;<ẹ es P=0 S<0 =0Ủ {Eo moze { = 9x/<x,=0ex | s=0 A>0 P>0 S>0 A>0 P>0 S<0 #)X; <Xạ<0ẹ Sử dụng các kiến thức trên chúng ta có thể xét được số nghiệm của nhiều loại phương trình 1 Phương trình trùng phương axỖ + bx2+c=0 (1) Đặt ẩn phụ t= xÊ > 0 thì (1) sẽ trở thành: aÊ+bt+c=0 (2) Mỗi nghiệm t > 0 của (2) cho hai SỐ NHIÊN
Cn MOT Sti Log PHIM TRINH
NGUYEN THANH HÀI ỞỞ=- -._- ` (GV THCS Nam Cường, Nam Trực, Nam Định) nghiệm x= +ýt của (1) Nghiệm t = 0 của (2) sẽ cho một nghiệm x = 0 của (1) Tất nhiên t < 0 sẽ không cho nghiệm của (1) Bài toán 1 : Biện luận số nghiệm của phuong trinh : x*- mx?+3m-8=0 (3) Lời giải : Đặt t = x2 > 0 thì (3) trở thành : -mt+3m-8=0 (4)
Số nghiệm của (3) phụ thuộc vào dấu
các nghiệm của (4), tức là phụ thuộc vào
Trang 23Phương trình (5) có đúng ba nghiệm phân biệt ẹ phương trình (6) có nghiệm P=0 Ie "yến ova = oii s= 0s m= Ư8 m> v, 2m>0 m>0 2.Phương trình a(x - g)? + b|x - ơ| + c = 0 (7) Đặt ẩn phụ t = |x - a thì (7) cũng sẽ trở thành phương trình (2)
Ta thấy mối quan hệ giữa số nghiệm
của (1), (7) với nghiệm của (2) rất giống
nhau Có thể tổng kết lại nhờ bảng sau : { thỏa mãn 0 Số nghiệm Ng! của (1) ; (7) của (2) Vô nghiệm 0 hoặc t<t<0 1 t.<t=0 t<0<b 2 hoặc t=t>0 3 O=t <t 4 0<t<t Bài toán 3 : Tìm m để phương trình x2 - 2x -x- 1|*+m=0 (8) có đúng hai nghiệm phân biệt Lời giải : Ta có (8) Ủ &- ệỂ - |x - 1|*m-1=0 Đặt t = |x - 1| > 0 thì (8) trổ thành : -t+m-1=0 (9) Phương trình (8) có đúng hai nghị phân biệt c> phương trình (9) có ngi tị, t2 thỏa mãn tị < 0 < L, hoặc t, = tẤ P<0 m-1<0 m<1 = ice Cina 5 s>o |l1>0 lứẶy 3 Phương trình a(kx + n) + b Vkx+n +c=0(10) Để không tầm thường ta giả sử k z 0 Đặt ẩn phụ t = vkx+n > 0 thì (10) trở thành (2) Với mỗi giá trị t > 0 cho ta một nghiệm duy nhất x = qe =n) Do đó số
nghiệm của phương trình (10) đúng bằng
Số nghiệm không âm của phương trình (2)
Bài toán 4 : Tìm m sao cho phương trình 2x - m V2x-1 +2m-4=0 (11)
có hai nghiệm phân biệt
Lời giải : Đặtt= v/2x~1_ >0 thì phương trình (11) trở thành
t2-mt+2m-3=0 (12)
Phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt <> Phương trình (12) có hai nghiệm m>6 A>0_ [m2-8m+12>0 j ẹỦẬP>0ẹ>42m-3>0 ồ 3 S>0 |m>0 mes m>0 Be 2|3 ne
Trước khi dừng bài viết, xin đề nghị các
em có thể tự giải các bài tập sau đây : Bài tập 1 : Tìm m để phương trình xÊ + 2m|x - 2| - 4x + m2 + 3 =0 có ắt nhất một nghiệm Bài tập 2 : Chứng minh rằng phương trình : mxỲ - 3(m - 2)xÊ + m - 3 = 0 luôn có
nghiệm với mọi m
Bài tập 3 : Biện luận số nghiệm của
Trang 24MỘT SỐ DẠNG TOÁN THỊ HỌC SINH GIỎI
ỘGAL TOAW TREN WAY Tn UEN Tt castỢ (tiếp theo kì trước)
Dạng toán 3.4 Tìm đa thức thương khi
chia đa thức cho đơn thức
Chia da thifc ayx? + a,x? + a,x +a, cho
x~c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = box + bẤx + bạ và số dư là r : ayX t,x? +a,x + ay = (K-C)(bgx? + b,x + bp) += box? + (b, - byo)x? + (bp - b,0)x + (r + bạc) Ta lại có công thức truy hồi Horner : bọ = ag ¡ bị = bạc + ay ¡ bạ = bạc + 8, ; r=b,ằ + ay
Tương tự, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm
thương và số dư khi chia đa thức P(x) cho
x - c trong trường hợp tổng quát
Thắ dụ 2 Tìm thương và dư trong phép chia xỶ - 2xẾ - 3x! + x - 1 cho x + 5 lẢi : Ta có c = -5, aọ = 1, a; = 0, a; = -2, a4,= 0, a; = 0, ae = 1, a; = -1,
Dùng Casio fx-500A tim cac hệ số của đa thức thương và số dư theo sơ đồ Horner : +] 0 [=| (-5) [x] [MR] [+]2[-7-][=](23) Ghi: 23 [x]|MR]+|3|+/-]|=|(-118) Ghi : -118 kk] [MR] [+]o[=|(590) Ghi: 590 x] [MR] [J o[=|(-2950) Ghi : -2950 [x|ÍMR]Í+]1|=](14751) Ghi : 14751 ][MR]+]1[+/-]ÍE=l|(-7375) - Ghi:-73756 Dung Casio fx-570MS :
