Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM TỔ TOÁN Chủ đề 8 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chủ đề 8 Phương pháp tọa độ trong không gian Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM TỔ TOÁN Chủ đề 8 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN TỌA ĐỘ ĐIỂM TỌA ĐỘ VÉC TƠ I Hệ trục toạ đ[.]

Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Chủ đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ z I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC không gian      x'Ox : trục hoành x' ' y Oy : trục tung r z'Oz : trục cao k y' O : gốc toạ độ r rr r r O j i, j , k : véc tơ đơn vị i rr r x (hay i; j;k : véc tơ đơn vị ) z' Quy ước : Khơng gian mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vng góc Oxyz gọi không gian Oxyz ký hiệu : kg(Oxyz) y II Toạ độ điểm véc tơ: uuuu r Định nghĩa 1: Cho M  kg(Oxyz) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo rr r uuuu r r r r z i, j , k hệ thức có dạng : OM  xi  yj +yk vớ i x,y,z  ¡ Bộ số (x;y;z) hệ thức gọi toạ độ điểm M Ký hiệu: M(x;y;z) y ( x: hoành độ điểm M; y: tung độ điểm M, z: cao độ điểm M ) M O x  Ý nghĩa hình học: z R z M3 O p uuuu r r r r OM  xi  yj  zk M (x; y; z)  x OP ; y= OQ ; z = OR M2 M y y Q x x ñ/ n M1 r r Định nghĩa 2: Cho a kg(Oxyz) Khi véc tơ a biểu diển cách theo r r r r rr r i a1,a2,a3  ¡ i, j , k hệ thức có dạng : a  a1i  a2 j +a3k vớ r Bộ số (a1;a2;a3) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a r a  (a1; a2; a3) Ký hiệu: r a=(a1;a2;a3) ñ/ n  r r r r a  a1i  a2 j  a3k 172 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN II Các công thức định lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ : Định lý 1: Nếu A(xA; yA; zA) vàB(xB; yB; zB ) uuu r AB (xB  xA; yB  yA; zB  zA ) r r Nếu a (a1; a2; a3) vaøb (b1; b2; b3)  a1 b1 r r  * a b   a2 b2  a b  3 r r * a  b (a1  b1; a2  b2; a3  b3) r r * a  b (a1  b1; a2  b2; a3  b3) r (k ¡ ) * k.a (ka1; ka2; ka3) Định lý 2: III Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại  Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song  Định lý phương hai véc tơ: r r r r  Định lý : Cho hai véc tơ a vàb vớ i b0 r r a cù ng phương b r r  !k  ¡ cho a k.b r r Nếu a 0 số k trường hợp xác định sau: r r k > a hướng b r r k < a ngược hướng b r a kr b uuu r uuur A, B,C thẳ ng hà ng  AB cù ng phương AC  Định lý :  r r Định lý 5: Cho hai véc tơ a (a1; a2; a3) vàb (b1; b2; b3) ta có : r r a cù ng phương b  a1 kb1    a2 kb2  a1 : a2 : a3 b1 : b2 : b3  a kb  IV Tích vơ hướng hai véc tơ: Nhắc lại: 173 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN rr r r r r a.b  a b cos(a, b) r2 r a a r r rr a  b  a.b 0  Định lý 6: r r Cho hai véc tơ a (a1; a2; a2) vaøb (b1; b2; b3) ta có : rr ab a1b1  a2b2  a3b3 r Định lý 7: Cho hai véc tơ a (a1; a2; a3) ta có : r a  a12  a22  a32  Định lý 8: Nếu A(xA; yA; zA ) vaøB(xB; yB; zB ) AB  (xB  xA )2  (yB  yA )2  (zB  zA )2 r r a  ( a ; a ; a ) vaø b (b1; b2; b3) ta có :  Định lý 9: Cho hai véc tơ r r a  b  a1b1  a2b2  a3b3 0 r  Định lý 10: Cho hai véc tơ a (a1; a2; a3) r vàb (b1; b2; b3) ta có : rr r r a1b1  a2b2  a3b3 a.b cos(a, b)  r r  a.b a12  a22  a32 b12  b22  b32 V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Định nghĩa : Điểm M gọi chia đoạnuAB tỷr số k ( k 1 ) : uur theo uuu MA