So 85 Full re pdf
Trang 2Children’s Fun Maths Journal
Tea nm tuditho 2 TRUNGHOCCOSO
NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM - BO GIAO DUC VA DAO TAO
CHIU TRACH NHIEM XUAT BAN
Chi tich HBOT kiém Ting Giam déc NXBGD Viet Nam:
NGUT NGO TRAN Al
Pho Tang Giam dic kiém Tang bién tap NXBGD Viet Nam: TS NGUYEN QUY THAO
HOI DONG BIEN TẬP
Phó Tổng biên tập phụ trách tạp chí: ThS VŨ KIM THỦY
Thư kí tòa soạn: NGUYỄN XUÂN MAI
Ủy viên Hội đồng biên tập: PGS TS VŨ DUONG THUY, GS NGUYEN KHAC PHI, PGS TS TRAN KIEU, PGS TS NGND TON THAN, TS NGUYEN VAN TRANG, PGS TS VU NHO, TS TRINH THI HAI YEN, ONG NGUYEN KHAC MINH, ONG PHAM DiNH HIEN, PGS TS NGO HUU DUNG, TS TRAN ĐÌNH CHAU, NGND vO HUU BINH, TS NGUYEN MINH HA, PGS TSKH VU BINH HOA, TS NGUYEN MINH DUC, PGS TS LE QUOC HAN, ONG DAO NGOC NAM, ONG NGUYEN DUC TAN, TS NGUYEN DANG QUANG, TS TRAN PHUGNG DUNG, TS NGO ANH TUYET, ONG TRUONG CONG THANH
Bién tap: HOANG TRONG HAO, PHAN HUGNG
Tri su - Phat hanh: TRINH ĐÌNH TAI, TRINH THI
TUYET TRANG, MAC THANH HUYEN, NGUYEN HUYEN THANH
Ché ban: DO TRUNG KIEN
Mi thuat: TU AN
Dai dién tai mién Trung: ThS NGUYEN VAN
NHO, Ban Biên tập Toán Tin, NXB Giáo dục tại
TP Đà Nẵng, 15 Nguyễn Chí Thanh, TP Đà Nẵng ĐT: 0511.3887548
Đại diện tại miền Nam: ÔNG TRẦN CHÍ HIẾU,
Giám đốc Cơng ti CP Sách - TBGD Bình Dương, 283 Thích Quảng Đức, TX Thủ Dầu Một, Bình Dương ĐT: 0650.3858330 ( QFN 86 nav rR” ` @ Hoc ra sao? Một cách giải khác Nguyễn Khánh Ngun 2
® Giải tốn thế nào?
Ứng dụng của bài tốn con bướm
Hồng Đức Nguyên 6
® Nhìn ra thế giới
Cuộc thi Toán cấp trung học tại Alberta,
Canada
Nguyễn Văn Nho 8
Trang 3
MOT CACH GIAI KHAC
NGUYEN KHANH NGUYEN (GV THCS Hồng Bàng, Hải Phòng)
TTT2 số 80 đã đăng bài viết Một bài toán thú vị của nhà giáo Nguyễn Đức
Tấn với lời giải dựa trên định lí Pytago và bất đẳng thức tam giác Bài viết này
nêu một cách giải khác là chứng minh bằng phương pháp phản chứng, từ đó mỏ rộng tập hợp các điểm thỏa mãn tính chất của bài toán đã cho
Trước hết xin được nhắc lại nội dung bài toán trên: Vì AABC nhọn nên D nằm trên cạnh BC
Cho AABC nhọn Gọi O, I, H, G lần lượt là tâm Mà AB < AC nên DB < DC
đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp, Suy ra tồn tại điểm K trên đoạn thẳng DC sao
trực tâm và trọng tâm AABC cho DK = DB
Giả sử X © {0 ; 1; H; G} Chung minh rang Vi AXDK = AXDB (c.g.c) nén XK = XB
nếu XB + AC =XC + AB (*) thì AABC cân Kết hợp với (*) ta được XK + AC = XC + AB
Sau đây là lời giải bằng phản chứng và sựmỏở hay XK + AC = XC + AK (1)
rộng của bài toán trên Xét trường hợp X nằm giữa A và D (các trường Lời giải 1) Nếu X nằm trên đường trung trực _ hợp khác chứng minh tương tự)
của BC thì bài toán hiển nhiên đúng Gọi L là giao điểm của AK và CH A A h H X B ⁄ _ C h * ˆ ` 9 B D K C
2) Xét X năm trên AI (X z A) Giá sử AB < AC Ta thấy L nằm trên các đoạn thẳng AK, XC Trê ren aan h AC lấy điểm E ay quem ie 20 ene ho AE = AB Suy ra XC + AK = (XL + LC) + (AL + LK) "
= (XL + LK) + (LC + AL) > XK +AC
Kết hợp với (1) suy ra vô lí
Trường hợp AB > AC chứng minh tương tự Vậy AB = AC, ta có đpcm
4) Xét X nằm trên AG (X +A) Giả sử AB < AC
- Gọi D là điểm đối xứng của B qua AM A X B C D Ta thấy AAXE = AAXB (c.g.c) = XE = XB Kết hợp với (*) ta được XE + AC = XC + AB hay XE + AC -AB= XC = XE + AC -AE = XC © XE + EC = XC
Suy ra E nằm giữa X và C => X =A: Vol X
Trường hợp AB > AC chứng minh tương tự
Vậy AB = AC, ta có đpcm B M C 3) Xét X nằm trên đường thẳng AH (X #A) AH Khi đó AD = AB va XD = XB
cắt BC tại D Giả sử AB < AC Kết hợp với (*) ta được XD + AC = XC + AD
Trang 4© Kind Chia doan thang bang (hước (hàng
Cho trước đường tròn tâm O bán kính R, đoạn thẳng AB và số tự nhiên n > 1
Chỉ bằng thước thẳng hãy chia đoạn thẳng AB thành n đoạn thẳng bằng nhau HOÀNG MINH TUẤN
(Số nhà 374/77 Hai Thuong Lan Ông, P Đông Vệ, TP Thanh Hóa)
@ Két qua (II mor LAN DUNG COM DA (TTT2 sé 83)
Cách dựng Lấy O là điểm bất kì nằm ngoài d
Dựng đường tròn tâm O cắt d tại hai điểm phân
biệt A, B
Kéo dài AO, BO cắt (O) tương ứng tại điểm thứ hai C, D
Nối C với D ta được đường thẳng CD cần
dựng song song với d
Chứng minh (Bạn đọc tự giải)
Biện luận Bài tốn ln dựng được và có vô số nghiệm hình
Nhận xét Có rất nhiều bạn tham gia giải bài
toán này với nhiều cách giải khác nhau Tiếc là ngoài cách giải trên, các lời giải khác của các bạn đều không đúng Nguyên nhân là do các
bạn đã không hiểu đúng về bài toán dựng hình
bằng thước thẳng và com pa Các bạn sau có lời giải tốt nhất: Nguyễn Đức Thọ, 9C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ, Hải Dương; Chu Văn Hợp, 9A,
THCS Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Tiến Đạt,
9/3, THCS Lê Văn Thiêm, TP Hà Tĩnh; Bạch Thị
Thảo, 9A; Nguyễn Như Bình, 9B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh ANH COM PA AABC cân tại A (đpcm) Nhận xét 1) Với cách chứng minh bằng phản
chứng như trên, ta tìm được thêm các điểm X thỏa mãn điều kiện bài toán Đó là các điểm thuộc các đường thẳng chứa đường trung trực của BC, đường phân giác AI (trừ A), đường cao
AH (trừ A) và đường trung tuyến AG (trừ A)
2) Ngoài ra, với X là điểm Tôricenli của AABC
(là điểm nhìn ba cạnh của AABC dưới ba góc bằng
= AC = PC + AB = PC + AP
Do đó P nằm giữa A và C hay P = C: vô lí
A Đến đây ta chứng minh như 3) cũng suy ra
1209) thì X cũng thỏa mãn điều kiện của bài toán Thật vậy, vì AABC nhọn nên X nằm trong tam giác
Giả sử AB < AC Gọi P, Q tương ứng là các điểm
nằm trên tia XC, AC sao cho XP = XB, AQ = AB Ta thấy APXA = ABXA (c.g.c) > AP = AB
thi ACP > AXP =120° > 90° = AP > AC: vô lí
Vay P nam gitta X, C Suy ra XC = XP + PC
Do đó AP < AC Nếu P thuộc tia đối của tia CX Kết hợp với (*) ta được XB + AC = XP + PC + AB P B O Trường hợp AB > AC chứng minh tương tự Vậy AB = AC, ta có đpcm Kết luận Bằng phương pháp phản chứng, ta đã tìm thêm được nhiều điểm X thỏa mãn (*) mà
có tính chất nêu trên của bài toán ban đầu Rất
mong các bạn tìm thêm những phương pháp
khác để chứng bài toán đã cho, từ đó tìm thêm
các điểm X khác cũng có tính chất trên
Trang 5~ © nA? ~ ^ )
e2:say Côn thiếu đì Rơng:
Bài tốn Chứng minh rằng trong một tứ Cc
giác lồi hai đường chéo cắt nhau B
Chứng minh Giả sử ABCD là một tứ giác
lồi
Theo định nghĩa tứ giác lồi, hai tia BD và
BC nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ
là đường thẳng AB Trong ba tia chung gốc B là BA, BC, BD có
một tia nằm giữa hai tia Rõ ràng tia BA không phải là tia nằm giữa Giả sử tia BC nằm giữa hai tia BA và BD Khi đó Avà Dnằmởhai “4
nửa mặt phẳng có bờ là BC: trái với giả thiết ABCD là tứ giác lồi
Vậy tia BD nằm trong góc ABC
Ma A va C nằm trên hai cạnh của góc ABC (khác B) nên suy ra BD cat AC (dpcm) Theo ban lời giải trên còn thiếu gì không? PHẠM LIÊN (GV THCS Mai Dịch, Cầu Giấy, Hà Nội)
© Két qua PHAN TICH DUOC KHONG? cri sss)
Kì này có nhiều bạn tham gia gửi bài cho
chuyên mục, tất cả các bài gửi về đều chỉ ra
được cách phân tích đa thức đã cho thành nhân tử là
A= X + 2x2 + 9 = x' + 6x2 + 9 — 4x2
= (x2 + 3)2 - 4x2 = (x2 + 3 + 2x)(x2 + 3 — 2x)
Do đó kết luận lời giải đã cho là sai Có rất ít
bạn chỉ rõ chỗ sai, theo đúng yêu cầu của
chuyên mục
Bài giải sai ở chỗ: từ A = (y + 1)2 + 8 > 0 ta chỉ có thể suy ra đa thức đã cho không phân tích được thành tích của các đa thức (ẩn x) có bậc
nhỏ hơn 4 Từ A = (y + 1)2 + 8 > 0 ta chỉ có thể suy ra tam thức bậc hai (ẩn y) không thể phân
tích được thành tích của hai nhị thức bậc nhất (ẩn y) (vì tam thức không có nghiệm thực)
Các bạn sau được nhận thưởng kì này: Thái Hoài Sơn, Bùi Huy Hoàng, 8A, Trần Thị Anh Thơ, 9C, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Đình Lộc, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn Huy Vinh, 8A, THCS Xuân Lai, Thọ Xuân, Thanh Hóa; Chu Văn Hợp, 9A,
THCS Yên Phong, Bắc Ninh ; -
ANH KINH LUP
Trang 6
¢ Ki niy Hinh né
% Ki nay Hinh nao?