Bam : [(|5[SHIFT] [STO] [Mj 1[x][ALPHA\
IM] [+] o[=| (-5) fx] [ALPHA] [MI] [=] 2 [=](23)
TS TA DUY PHUONG (Vién Toan hoc) [ALPHA] [Mj] [+] [()] 3{=] (-118)[x] [ALPHA M|[+|o[=|(690)xi[ALPHA]|M||+]0[=](-2950) [.|[ALPHAIiMI/511Ì=](14751)|x][ALPHA||MÌ +l[CO]1=l(-73756) Vậy : xỶ - 2xẾ - 3x# + x- 1 =(x+ 8)(xÊ - 5xỢ + 23x? - 118x3 + 590x2 - - 2950x + 14751) - 73756 Dạng toán 3.5 Phân tắch đa thức theo bậc của đơn thức Ap dung n - 1 lần dạng toán 3.4, ta có thể phân tắch đa thức P(x) bậc n theo x - c : PQx) =rp +rạ(X~Ạ) + ra(x G)Ẽ+ + rẤ(X - c)" Thắ dụ 3 Phân tắch xf - 3x3 + x - 2 theo bậc của x - 3 Giải : Trước tiên thực hiện phép chia P(x) = 4,(x)(- ằ) + fy theo so dé Horner dé
được q;(x) và rẤ Sau đó lại tiếp tục tìm các
qu() và r ; ta được bảng sau : 1-3191} 1]-2] x4 3x2+x-2 3|1|0| 0] 1] 1|q,@)=x3+1,u=1 [ q6) =x2+3x+1 i 2 Ừ 3|1|3 2 || 228 3l1|6 27| | qa(x) =x+6,tụ= 27 3jisJ ] ] Vậy x' - 3x + x- 2= 1+ 28(x - 3) + +27(x - 3) + 9(x - 3)? + (x - 3)!
Dạng toán 3.6 Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức
Nhận xét : Nếu trong phân tắch
Trang 25ta có r¡ > 0 với mọi ¡ = 0, 1, Ấn1 thì mọi
nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c
Thi du : cận trên của các nghiệm dương của đã thức x' - 3x3 + x - 2 là c = 3 (Đa thức có hai nghiệm thực gan dung la 2,962980452 va -0,9061277259) Chay: Vixt-3x8 +x-2= (x-3)08 +1) +1 nên chỉ cần một lần áp dụng sơ dé Horner ta đã có thể khẳng định cận trên của các nghiệm dương là c = 3
Lời bình: Các dạng toán 3.4 - 3.6 là mới
(chưa xuất hiện trong các kỳ thì) Từ các dạng toán trên, có thể giải các dạng toán
khác nữa : phân tắch đa thức ra thừa số, giải
gần đúng phương trình đa thức,
Kết luận : Với máy tắnh, có thể giải được nhiều dạng toán với đa thức bậc cao và hệ số tùy ý, do đó ta dễ tiếp cận hơn với các bài toán thực tế Thắ dụ, để tìm ra sao Thủy
vương, Leverie phải tìm nghiệm của đa thức 3447x8 + 14660x5 + 22430x' + 28857x2 + + 29193x? + 11596x + 5602 Bài tập 4 : Tổng hợp 4.1 (Thi Khu vực, 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 - 7x2 - 16x + m
a) Tim m dé P(x) chia hét cho 2x + 3
b) Với m tìm được ở câu a), hãy tìm số dư r
khi chia P(x) cho 3x - 2 và phân tắch P(x) ra tắch của các thừa số bậc nhất d) Tìm m và n dé Q(x) = 2x3 - 5x?- 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x - 2 ẹ) Với n tìm được ở trên, hãy phân tắch Q(x) ra tắch của các thừa số bậc nhất 4.2 (Thi Khu vực, 2002, lớp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x +n a) Tim gia trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x - 2
b) Với giá trị của m, n vừa tìm được, chứng
t6 rang da thie R(x) = P(x) - Q(x) chi cd một nghiệm duy nhất 4.3 (Thi Khu vực, 2002, lớp 9) Cho P(x) = xẾ + axà + bxẾ + cx2 + dx +, Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 15 Tinh P(6), P(7), P(8), P(9) b) Cho Q(x) = x4 + mx? + nx? + px + q Biết Q(1) = 5, Q(2) = 7, Q(3) = 9, Q(4) = 11 Tắnh các giá trị Q(10), Q(11), Q(12), Q(13) 4.4 (Thi Khu vực, 2003, lớp 9) a) Cho P(x) = x5 + 2x4 - 3x3 + 4x2 - 5x + m 1) Tim số dư trong phép chia P(x) cho X- 2,5 khi m = 2008 2) Tìm giá trị của m để đa thức P(x) chia hết cho x - 2,5 3) P(x) có nghiệm x = 2 Tìm m b) Cho P(x) =xồ + axf + bxẾ + cx2 + dx + e, Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(6) = 51 Tinh P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(1) 4.5 (Sở GD & ĐT Cần Thơ, 2002) Cho f(x) = x9 + ax? + bx +c Biét @-5u -g)*-ậ:f 3-3 3) 108' | 2)ỢỢ8' (ậ)Ợ soo Tắnh giá trị đúng và gần đúng của (3) 4.8 (Thi vào các lớp chuyên Toán cấp III của Bộ GD, 1975)