k.MB    A M B uuur uuur  Định lý 11 : Nếu A(xA; yA; zA ) , B(xB; yB; zB ) MA k.MB ( k 1 ) xA  k.xB   xM  1 k  yA  k.yB   yM  1 k  zA  k.zB   zM  1 k  174 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN xA  xB   xM   y y  Đặc biệt : M trung điểm AB   yM  A B  zA  zB   zM   A ( x ; y ; z ) , B(xB; yB ; zB ), C(xC ; yC ; zC ) Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A A A xA  xB  xC   xG   y y y  G trọng tâm tam giác ABC   yG  A B C  zA  zB  zC   zG   Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Tìm điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a Chứng minh tam giác ABC vng b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A VI Tích có hướng hai véc tơ: r r Định nghĩa: Tích có hướng hai véc tơ a (a1; a2; a3) vaøb (b1; b2; b3) véc tơ r r ký hiệu :  a; b có tọa độ : r a (a1; a2; a3) Cách nhớ: r b (b1; b2; b3) r r a a a a a a   a; b  ; ;     b2 b3 b3 b1 b1 b2  Tính chất:  r r r r r r  a; b  a vaø a; b  b      r suur uuu SABC   AB; AC   uuu r uuur SY ABCD   AB; AD  VABCD.ABC ' ' ' ' D A B C D A' A B uuu r uuur uuur'    AB; AD  AA r uuur uuur uuu   AB; AC  AD  VABCD  r r a cù ng phương b  r r r  a; b 0   D' C C' B' D D C A B C A B 175 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG   HĐBM-TỔ TỐN r r r r r r a, b,c đồ ng phẳ ng   a, b c 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur A, B, C, D đồng phẳng  AB,AC,AD đồng phẳng   AB,AC AD  BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) a Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng b Tính diện tích tam giác ABC c Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Bài 3: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1;6),B(3; 1; 4),C(5; 1;0),D(1;2;1) Chứng minh tam giác ABC vng Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC thể tích tứ diện ABCD MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Các định nghĩa: Véc tơ phương (VTCP) đường thẳng: r r  r ñn  a  a VTCP đường thẳng (  )   r c trù ng vớ i ()  a cógiásong song hoặ  a  a () Chú ý:  Một đường thẳng có vơ số VTCP, véc tơ phương với  Một đường thẳng (  ) hoàn toàn xác định biết điểm thuộc VTCP Cặp VTCP mặt phẳng:   a b a  b r Cho mặt phẳng  xác định hai đường thẳng cắt a b Gọi a VTCP đường r thẳng a b VTVP đường thẳng b Khi : uruu r Cặp (a,b) gọi cặp VTCP mặt phẳng  Chú ý :  Một mặt phẳng  hoàn toàn xác định biết điểm thuộc cặp VTCP  Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) mặt phẳng : n  r r  n  r  ñn n VTPT mặt phẳng    r ng gó c vớ i mp  n cógiávuô 176 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Chú ý :  Một mặt phẳng có vơ số VTPT, véc tơ phương với  Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết điểm thuộc cặp VTPT Cách tìm tọa độ VTPT mặt phẳng biết cặp VTCP nó: r  a (a1; a2; a3) Định lý: Giả sử mặt phẳng  có cặp VTCP :  r mp  có VTPT : b  ( b ; b ; b )  r r r a a a a a a  n  a; b  ; ;   b2 b3 b3 b1 b1 b2   a    n [a , b ]  b  Ví dụ: Tìm VTPT mặt phẳng  biết  qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) II Phương trình mặt phẳng : Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng  qua điểm M0(x0; y0; z0) có r VTPT n ( A; B;C ) là:  n ( A; B; C ) M  x;y;z  M ( x0 ; y ; z ) A(x  x0)  B(y  y0)  C(z z0)   Định lý 2: Trong Kg(Oxyz) Phương trình dạng : z  n ( A; B; C )  Ax  By  