Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS Năm học 2010 2011 môn thi: Toán Đề 1141728

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MƠN THI : TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Câu 1(4đ): Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương x     12 x  y y  Câu 2(4đ): a) Giải hệ phương trình:  x   x   y y  b) Giải phương trình: x + + - x  (x + 3)(6 - x) = Câu 3(5đ): a) Cho x, y, z, a, b, c số dương Chứng minh rằng: abc + b) Từ suy : 3 xyz  3 (a + x)(b + y)(c + z) 3 3 3  23 Câu 4(5đ): Cho hình vng ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA hình vng a) Chứng minh SABCD  AC (MN + NP + PQ + QM) b) Xác định vị trí M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ Câu 5(2đ): Cho ba số a,b,c thỏa mãn đồng thời điều kiện: a+b+c=1 Chứng minh: a 2011  b 2011  c 2011  1 1    a b c Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh Cán coi thi khơng giải thích thêm DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MƠN THI : TỐN Câu Câu Nội dung Để n  18 n  41 hai số phương n  18  p n  41  q  p, q  N   p  q   n  18    n  41  59   p  q  p  q   59  p  q   p  30   p  q  59  q  29 Nhưng 59 số nguyên tố, nên:  Từ n  18  p  302  900 suy n  882 Thay vào biểu thức n  41 , ta 882  41  841  292  q Vậy với n  882 n  18 n  41 hai số phương Câu a) Giải hệ phương trình: 1 ) + x + - 20 = Đặt: t = x + y y y => t2 + t - 20 = (t – 4)(t + 5) =  t1 = 4, t2 = -5 1 = => x = - Thay vào (2) có: (2y-1)2 = => y = y y => x = Với t = -5 => x + 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1 = -5=> x = -5 - Thay vào (2) có: y y 13y2 + 5y + = phương trình vơ nghiệm x + + - x - (x + 3)(6 - x)  (1) Vậy hệ có nghiệm nhất: x = 2, y = b) Giải phương trình: 0,5đ  x+3   -3  x  6-x  0,25đ u  x + , u , v   u  v    v = - x 0,25đ u + v (u + v) - 2uv = =9    = + uv u + v - uv = u + v 0,5đ Điều kiện :  Đặt : 1,0đ 1,0đ x   x  y  y  12 (1)   x   x  (2)  y y  Lấy (1)+(2) theo vế ta được: (x + Với t = => x + Điểm Phương trình có trở thành hệ : Suy :  uv = u = (3+uv)2-2uv =     uv = -4 v =  x+3 =  x = -3   x =  6-x = Vậy phương trình có nghiệm x =-3 , x = DeThiMau.vn 0,5đ 0,5đ Câu a) Từ biểu thức : abc  xyz  (a+x)(b+y)(c+z) (1) Lập phương vế (1) ta : 0,5đ abc + xyz + 3 (abc) xyz + 3 abc(xyz)  (a+x)(b+y)(c+z)  abc + xyz+ 3 (abc)2 xyz +3 abc(xyz)2  abc+xyz+abz+ayc+ayz+xbc+xyc+xbz 0,5đ  3 (abc) xyz + 3 abc(xyz)  (abz+ayc+ xbc)+ (ayz+xbz+xyc) (2) 0,5đ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : (abz+ayc+ xbc)  3 (abc) xyz (3) 0,5đ (ayz+xbz+ xyc)  3 abc(xyz) (4) 0,5đ Cộng hai bất đẳng thức (3) (4) ta bất đẳng thức (2), (1) 0,5đ chứng minh Câu b) Áp dụng BĐT (1) với a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = - 3, y = 1, z = 1,0đ Ta có : abc = + 3 , xyz = 3- 3 , a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 0,5đ Từ : 3+ 3  3- 3  6.2.2  3 (đpcm) 0,5đ a) Gọi I, J, K trung điểm QN, MN, PQ Khi : MN BJ = (trung tuyến  vng MBN) PQ Tương tự DK = QM IJ = (IJ đtb  MNQ) PN Tương tự IK = M A B J Q I N K 0,5đ 0,5đ D C P Vì BD  BJ + JI + IK + KD Dođó: SABCD  0,5đ AC AC AC BD  (BJ+JI + IK+KD) = (MN+NP+PQ+QM) - đpcm 2 0,5đ 1,0đ b) Chu vi tứ giác MNPQ : 0,5đ MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ 0,5đ = 2(BJ + JI + IK + KD)  2BD (cmt) Dấu xảy đường gấp khúc trùng với BD, tức MQ //NP, MN//PQ, MN=PQ (vì cạnh huyền tam giác vng cân nhau), lúc 1,0đ MNPQ hình chữ nhật Câu Ba số a,b,c, thỏa mãn đồng thời điều kiện: a+b+c = Từ 1    a b c 1    => ab+ac+bc= abc (a+b+c)(ab+ac+bc) = abc a b c (a+b)(b+c)(c+a) = a+b = b+c= c+a = Nếu: a+b = => c = => a2011 + b2011 = => a2011 + b2011 +c2011 = Tương tự với: b+c= c+a = DeThiMau.vn 0,5đ 0,5đ 1,0đ MA TRẬN ĐỀ Nội dung – Chủ đề Mức độ Vận dụng thấp KQ TL C1 Thông hiểu KQ TL Số học Vận dụng cao KQ Tổng TL C2a Đại số C2b C4b Tổng C3a,b;C5 C4a Hình học 2 DeThiMau.vn 11 20 ...HƯỚNG DẪN CHẤM PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010- 2011 MƠN THI : TỐN Câu Câu Nội dung Để n  18 n  41 hai số phương n ... => c = => a2011 + b2011 = => a2011 + b2011 +c2011 = Tương tự với: b+c= c+a = DeThiMau.vn 0,5đ 0,5đ 1,0đ MA TRẬN ĐỀ Nội dung – Chủ đề Mức độ Vận dụng thấp KQ TL C1 Thông hiểu KQ TL Số học Vận dụng... 59   p  q  p  q   59  p  q   p  30   p  q  59  q  29 Nhưng 59 số nguyên tố, nên:  Từ n  18  p  302  90 0 suy n  882 Thay vào biểu thức n  41 , ta 882  41  841  292