1) Phân tắch biểu thức sau ra ba thừa số :
a4 - 6a3 + 27a2 - 54a + 32
2) Từ kết quả câu trên suy ra rằng biểu
thức nỄ - 6nẾ + 27n? - S4n + 32 luôn là số
chẵn với mọi số nguyên n
4.9 (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1984) Có chắnh xác đúng 4 số nguyên dương n để (n+1? n+23 lớn nhất 4.10 (Thi học sinh giỏi toán bang New York, MY, 1988)
Chia P(x) = x81 + ax! + bx! + ox!9 + 2x41
cho x- 1 được số dư là 5 Chia P(x) cho x-2
được số dư là -4 Hãy tìm cặp (M, 8) biét rang
Q(x) = x81 + axệ? + x41 + cx!? + Mx + N
chia hét cho (x - 1)(x - 2)
Trang 26
Dinh li Pizza TS NGUYEN MINH HA (ĐHSP Hà Nội)
NGUT TRAN ANH DUNG (THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)
Pizza không phải là tên của một nhào _ Trên hình 7, ta thấy hình tròn (O) được
toán học mà là tên của một loại bánh hình 9 chia thành tám phần bởi các dây AA
tròn của người Ý Định lắ Pizza là định lắ về s B,B,, C,C,, D,DẤ cùng đi qua điểm M và
hình tròn nhưng thường được phát triển một Ế (AjAp B,Bp) = (B,BẤ, C,C,) = (CC
cách sinh động nhờ hình ảnh cla chiéce Ộ1? Ộ12 42:1 ⁄472 là
bánh Pizza Định lắ này lần đầu tiên được s D;DƯ) = (D;D; A;A-) = 469 Định lắ Pizza
công bố và chứng minh trên tạp chắ? khẳng định rằng, tổng diện tắch của bốn Mathematics Magazine số 41 (năm 1968) ồ phần ỘtrắngỢ bằng tổng diện tắch của bốn
bởi nhà toán hoc L.J.Upton Bai bao nay xin 3 phần ỘmàuỢ Kắ hiệu (Ay, A2) chỉ góc giữa giới thiệu với bạn đọc định lắ Pizza và phép ệ hai đường thẳng A , A, nó có hiệu lực trong chứng minh định lắ đó ẹ toàn bộ bài báo này
Định lắ Pizza : Nếu chia chiếc bánh 2 cá mhiéu cach chứng minh định lắ Pizza
Pizza thành tám phan bởi bốn nhát cắt ệ xin giới thiệu với bạn đọc một cách chứng
cùng đi qua một điểm nằm trong chỉ minh khá đơn giân của riêng chúng tôi
bánh sao cho hai nhát cắt kề nhau tạo với Trước hết, ta cần có một bổ đề
nhau một góc bằng 45ồ thì tổng diện tắch ụ
của bốn phần đôi một không kề nhau này
bằng tổng diện tắch của bốn phần đôi một
không kề nhau kia A
Ai Dạ c
(o)
D Hinh 2
Bổ để : Cho hình vuông ABCD nội tiếp
lường tròn (o) Điểm M thuộc cung AB
hỏ Các dây MA, MB, MC, MD chia (o)
$ thành năm phần ỘtrắngỢ và ỘmàuỢ (hình 2) : Khi đó, tổng diện tắch của hai phần ỘtrangỢ
ng tổng diện tắch của ba phần ỘmàuỢ
Chứng minh bổ đề : Gọi H là hình chiếu Ế của M trên đoạn AB (hình 2) Ta thấy :
e S(MAD) + S(MBC) = S(HAD) + S(HBC)
1 HA AD +- HBBC 1 = Ả (HA +HB).AD 1
ử 547% &Đ) aug HB)
Trang 27
(viAD = BC) s. Không mất tinh tổng quát, giả sử O nằm
=2 ABAD =-S(ABCD)_ () rong góc C;MD;
2 2 Đặt A, B, C, D theo thứ tự là giao điểm
Mặt khác, vi ABCD là hình vuông nên ồ thứ hai của các dây A,AẤ, B;BẤ, C,CẤ, các cung A8, BC, CD, ÔẢ có số đo bằng ồ D,D; với (o) Vì (A;AẤ, B,B,) = (BB,, nhau (cùng bang 90ồ) => diện tắch của các ậ C¡C;) = (C;Cz, D,D,) = (D,DẤ, A;A;) = 45ồ
hình viên phân sinh ra bởi các cung này ồ nạn ABCD là hình vuông Các dây MA, MB,
bằng nhau = tổng diện tắch của hai hình MC, MD chia (o) thành năm phần "trắng",
viên phân sinh ra bởi hai cung AD, BC ậ ỘmauỢ Theo bổ đề, tổng diện tắch của hai
bằng tổng diện tắch của hai hình viên phân ệ HỘ hang? Ree tổng diện tắch của ba Tả tần "màu i
sinh ra béi hai cung AB, ĐC _ (2) Hình tròn (ẹ) bỏ ởi hình tròn (o), còn lại
Từ (1) và (2) => trên hình 2, tổng diện tắch $ một hình vành khăn mà ta kắ hiệu là (ẹ)\ (o)
của hai phần ỘtrắngỢ bằng tổng diện tắch của Qua A, C vẽ các đường thẳng song Song
ba phan ỔmauỖ Bổ đề đã được chứng minh $ với B,B; Qua A, B, Ạ vẽ các đường thẳng Bổ đề trên chắnh là trường hợp đặc bi
Tu bes de Ost ong song với DD;