Cz  D  với A2  B2  C 0 y M0 phương trình tổng quát mặt phẳng x Chú ý : r  Nếu ( ): Ax  By  Cz  D  ( ) có VTPT n ( A; B;C)  M0(x0; y0; z0)  ( ): Ax  By  Cz  D 0  Ax0  By0  Cz0  D 0 Các trường hợp đặc biệt: Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oxz )  (Oxy):z = x  (Oyz):x =  (Oxz):y = Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:  A(a;0;0)   Phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz  B(0; b;0) (a,b,c 0)  C(0;0; c)  (Oyz ) z y O (Oxy ) C c O a A b B 177 Tài liệu ôn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN x y z   1 a b c Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A 1;2;3 , B  2; 3;1 Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A vng góc với đường thẳng AB Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  P  : x  2y  3z    R :3x  2y  z 1 Viết phương là: trình mặt phẳng  R qua A 1;1;1 đồng thời vng góc với  P   Q Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(9;1;1) , cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ III Vị trí tương đối hai mặt phẳng : Một số quy ước ký hiệu:  a1 tb1  a tb   (a1, a2, , an) Hai n số :  gọi tỷ lệ với có số t 0 cho   (b1, b2, , bn)    an tbn a1 : a2 : : an b1 : b2 : : bn Ký hiệu: a a1 a2    n b1 b2 bn Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  ,  xác định phương trình : uu r ( ) : A1x  B1y  C1z  D1 0 coùVTPT n1 (A1; B1;C1) uu r ( ): A2x  B2y  C2z  D2 0 coùVTPT n2 (A2; B2;C2)  n  n2   n1  n1 a n2  n2 b a a b b ( ) caé t ( )  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 (hay:  A1 B1 C1 D1    A B2 C2 D2 ( )  ( )  A1 B1 C1 D1    A B2 C2 D2 ( ) // ( ) A1 B1 B C C A  hoaë c  hoaë c  1) A B2 B2 C2 C2 A2 Đặc biệt:     A 1A2  B1B2  C1C2 0 178 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình đường thẳng: 1.Phương trình tham số đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số đường thẳng () qua điểm M0(x0; y0; z0) r nhận a (a1; a2; a3) làm VTCP : z  a  x  x0  ta1  ():  y y0  ta2  z z  ta  ( ) M0 M ( x, y , z ) y (t  ¡ ) O x Phương trình tắc đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tắc đường thẳng () qua điểm M0(x0; y0; z0) r nhận a (a1; a2; a3) làm VTCP : (): x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3 Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A( 2; 2;1) , B ( 0; 2;5) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A B Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 1;1;0) , B ( 0; 2;1) trọng tâm G ( 0; 2; - 1) Viết phương trình đường thẳng D qua điểm C vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Ví dụ 3: x  1 2t  Cho điểm M(-2;1;1) đường thẳng (d): y  1 t Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm z  3 t  M vng góc với đường thẳng (d) Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) đường thẳng (d): x z z   Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm 1 M đường thẳng (d) II Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : 1.