Ban hay chon một hình thích hợp trong bốn hình a, b, c, d ở hàng dưới dé
làm hình thứ sáu của hàng trên b) C) d) NGUYEN DANG QUANG
© Xết quả Hay tim quy luat (TTT2 số 83)
Nhận xét Rất vui vì có rất nhiều bài gửi về
tham gia kì này, đa số đều trả lời đúng Bạn
Duong Minh Tri, 9A, THCS Dai Nai, P Dai Nai, TP
Hà Tĩnh, Hà Tĩnh cho lời giải sau: Quy luật của dãy số là
Tạo thành một số từ ba (chữ) số đầu
Tiếp theo hai chữ số sau Cho thành một số có gì là lâu
Lấy số trước chia số sau
Được thương bằng 9 là khâu sau cùng
Chớ quên còn phải “truy lùng”
Được hai số đó (32436, 43248) cũng cùng dãy trên Ngoài bạn Trí, các bạn sau cũng cùng nhận
giải kì này: Trịnh Anh Tuấn, mẹ là Trịnh Thị Oanh,
tổ 19, P Bắc Sơn, TX Tam Điệp, Ninh Bình;
Nhóm bạn Nguyễn Thúy Ngọc, Nguyễn Thị
Nguyệt, Vũ Thị Thu Hà, 7C, THCS Vĩnh Tường,
Vĩnh Phúc; Nguyễn Phong Long, 6/3, THCS Lê
Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương; Nguyễn
Trang 7
Ung dung của
BAI TOAN CON BUOM HOANG BUC NGUYEN
(GV tru6ng THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội) Bài toán con bướm Cho I là trung điểm của
dây cung AB của đường tròn (O) Qua l vẽ 2 dây cung tùy ý MN và PQ sao cho M, Q nằm cùng
phía so với AB Các dây cung MP và NQ cắt AB
lần lượt tại E và F
Chứng minh rằng I là trung điểm của EF
Chứng minh Gọi H, K lần lượt là trung điểm
của MP và NQ
Ta có [OE = [HE (vì tứ giác IOHE nội tiếp) =ÍKF (vì AIMP œ AIQN)
=ÍOF (vì tứ giác IOKF nội tiếp)
Do đó AOEF cân tại O = IE = IF (đpcm) Một vài ứng dụng
Bài toán 1 Cho AABC nhọn có trực tâm H
Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng qua H
và vuông góc với MH cắt AB, AC lần lượt tại P và Q Chứng minh rằng AMPQ cân
Lời giải Gọi giao điểm của BH với AC là B,
của CHl với AB là C'
Vì tứ giác BCB'C' nội tiếp đường tròn tâm M
nên theo bài toán con bướm ta có HP = HQ
Do đó AMPQ cân tại M (đpcm)
B M C
Bài toán 2 Cho AABC nhọn có đường cao AD;
O và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và
trực tâm Đường thẳng qua D và vuông góc với OD cat AB tai K oe
Chứng minh rằng DHK + AHC = 1809
Lời giải Gọi giao điểm thứ hai của đường
Trang 8Vay DHK + AHC = AIC + AHC = = IHC + AHC = 180° (dpcm)
Bài toán 3 Cho AABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có H là trực tâm và tgBtgC = 3 BH và CH
theo thứ tự cắt (O) tại B', C'; B'C' cắt AH tại P
Chứng minh rằng P là trung điểm của AH
Lời giải Gọi Q và A' lần lượt là giao điểm của AH với BC và đường tròn (O)
Ta có tgBtgC = 3 › tgBtgBHQ- 3
QA GB _ c©QA=3QH<AH=2QH (1) OB OH?
Do đó AH = HA’ (vi QA’ = Qk)
Theo bài toán con bướm ta có HP = HQ (2) Từ (1) và (2) suy ra PA = PH hay P là trung điểm của AH (đpcm) A"
Bài toán 4 Cho AABC nội tiếp đường tròn (O)
có l là tâm đường tròn nội tiếp Các đường thẳng
BI, CI cắt (O) tương ứng tại B', C' Gọi K, D thứ tự
là giao điểm của AI với B'C' và BC
Giả sử AB + AC = 2BC
Chứng minh rằng I là trung điểm của KD
Lời giải Giả sử AI cắt (O) tại M (khác A) Ta thấy AMAC œ2 ABAD (g.g) BD CD BC ˆ à —=——=—— tên AB AC AB+AC AB-BC AB MC 1 =————=——=—-=— (1) AB+AC 2 MA 2 Xét AMIC có MIE - ^*£ - [EM
Vay AMIC can tai M => MC = MI (2)
Từ (1) va (2) suy ra IA= IM
Theo bài toán con bướm ta có lK = ID (đpcm) Bài tập tự luyện
Bài 1 Cho hai tam giác nhọn ABC và A,BC
cùng nội tiếp trong đường tròn (O), có trực tâm
tương ứng là H;, H Gọi P, Q lần lượt là giao điểm
của H,H, vai A,B, AC
Biét rang A,HoH, = 90°
Ching minh rang A,P =A,Q
Bài 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tron (O) Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I khác O Một đường thẳng qua I vuông góc với OI cắt cạnh AB và CD tại M và N
Chứng minh rằng AB = CD c BM = CN
Trang 9
GIO! THIEU ThS NGUYEN VAN NHO (NXBGDVN)
Alberta là một trong ba tỉnh thuộc miền Tây
Canada, và là tỉnh đông dân nhất cũng như trù phú nhất trong ba tỉnh này Cuộc thi Toán cấp
trung học tại Alberta diễn ra tại Edmonton, thành
phố trung tâm của tỉnh, gồm hai vòng Vòng †
được tổ chức vào tháng 11 và vòng 2 vào tháng 2 trong mỗi năm học Cuộc thi này dành cho học
sinh giỏi chọn từ các trường trung học trong tỉnh
Học sinh được giải ở vòng 1 sẽ được thưởng một số sách và được thi ở vòng 2 Giải thưởng của
vòng 2 sẽ bao gồm tiền mặt và học bổng
Trong số này và hai số tiếp theo, chúng tôi
giới thiệu một số bài toán trích từ cuộc thi này từ năm 2006 đến nay Bài 1 (2006) Giá trị của 248818 la: a) 216 b) 252 c) 268 d) 284 e) khác với các câu trên Bài 2 (2006) Số tất cả các hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng đều là những số tự nhiên và có diện tích bằng 2006 là: a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) khác với các câu trên Bài 3 (2006) Số các cặp (m, n), với m, n nguyên dương, sao cho m* + n= 100000001 Ia: a) 100 b) 101 c) 200 d) 201 e) khác với các câu trên Bài 4 (2006) Trong một thành phố, tất cả các con đường đều chạy theo hai hướng, hoặc là
Bắc - Nam, hoặc là Đông - Tây Những con
đường này chia thành phố thành các ô vuông
bằng nhau A, B, C, D là 4 học sinh sống tại 4 đỉnh của một hình chữ nhật (hình chữ nhật này
tạo bởi 4 con đường giao nhau) Cho biết A và C sống tại hai góc đối diện Cả 4 học sinh cùng đi
đến một ngôi trường Ngôi trường này nằm tại vị
trí giao nhau của hai con đường nào đó nằm bên trong hình chữ nhật nói trên Mỗi học sinh đi đến trường theo cách ngắn nhất (nhưng phải đi trên các con đường nói trên) Học sinh A đi qua 10 block, B đi qua 20 block và C thì đi 50 block (mỗi
block là một ô vuông trong các ô vuông bằng nhau như trên đã nói) Số các block mà D phải đi qua là: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 Bài 5 (2006) Khai triển (1 + x)(1 + x2(1 + x31 + x')(1 + x°), hệ số của số hạng chứa x” là: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Bài 6 (2006) Hai điểm A và B nằm trong mat phẳng, có khoảng cách bằng 5 Số các đường
thẳng trong mặt phẳng này sao cho khoảng
cách từ A, B đến đường thẳng này tương ứng là 2, 3 là:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Trang 10
Cuộc thi Toan bang New York, My
The New York State Mathematics League (NYSML)
(Để đăng trên TTT2 số 84)
Bài 1 Mỗi điểm có tọa độ là các số nguyên sẽ
có tọa độ thuộc một trong bốn dạng là (chẵn ;
chẵn), (chấn ; lẻ), (lẻ ; chẵn), (lẻ ; lẻ)
Suy ra trong năm điểm đã cho có ít nhất hai
điểm có cùng dạng Trung điểm của đoạn thẳng
nối hai điểm này sẽ có tọa độ là các số nguyên Bài 2 M B C A D Vì DMA = AMB =MAD nên ADMA cân tại D = DM = DA Mà DA = 2AB nên DM = 2AB = 2CD Mà € = 90° nên DMC = 309 Suy ra DMB =150° và AMB = 75°
Bài 3 Giả sử tồn tại một số nguyên tố tuyệt đối
có nhiều hơn một chữ số chứa một trong các chữ
số là 0, 2, 4, 5, 6 hoặc 8
Khi đó khi thực hiện hoán vị chuyển chữ số này
về cuối thì sẽ được số nguyên tố chia hết cho 2 hoặc 5: vô lí, ta có đpcm Bài 4 Vì (n2 + 1) : d và [(n + 1)2 + 1 : d nên [(n + 1)2 + 1 - (nˆ + 1)] : d hay (2n + 4) : d = [n(2n + 1) - 2(n2 + 1)] : d hay (n — 2) : d Từ đó [2n + 1 - 2(n - 2)|: d hay 5 : d Suy ra de {1 ; 5} Chọn n = 2 thì cả hai giá trị trên của d đều thỏa mãn Vậy d = 1 hoặc d = 5 Bài 5 Không mất tính tổng quát, ta có thể giả SỬ p <q<t Khi đó (p + q):(p+r):(q+r)=2:3:4 Do đó tồn tại số thực dương k thỏa mãn p+q=2k;p+r=3k; q+r= 4k Suy rap+q+p+r+dq+r=®k 9k hay p+qtr===: ae k 3k 5k Từ đó p 2q 21 5 Do đóp:p:r=1:3:5 Vì p, q, r là các số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau nên (p ; q; r) =(1; 3; 5) 7 aTmaBnRaBnnaBnnnnnnninnanbinnanainnnanbinnnanbnnannnnnnnnnnbnnnnnnnnbin-nnannannnnnbnnnnnnnnnnmnnmnBHBna Bai 13SC Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + bể + c2 = 2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = [a + b] + [b + c] + [c + a], trong đó
kí hiệu [x] (phần nguyên của x) là số nguyên lớn nhất không lớn lớn hơn x ; VU HONG PHONG (GV THPT Tién Du 1, Bac Ninh) PUES SBS SS SS SS eee
eee Dé thi (uộc thí đặc biệt NHÂN 10 NAM TOAN TUOI THO
(Problems for Special Contest in celebration
of FUN MATHS Joarnal's 10th Anniversary)
Bài 14SC Cho góc nhọn xOy Hai điểm B, C
chuyển động tương ứng trên hai tia Ox, Oy sao
cho góc BCO tù và hình chiếu của BC trên Oy
có giá trị d không đổi
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam
Trang 11Be THIHOC SINH GIOI LOP 9 QUAN cau GIAY HA NO Nam hoc: 2009 = 2010 Câu 1 a) Điều kiện x > 0, x z 1 Rút gọn ta được P=xx-x b) Vì P=Ax(1-Ax) nên P > 0 © x > 0 và 1—A4x >0©0<x<1 (thỏa mãn) 1 1Ý 1 c) Ta có P=jx-x=d-|#~2| <7
TU d6 Prax “7 tai Vk =F ex=z
Câu 2 Khi x là nghiệm cua (1) thi x > 0 (vì VP(1) > 0) Suy ra điều kiện để VP(1) có nghĩa là x > 0 Từ đó x> 1 Cách 7 Dat u=,f1-+; V= + (u, v 2 0) x x 2—v2= 1—x hay (u + v)(u -v) =1—x Kết hợp với (1) ta được u- v mex X Suy ra u Từ đó ta có hệ phương trình 1—x U+V=X;u-v=— x 2 2 x~ —x+1 x~ +x-1 ——g(2)Y=— (3 2x (2) 2x (3) 2 eu Vi x-=v nên SA x 2 x =v=s02+1)e© w-1Ê =0€&v=1 Do đó x—=1e>x2~x~1=0 x 1475 2 14J5 Vay x= 2 1 1 Cách 2 Ta có (1) ©x—,|X—— =,j1-— X X Bình phương hai vế rồi rút gọn ta được x2 +x-1=2x x tex 1a =2,)x Xx X X (vì x > 1): thử lại thỏa mãn X— =1 4 @ (x-1-1)2 <0 X
Câu 3 Từ giả thiết suy ra
4x2 + 4y2 + 4z2 — 4xy — 12y - 8z + 12<0 © (2x - y)2 + 3(y - 2)2 + 4(z - 1)2< 4 Suy ra 4(z — 1)2 < 4 hay (z— 1)2< 1 Vì zc Z2 nên z = 1 Do đó (2x - y)2 + 3(y - 2)2 < 4 3(y - 2)2 < 4 Vì yc Z nên yec {1; 2; 3} + Nếu y = 1 thì (2x - 1)2 < 1: loại vì x e Z + Nếu y = 2 thì 4(x - 1)2 < 4 © x= 1: VÌ xe Z + Nếu y = 3 thì (2x — 3)2 < 1: loại vì x e Z Vay (x;y ;z)=(1; 2; 1)
Câu 4 Khi cố định 28 trong 30 số đã cho, giả sử là Xạ, X., , X›a thÌ X„o + Xao khơng đổi
Vì 4X-;oXao = (Xzo + X39)” — (X59 - X39)” nén Adat giá trị lớn nhất khi và chỉ khi (X59 - X39)” dat gia tri
nhỏ nhất Tức là x.o = Xao (nếu X.o + Xạo chẵn)
hoặc |x„o — Xao| = 1 (nếu x„o + Xạo lẻ)
Tổng quát, A đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
tồn tại số nguyên k (0 < k < 30) và số nguyên
dương n sao cho trong 30 số nguyên dương đã cho có k số bằng n, 30 - k số bằng n + 1 Tức là kn + (30 - k)(n + 1) = 2003 c 30n + (30 - k) = 2003 = 30n < 2003 < 30(n+ 1) > n=66, k=7 Vay A, 4, = 66f-673 Câu 5 a) Ta c6 BH-BC = BA? = 4AD2 = 4DP-DO (dpcm)
b) Kéo dai PE cat BO tai C’
Vì DE là đường trung bình của AABH nên
Trang 12BE THITUYEN SINK LOP 10 THPT CHUVEN HONG Yun, Bink DUONG Năm học: 2009 - 2010 Mơn thi: Tốn (chun) * Thời gian: 150 phút * *x * *x RRR KK KR KR KKK KR KK KK Câu 1 Giải phương trình Xf +A4xˆ-2x—19 = 2x + 39 Câu 2 Giải hệ phương trình (x+y)? +3(x+y)+2=0 {ee = 0 Câu 3 Cho a, b € R thda man: ‘are? +3] bevb? +3 )=3 Tinh a, b Câu 4 Cho phương trình bậc 2, x là ẩn, tham số m: x2 - 2(m + 1)x + 2m = 0
1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
2) Goi x,, X, la hai nghiệm của phương trình Chứng tỏ M = X, + X; — X;X- không phụ thuộc vào
giá trị của m
Câu 5 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn BE và
CF là hai đường cao Trực tâm H Trên HB và HC lần
lượt lấy điểm M, N sao cho AMC = ANB = 909 Chứng minh AM = AN A C E 7h B BH-PO AB2.PO 4AD2 PO PD BC-PD PD BC 4DO.PO 40A? — BC BC OA? _ RỂ c) Ta có OD = =—; OP d 4 AD = VOA2 —OD? = JR? _= -4 d2 —R2: d OD-AB _2OD-.AD _2RZ.Rvd2 -Rˆ = 20C' = = 2OC >C' =C AH = BO BO d2R _ 2R2V 02 -R? d2
Câu 6 Kí hiệu a, x, y, z lần lượt là diện tích các tam giac ABC, MDI, MEF, MGJ
Trang 13
Bai 1(83) Cho a = 123456789 va b = 987654321 a) Tìm ước chung lớn nhất của a và b
b) Tìm số dư phép của phép chia bội chung nhỏ nhất của a và b cho 11 Lời giải a) Gọi d là ƯCLN của a và b Vì a, b có tổng các chữ số là 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45, là số chia hết cho 9 nên cả a và b đều chia hết cho 9 Do đó d : 9 Mà (b - 8a) : d và b - 8a = 9 nên 9 : d Vậy d = 9 b) Ap dụng công thức [a, b](a, b) = ab, ta được [a, b] _ 2 4.2 9 9 b
Ta thay a chia cho 11 dư 5, a7 109739369 là số
chia cho 11 dư 3, 5-3 = 15 là số chia cho 11 dư 4 Vay [a, b] chia cho 11 dư 4
Nhận xét 1) Để tìm ƯCLN của a và b, một số
bạn đã sử dụng thuật toán Ơclit như sau: chia b cho a được thương là 8 dư 9; chia a cho 9 được thương là 13717421 (không dư) Từ đó d = 9
2) Kì này có nhiều bạn tham gia giải bài Hầu
hết đều giải đúng Một số bạn còn lập luận chưa
tốt Các bạn sau có lời giải ngắn gọn, lập luận chặt chẽ: Lê Minh Đức, 8C, trường Hà Nội - Amsterdam, Ba Đình, Hà Nội; Đỗ Quỳnh Trang, Phạm Tâm Long, 8C, THCS Thành Nhân, Ninh Giang, Hải Dương; Nguyễn Phương Thúy, 7A; Nguyễn Hồng Hạnh, 9C, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa; Phạm Văn Hồ Quang, 6B; Phan Phúc Thịnh, 6A, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Thị Huân, 6A; Ngô Thị Hà Trang, Phạm Đức Hiển, 8A, THCS
Yên Phong, Bắc Ninh; Tạ Đức Chính, 7A1, THCS Yên Lạc; Nguyễn Mai Phương, 8A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên; Nguyễn Hồng Nhung,
Nguyễn Bảo Châm, 6E; Đỗ Văn Nam, Hoàng Thị
Quỳnh Hương, 8B; Phạm Hùng Thiện, Lê Tuấn Anh, 9C, THCS Vĩnh Tường; Nguyễn Anh Phương, 9A, THCS Tam Dương, Vĩnh Phúc; Đảo
Ngọc Anh, 6A1; Nguyễn Huy Tuyển, 6A3, THCS
Lâm Thao, Phú Thọ
NGUYEN DUC HOANG
Bài 2(83) Giải hệ phương trình
vy > =5 2 2x+y-xy
Ox+y 4a dtry
xy
Ldi giai Diéu kién xy # 0, 2x + y — xy 40
Trang 14&:)=(1 :8).C:2) Nhận xét Có khá nhiều bạn gửi bài giải và hầu hết đều làm đúng Một số bạn không sử dụng phương pháp đặt ẩn số phụ nên các phép biến đổi cồng kềnh hơn
Các bạn sau đây có lời giải tốt: Hoàng Tuấn
Cường, 7A2, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên; Định Xuân Hà, 9B, THCS Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên;
Nguyễn Đức Anh, 7D; Nguyễn Anh Phương, 9A,
THCS Tam Dương; Đỗ Xuân Việt, 9A, THCS Lập
Thạch, Vĩnh Phúc; Lã Thị Hồng Tâm, 6A4; Lê Thị Phương, 9A4, THCS Giấy, Phong Châu, Phù
Ninh; Hà Ngơ Hùng, Lê Minh Hồng, 7A1, THCS Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Quang Lợi, 7B, THCS Liêm Chính, TP Phủ Lý, Hà Nam; Võ Anh Hiếu, 7B, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu; Hoàng Anh Tài, 7A; Nguyễn Văn Tiến, Trương
Công Phú, Thái Thị Hương Thảo, 8B, THCS Lý
Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Trần Ngọc Hải, 7B, THCS Hoang Xuan Han, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Hà Thúc Huy, 7!5, THCS Phan Sào Nam, TP Huế, Thừa Thiên - Huế, Ngô Thị Nga, 9B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh; Lê Thị Khanh, 8B, THCS Nhữ Bá
Sỹ, Hoằng Hóa; Nguyễn Quốc Việt, Lê Tuấn Linh,
8B, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Lê Minh Đức, 8C, trường Hà Nội - Amsterdam, Ba Đình, Hà Nội
NGUYỄN ANH DŨNG
Bài 3(83) Cho x, y là các số thực thỏa mãn
x>2vàx+y >3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 thức P=x2+y2+-L+ x x+y Lời giải Biến đổi ta có P = (x? — 4x + 4) 9 ) X+Y 17 7 + 2x-4+“)-——— “+15 X X+YyY X + (yˆ-2y+1)+2(x+y—6+ 2(x+y-—3)2 2(x — 2)? x+y x = (x —2)* +(y-1)7 + 17 7 — ——+15 x+y xX “ X+Y X 3 2 6 (dox>2,x+y >9) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=2,y=1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là =
Nhận xét Cách giải trên là theo phương pháp
cân bằng số với điểm rơi được xác định là x = 2,
y = 1 Còn có vài cách giải khác cho bài toán trên nhưng dài và phức tạp hơn Các bạn sau có lời giải tốt: Đào Khánh Linh, Đặng Sơn Tùng, 9A1, THCS Lâm Thao, Phú Thọ; Đặng Thắng Lợi, 9B, THCS
Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội; Nguyễn
Quang Lợi, 7B, THCS Liêm Chính, TP Phủ Lý, Hà
Nam; Lê Thi Phương, 9A, THCS Tam Dương; Phan Ngọc Tiến, 8C; Trịnh Thị Thu Hằng, 9C,
THCS Vĩnh Tường; Bùi Thị Ngọc Mai, 8A1, THCS
Yên Lạc; Hoàng Hà Phương, Dinh Xuan Ha, 9B, THCS Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc; Hoàng Thành Đại, 9A, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Phạm Viết Hùng, 9B, THCS Lê Hồng
Phong, TP Quảng Ngãi, Quảng Ngãi
NGUYỄN MINH ĐỨC
Bài 4(83) Cho AABC vuông cân tại A M là điểm trên cạnh AC thỏa mãn MC = 2MA Đường thẳng qua M vuông góc với BC cắt AB tại D Tính
khoảng cách từ B đến đường thẳng CD theo AB =a
Lời giải Gọi E là giao điểm của BM với CD, F
là giao điểm của DM với BC
Từ giả thiết bài toán ta thấy M là trực tâm của ABCD nên BE là khoảng cách từ B đến đường
thẳng CD
Vì AABC vuông cân tại A nên AAMD vuông cân
tại A Suy ra AD = AM= SẠC - =
DAn dén BD=AB+AD=a+o=— (1)
Áp dụng định lí Pytago cho AADC vuông tai A
Trang 15a 2 10a2 ta có CD2 = AD2 + AC2 =| —| +a2= 3 9 Suy ra CD = aio (2)
Nhận xét rằng AC-BD = BE.CD, nên từ (1) và
(2) ta tim được BE = ÂC_8Ð _ 2ay10 CD 5 D A E M C F B