của định lắ Pizza khi bốn nhát cắt cùng đi 3 2 (9, x ee ểÁ
qua một điểm nằm trên biên của chiếc s _ Năm đường thẳng vừa vẽ cùng với các
bánh Pizza tường thẳng A;AƯ, B,Bạ, C;CỈ, D,D; chia
Trong phép chứng minh bổ đề trên, kắ s (Q) \ (o) thành 14 phần, trong đó có 7 phần
hiệu S(,) chỉ diện tắch các đa giác rắngỢ với các diện tắch là tị, t2, tạ, ty tạ, tạ,
Trở lại việc chứng minh định lắ Pizza ty và 7 phần ỘmàuỢ với các diện tắch là mạ,
Chứng minh định lắ Pizza : Trên hinh 1, 3 cm m mm mạ
gọi O là tâm của (2), goi () là hình tròn s T2 Mạ; mạ, mẹ, mẹ, mự fl -
tâm O, bán kắnh OM Để cho bạn đọc dễ $ Vìmọi đường thẳng di qua O déu [a truc déi theo dõi, chúng tôi vẽ thêm một hình mới s xứng của (O) \ (o) nên ta có : tị = m, ;
(hình 3), hình này chắnh là hình 7 vệ thêm :ty=m; (4) (bạn đọc tự kiểm tra)
đường tròn (4), và một.số đường thang sé = ~ ty(3) va (4) = trên hình 3, tổng diện tắch
được giới thiệu dưới đây của bốn phần "trắng" bằng tổng diện tắch của bốn phần ỘmàuỢ Định lắ Pizza đã được ct ồ ồ ồ
Trên đây ta đã chứng minh định lắ Pizza
$ trong trường hợp n = 8 (chia bánh thành 8
e phần) Người ta đã chứng minh được rằng, $ nó vẫn đúng khi n = 12 ; 16 ; 20 ; nhưng
không đúng khi n = 2, 4, 6, 10, 14, 18,
@eoeoeeooeoo
Trang 28ap an -CUOC THI ỘVUI HE BẦU THIÊN NIÊN KỈỢ NĂM 2003
Bài 1(4) : Dòng chữ : "BÚT VỞ HỒNG HÀỢ
Chữ "lạc loài" là chữ ỘG", chữ cái duy nhất không có tắnh chất đối xứng (trục, tâm)
Bài 2(1) : Có nhiều cách di chuyển con mã theo yêu cầu để bài, sau đây là một cách (các ô được đánh số từ 1 đến 3⁄2 theo đường đi của con mãi | 20 9| 32 13| 26 3| 30) 4 1714| 19| 10) 31/1225) 4 8| 21| 16| 27| 6 | 23| 2/29 15 | 18 7 22, 11| 28) 5 | 24
Bài 3(4) : Gọi số trên núm quạt là A Tổng các
số trên 4 nan quạt và 3 cung tròn phải bằng 2(1+2 + + 13 + A) = 182 + 2A Vì tổng các số trên mỗi nan, cung bằng nhau (đặt là T) nên (182 + 2A)! 7 (ys (do4+3=7) Suy ra A= 7 => T= (182 + +2x7):7=28 T-A= 28-7 = 21 Đến đây có thể thử chọn được nhiều cách AỂX=Ở()ỞỞd Bài 4(2) : Câu thành ngữ đó là : ỘTRE GIÀ MĂNG MỌCỢ EVUI c> VUI(VUI~1) = HE000 => VUI(VUI Ở1)Ư2000 Bài 2(2) :
ụ (VUI, VUI~1)=1 đo VỤI, VUI~1 là hai số
tự nhiên liên tiếp
ẹ 1000 = 8 x 126 ; (8, 126) = 1
Từ các nhận xét trên suy ra một trong hai số
'VUI; VUI~1 chia hết cho 126 và là số lẻ, còn
số kia chia hết cho 8 và là số chẩn
e Lại có VUIxVUI = VŨIỢ = HEVUI =
100 < VỤI < 316
99 < VUI-1< 315
Số lẻ chia hết cho 125 thỏa mãn điều kiện trên chỉ có thể là 125, số còn lại là 124 hoặc 126 đều 1000 < VUI < 99999 => | không chia hết cho 8 Bai tốn vơ nghiệm Bai 3(2) : Bạn hãy gấp giấy | va vẽ như hình
Bài 1(3) : Các bạn này đã xếp hàng từ trên
xuống dưới theo thứ tự bằng chữ cái ABC Vì vậy, nếu bạn Chắn đến thì phải đứng ở vị trắ thứ tư, giữa bạn Bốn và bạn Hai a loại Ộđặc biệt", bạn hãy ghép lầu tiên của mỗi dòng lại mà xem ! Bài 3(3) : 2222 - 222 + 2 + 2: 2 = 2003, Bài 1(4) : ĐVTTTLĐVƯM - Đến với Toán Tuổi thơ là đến với ước câu trong lời của bài hat ỘNoi chap ca moỢ, do nhac sĩ Phạm Tuyên sáng tác Ổoan Tudi the tron 2 tuổi Bài 2(4) : Với 3 chữ số 2 ; các dấu "+", "", *xỢ, ồ* ; dấu ngoặc, \c số tự tiếp từ 1 đến 11 ta chỉ có thể biểu các số : 6;8; 11 Vắ dụ: 1=22 2= (2c2)2= 2=(2+2):2=2-2+2= 3=2+2:2 6=2x2+2=2+2+2=22+2 8=2x2x2=(2+2)x2=22x2 được đầy đủ các số tự nhiên liên 11, các bạn phải sử dụng các khái
niệm khác ở bậc THCS như căn bậc 2 (x `),
Trang 29Các bạn ơi ! Hôm nọ tôi mới viết bài tham dự
một cuộc thi tim hiểu về biển Tôi rất băn khoăn,
chưa dám gửi đi vì không biết bài mình viết đã đúng chưa Các bạn hãy đọc và góp ý giúp tôi với !