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : M  () a n  n a M a  a ()  n a M  a () 179 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho : r x  x0 y  y0 z  z0   đường thẳng (): có VTCP a (a1; a2; a3) qua M0(x0; y0; z0) a1 a2 a3 r mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D 0 có VTPT n ( A; B;C) Khi : () cắ t ( )  Aa1  Ba2  Ca3 0  Aa1  Ba2  Ca3 0    Ax0  By0  Cz0  D 0  Aa1  Ba2  Ca3 0    Ax0  By0  Cz0  D 0 () // ( ) ()  ( )  a ()  ( )  Đặc biệt:  n a1 : a2 : a3  A : B : C a  pt() Chú ý: Muốn tìm giao điểm M (  ) (  ) ta giải hệ phương trình :  tìm x,y,z  pt( ) Suy ra: M(x,y,z) Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = Tìm toạ độ giao điểm I đường thẳng AB mặt phẳng (P) Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) mặt phẳng (P) có phương trình: x  2y  3z  14  Tìm tọa độ hình chiếu vng góc M mặt phẳng (P) Ví dụ 3: Cho đường thhẳng (d): x1 y z    mặt phẳng (P): x  3y  4m2z  m  Tìm m 1 4 để đường thẳng (d) nằm mặt phẳng (P) Vị trí tương đối hai đường thẳng : M M0 '  a  b 1  u M0  u' 2 M 0' 1 2  u M0 ' 1 M M  u  u' 2 M ' 1  u' 2 Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : r x  x0 y  y0 z  z0 (1) :   coùVTCP u (a; b; c) vaøqua M 0( x0; y0; z0) a b c ur x  x0 y  y0 z  z0 ' ( 2):   coù VTCP u (a'; b'; c' ) vaøqua M '0(x0' ; y0' ; z0' ) ' ' ' a b c 180 Tài liệu ôn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN r r ur uuuuuuu  (1) và( 2) đồ ng phẳ ng  u,u'  M0M0'    ur uuuuuuu r r   u, u'  M M '    0  (1) caé t ( 2)    a : b : c  a' : b' : c'  (1) // ( 2)  a : b: c  a' : b' : c'  (x0'  x0):(y0'  y0):(z0'  z0)  (1)  ( 2)  a : b: c  a' : b' : c'  (x0'  x0):(y0'  y0 ):(z0'  z0) r r ur uuuuuuu  u,u'  M0M0'     (1) và( 2) ché o  pt(1) Chú ý: Muốn tìm giao điểm M (1) và( 2) ta giải hệ phương trình :  tìm x,y,z  pt( 2) Suy ra: M(x,y,z) III Góc khơng gian: Góc hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  ,  xác định phương trình : ( ) : A1x  B1y  C1z  D1 0  n1 ( A1 ; B1 ; C1 )  n2 ( A2 ; B2 ; C ) ( ): A2x  B2y  C2z  D2 0 Gọi  góc hai mặt phẳng ( ) & (  ) ta có cơng thức: cos   A1 A2  B1 B2  C1C2 a A12  B12  C12 A22  B22  C22 0  90 b Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P): x  y   0& (Q): x  z   Xác định góc hai mặt phẳng (P) (Q) Góc đường thẳng mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (): x  x0 y  y0 z z0   a b c mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D 0 Gọi  góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức: sin   ()  a (a; b; c )  n ( A; B; C ) Aa  Bb  Cc A  B  C a  b2  c2 3.Góc hai đường thẳng : Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : x  x0 y  y0 z  z0 (1) :   a b c x  x0 y  y0 z  z0 ( 2):   a' b' c' a  a1 (a; b; c) 0  90 1 2  a (a ' ; b' ; c' ) 0  90 181 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG  Vậy phương trình    : HĐBM-TỔ TOÁN x 6 y 5 z 9   4 r x 1 y 1 z    Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho M  1; 2; 3 ;a   6; 2; 3 ,  d  : Tìm phương trình 5 r đường thẳng    qua M, vng góc a cắt (d) Bài giải    Lấy điểm N  (d) , tọa độ N có dạng N   3t; 1  2t;5  3t  , ta có: uuuu r MN    3t; 3  2t;6  5t  r uuuu rr MN  a  MN.a     3t    3  2t     5t    t  uuuu r Đường thẳng cần tìm qua M có VTCP MN   2; 3;6  có phương trình là: x 1 y  z    3 Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tắc đường thẳng d qua A  0;1;1 , vuông góc x 1 y  z (d1 ) :   cắt  d  giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình: 1 x  y  z   0, x   Bài giải 185 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG    HĐBM-TỔ TỐN  x  1 Viết phương trình tham số đường thẳng  d  :  y  1  t  z  t uuur uur Xét điểm B  1; 1  t, t   (d ) Tìm