Nhận xét Tất cả các lời giải gửi về tòa soạn
đều có đáp số đúng Tuy nhiên nhiều bạn cho lời
giải khá dài dòng Xin nêu tên những bạn có lời
giải gọn hơn cả: Nguyễn Quốc Việt, Lê Tuấn Linh, 8B, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa; Lê Thị
Khanh, 8B; Định Thị Dạ Thảo, 9C; Lê Trần Tuấn
Anh, 8B, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa; Trần Hồng Quân, 9C, THCS Vĩnh Tường; Định Xuân Hà, 9B, THCS Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên;
Nguyễn Đức Anh, 7D; Nguyễn Anh Phương, Lê
Thu Hà, 9A, THCS Tam Dương; Đỗ Xuân Việt, 9A,
THCS Lập Thạch, Vĩnh Phúc; Lê Minh Đức, 8C,
trường Hà Nội - Amsterdam, Ba Đình; Đăng Thắng
Lợi, 9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa,
Hà Nội; Nguyễn Văn Hợi, 9A2, THCS Phước Mỹ,
Quy Nhơn, Bình Định; Ngô Thị Thanh Nga, 9B,
THCS Từ Sơn; Phạm Đức Hiển, 8A, THCS Yên
Phong, Bắc Ninh; Trần Thị Lâm Oanh, 7B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Lê Thị Phương, Nguyễn Ngọc Mai, 9A4, THCS Giấy,
Phong Châu, Phù Ninh; Vũ Tuấn Linh, 8A1; Lê Thị
Diễm Trang, Đào Khánh Linh, 9A1, THCS Lâm Thao, Phú Thọ; Trương Công Phú, Nguyễn Tất
Khánh, Nguyễn Văn Tiến, Thái Thị Hương Thảo,
8B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương; Phan Thanh Tùng, 8D; Cao Văn Kiên, 9D, THCS Cao
Xuân Huy, Diễn Châu; Nguyễn Minh Quân, 9E,
THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh; Lê Xuân Bảo, 8C, THCS Đặng Khánh Kỷ, Nam Đàn, Nghệ An; Hà Thúc Huy, 7/5, THCS Phan Sào Nam, TP Huế,
Thừa Thiên - Huế
HỒ QUANG VINH
Bài 9SC Tìm tất cả các số nguyên n để số
A = 3n2 + 3n - 2009 là lập phương của một số
nguyên
Lời giải Ta thấy một số nguyên khi chia cho 3 sẽ có số dư là 0, 1 hoặc 2 Lập phương của số
nguyên đó khi chia cho 3 có số dư tương ứng là 0, 1 hoặc 2
VIA= 3(n2 +n—670) + 1, là số chia 3 dư 1 nên
nếu A là lập phương của một số nguyên thì A có
dạng (3k + 1)Š (với ke Z)
Suy ra 3(n2 + n — 670) + 1 = (3k + 1)? > n2 + n= 3(3k? + 3k2 + k + 223) + 1
Do dé n* + n chia 3 du 1
Vìn2+n= n(n + 1) nên không xảy ra trường hợp
n: 3 hoặc n chia 3 dư 2
Suy ra n chia 3 dư 1
Khi đó nÊ + n chia 3 dư 2: vô lí
Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn điều
kiện bài toán
Nhận xét Lời giải của bài toán này chỉ sử dụng tính chất chia hết cho 3 của số nguyên Da số các bạn đã giải theo hướng này nhưng một số bạn đã
lập luận thiếu chính xác Chẳng hạn lập luận ngược: vì a3 chia 3 dư 1 nên a chia 3 dư 1 Các bạn sau có lời giải tốt: Vũ Minh Tú, Đặng Quang Tuấn, Phùng Nhật Minh, 9C, THCS Vĩnh Tường; Phan Văn Tín, 9A1, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Trần Tuấn Nghĩa, 9A, THCS Nguyễn Trãi, Thanh Xuân; Đặng Thắng Lợi, 9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội; Lê Hải Đăng, 9C,
THCS Nguyễn Cao, Quế Võ, Bắc Ninh
HOÀNG TRỌNG HẢO
Bài 10SC Cho AABC thỏa mãn AB.AC =
BC(AB + AC) có G là trọng tâm và BD, CE là các
đường phân giác trong Chứng minh rằng D, E, G
Trang 16Lời giải Gọi M là trung điểm của BC Nối GD, GE Trên tia GM lấy các điểm N, P sao cho BN // EG va CP // DG A E B Theo định lí Talét và tính chất của đường phân giác ta có GN EB CB GP DC BC Suy ra GN + GP: BC BC _ 1 (vi theo gia thiét GA GA CA BA AB-AC = BC(AB + AC)) Do đó GN + GP = GA= 2GM Vay M là trung điểm NP hay MN = MP Kết hợp với MB = MC ta suy ra ANMB = APMC (c.g.c) => BNM =CPM Do dé BN // CP Tir cach dung cac diém N, P ta suy ra D, E, G thang hang (dpcm)
Nhận xét Bài tốn này khơng khó, chỉ sử dụng
tính chất đường phân giác của tam giác và định lí
Talét Có bạn đã giải bằng cách gọi G' là giao
điểm của DE với AM rồi đi chứng minh AM ae An) 3 AG 2|AE AD E, G thẳng hàng Một số bạn đã phải sử dụng định lí Mênêlauýt, là điều không cần thiết khi chứng =5: từ đó G' trùng G hay D,
minh bài toán này Các bạn sau có lời giải tốt: Đặng Quang Tuấn, Vũ Minh Tú, Phùng Nhật
Minh, 9C, THCS Vĩnh Tường; Đỗ Xuân Việt, 9A,
THCS Lập Thạch; Phan Văn Tín, 9A1, THCS Yên
Lạc, Vĩnh Phúc; Lưu Nhật Nam, 9A5, THCS Giảng Võ, Ba Đình; Trần Tuấn Nghĩa, 9A, THCS
Nguyễn Trai, Thanh Xuan; Hoang Anh Tu, 9I,
THCS Merie Curie, Cầu Giấy, Hà Nội; Trần Ngọc Hiếu, 9A3, THCS Lâm Thao, Phú Thọ
NGUYEN MINH HA
15
Cac ban duave tueing bi nay
Lé Minh Đức, 8C, trường Hà Nội - Amsterdam, Ba Đình; Đặng Thắng Lợi, 9B,
THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà
Nội; Nguyễn Quốc Việt, Lê Tuấn Linh, 8B, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa; Lê Thị Khanh, 8B, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa; Nguyễn Quang Lợi, 7B, THCS Liêm Chính, TP Phủ Lý, Hà Nam; Đinh Xuân Hà, 9B, THCS Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên;
Nguyễn Đức Anh, 7D; Nguyễn Anh Phương,
Trang 17
BI GIAM O DAU? PHONG VU
âu lắm rồi, từ khi còn rất trẻ, có lần giường Căn phòng rất lạ khiến ông không
thám tử Sêlôccôc đi nghỉ tại Haoai thể biết mình đang ở đâu Quan sát căn
(Hawaii) Trong một lần ngâm mình phòng, thám tử thấy trên bàn có một mảnh trong bồn tắm tại khách sạn, thám giấy: “Một nhân viên của chúng tôi
tử tình cờ để ý thấy rằng: Khi
tắm xong, lúc tháo nước khỏi bồn tắm, khi nước gần hết thì nó tạo thành một vòng xoáy theo chiều
bị bắt giam tại đất nước của ông Chúng tôi muốn dùng ông để trao đổi
Hiện nay việc đàm phán đang diễn ra và chắc là kết quả km đồng hồ, sẽ có khá nhanh quay tròn từ trái sang phải Sau khi tắm, thám tử Sêlôccôc Mong ông chịu khó đợi và không đi ra khỏi phòng Thức ăn và các đồ ngồi xem TV và dùng sinh hoạt đều _ | rr ) ị có đầy đủ trong phòng” ` Cc
vang Một lúc sau, bỗng ~ a ae Thám tử Sêlôccôc thầm
nhâm nhi chút rượu pf,
ông thấy choáng váng, chóng = — nghĩ: Đúng là có hai người, một mặt Kịp hiểu ra là trong rượu có thuốc mê người Canada, một người New Zealand nhưng thám tử không thể làm gì được nữa đang bị tình báo nước mình bắt giam Mình
Ông ngất xỉu đi sẽ được đổi cho một trong hai người đó Vậy
Lúc tỉnh lại, thám tử nhận thấy mình đã có hai khả năng: mình đang ở hoặc là
Trang 18Cả căn phòng, cả phòng tắm đều không
có cửa sổ, khiến thám tử không thể ngắm
nhìn phong cảnh xung quanh Ông cũng
không thể biết nhiệt độ bên ngoài vì trong
phòng dùng điều hòa nhiệt độ trung tâm Sau bữa trưa, thám tử lại vào ngâm mình
trong bồn tắm Ngâm xong, lúc tháo nước, ông lại chú ý đến vòng xoáy 6, lan nay nuéc
quay vòng theo chiều ngược kim đồng hồ
Thám tử reo lên: A, biết mình đang ở đâu rồi!
* Đố các bạn biết, thám tử đoán mình đang
ở đâu trong số hai nơi là Canada và New
Zealand? Căn cứ vào điều gì mà ơng đốn
được? © “Xét quái
Hầu hết các bạn đều phán đoán đúng:
Anh Giôn nói có người khách bị mù vào cửa hàng và ra hiệu muốn mua chiếc tủ lạnh Tuy nhiên, người mù hoàn toàn có thể nói
được, đâu cần ra hiệu Đây chính là điểm sơ
hở trong lời khai của Giôn
Phần thưởng kì này được trao cho những
bạn sau: Nguyễn Khánh Toàn, 6B, THCS
(TTT2 số 83)
Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Đảo Ngọc Lâm, 6A4, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; Ngô Thị Lý, 6B, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Thị Diệu Linh, 129, khu 5, Thị trấn Hậu Lộc, Hậu Lộc, Thanh Hóa; Hoàng Anh, 7C, THCS Diễn Lộc, Diễn Châu, Nghệ An Thám tứ Sêlôccôc Cudc thi Ha Noi 1000 mua thu Câu hỏi 3 Xếp lại bảng sau đây cho phù hợp: THÀNH PHỐ TÊN VĂN HỌC
Hà Nội Non Côi sông Vy
Huế Núi Đọi sông Vân
Nam Định Núi Nùng sông Nhị Phủ Lý Núi Ngự sông Hương
Nhắn tin: Câu hỏi 1 của cuộc
thi đã được rất nhiều bạn từ mọi miền đất nước gửi bài tham dự Xin nhiệt liệt hoan nghênh tất cả
các bạn và mong các bạn tiếp
tục trả lời các câu hỏi còn lại để
cuộc thi thành công tốt đẹp
Trang 19đồến với BA — AN ting Han ThS NGUYEN VU LOAN T A Tôi có một chú mèo Từ mới
# you: [hiru] cd, ton tại, hiện có
3ï mao: [miêu | con mèo
HJ gdu: [câu] con chó
R zhï: [chích] (lượng từ) con, cái, chiếc /5xião: [tiêu] bé, nhỏ Bị liăng: [lưỡng] hai (chỉ số lượng khi đứng trước lượng từ) Mẫu câu 1.384 —H/hjf (wo you yi zhi xiao mao) Tôi có một chú mèo
246 AR vy 4] (ta you liang zhi xido
gou) Anh ay có hai chú chó
3A RN, AR RN
(méimei you yi zhi xiao mao, liang zhi xiao gou) Em gaicé mot chi méo, hai cht cho
4.4K HRY 2 (ni yOu mao ma?) Ban cé nudi mèo không?