Các đại dương chiếm gần một nửa diện tắch Trái
Đất của chúng ta Rộng lớn nhất là biển Thái Bình Dương Đứng vị trắ thứ hai là biển Ấn Độ Dương, rồi
đến biển Đại Tây Dương, biển Bắc Băng Dương
Nước biển rất mặn bởi vì dưới đáy biển là những mỏ
muối cực lớn Tuy mặn như vậy, nhưng trong nước
biển vẫn có vô số các loài sinh vật sinh sống Một
loài tảo xanh đã khiến cho mặt biển có màu xanh
biếc đấy các bạn ạ Các loài cá mới thật phong phú làm sao ! Nào là cá thu, cá chim, cá chuồn, cá mập, cá sấu vx Trong các loài cá, có lẽ mực là loài thú
vị nhất Khi gặp con mồi, chúng lập tức phun ra một
luồng ỘmựcỢ đen để con mồi khơng thể trốn thốt
Dưới biển còn có một loài thực vật tuyệt đẹp, đó là
= tan mắt ngắm nhìn những cây san hô muôn hình
muôn vẻ đó, phải không các bạn 2
suốt từ Hà Giang đến mũi Cà Mau Biển mang lại
2 loài hải sản, dầu mỏ, khắ đốt, than đá, muối ăn
Nhiệm vụ của chúng ta là phải bằng mọi cách khai
này để làm giàu cho đất nước
LÊ MINH NGỌC (TP Việt Tr, Phú Thọ)
27
san hô Còn gì thú vị hơn là được lặn xuống biển để Ộ
Nước ta may mắn có bờ biển khá dài, chạy ẹ cho chúng ta rất nhiều nguồn lợi kinh tế như : các = thác thật nhanh, thật mạnh, thật ổ ạt các nguồn lợi ẹ
@ Két qua:
TAY YE tng ty Rất nhiều bạn đã góp ý, sửa chữa
cho đoạn văn về Tây Nguyên của Minh Bạn Đỗ Thị Hồng Huệ (Yên Phong, Bắc Ninh) viết : ỘMinh biết không, Tây Nguyên
trong trắ tưởng tượng của bạn đã pha thêm một chút miễn Bắc, một chút miền
Nam đấy Nếu Tây Nguyên của Minh mà
có thật thì chắc là hay và thú vị lắm nhỉ !Ợ
Hầu hết các lỗi trong đoạn văn của Minh đã được các bạn chỉ ra rất rõ ràng Đó là :
Tây Nguyên không ở cực Nam Tổ
quốc ; ở Tây Nguyên không có những
cánh rừng dừa bát ngát, những dòng kênh rạch chẳng chịt ; vải thiểu, man,
đào không phải là trái cây đặc sản miền Nam ; cà phê, hồ tiêu không phải là cây
nông nghiệp mà là cây công nghiệp ;
đồng bào dân tộc Thái không sinh sống
đông ở Tây Nguyên (ở Tây Nguyên, nếu có, thì chỉ là con số rất nhỏ) ; đồng bào Thái không giỏi săn bắt và thuần dưỡng voi rừng (đồng bào Ê-đê mới giỏi nghề này) ; hoa mận, hoa mơ không thơm và chỉ có nhiều ở vùng núi phắa Bắc ; quan
họ không phải là lối hát truyền thống của
đồng bào Tây Nguyên ; Yaly không phải là nhà máy nhiệt điện mà là nhà may
thủy điện ; trong vườn quốc gia Yok Đôn
không có ngọn núi cao nhất nước ta (đỉnh
Phan-xi-păng nằm trên dãy Hoàng Liên
Sơn, ngoài Bắc) ; không có bài hát ỘCó chú voi ở Bản Đôn" của nhạc sĩ Hoàng Van, chi có bài ỘChú voi con ở Bản ĐônỢ của nhạc sĩ Phạm Tuyên
Xin trao quà cho một số bạn có bài làm khá hơn cả : Đỗ Thj Hồng Huệ, 8B, THCS Hòa Tiến, Yên Phong, Bắc Ninh ;
Vũ Văn Hanh (con bố Vũ Đình Tố, thôn
Đỗ Xuyên, Quang Minh, Gia Lộc, Hải
Dương) ; Nguyễn Thị Anh Thơ, 7B, THCS:
Trang 30Anh Khoa ơi, em nói thậi
Bố em vẫn lấy anh ra mà
đọc anh là bố em lại ch
văn của em, suýt nữ
ông lại lấy anh làm đắch đề em thì cứ hay nói
chi anh Khoa) dé ki
đấy" Rồi mẹ em kể
dai O ri 6ng tong ra sao Ane Ke
ấy anh tiêu tiền vào ni bút ? Có được nhiều kắ: là em ghét anh lắm hững (Xã Đông Trà, huyện T¡ TRẦN ĐĂNG KHOA :