t để AB.a d1  uuur uur AB.a d1   t   B  1; 2;3  Phương trình (d): x y 1 z 1   1 x  y  z 1   mặt phẳng (P): x  y  z   1 Gọi M giao điểm (d) (P) Viết phương trình đường thẳng    nằm (P) saocho    vng góc với Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng (d): (d) khoảng cách từ M đến    Bài giải     42 Do M  (d) I (P) nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình:  x  y  z   x       y  3  M  1; 3;0  1  z   x  y  z   r uur (d) có VTCP a   2;1  1 (P) có VTPT n P   1;1;1 uur r uur Mặt phẳng (Q) chứa (d) vng góc với (P) có VTPT n Q  a; n P    2; 3;1 Phương trình mp(Q): 2x  3y  z  11  Gọi (d') hình chiếu vng góc (d) mặt phẳng (P) (d)   P  I  Q  uur uur uur VTCP (d') a d '   n P ; n Q    4;1; 5  , phương trình tham số (d') là:  x   4t  y  3  t  z  5t Ta tìm N   d ' cho MN  42 , đặt N   4t; 3  t; 5  , ta có: MN  42  42t  42  t  1 + Với t  ta có N1  5; 2; 5   1  qua N1 nằm (P) vng góc với (d') có VTCP uuu r uur uur a 1   n P ; n d '    6;9; 3   3  2; 3;1 Phương trình đường thẳng cần tìm là: x 5 y2 z5    1  : 3 x 3 y z 5   + Với t  1 ta có:    : 3 186 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A  1; 0;1 , B  1; 2;1 ;C  4;1; 2  mặt phẳng (P): x  y  z  Tìm (P) điểm M cho MA  MB2  MC đạt giá trị nhỏ Bài giải      Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có G  2;1;0  , ta có MA  MB2  MC  3MG  GA  GB2  GC2 (1) Từ hệ thức (1) ta suy : MA  MB2  MC đạt GTNN  MG đạt GTNN  M hình chiếu vng góc G (P) Gọi (d) đường thẳng qua G vng góc với (P) (d) có phương trình tham số là:  x   t y  1 t z  t Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: x   t t  1 y   t   x   M  1, 0, 1 z  t y0 x  y  z  z  1   M 1;0;   Vậy  x 1 y  z x  y 1 z 1   ;  d2  :   mặt 2 1 phẳng  P  : x  y  2z   Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P) cắt  d1  ,  d  A, B cho độ dài đoạn AB nhỏ Ví dụ 6: Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng  d1  : Bài giải  Đặt A  1  a; 2  2a;a  , B   2b;1  b;1  b  , ta có 187 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN uuur AB   a  2b  3; 2a  b  3;  a  b  1  Do AB song song với (P) nên: uuur uur AB  n P   1;1; 2   b  a  uuur Suy ra: AB   a  5; a  1; 3   Do đó: AB   a  5   a  1   3  2a  8a  35   a    27  3 2  a2 Suy ra: AB  3  b  2  Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: x 1 y  z    1 Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho A  0;0;  , B  2;0;0  mặt phẳng (P) có phương trình 2x  y   Lập phương trình mặt cầu  S qua ba điểm O, A, B tiếp xúc mặt phẳng (P) Bài giải   Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x  y  z  2ax  2by  2cz  d  d  d  Do O, A, B   S  16  8c   c  2 4  4a  a  1 Suy ra: (S) có tâm I  1;  b;  , R   b   b   Do (S) tiếp xúc với (P) nên: d  I;(P)   R   b   b   4b  10b    1  b   2b3 2 Vậy có hai mặt cầu là:  S1  : x  y  z  2x  4z   S2  : x  y  z  2x  5y  4z  Ví dụ 8: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A  0;1;  , B  1;1;1 , C  2; 2;3 mặt phẳng (P): x  y  z   uuuu r uuur uuur Tìm điểm M (P) cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Bài giải 188 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN   Gọi G trọng tâm tam giác ABC, suy ra: G  1;0;  Xét điểm M  (P) Ta có: uuuu r uuur uuur uuuu r MA  MB  MC  MG  3MG uuuu r uuur uuur Suy ra: MA  MB  MC đạt GTNN  MG đạt GTNN  