Từ những mẫu câu trên các bạn tập hỏi và trả lời như ví dụ sau:
A Ann F FY 2? (Ann you gdu ma?) B tha — RAY (ta you yi zhi xido géu) AEE, WAS ? AAA ?
(ni baba, mama you mao ma?, you gou ma?)
B.3®S®, ISUSH HH, TAM
(w6 baba, mama y6u san zhi xi4o mao, wu zhi xiao gou)
Ngữ âm
Nhóm thanh mẫu âm đầu lưỡi z, c, s
z: âm đầu lưỡi quặt, không bật hơi, tắc, xát,
trong Khi phát âm đầu lưỡi thắng, chạm sát vào mặt sau răng trên, sau đó đầu lưỡi hơi lùi lại cho luồng hơi từ khoang miệng ma sát ra ngồi Dây thanh khơng rung
c: âm đầu lưỡi trước, bật hơi, tắc, xát, trong Vị trí phát âm giống z, cần bật mạnh hơi ra
Trang 20THACH DAU! THACH DAU DAY!
TRAN DAU THU BAY MUOI LAM
Người thách đấu Nguyễn Ngọc Sơn, lớp 11 Toán 1, Khối THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội Bài toán thách đấu Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình xỶ + yỶ + z3 = nx^y2z2 có nghiệm nguyên dương
Xuất xứ Sáng tác
Thời hạn Trước ngày 15.04.2010 theo dấu bưu điện
Ket qua
Ta giải bài toán bằng phương pháp phản
chứng Giả sử phương trình ax2 +bc -x +de =0
có nghiệm hữu tỉ x =Ê (pe Z„ qe Ñ*, (p, q) = 1) q Vìa>0, bc >0, de >0 suy rap <0 Ta có abcde = a -1002 +bc -100 +de — — 2 _— — = a-1002 +bc -100 +de {: P` be mm] dˆ q 2\ — Nhu HìbSb _ q 7] -| 100-2 ˆ 100 +? be q q (100q —p) |a(100a +p) +bc qỊ q2 Chú ý vì (p, q) = 1 suy ra (100q —p, q2) = 1 | it (TTT2 số 83)
Do đó 100q - p là một ước số của abcde
Theo tính chất về nghiệm hữu tỉ của một đa
thức với hệ số nguyên ta có a : q, de :p
Suy ra 1 <q<9,-99 <p<- 1
Bởi vậy 101 < 100q - p < 999
Điều này mâu thuẫn với abcde =mn, m là số
nguyên tố lớn hơn 1998, n là số nguyên dương,
p< 200000 100
Khẳng định của bài toán đã được chứng minh
Nhận xét Có tám võ sĩ lớp 9 tham gia trận đấu và có một lời giải như nhau:
Phương trình ax2 +bc-x+de =0 có nghiệm
hữu tỉ © A =be” —4a -de là một số chính phương
Các bước tiếp theo cũng gần giống với cách giải trên nhưng với các số cồng kềnh hơn
Rất tiếc đã không có võ sĩ nào trội hơn để được
đăng quang trong tran dau nay _
Trang 21
Giải hé phuong trinh
NGUYEN THANH HAI
(GV THCS Nam Cường, Nam Trực, Nam Định)
Trong chương trình Toán 9, phần hệ phương trình (HPT) chiếm một vị trí quan trọng Sau đây
chúng tôi hệ thống lại một số dạng thường gặp cùng phương pháp giải A Giải hệ phương trình bằng áp dụng định 2 5 lí Viét đảo 3x-V Xi
x‡y=5 Bài toán 3 Giải HPT y 7q)
Bài toán 1 Giải HPT > 2 (1) 1 2 _3
x“+y =T13 3x-y x-3y 5
Lời giải la có Lời giải Điều kiện 3x - y # 0, x — 3y z 0
x+y=Š5 xty=5
(1) (x+y)* —2xy=13 |xy =6 › °| Y Đặtu=— 3x—y —,v=— — x-3y
Theo định lí Viét đảo thì x, y là hai nghiệm của 2u_-5v =3 u=1
PTt2-5t+6=0ôât=2;t=3 Ta c (3) © 3e 4
Vậy (x ; y) = (2; 3), (3 ; 2) u†2v== |Vv=-e
Bài toán 2 Cho HPT (m là tham số): ae |OX-Y=1 x =1 2 - x+y=m+†1 Từ đó S (thoa man) 2 2 2 (2) x-3y=-5 y=2 X^ˆY+y“ˆx= 2mˆ -m-3 ri Vx+1-3Jy—1 =-1
a) Giải (2) khi m = 3 Bài toán 4 Giải HPT | Y” ” (4)
b) Chứng minh rắng (2) luôn có nghiệm, Vm 2Vx +14 5,/y-1=9
Lời giải a) Khi m = 3 thi Lời giải Điều kiện x > ~1, y > 1
(2© x+y=4 c© x+y=4 Dat u=Vx+1,v =/y—1 (u, v= 0) xy(x + y) =12 xy =3 Theo định lí Viét đảo thì x, y là hai nghiệm của Ta được (4) © | PTt2-4t+3=0©t=1;t=3 Vay (x; y) = (1; 3), (3 ; 1) u—-3v =-† u=2 c© 2u+5v=9 Ni x+y=m+†1 (TM) xy(x + y) =(m+1)(2m — 3) + Nếu m = -†1 thì (2) © x + y =0 Hệ có vô số nghiệm: y = - x, x € R Từ đó Ha pat ea c© © b) Ta có 2) > | y-1=1 y-1=1 y=2
C Hệ phương trình chứa tham số
Bài toán 5 Giải và biện luận HPT (m là tham mx+2y=m+1 (1 x+y=m+† SỐ): 2x+my =3 (2) + Nếu m z -1 thì (2) xy =2m-3 Theo định lí Viét đảo thì x, y là hai nghiệm của Lời giải Từ (1) suy ra y = —mx + M+ 1 PT t2~ (m + 1)t+ 2m - 3 =0 2 Ta có A = (m + 1)2 - 4(2m - 3) Thay vào (2) ta được 2x„ m_mx+m+f1) 2 m2 ~ 6m + 13 = (m - 3)2 + 4 > 0, Vm 2
Vậy (2) luôn có nghiệm vm = x(2 - m)Œ + m) = (2 - m)(3 + mì
_B Giải hệ phương trình bằng phương pháp + Nếu m = 2 thì () x+y = 3 Hệ có vô số
Trang 22
nghiém: y =Š—X xe R
+ Nếu m = -2 thì 0x = -4, hệ vô nghiệm + Nếu m z +2 thì (I) có nghiệm duy nhất m+3 _ † m+2” m+2 Bài toán 6 Cho HPT (m là tham số) x+my =f (1) (r —3my =2m+3 (2) (Il) a) Giải (2) khi m = -3
b) Giải và biện luận HPT theo m
Lời giải a) Khi m = -3 thi BŸ ©>x—3y =1 —3x + 9y =-3 Hệ có vô số nghiệm: x = 3y + 1, y c R b) Tu (1) suy ra x = 1 — my Thay vao (2) ta dudc m(1 — my) — 3my = 2m+3 = m(m + 3)y =- (m+ 3) + Néu m =-3 thi hé c6 v6 s6 nghiệm: x = 3y + 1, xe R
+ Nếu m = 0 thì 0x = -3, hệ vô nghiệm + Nếu m z -3, m z 0 thì hệ có nghiêm duy
nhất x =2, y = = m
Bài toán 7 Tìm tất cả các số nguyên m để
HPT sau có nghiệm x, y nguyên dương (m là
tham số) th =10—m (1) x+my =4 (2) (Ill)
Lời giải Từ (2) suy ra x = 4 - my Thay vào (1) ta được m(4 —- my) + 4y = 10 -m c (2 - m)(2 + m)y = 5(2 - mì) + Nếu m = 2 thì x + 2y = 4 Hệ có vô số nghiệm: x = 4 - 2y, y c R Để x > 0 thì y < 2 Khi đó nghiệm nguyên dương của (III) là x=2,y=1
+ Nếu m = -2 thì 0y = 20, hệ vô nghiệm
+ Nếu m z +2 thì hệ có nghiệm duy nhất 8m 5 m+2” m+2 Để y c Z” thìm + 2e {1;5} me ({-1; 3}: thử lại thỏa mãn Vậy m c {-†1 ; 2; 3} Bài toán 8 Tìm tất cả các số thực m để HPT sau có nghiệm duy nhất (x ; y) mà A= x? + y2 đạt giá trị nhỏ nhất (m là tham số) (m—1)x - my = 3m-—†1 (1) Đ ng (2)
Trang 23lrường TH Trưng Vương, Hà Nội ĐỀ THỊ HOC Ki I Mơn thi: Tốn 9 (Đề 1) - Thời gian: 90 phút - Năm học: 2009-2010 PHẦN I: Trắc nghiệm (20 phút) (3 điểm) Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng (từ câu 1 đến câu 7) Câu 1 (0,25 điểm) Với giá trị nào của m thì hàm số y = (2 - 4m)x + 5 nghịch biến: A.m<Š B.m<2 C.m>2 D.m>2
Câu 2 (0,25 điểm) Góc tạo bởi đường thẳng
y= By +1 vGi truc Ox la:
A 30° B 45° C.60° D Một đáp số khác
Câu 3 (0,5 điểm) Kết quả của phép tính
21-1243 là:
A.3-243 B.2/3-3 C.2-343 D 3/3-2
Câu 4 (0,25 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH AB = 3, AC = 4 D6 dai BH bang: 3 9 A 5 B 5 C 2,4 D 1,2 Câu 5 (0,25 điểm) Hình vẽ nào là đúng: yA 3⁄2 ⁄ YẠ “OS \ _ \: 2 0 0 2 > 7 ` TS A B yA VÁ WO St
Câu 6 (0,5 điểm) Bán kính đường tròn nội tiếp
một tam giác đều là 3 thì cạnh của tam giác đều
đó là:
A 34/3 B 6/3 le v8
Câu 7 (0,25 điểm) Cho (O ; 5) và (O ; 7) OO =4
Vị trí tương đối giữa (O) và (O) là:
A Ngoài nhau B Tiếp xúc trong
C Cắt nhau D Tiếp xúc ngoài
Câu 8 (1 điểm) Các mệnh đề sau dung (B) hay sai (S): D 12 Mệnh đề p| Ss Điểm M thuộc đường tròn đường kính AB thì góc AMB bằng 900
Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực
của tam giác đó
Nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính của đường tròn thì nó là tiếp tuyến của đường tròn đó
Khi hai đường tròn tiếp xúc nhau thì
hai tâm và tiếp điểm thẳng hàng
PHAN II: Tự luận (7 điểm)
Câu 1 (7 điểm) Cho đường thẳng (d) có
phương trình y = (3 - m)x + n + 2 Xác định m và
n để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
1 và song song với đường thẳng y = 2x + 3
Câu 2 (3 điểm) Cho biểu thức
M-|[ 8Xx-8 _xx+3].(2_ vx +4
x+2/x-3 1-4x|| xx+3]
a) Rút gọn M (1,5 điểm)
b) Tìm các giá trị của x để M< > (0,75 diém) c) Tìm các giá trị tự nhiên của x để giá trị của m là số tự nhiên (0,75 điểm)
Câu 3 (3 điểm = Vẽ 0,25 + 1 + 1 + 0,75)
Cho (O ; R) và (O' ; R`) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ
tiếp tuyến chung ngoài BC, B c (O), Cc (O) Kẻ IR
Trang 245 SW Heer ene
toanhoc nho
Chung ta da biét vé dinh li Pytago: Trong mét
tam giác vuông, tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông bằng bình phương của cạnh huyền Khi các cạnh của tam giác vuông là các số nguyên thì ta có tổng các bình phương của hai
số nguyên bằng bình phương của một số nguyên Mở rộng hơn, ta thấy tổng các lập phương của ba số nguyên có thể là lập phương của một số
nguyên Ví dụ 33 + 43 + 83 = 63
Điều đó có nghĩ rằng tổng thể tích của ba hình lập phương cạnh 3, 4, 5 bằng thể tích của hình