Chết chửa ! Anh không ngờ những bài thơ vụng dại thời trẻ con của anh lại gây cho em bao nhiêu là tai họa Nếu biết em "bị nạn" vì
thơ anh như thế, chắc anh chẳng làm thơ làm gì
Chẳng ai sống được bằng nhuận bút thơ đâu em ạ Hồi còn trẻ con, anh làm thơ, Nhà xuất bản không trả nhuận bút bằng tiền Các
cô bác lớn tuổi rất quan tâm chăm lo cho trẻ con, nên sợ trả tiền, anh
sẽ hư hồng và sẽ viết vì tiền chứ không phải vì nghệ thuật, và như thế sẽ mất đi sự hồn nhiên trong sáng Bởi vậy, thay bằng tiền, các
cô bác ở Nhà xuất bản trả bằng hiện vật Hiện vật phần lớn là cặp sách, truyện tranh, và có khi là đồ chơi : Một cái ô tô to bằng nắm tay nhưng chạy được bằng dây cót Hồi đó nhà anh đói lắm Quan: năm ăn độn Nhiều khi không đủ khoai sắn, phải lấy gốc muống già
băm nhỏ rồi phơi khô, trộn lẫn với cơm Trông bát cơm cứ đen xì
ấy nhuận bút lại rất cao Một bài thơ in ở Văn nghệ quân đội nhuận bút lên đến 16 đồng, trong khi đó chỉ hơn hai hào bạc một ống gạo Năm 1967, anh có hơn mười bài thơ in ở Nhà xuất bản Kim Đồng sau khi giành Giải nhất cuộc thi thơ thiếu nhỉ Giải thưởng cũng trả bằng hiện vật Nếu nhuận bút phần thơ đó được trả bằng tiền, ch: cả nhà anh đỡ đói đến mấy tháng trời Nhưng Nhà xuất bản chỉ t&n
anh quà thôi Nhuận bút cũng lại là cái cặp sách để đi học và
con búp bê to bằng cổ tay trẻ con, nhưng có đầy đủ váy áo, giày,
vàng rất xinh và đặc biệt là nó biết nhắm mắt, mở mắt Hồi đó cả
huyện, chỉ anh có con búp bê như thế Còn cặp sách thì anh nhiều lắm Có lần, anh có đến 56 cái cặp sách Anh dùng không hết, phải mang đến lớp, tặng mỗi bạn một cái Phát cho cả lớp mà cặp văn còn thừa Tập thơ thứ hai của anh với 40 bài, được Nhà xuất bản Kim Đồng tặng cho một cái đài bán dẫn Cái đài rất xinh, chỉ to bang bao thuốc lá nhưng chạy đến 9 vn, nghĩa là phải lắp đến 6 quả pin đ:
Pin nặng hơn cả đài Hồi ấy có đài phải ra công an đăng kắ Có giấy đăng kắ mới mua được pin phân phối Nhưng pin phân phối chỉ dùng được mười ngày là hết Phải mua pin chui ngoài chợ ỘđenỢ Mẹ anh
Trang 31oKi nay: trò chơi XẾP QUÂN BÀI Có 9 quân bài, ol mỗi quân bài ghỉ một chữ cái E| [fF] [Le] yl Đến lượt chơi không dùng hết) để xếp thành một bạn phải dùng các quân bài này (có thể từ có nghĩa Chẳng hạn : P|ol|Lll c[E]M|A|N hay o[Pye[N Ai đến lượt mà này, bạn chuẩn bị áắ sg o Két quả : @ CHl
Có thể các em đều không xa lạ với các
nhạc cụ nhự Kèn, Sáo, Đàn ghi-ta Nhung,
chắc hẳn việc gọi tên các nhạc cụ ấy bằng
tiếng Anh đã làm các em lúng túng Có
không nhiều em ỘVào thăm Vườn Anh" lần
này tìm được đường đi và khám phá được bắ
ẩn trông Vườn Đừng nản chắ vì dù không tìm được đáp án, các em cũng hiểu biết thêm về
các nhạc cụ qua đáp án của: Chủ vườn Chúc các em may mắn hơn trong lần sau
Và đây là đáp án :
Hang 1 : VIOLIN - Dan vi-ô-lông Hang 2; BUGLE - Ken
Hang 3 : PIANO - Ban pi-a-nd
Hàng 4 : DRUM - Trống Hang 5: FLUTE - Sao
Hang 6 : GUITAR - Dan ghi-ta Cột dọc : LEADER - Nhạc trưởng
chỉ chờ bạn nghĩ cách xếp trong 2 phút thôi đấy ! Mọi người
thua hết thì người còn lại sẽ chiến thắng Để tham gia trò chơi
(188/1A, Quốc lộ 60, phường 6, TP Mỹ Tho, Tiền Giang)
không xếp được là thua Nhớ là mọi người
được bao nhiêu lượt chơi ?