M hình chiếu G (P)  Tìm M + Gọi (d) đường thẳng qua G vng góc với mặt phẳng (P)  x   t Phương trình đường thẳng (d):  y   t  z   t x   t  t  2  y  1    x  1  M  1; 2;0  + Tọa độ M nghiệm hệ phương trình:  z   t y2 x  y  z   z     Vậy M  1; 2;0  Ví dụ 9: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng 5x  4y  3z  20  0;3x  4y  z   Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I  2;3; 1 cắt (d) hai điểm A, B cho AB  16 Bài giải   r  4 3 5 4  ; ; Đường thẳng (d) có VTCP là: u      8; 4; 8    2;1; 2   4 1 3 4  Kẻ IH  AB HA  HB  IH  d  I, (d)  , R  IH  AH 189 Tài liệu ôn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN  Xét điểm M  11;0; 25  , ta có: uuu r r IM   9; 3; 24    u; IM    30;30; 15   uur n d   2;1; 2  r 2  u; IM   30   302   15     d  I;(d)     15 r u  Do đó: R  IH  AH  225  64  17  Vậy phương trình mặt cầu (S) là:  x     y  3   z  1  289 2 x2 y  z    Xét hình bình hành ABCD có  2 A(1 ; ; 0), C (2 ; ; 2), D  d Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD Ví dụ 10: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d : Bài giải    x2 y z    D(t  ;  2t  ;  2t  1)   Vì S ABCD 3  S ACD  Ta có AC (1 ; ; 2); AD (t  ;  2t  ;  2t  1) Do D  d : Suy [ AC , AD] ( ; 4t  ;  4t  9)  Khi đó: 1 S ACD  AC , AD  16  (4t  7)  ( 4t  9)  32t  128t  146 2 2 Từ (1) (2) ta có 32t  128t  128 0  t 2 Suy D(0 ;  ;  3)  Do ABCD hình bình hành nên AB  DC Suy B(3 ; ; 5)  Vậy B  3;3;5    (1) (2) 190 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN C Các toán thi TN - CĐ - TSĐH năm 2014 Bài 1: (TN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 1;0) mặt phẳng ( P ) : x  y  z   a) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A vng góc với ( P ) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) cho AM  OA AM  3d ( A;( P )) Đáp án Bài 2: (CĐ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;1; 1), B (1; 2;3) mặt phẳng ( P ) : x  y  z   a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A ( P ) b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B vng góc với ( P ) Đáp án 191 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Bài 3: (ĐH-K.D) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x  y  z   mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z  11  a) Chứng minh mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn (C ) b) Tìm tọa độ tâm (C ) Đáp án Bài 4: (ĐH-K.B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;0; 1) đường thẳng d : x 1 y  z   2 1 a) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc với d b) Tìm tọa độ hình chiếu A d 192 Tài liệu ôn thi môn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Đáp án Bài 5: (ĐH-K.A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x  y  z   đường thẳng d: x2 y z 3   2 a) Tìm tọa độ giao điểm d ( P ) b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d vng góc với ( P ) Đáp án 193 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN D BÀI TẬP Bài Viết phương trình mặt phẳng  P  qua ba điểm A 1;0;1 , B  0;2;0 ,C  0;1;2 Kết quả:  P  :3x  2y  z   Bài Viết phương trình mặt phẳng  P  qua ba điểm A 1;0;3 , B  0;2;2 ,C  1; 1;5 Kết quả:  P  :3x  2y  z   Bài Viết phương trình mặt phẳng  P  qua M  1;2;3 song song với mặt phẳng  Q : 2x  3y  2z  1 Kết quả:  P  :2x  3y  2z   Bài Viết phương trình mặt phẳng  