lập phương cạnh 6 (cùng đơn vị đo)
Một cách tổng quát, ta sẽ khảo sát phương
trình vô định bậc 3: xỔ + yŠ + z3 + tỶ = 0 (*) (x, y,
z,te 2)
Giả sử (*) có hai nghiệm là (a ; b ; c ; d) và (m; n;p; q) phân biệt
Ta sẽ chứng minh (*) có vô số nghiệm
Thật vậy, đầu tiên ta tìm số hữu tỉ k để (*) nhận (a + mk ; b + nk ; c + pk ; d + qk) là một nghiệm hữu tỈ Tức là (a + mk)? + (b + nk)? + (c + pk) + (d + qk)? =0 Với chú ý a3 + bể + c3 + d°=0 và m? +n? + pỶ+ q=0 Ta được k[(a2m + b2n + c2p + d2q) + + k(am2 + bn? + cp? + dq?)] = 0 Khi am? + bn? + cp? + dq? # 0, ta chon 2 k=- a m+bfn + c7p + dˆq am? + bn? + cp? +dq? Xét trường hợp riêng: a=3,b=4,c=5,d=-6;n=-m,q=-p Khi đó k-.m+1Tp 2 và các giá trị a + mk, b + 7m2 —p
Ue mit phuong trink vi dink bie 3
NGUYEN VAN THIÊM (Hà Nội) nk, c + pk, d + qk tương ứng bằng 28m2 +11mp —-3p^ 21m2 —11mp -4p? 7m? —p2 , 7m? —p2 35m2 + 7mp + 6p? _ 42m? + 7mp + 5p? 7m? —p2 7m2 —p2
Bốn phân số trên thỏa mãn (*) mà có cùng
mẫu số nên tử số cũng thỏa mãn (*)
Nói một cách khác, với m, p là các số nguyên bất kì thì (*) có nghiệm nguyên dạng x = 28m2 + 11mp - 3p2, y= 21m2 - 11mp — 4p2, z = 35m2+ 7mp + 6p, t=-42m2 - 7mp — 5p2
Cho p cố định (chẳng hạn p = 1) rồi cho m tăng dần thì khi m đủ lớn ta sẽ có x, y, z dương
và tăng dần Nếu x, y, z không có ước chung, ta
sẽ có một nghiệm nguyên mới của (*)
Tóm lại, với một hướng chọn như đã nêu trên,
ta có thể tìm thấy vô số nghiệm của (*)
Từ mỗi nghiệm tìm được, ta lại coi là trường hợp riêng rồi lặp lại quá trình trên, ta lại tìm được các nghiệm nguyên mới cua (*)
Sau đây là một số đẳng thức có được từ bộ
nghiệm trên (sau khi chia cho thừa số chung, nếu NÓ 63 + 13+ 83 = 9 (với m = 1,p= |); 38 + 733 = 173 + 763 (với m = 1,p= 2); 173 + 5BŠ = 243 + 543 (với m = 1, p= 3); 7Š + 143 + 173 = 203 (với m = 1, p =1); 23 + 169 = 93 + 1B (với m = 1, p=—2); 293 + 343 + 443 = 533 (với m = 2, p = -1) (Theo I Perelman)
IS tiếp tuyến chung trong tai A cat BC 6 | Gọi E là
giao điểm của AB với OI, F là giao điểm của AC
với Ơ']
a) Chứng minh 4 điểm A, E, |, F cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm K của đường tròn đó
b) Chứng minh rằng IE-IO = IF-|O'
c) Gọi P là trung điểm của OA Chứng minh PE
là tiếp tuyến của (K\)
d) (Dành cho các lớp H,, H,) Cho OO cố định
và có độ dài là 2a Tìm điều kiện của R và R' để diện tích tam giác ABC lớn nhất Tìm giá trị lớn
nhất đó theo a -
NGUYÊN THỊ BÍNH
Trang 25P7 Phu huynh: Doc - Viet số bài toán sau Bài toán 1 Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau? Giải Gọi các số phải đếm là abc Chữ số a có 9 cách chọn (từ 1 đến 9) Với mỗi cách chọn a thì b có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác a) Với mỗi cách chọn ab thì c có 8 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác a, khác b) Vậy có 9-9-8 = 648 số phải đếm Bài toán 2 Có bao nhiêu số lẻ có ba chữ số, các chữ số khác nhau? Giải Gọi các số phải đếm là abc Hướng 1 Ta đếm theo thứ tự a —> b —> c như ở bài toán 1 Chữ số a có 9 cách chọn (từ 1 đến 9) Với mỗi cách chọn a thì b có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác a) Với mỗi cách chọn ab thì c có thể: - Có 5 cách chọn là 1, 3, 5, 7, 9 nếu ab không có chữ số lẻ; - Có 4 cách chọn nếu ab có 1 chữ số lẻ; - Có 3 cách chọn nếu ab có 2 chữ số lẻ Việc đếm số sẽ trở nên phức tạp Ta thay đổi thứ tự đếm Hướng 2 Đếm theo thứ tự c —> b — a Chữ số c có 5 cách chọn (là 1, 3, 5, 7, 9) VŨ HỮU BÌNH (Hà Nội)
Khi làm các bài toán về đếm số, để tránh xảy ra đếm thiếu hoặc đếm trùng, ta thường đếm theo một thứ tự nhất định Tùy theo cách
chọn thứ tự đếm mà lời giải bài toán có thể dài hay ngắn Ta xét một
Với mỗi cách chọn c thì b có 9 cách chọn
(từ 0 đến 9 nhưng khác c)
Với mỗi cách chọn c và b thì số cách chọn
a thay đổi tùy theo b = 0 hay b # 0 Do đó ta giải bài toán như sau: Chữ số c có 5 cách chọn (là 1, 3, 5, 7, 9) Nếu b = 0 thì a có 8 cách chọn (từ 1 đến 9 nhưng khác c) Khi đó có 5-1-8 = 40 số phải đếm Nếu b z 0 thì b có 8 cách chọn (từ 1 đến 9 nhưng khác c), a có 7 cách chọn (từ 1 đến 9 nhưng khác c và khác b) Khi đó có 5-8-7 = 280 số phải đếm Vậy có 40 + 280 = 320 số phải đếm Nhận xét Cách đếm theo thứ tự c —› b—› a
ở hướng 2 có gọn hơn so với cách đếm theo
Trang 26chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác c va a) Vậy có 5-8-8 - 320 số phải đếm Nhận xét Sở dĩ cách đếm theo hướng 3 đơn giản vì trong thứ tự đếm c —› a —> b, các chữ số mà a nhận bao gồm hết các chữ số mà c nhận, các chữ số mà b nhận bao gồm hết các chữ số mà a nhận Kết luận 1 Nên đếm số theo thứ tự sao cho các chữ số đếm bao gồm hết các chữ số đếm trước (tức là tập hợp các chữ số đếm trước là tập hợp con của tập hợp các chữ số đếm sau) Bài toán 3 Có bao nhiêu số chắn có ba chữ số, các chữ số khác nhau? Gọi các số phải đếm là abc Ta chọn thứ tự đếm là c —› a —› b Chữ số c có 5 cách chọn (là 0, 2, 4, 6, 8) Ta gặp khó khăn: Các chữ số mà a nhận không bao gồm chữ số 0 mà c nhận Để giải
quyết khó khăn này có hai cách
Cách 1 Đếm trực tiếp: Tách riêng trường hợp c = 0 và c z 0 Nếu c = 0 thì a có 9 cách chọn (từ 1 đến 9), b có 8 cách chọn (từ 1 đến 9 nhưng khác a) Khi đó có 1-9-8 = 72 số phải đếm Nếu c là 2, 4, 6, 8 thì a có 8 cách chọn (từ 1 đến 9 nhưng khác c), b có 8 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác c và khác a) Khi đó có 4-8-8 = 256 số phải đếm Vậy có 72 + 256 = 328 số phải đếm Cách 2 Đếm gián tiếp Ta đếm các số có ba chữ số khác nhau, có 648 số (xem bài foán 1) Đếm các số lẻ có ba chữ số khác nhau, có 320 số (xem bài toán 2) Vậy có 648 - 320 = 328 số phải đếm
Kết luận 2 Trong trường hợp các chữ số
đếm sau không bao gồm hết các chữ số
đếm trước, ta cần tách riêng thành nhiều trường hợp hoặc dùng cách đếm gián tiếp
Các kết luận 1 và 2 nói trên là những kinh
nghiệm giúp bạn đọc tìm được thứ tự đếm hợp lí khi giải các bài toán về đếm số
Các bạn hãy vận dụng các kết luận trên
để giải những bài tập sau
Bài tập 1 Có bao nhiêu số tự nhiên có
bốn chữ số, các chữ số khác nhau, biết rằng các số đó không chia hết cho 5?
Bài tập 2_ Có bao nhiêu số tự nhiên có ba
chữ số, các chữ số khác nhau, trong đó chữ số hàng chục là 2, 0, 1, 3?
Trang 27
Problem E59 (Proposed by Hoang Trong Hao) Starting at the square containing the 1, you are allowed to move from one square to the next either across a common edge, or diagonally through a common corner
How many different routes are there passing through exactly two squares containing a 2 and ending in one of the squares containing a 3? ENGLISH THROUGH PROBLEM SOLVING © | NM ' NM!) |= Oo | ND | DN | DM oO | NM | NM! NM wl wl) WwW! @& Solution E57 Assume that n is an odd integer Since Xị'X2* 4 Xi ý
SO X4 + X2 + † X # 0 which contradicts with X, + Xp + +X, = 0
xX, =n is odd, x and X„ are odd integers However, X, + X_ t+ +X, is odd, 2
Hence n is an even integer
Since n is even, 3/ € [1, n] such that x; is even
If XẠ, X2, , X =1 Ä¡+ 1” , and Xx, are odd then X, +X t+ +X, is odd, which contradicts to the
hypothesis x, + x, + 4+X, = 0
Hence > (/€ [1, n], J 4) such that x; is even Therefore n = x,-x, - X, is divisible by 4
Nhận xét Kì này có nhiều bạn tham gia giải Các bạn đều giải đúng Các bạn được thưởng ki
này: Vũ Minh Tú, Trịnh Thị Thu Hằng, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Ngô Thị Thanh Nga, 9B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh HOÀNG ANH KIỆT \ _ằ eâeGđđđ@G6G6â66â666660966066666G66666606066666606666966606666066666066666666666909666666606666666660666666969696666666666
eKt qu THÊ cờ (Kì 26) (rTT2số 83)
1.2b6 d5 2.3a8 d4 3.$a7 cha5 4.Ằc5# i
Nhận xét Thế cờ kì này khó Tuy có rất nhiều bạn tham gia giải nhưng chỉ có bạn
Vũ Hoàng Minh, 7A10, THCS Giang V6,
Ba Dinh, Ha Noi lam dung Cac ban hay
cố gắng ở những thế cờ tiếp theo nhé!