HỒ MỸ PHƯƠNG
Wy Cu (TTT2 số 7)
Chúc mừng các em có tên dưới đây đã
có lời giải đúng và nhận được tặng phẩm
của Chủ vườn : Lê Diệu Thúy, 7G và Định Thị.Phương Linh, 8C, THCS Đặng Thai Mai,
Vinh, Nghệ An ; Đặng Trinh Hiếu, 6A,
HS Thị trấn Đối, Kiến Thụy, Hai Phong ;
Nguyễn Công Huan, 8C, THCS Vinh
Tường, Vĩnh Phúc
Trang 32
(TTT 2 số 7) Cây đa chú Cuội đang ngồi
Chú lên vũ trụ từ thời có trăng
Kia Tôn Hành Giả tài năng
Nhúm lông thổi nhẹ thành trăm khỉ vàng
Nhân bẳn vô tắnh rõ ràng
Tại sao không xếp vào hàng đầu tiên ?
Các bạn được giải kì này : Phạm
Hoàng Phương, lớp 91, THCS Ngô Gia
Tự, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Nguyễn Thị Hồng Hạnh, số 4 ngõ 164 đường Trần Duy Hưng, Hà Nội ; Nguyễn Minh Thái, 8A, THCS Hồng
Thái, Ninh Giang, Hải Dương ; Đặng
Thị Thu Thủy, 9D THCS Đặng Thai
Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Nguyễn Đình
Tường, thôn Lôi Châu, xã An Thịnh, Lương Tài, Bắc Ninh VUA TẾU CHANG CAN VAT 6ằ CONG RA Hai mặt mà chẳng co Một bụng rỗng tuếch chẳng buồn ăn chỉ Nằm yên tưởng chẳng i
Đến khi lên tiếng chỉ huy moi
LAY ON (Ngoc #2, Ha Noi)
Két qua: fl HEN DUNG (7287)
z 2
Ghanh chi :
ỘQuả là các ngươi ở
Tuổi đời tuy ắt
Nhưng mà hiểu biết: Rõ tuyệt làm sao Bất cứ hàng nào Cũng nhiều đáp án : Ba chân bốn cẳng .Ba chốn bốn nơi Ba bề bốn bên Ba chìm bảy nổi Ba hén bay via Ba máu sáu cơn Ba đâu sáu tay Một mất mười ngờ Chắn đợi mười chờ Chắn người mười ý Chắn nhớ mười thương Chắn người mười làng Chắn đụn mười trêu Ta thật đau đầu Vi ai ciing gidi Ai chưa thì đợi Kì tới chẳng xa Ban bay phan quà Đừng ai ghen tị THCS Đăng Thai Mai, Vĩnh, Nghệ An ; Nội - Amsterdam, Q Ba Định, Hà Nội ; Vữ Thị Thú Hương, 9A, THCS Ngô
Trang 33Hoi : Các bạn nam lớp } em rất hay lấy trộm nhật kắ ! của các bạn nữ để đọc Bọn |
em nói thế nào các bạn ấy !
cũng không nghe Theo anh, : bọn em phải làm gì bây NGUYEN THI MY HANH ! (7C, THCS Nguyễn Trãi, ! Nghi Xuân, Hà Tĩnh) Đáp : Nhật ký là của rất riêng !
Xin nhắc các ban phải !
kiêng đông người :
Đừng mang đến lớp em ơi ! !
Bắ mật lộ tả, lộ tơi còn gì ? :
**w%
Hỏi : Anh Phó Gé oi! Anh
theo đạo nào đấy ạ 2 Anh có
ghét đạo nào không 2
Nóng tắnh
(8A, THCS Nghĩa Hồng, Nghia Hưng, Nam Định) }
Dap: ;
Anh theo cái đạo làm người :
Đạo hàm anh cũng một thời : Hỏi : Các bạn lớp em Ì bảo học sinh lớp 9 có thể ;
làm chứng minh nhân dân Ì
được rồi Em thì cho rằng } phải đủ 16 tuổi mới được :
làm Anh Phó Gỡ ơi ! Ý kiến nào đúng ạ ? pi Người chua đủ tuổi : (Lớp 9, THCS Nguyễn Trãi, | Nghi Xuân, Hà Tĩnh) ! a
Tuổi hồng xin cứ tuổi hồng,
Chuyện gì quá sớm xin không trả lời
Đáp : Các bạn lớp em Ậ
nói đúng đấy Theo luật :
định, công dân Việt Nam đủ : 14 tuổi có nghĩa vụ đến cơ ! quan công an nơi đăng kắ khẩu thường trú làm chứn: mình nhân dân : Xin mời em đến công an ¡ Lan tay, chụp ảnh đàng Ì hồng, em ơi ! Ì Chứng minh thư đã có rồi |
Em thêm kiêu hãnh là người '
công dân `
Hồi : Kiểm tra mơn tốn, Ậ
do kém nên em hay bị điểm 5 Về nhà thì bị bố mẹ mắng, còn ở lớp các bạn gọi em k ỘChúa điểm nămỢ Anh tắn hộ em coi ! Em gái xấu hổ (6A2, THCS Nghĩa Hưng, Nam Binh) Dap: : ỘChúa điểm nămỢ là ỘNắm ` điểm ChuaỢ + Danh hiệu chắnh xác phâi bua lam gi Tức mình phải cố gắng đi Học giỏi mơn tốn, tức thì hết Ộdanh" Hồi : Cốc thủy tỉnh nhà em rất hay bị nứt, bị vỡ khi rót nước nóng vào Mỗi lần | như vậy, em tiếc lắm Anh ¡ có biết cách khắc phục tình Ẩ trạng này không ạ ? :
DANG HOAI MINH }
(Khu tập thể Trung Tự, Hà Nội) } ớì) Ze a, Đáp : Nghe em nói mà anh cũng tiếc Anh một thời ỘnổỢ biết như em Kinh nghiệm em thử làm xem Cho vào nồi nước réi dem luộc liền Xin đừng cô tưởng anh điên ! kkk
Hỏi : Tại sao người ta
cho bò nghe nhạc thì lại
vắt được nhiều sữa hơn ? - Anh để ý chương trình quảng cáo P/S mà xem Em gái tò mò (7C, THCS Hoa Thành, Yên Thành, Nghệ An) Đáp :
Em làm anh bắ quá thôi !