P  qua M  1; 1;2 vng góc với mặt phẳng  Q : x  3z 1 0;  R : 2x  y  z  1 Kết quả:  P  :3x  5y  z 10  Bài Viết phương trình mặt phẳng  P  qua hai điểm A 0;1;0 , B  1;2; 2 vng góc với mặt phẳng  Q : 2x  y  3z 13  Kết quả:  P  : x  7y  3z   Bài Cho M  2;3;1 đường thẳng    : x  y z   Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa    1 qua M Kết quả:  P  :2x  y  z  Bài Cho A 1; 1;2  P  :2x  3y  5z  10  Viết phương trình mặt phẳng  Q đối xứng với mặt phẳng  P qua A Kết quả:  P  :2x  3y  5z  20  Bài Viết phương trình đường thẳng giao tuyến  P  :3x  y  z   0,  Q : x  2y  z   x  t  Kết quả:  y   z   5t  Bài Cho A 1; 2;3  P  :3x  y  z  1 Viết phương trình đường thẳng    qua A vng góc với mặt phẳng  P  194 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Kết quả: HĐBM-TỔ TỐN x  y  z   1  x  1 3t x  y z    ;    :  y   t Viết phương trình đường Bài 10 Cho M  2;3; 1 hai đường thẳng  1  : 3  z  1 5t  thẳng    qua M vng góc với  1  ,   Kết quả: x  y  z   13 Bài 11 Cho M  3;2; 1 hai đường thẳng  1  : x  y z x  y z Viết phương   ;  2  :   5 1 2 trình đường thẳng    qua M vng góc với  1  cắt    Kết quả: x  y  z   Bài 12 Cho M  1; 1;1 hai đường thẳng  1  : x  y z x  y z Viết phương   ;  2  :   1 1 1 trình đường thẳng    qua M cắt hai đường thẳng  1     Kết quả: x  y  z   13 6 Bài 13 Tìm hình chiếu vng góc M  3;6;2 lên mặt phẳng  P  :5x  2y  z  25  Kết quả:  2;8;1 Bài 14 Tìm hình chiếu vng góc điểm M  1;0;2 lên đường thẳng    : x  y z Từ suy   2 tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua    Kết quả: H  1;5; 1 , M ' 3;10; 4 Bài 15 Cho đường thẳng    : x  y z mặt phẳng  P  : x  y  3z  Viết phương trình hình   3 chiếu vng góc    mặt phẳng  P  Kết quả: x y z   26 29 195 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Bài 16 Cho đường thẳng    : HĐBM-TỔ TOÁN x  y z mặt phẳng  P  : x  4y  3z  1 Viết phương trình hình   1 chiếu vng góc    mặt phẳng  P    x  13  2t  16  Kết quả:  y    t 13  14   z    2t   x  2 t x  y  z    ;    :  y  1 t Chứng minh  1     chéo Bài 17 Cho hai đường thẳng  1  : 1 2 z   Viết phương trình đường thẳng    đường vng góc chung  1     Kết quả: x y z   1 1 Bài 18 Cho đường thẳng    :   x  y z mặt phẳng  P  :2x  y  2z  1 Tìm tọa độ giao điểm   2  P  Viết phương trình mặt phẳng chứa   vng góc với  P  7 3 Kết quả: M  ; 3; , P  : x  8y  5z  13  2 2 Bài 19 Cho điểm A 1;0; 1 đường thẳng    : x  y z Viết phương trình mặt phẳng qua A   2 1 vng góc với    Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A     1 Kết quả:  P  :2x  2y  z   0, H  ;  ;    3 3  x  1 2t  Bài 20 Cho điểm M  1,5,3 đường thẳng    :  y   t Viết phương trình mặt phẳng  P  vng góc  z  3 2t    cách M khoảng 196 ... liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình đường thẳng: 1.Phương trình tham số đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số đường thẳng ()... thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tắc đường thẳng () qua điểm M0(x0; y0; z0) r nhận a (a1; a2; a3) làm VTCP : (): x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3 Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ... z  2 t  Tính khoảng cách hai đường thẳng (d1) (d2) MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình mặt cầu: Phương trình tắc: Định lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính