(LUẬN văn THẠC sĩ) thuật toán rút gọn cơ sở trong dàn và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN ĐỒN BẰNG THUẬT TỐN RÚT GỌN CƠ SỞ TRONG DÀN VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2019 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN ĐỒN BẰNG THUẬT TỐN RÚT GỌN CƠ SỞ TRONG DÀN VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 8460104 : Người hướng dẫn: TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU download by : skknchat@gmail.com i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài THUẬT TOÁN RÚT GỌN CƠ SỞ TRONG DÀN VÀ ÁP DỤNG cơng trình nghiên cứu hướng dẫn TS Ngô Lâm Xuân Châu chưa công bố cơng trình khoa học khác thời điểm Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm luận văn Quy Nhơn, ngày 23 tháng năm 2019 Học viên thực đề tài Trần Đoàn Bằng download by : skknchat@gmail.com ii Mục lục MỞ ĐẦU 1 GIỚI THIỆU VỀ DÀN VÀ CƠ SỞ RÚT GỌN 1.1 Khái niệm dàn 1.2 Thuật toán rút gọn sở Lenstra, Lenstra Lovász 1.3 Tính dừng thuật tốn rút gọn sở 14 MỘT SỐ ÁP DỤNG 19 2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 19 2.2 Giải phương trình tồn phương 23 2.3 Trường số đa thức tối tiểu phần tử nguyên thủy 29 2.4 Phá vỡ hệ mã kiểu ba lô 35 2.5 Xấp xỉ Diophant đồng thời 37 KẾT LUẬN 40 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Một dàn (lattice) không gian Rn nhóm nhóm cộng Rn đẳng cấu với nhóm cộng Zn sinh khơng gian véctơ Rn Cho sở Rn , tập tất tổ hợp tuyến tính véctơ sở lập thành dàn Rn Lý thuyết dàn có nhiều ứng dụng tốn học lý thuyết (Đại số Lie, Lý thuyết số Lý thuyết nhóm) tốn học ứng dụng (Lý thuyết mã, mật mã) Cho dàn L Rn , tốn SVP (the shortest vector problem) tìm véctơ dàn L có độ dài ngắn Đây tốn thuộc loại NP-khó khơng hy vọng để tìm kiếm thuật toán hữu hiệu cho toán Tuy nhiên, nhiều ứng dụng cần tìm véctơ “tương đối ngắn” dàn đủ Năm 1982, A.K Lenstra, H.W Lenstra L Lovász ba nhà toán học đề xuất thuật toán LLL để giải tốn tìm véctơ “tương đối ngắn” dàn với thời gian đa thức Cho đến thuật toán LLL có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học Luận văn “Thuật toán rút gọn sở dàn áp dụng” nghiên cứu dàn, thuật toán rút gọn sở dàn (thuật toán LLL) số áp dụng thuật toán Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm hai chương Chương Giới thiệu dàn sở rút gọn Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức dàn, thuật toán rút gọn sở (thuật tốn LLL) phân tích tính dừng thuật toán LLL Chương Một số áp dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày số áp dụng thuật tốn rút gọn sở Đó phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình toàn phương, trường số đa thức tối tiểu phần tử nguyên thủy, phá vỡ hệ mã kiểu ba lô, xấp xỉ Diophant đồng thời download by : skknchat@gmail.com Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Ngô Lâm Xuân Châu, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Chúng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Đại số lí thuyết số khóa 20 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hoàn thiện download by : skknchat@gmail.com Chương Giới thiệu dàn sở rút gọn Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm dàn thuật tốn tìm sở rút gọn dàn Nội dung chương trình bày dựa vào tài liệu [4] 1.1 Khái niệm dàn Ký hiệu Rn = {(a1 , a2 , , an ) | ∈ R, ∀i = 1, , n} không gian véctơ Euclide với tích vơ hướng xác định f.g = b i 1≤i≤n với f = (a1 , , an ) g = (b1 , , bn ) Chuẩn (độ dài) f = (a1 , , an ) định nghĩa 1/2 a2i f = = (f.f )1/2 ∈ R 1≤i≤n Hai véctơ f g trực giao f.g = Định nghĩa 1.1.1 Cho n ∈ N f1 , f2 , , fn ∈ Rn với fi = (fi1 , fi2 , , fin ) Khi L= ri fi : r1 , r2 , , rn ∈ Z Zfi = 1≤i≤n 1≤i≤n gọi dàn hay Z− môđun sinh f1 , f2 , , fn Nếu véctơ độc lập tuyến tính chúng gọi sở L Chuẩn L |L| = det (fij )1≤i,j≤n ∈ R+ download by : skknchat@gmail.com Bổ đề 1.1.2 Cho N ⊆ M ⊆ Rn dàn, sinh g1 , g2 , , gn f1 , f2 , , fn , tương ứng, fi = (fi1 , fi2 , , fin ) gi = (gi1 , gi2 , , gin ) Khi tồn số nguyên c ∈ Z cho det (gij )1≤i,j≤n = c det (fij )1≤i,j≤n Chứng minh Vì N ⊆ M ⊆ Rn nên với ≤ i, j ≤ n tồn aij ∈ Z cho gi = 1≤j≤n aij fj Từ suy det (gij )1≤i,j≤n = det (aij )1≤i,j≤n det (fij )1≤i,j≤n Đặt c = det (aij )1≤i,j≤n ∈ Z Khi ta có det (gij )1≤i,j≤n = c det (fij )1≤i,j≤n Trong bổ đề trên, ta lấy N = M f1 , f2 , , fn g1 , g2 , , gn sinh dàn ta có det (gij )1≤i,j≤n = det (aij )1≤i,j≤n det (fij )1≤i,j≤n = det (aij )1≤i,j≤n det (bij )1≤i,j≤n det (gij )1≤i,j≤n , với aij , bij ∈ Z Từ suy det (aij )1≤i,j≤n det (bij )1≤i,j≤n = Vì det (aij )1≤i,j≤n , det (bij )1≤i,j≤n số nguyên nên ta suy det (aij )1≤i,j≤n = Do det (aij )1≤i,j≤n = det (bij )1≤i,j≤n Vì chuẩn dàn L không phụ thuộc vào cách chọn sở L Về mặt hình học, |L| thể tích hình hộp sinh véctơ f1 , f2 , , fn Ví dụ 1.1.3 Trong R2 cho f1 = (12, 2) , f2 = (13, 4) dàn L = Zf1 + Zf2 Chuẩn L |L| = det 12 13 = 22 diện tích hình bình hành dựng hai véctơ f1 f2 (hình tơ màu đen Hình 1.1) Một sở khác L g1 = (1, 2) = −f1 + f2 g2 = (11, 0) = 2f1 − f2 , thực g1 véctơ ngắn dàn L chuẩn Euclide Hình 1.1: Dàn L sinh f1 f2 R2 download by : skknchat@gmail.com Bài toán: Cho trước dàn L, tức cho sở L Bài tốn tìm véctơ ngắn dàn L (the shortest vector problem (SVP)) toán thuộc loại NP-hard khơng hy vọng để tìm kiếm thuật toán hữu hiệu cho toán Dù vậy, ứng dụng người ta cần véctơ “tương đối ngắn” đủ Bài toán A.K Lenstra, H.W Lenstra L Lovász (1982) lần đề cập đưa thuật toán với thời gian đa thức để tìm véctơ tương đối ngắn báo tiếng [6] phân tích đa thức với hệ số hữu tỉ thành nhân tử 1.2 Thuật toán rút gọn sở Lenstra, Lenstra Lovász Sau tóm tắt phương pháp trực giao Gram-Schmidt từ đại số tuyến tính Cho sở tùy ý (f1 , f2 , , fn ) Rn Hệ (f1∗ , f2∗ , , fn∗ ) sở trực giao Gram-Schmidt hệ (f1 , f2 , , fn ) (gọi tắt GSO) định nghĩa sau f1∗ = f1 , fi∗ = fi − µij fj∗ , µij = 1≤j