Hỗi bò không hồi, lại lôi thìthầm
Bò kia nghe nhạc cả tuần
Sữa thì như cũ, mặt đẩn như
Xưa Câu này anh phải chịu thua
Em nhờ P/S phân bua được liền !
Trang 34
e Một đường thẳng d di qua trọng tâm : G của tam giác cắt cạnh AB tai D v:
eo cất cạnh AC tại E Tìm giá trị nh
: nhất của tổng diện tắch các tam giá:
e BDE và CDE ồ
Ổ NGUYEN SUC TRUONG
(GV THCS Ba Tén, Gia Lam, Ha N6i) ẹ ẹeeoeeeeeooeeooeoooe 00000000000 ~ Bai 2(9) : Cho hình vuông ABCD e Tìm tập hợp các điểm M nằm trong
Ế (không nằm trên cạnh) hình vuông sao
ệ cho : MAB+MBC +MCD +MDA =1809
TS NGUYEN MINH HA (ĐHSP Hà Nội) Ế
2Ạ Bài 3(9) : Trong một giải bóng đa Nhi đồng theo thể thức
thi đấu vòng tròn một lượt Thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm,
thua 0 điểm Đội Măng Non chỉ hòa 1 trăn, thua 1 trận và
được tất cả 16 điểm Chứng minh rằng vào bất kì lúc nào cũng
tìm được ắt nhất hai đội đã đấu cùng số trăn
ĐÀO VIỆT KHANH
(Số Giáo dục và Đảo tạo Thái Bình)
SH Bai 4(9) : Cho các số không âm xẤ, xó, Xạ, , xn có tổng
bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
So co 224 ôn no ik
MINH TRAN (Phòng giáo dục Hương Thủy, Thừa Thiên - Huổ) SH Bài 5(9) : Tìm các cặp số hữu Ủ y) thôa mãn : x + y
Trang 35
Cam on, me va ba
Tóc bà đã bạc trắng
Tóc mẹ đã điểm râm -
Như ngày tháng ân cần
Bà Uịn 0âo chiếc gây
Hay vin vao thoi gian Lo cho em cuộc sông
Mã lưng bà công vay Mẹ em là cô Tắm
Tóc bả đã pja sương Bà em là bà Tiên
Le Xinh dep lai diu hién
Tuổi tho Ba van hay kể djuyện Như trong truyện cổ tắch
ni sa Chuyen ngày xa, ngây xưa _
Tuôi thơ lờ gì nhỉ ? ee ae ae Mỗi khi trời nóng nực >
Là cónh điều bay coo, _ 21g gl ND) Gió thổi từ tay bà
Lờ dòng sông mét rượi, CO ẹ co tuoi to Khi trời nắng chói lòa
Côu hớt ru ngọt ngòo Mây bay tà áo mẹ
Án mặt trời buổi trưa
Truyện cô ắch củo bờ _ Cứmg thoi khong bát nang Khi em không được khỏe
Và Tình thương của mẹ _ Cjiốc gay gac canh ban Đôi mắt mẹ mỗi mòn
Cung fam long cla cha Cang oe nh trống vdng Kohemipad Keng Agen
Lò tuổi Ẩhơ em đó Ổ ĐỘT 0200062066
AAEM Giữ ba khong con vuỉa Mev này em khôn lớn
tee ie tee eae chau nhin ai nai trâu Đi mọi nẻo đường xa
as Ư lêu chán ra đợi cử Nhớ tới mẹ và bà
Q.9,TPHồ ChắMinh) Chiều chán ra Đợi cửa
Gap canh cd ca dao Với tình thương tha thiết
SQ
= (Khối 4 Thi tran Tay Som TE NGOG ANH THO MAITHINGUYETANK S GB, THCS Bang Thai
Huong Son, Ha Tinh) Mại, TP Vĩnh, Nghệ An)
` 4 GY VAN PHONG PHAM
TÀI TRỢ CHÍNH No is 30 TRIEU DONG GIAI THUONG cy HONG H A lụ
CUỘP THỊ VUI HÈ ĐẦU THIÊN NIÊN Ki - 2003
SINCE 1959