LÊ THANH TÚ
Trang 28
Một bạn đã viết đoạn văn dưới đây để thể hiện
tình cảm của mình với những giọt mưa xuân Đoạn văn thật giàu cảm
xúc, tuy nhiên, nếu đọc kĩ
các bạn sẽ thấy có chỗ
“chưa ổn” Hãy chỉ ra và sửa lại các bạn nhé! Cứ vào mùa xuân, trời quê tôi lại có mưa phùn Không thể gọi là cơn mưa hay trận mưa được vì mưa phùn thật nhẹ nhàng và êm dịu Mưa lúc nào, tạnh lúc nào cũng chẳng rõ nữa Những hạt nước Ii ti, li ti, cứ bay bay, giăng
giăng khắp đất trời Màn mưa mờ mờ, ảo ảo
như sương khói, bao phủ lên mn lồi trong bầu không khí hơi se se lạnh Mưa phùn thường kéo dài vài ngày, có khi cả tuần hoặc
hơn thế Mỗi buổi sáng thức dậy, chỉ cần chú ý một chút ta sẽ thấy sau một đêm, cảnh vật
như vừa thay áo mới Màu xanh mỗi ngày một
xanh thêm, chồi non mỗi ngày một nhiều thêm Để rồi cho đến một hôm, màu xanh
non đã tràn ngập khắp nơi, sức sống bừng lên
tươi mới Không gian bắt đầu thoang thoảng
oXiny Mua xuân QUÊ tôi
mùi hương của hoa cam, hoa bưởi, hoa nhãn,
hoa xoan v.v Những giọt mưa long lanh trên lá, trên hoa Những giọt mưa li tỉ đọng trên tóc, trên má, trên hàng mi Một vẻ đẹp lung linh, huyền ảo, thật dịu dàng mà căng tràn
sức sống, thật ngọt ngào khiến chẳng ai có
thể dễ quên Quê tôi ỏ vùng sông nước Cửu
Long và mưa phùn đã gắn bó với chúng tôi
suốt thời đi học Lớn lên, tôi phải xa quê
nhưng cứ mỗi độ xuân về lòng tôi lại rưng
rưng nỗi nhớ, nhớ màn mưa phùn ấm áp, dịu dàng, nhớ những giot nước mưa li li, long lanh như ngọc, những giọt nước mưa đem lại sự
sống cho muôn loài THU HẰNG Phúc
@ Két qua “Cruyén cUusi nhAm cre sées)
Tất ca các bạn đều phát hiện đúng chỉ tiết vô lí trong câu chuyện vui đó Chỉ tiết “Một người làm nghề kinh doanh” cần thay bằng “một người làm nghề nông” thì mới hợp lí
Phần thưởng kì này được trao cho những bạn trình bày sạch đẹp, viết không sai chính
tả, hành văn mạch lạc, súc tích: Nhóm Bốn phép tính, 6A, THCS Hàn Thuyên, Lương Tài, Bắc Ninh; Đoàn Thùy Linh, 7C, THCS Sơn Tây, TX Sơn Tây, Hà Nội; Ngô Đức Việt, 6A1,
THCS Trần Quốc Toản, TP Hạ Long, Quảng Ninh; Lê Hoàng Anh, 6E, THCS Lý Tự Trọng,
TP Ninh Bình, Ninh Bình; Vũ Trung Hoa, 6A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh
PHAN HƯƠNG
Trang 29
Nếu Mùa Xuân tượng trưng cho tuổi trẻ thì những ngày Đầu Xuân tượng trưng cho tuổi thơ
mỗi người Nhưng Mùa Xuân đến nhẹ nhàng, êm ái quá, đến nỗi khó trả lời chính xác: Mùa Xuân
bắt đầu từ đâu?
Phải chăng Mùa Xuân đến khi trời còn rét ngọt, những bông hoa hải đường như chiếc đèn lồng nhỏ xíu báo tin Mùa Xuân sắp đến: Bất ngờ hoa
hé nở / mỏ hai mảnh vỏ sò / trông như ngọn đèn nhỏ / màu hồng rất ngây thơ / Ba bảo: hoa hải
đường / hoa như đèn lồng tết (Trúc Chi) hay Mùa Xuân đến khi bất chợt trên cành một nụ đào mở
mắt làm chú lính trinh sát Mùa Xuân: Riêng bông hoa đào nhỏ / trinh sát của Mùa Xuân / Cứ ngược
chiều sương giá / về nỏ hồng trước sân / Tức thì khắp xa gần / chim non kêu chim chíp / và một trời
lộc biếc / đã mọc lên trùng trùng (Mai Văn Hai)
Nghe Mùa Xuân gọi, muôn hoa khoe sắc thắm
tươi: Dát bạc trên cành mận / điểm vàng cho nhánh mai / Sớm mai em tới lớp / tóc thơm hoa
bưởi cài (Trần Đắc Trung) Nghe Mùa Xuân gọi,
ong bướm lượn vòng và chim về cất tiếng hót véo
von: Đàn ong làm phép trừ/ trừ rét bằng mật ngọt
/ Bay chim lam phép chia / chia niềm vui tiếng hót
(Đặng Hấn)
Mùa Xuân đến làm cho cảnh vật, con người trở nên ấm áp hơn Mưa phùn gió bấc bỗng chốc trở
thành mưa Xuân phơi phới bay (Nguyễn Bính)
Mưa gọi cây đâm chồi, nảy lộc, gọi đàn én bay về
dệt cả Mùa Xuân: Mùa Xuân hạt mưa ởi chơi /
hàng cây gội tóc hoa tươi cài đầu/ / Bầy én chang quan trời mưa / thoi đưa dệt vải cho Mùa
Xuân sang (Nguyễn Đức Mậu) Những đám mây
đen rủ nhau bay về phương Bắc, để lộ một
khoảng trời trong xanh, nắng đẹp: Sao anh không
về chơi thôn Vỹ / Nhìn nắng hàng cau nắng mới
Tín bia ma xuân
=
lên / Vườn ai mướt quá xanh như ngọc / Lá trúc che ngang mặt chữ điền (Hàn Mặc Tử) Ta cảm nhận được Xuân sang không chỉ bằng quan sát sự
thay đổi của đất trời, cảnh vật mà còn bằng chính
sự đổi thay của tiếng lòng rạo rực từ trái tim mình: Ô tiếng Mùa Xuân / sinh sôi nây nở / rao ruc xa gần (Huy Cận) Ta cảm nhận được Xuân sang
trong nụ cười trẻ thơ khi mặc áo mới, trong đôi mắt
mẹ cha khi thấy các con lớn thêm một tuổi Và
đáng trân trọng hơn, đáng ngạc nhiên là nỗi lo lắng của đứa cháu khi thấy ông mình mỗi ngày một già đi, một yếu đi: Cháu thêm một tuổi ông
mừng ⁄ ông thêm một tuổi thôi đừng ông ơi / Tóc
râu ông trắng cả rồi / Tết này cho cháu tuổi trời luôn đi (Cao Xuân Sơn)
Nhưng bạn ơi, khi Mùa Xuân đến, nhớ đừng
quên: Người phát thư Mùa Xuân / đến từng nhà gõ
cửa / đèo cả một rừng hoa / hoa người đưa thư
phát / cho bà con gần xa / là những tờ báo Tết / bìa in tranh Mùa Xuân (Đông Trình)
Trang 30Apple P” English swim there
2" e@Xiniy LETTER RIDDLES Ban co doan ra khong?
(RIL If it begins with a C you can eatit, if it begins with an L, you can
If started with an H, it’s on the head, if with a C it’s an animal MINH HA e Xét qua BAN dịch được không? me Học dịch các thành ngữ giúp chúng ta nâng cao kĩ năng dịch bởi nó rất cần sự linh hoạt
theo ngữ cảnh chứ không thể đơn thuần dịch
“word by word” Học dịch thành ngữ cũng cho
ta cơ hội để tìm hiểu thêm về sự tương đồng
văn hóa thể hiện qua hai ngôn ngữ
Vườn Anh kì này đã thu hút rất nhiều bạn
tham dự Đa số các bạn đều có cùng đáp án
6 cac cau: Many a little makes a mickle - Tich
tiểu thành đại, Góp gió thành bão, Kiến tha
lâu cũng đầy tổ; One scabby sheep is enough to spoil the whole flock - Con sâu làm rầu nổi canh; Beginning is the difficutly - Van su khdéi
dau nan
Tuy nhién, trong cau dau tién Tell me the company you keep and I'll tell you what you
are thì có nhiều đáp án khác nhau được đưa
ra: Gần mực thì đen, gần đèn thì sáng; Trông
mặt mà bắt hình dong; Ngưu tầm ngưu, mã
tầm mã
Năm bạn xuất sắc nhất sẽ được nhận quà
của Chủ Vườn: Tô Thị Hà Lin, 6A, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An; Vũ Trung
Hoa, 6A1, THCS Hai Bà Trưng, Phúc Yên,
Vĩnh Phúc; Nguyễn Thị Nhung, 6B, THCS
Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Hoàng
Kiều Hồng Anh, 7A, THCS Hồ Xuân Hương,
Quỳnh Lưu, Nghệ An
Trang 31@ Ki nay
Ngựa chọn cách nào?
Giả sử một con ngựa được lựa chọn một trong ba cách chở hàng sau: % Cách thứ nhất: Ngựa thồ hai bao gạo trên lưng
% Cách thứ hai: Ngựa kéo chiếc xe hai bánh, trên xe chở hai bao gạo
kia và thêm một người ngồi
% Cách thứ ba: Ngựa kéo chiếc xe bốn bánh, trên xe vẫn là hai bao gạo và một người kia
Theo các bạn chú ngựa thông minh sẽ chọn cách nào để đỡ tốn sức nhất? Vì sao?
TUYẾT LAN
e Ket qua CACh NAO tiết kiểm h0f? œma«sea
Nhiệt độ của nước nóng càng cao (tức là THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; sự chênh lệch nhiệt độ giữa nước và không Nguyễn Thị Diệu Linh, số 129, khu 5, thị
khi xung quanh càng lớn) thì nhiệt lượng lan trấn Hậu Lộc, Hậu Lộc, Thanh Hóa; truyền vào không khí càng nhiều Quá trình Nguyễn Mai Lê, 6B, THCS Hồng Xn
đun sơi một nồi nước sẽ hao tổn nhiệt nhiều Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh
hơn so với đun đến độ âm ấm Như vậy TĐT
cách 1 sẽ tiết kiệm chất đốt hơn Hai bạn
Nguyễn Đức Thọ, 9C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ, Hải Dương và Lê Phạm
Luyện, 8C, THCS THCS Thanh Thủy, Thanh Thủy, Phú Thọ không chỉ trả lời đúng
mà còn đưa ra dẫn chứng cụ thể Ngoài hai
bạn trên, những bạn sau cũng được nhận
Trang 32
Hỏi: Em rất muốn được nhận quà của TTT
nhưng em thường chỉ giải được 1 bài dành cho
lớp 6 thôi, mà phải giải được 2 bài mới được nhận quà Em phải làm gì bây giờ?
TRIỆU THỊ LINH TRANG (6A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Tho)
Đáp:
Sang năm chắc sẽ giỏi hơn
May dần cái túi ba gang nhận quà
Sơ khi nhận quá nhiều quà
Lại thư về nhắc quá rồi, ít thôi!
Hỏi: Anh Phó nè! Để học tốt toán thì trong 3
việc: đọc nhiều sách, chú ý nghe thầy giảng và
làm nhiều bài tập thêm, việc nào là quan trọng
nhất? ;
NGUYEN THI VAN
(7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Tho) Đáp: Đọc sách nhiều là a) Nghe thầy giảng là b) Làm bài tập là c) Cả ba đều cần nhất @eeoeee@0000000000000000808000808080
Hỏi: Tai sao phải cách một số thì các đề bài
trên TTT mới có đáp án hả anh? Mong anh giải thích cho em sớm Một bạn quên ghi tên Đáp: Báo đi đường bưu điện Vào đến tận Cà Mau Sang đến đầu tháng sau Nhiều nơi mới có báo
Thư trỏ về có sớm
Cũng nửa tháng, mười ngày
Nếu mà giải đáp ngay Tỉnh no xa s thit
eđ/06G66666â66S6e6âeeeeeee6eeeoeeeoeeoeeee6ese
Hi: Anh Phó ơi! Sao TTT2 không tăng thêm số lượng các bài toán lớp 6 để học sinh lớp 6 bọn em có thể mở mang kiến thức? TRẦN THỊ TÚ OANH (6A4, THCS Thân Nhân Trung, Việt Yên, Bắc Giang) Đáp:
Trả lời xong em vào lớp 7
Được cho các bạn lóp sau này
Anh sẽ cố bảo Ban Biên tập
Tìm thêm bài toán 6 nay mai
ANH PHÓ
Trang 33Q PT: plus has at least one black colored square F ee ee ee eee "5 Bài 1(85) Xét một bàn cờ hình vuông 6 x 6 ô vuông bị khoét đi 4 ô ở 4 góc Hãy xác định số ô vuông nhỏ nhất bị tô đen sao cho trong 5 ô vuông tùy ý tạo thành một hình dấu cộng thì luôn có ít nhất một ô vuông bị tô đen
VŨ ĐÌNH HÒA (GV Khoa CNTT, Đại học Sư phạm Hà Nội)
Bài 2(85) Giải phương trình x2 +x—2+3Vx+2 =2x+4
KIỀU ĐÌNH MINH (GV THPT Thanh Ba, Phú Thọ) Bài 3(85) Cho a, b và c là các số thực thỏa mãn a2 + bể + c2 = 1 Chứng minh rằng a2 +b2c2 + vb2 + c2a2 +Ajc2 +a2b2 > ab + bc + ca +1
THÁI NHẬT PHƯỢNG (GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa)
Bài 4(85) Cho hai đường tròn (O,), (O.) giao nhau tại A, B Đường thẳng qua A và vuông góc với
AB cắt (O¿), (O.) tương ứng tại C, D Gọi M là trung điểm CD; E, F thứ tự là các điểm nằm trên (O2),
(O,) sao cho EAB =FAB; G, H thứ tự là giao điểm của BE với (O.) và BF vdi (O,)
a) Ching minh rang ME = MF
b) Chứng minh rằng GAB = HAB Từ đó suy ra tứ giác EFGH nội tiếp đường tròn tâm M
NGUYÊN VĂN LINH (HS 11A2, THPT chuyên Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội)
CORRESPONDENCE PROBLEM SOLVING COMPETITION
English version translated by Pham Van Thuan
1(85) Four unit squares at the corners of a chessboard of size 6 x 6 are removed, as shown ¡in the diagram Determine the minimum number of unit squares to be colored black such that every group of five squares in the shape of a
2(85) Solve the equation Vx? +x-24+3Vx4+2 =2x4+4 3(85) Let a, b, c be real numbers satisfying a? + b? + c2=1 PHIEU DANG Ki THAM DU i i i i i i
l l Prove that xa? + b°c? + b2 +¢7a" +Vc2 +.a2b2 > ab + bc + ca + 1 4(85) Iwo circles (O,) and (O,) intersect each other at A, B A line i ^ I through A and perpendicular to AB meets (O,) and (O,) respectively at CUOC THI C, D Let M be the midpoint of CD E, F are the points on (O,) and (O.)
GTQT such that ZEAB = ⁄FAB; G, H are the intersections of BE and (O.) and
i i
i i
i i
i i
w BF and (0O,) respectively NAM HOC a) Prove that ME = MF
2009-2010 b) Prove that ZGAB = ZHAB Hence, prove that the quadrilateral ls ot on oot oot oot oot oon mom om off © GH inscribes the circle of center M
Trang 34
Các bạn thân mến! Chủ để "Có nên vuốt keo bọt khi đến lớp?" (đăng
trên TTT2 số 74) đã được nhiều bạn gửi ý kiến trao đổi Hầu hết các bạn
đều phản đối việc vuốt keo, cho rằng những bạn vuốt keo chỉ muốn cho
mình nổi bật, chứng tỏ mình sành điệu mà chẳng chú ý gì đến học tập và
rèn luyện cả Một số ý kiến cho rằng nếu muốn nổi bật thì tốt nhất là nổi bật về thành tích học tập hoặc thể thao, văn nghệ v.v còn nổi bật về "đua
đòi ăn diện" thì chẳng mấy ai ngưỡng mộ đâu Đã thế, việc này còn khiến thầy cô giáo và những bạn xung quanh khó chịu Đó là chưa kể keo bọt
cũng rất đắt tiền Bố mẹ đã phải lo nuôi chúng ta ăn học rất vất vả, tốn kém rôi, chúng ta không nên đua đòi để tốn thêm tiển của bố mẹ Tất
nhiên, khi đi chơi, đi đã ngoại thì bạn nào thích có thể vuốt keo mà không
ai chê trách øI
Kết nối 3T rất vui vì đa số các bạn đã suy nghĩ thật đúng đắn
Rì này, mời các bạn cùng trao đổi ý kiến xung quanh vấn đề sau:
Giả sử bạn nghe thấy một số bạn trong lớp xì xâm những điều không
hay về người bạn thân của bạn Bạn sẽ làm gi?
a Nói lại ngau uới bạmnt thân của rrnừnh
b Bênh uực bạn mình luôn, bảo các bạn kia đừng hiểu như uậu uà đừng xì
xâm sau lưng
c Lắng nghe hết những lời xì xâm rồi cán nhắc, lựa chọn cách nói uà những gì cần nói uới bạn minh
d Im lặng, nghe thì biết nghe thế, nói lại phiền phức lắm
Hãy gửi ý kiến của mình về Kết nối 3T! Hãy kể lại những tình huống
mà chính bạn đã gặp và đã xử sự Những phần quà hấp dẫn đang chờ bạn!
Trang 35Mhiing nhan vat, nhiing tac gid cua TTT
LTS Kể từ số 75+76, tạp chí lần lượt giới thiệu các giáo sư, tiến sĩ, nhà
giáo, nhà báo, nhà quản lí có nhiều đóng góp uào sự phát triển của Toán Tuổi
tho 10 nam qua
PGS LE QUOC HAN
PGS TS NGUT Lé Quéc Han là Chủ
nhiệm chuyên ngành Đại số và Lí thuyết số, Đại học Vinh
Ông sinh ngày 16.04.1949 tại huyện Kỳ
Anh, Hà Tĩnh Từ nhỏ đã rất thích học Toán Năm học 1964-1965, giành danh
hiệu học sinh giỏi toán miền Bắc lớp 7
(tương đương lớp 9 THCS hiện nay) Hai
năm sau, đạt giải nhất kì thi giải Toán do Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ tổ chức
Tuy vậy, con đường Toán học sau này của ơng khơng hồn toàn bằng phẳng
Gần 30 tuổi ông mới vào được khoa Toán,
Đại học Sư phạm Vinh (nay là Đại học Vinh)
47 tuổi ông bảo vệ thành công luận án
Tiến sĩ Toán học và 7 năm sau, ông được
nhà nước phong học hàm Phó Giáo sư
Mặc dù theo đuổi mục đích chính là
nghiên cứu và giảng dạy Toán học hiện
đại, ông vẫn dành một tình yêu đặc biệt
cho Tốn phổ thơng Tên ông gắn với hàng
chục bài viết và hàng trăm đề Toán đăng
trên hai tạp chí Toán hoc và Tuổi tré va
Tốn Tuổi thơ Ngồi ra, cuốn Ẩn sau định
lí Ptôlêmê của ông được NXB Giáo dục ấn hành năm 2006 và tái bản năm 2007 cũng
được nhiều thầy giáo và bạn trẻ yêu thích
Bên cạnh u Tốn, ơng còn say mê thi ca Hiện ông là Hội viên Hội nhà văn Việt
Nam và là Trưởng Ban Thơ của Hội Văn
học Nghệ thuật Nghệ An Ông đã cho ra
mắt độc giả 4 tập thơ, 1 tập bình thơ và
giành được nhiều giải thưởng về Văn học
Năm 2008, ông được Nhà nước phong tặng danh hiệu Nhà giáo ưu tú Xin giới
thiệu một bài thơ của nhà thơ
nh JEN
không lặn 16i trong bun
lam sao thom thao thé
tham nhu dao
trinh nhu hué thanh cao hơn mai
ngạt ngào hơn dẻ
tháng ngày nép mình lặng lẽ hỗ ao sau nhà
nửa đời bôn ba
Trang 36Biểu diễn: Bạn đổ nước vào cái đĩa sâu lòng hoặc cái bát to rồi thả vào đó một
đồng xu Sau đó, bạn đề nghị khán giả cho tay vào lòng đĩa (bát) lấy đồng xu lên với điều kiện tay vẫn không hề bị ướt Tất
nhiên, khán giả sẽ chịu, không làm được
Lúc đó, bạn hãy lấy phấn rôm trẻ em (bán
rất nhiều ở các hiệu thuốc, siêu thị hoặc cửa
hàng tạp hóa) và rắc nhẹ lên mặt nước
(trong đĩa, bát), tạo thành một màng mỏng Nào, bây giờ thì bạn hãy cho hai ngón tay
(tay bạn phải thật khô) vào và nhặt đồng xu lên Khán giả sẽ rất ngạc nhiên khi thấy tay bạn vẫn khô nguyên
Bí quyết: Bí quyết của trò ảo thuật này
là ở lớp phấn rôm bao phủ trên mặt nước
e f gh Lớp phấn này tạo thành màng mỏng và khi d ý 7 Yj ⁄ ban nhung tay = te) ngón tay bạn lo a 4, V/s SỐ — i, 7 m 5 AD 4 ⁄_@ 6 m 5 ` ⁄ ⁄ YY, UY, Y 2 2 2 2 | a bc deft g nh a boc yp wo fF a OD N OW po o fF Oa DBD N OW _
Địa chỉ gửi thư và liên hệ: Tầng 5, số 361 đường Trường Chinh, quận Thanh Xuân, Hà Nội
Điện thoại (Tel): 04.35682701 (Biên tập); 04.35682702 (Phát hành - Trị sự)
Điện sao (Fax): 04.35682702 Điện thư (Email): toantuoitho@vnn.vn
Trang mạng (Website): http:/www.toantuoitho.vn
Giấy phép xuất bản: số 31/GP-BVHTT, cấp ngày 23/1/2003 của Bộ Văn hóa và Thông tin Mã số: 8BTT85M10 In tại: Công ty cổ phần in Diên Hồng