GI I PH NG TRÌNH B NG H PH NG TRÌNH Cao Minh Quang, GV Tốn tr Nguy n B nh Khiêm, V nh Long ng THPT chuyên L i gi i i u ki n 15 ≤ x ≤ 97 t a = 97 − x , b = x − 15 ( a, b ≥ ) , ta đ ph ch ng trình a +b = ⎧ ⎧a + b = ⎪ ⇔⎨ ⎨4 2 ⎩a + b = 82 ⎪⎩⎣⎡( a + b) − 2ab⎦⎤ − 2a b = 82 ***** Ph ng trình (đ i s ) toán th ng xu t hi n kì thi n sinh, kì thi h c sinh gi i Có r t nhi u ph ng pháp gi i ph ng trình nh dùng phép bi n đ i đ i s đ đ a ph ng trình v d ng tích, d ng đa th c, dùng b t đ ng th c, dùng tính ch t đ n u c a hàm s , l ng giác hóa … • ⎧a + b = ⎧a = ⎧a = Khi x = 16 (nh n) ⇔⎨ ∨⎨ ⎨ ⎩ ab = ⎩b = ⎩b = Bài vi t sau trình bày ph ng pháp gi i ph (đ i s ) b ng cách gi i h ph ng trình • ⎧ a+b=4 (H ph ⎨ ⎩ ab = 29 Bài toán Gi i ph a+b =4 ⎧ ⎧a + b = ⎧ a + b = ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ∨⎨ ⎩ a b − 32ab + 87 = ⎩ ab = ⎩ ab = 29 ng trình V y ph ng trình ng trình có nghi m nh t x = 16 Bài toán Gi i ph x +2 − x −6 = L i gi i i u ki n x ≥ t a = x + 2,b = x − ( a,b ≥ 0) , ta đ c h ph ng ⎧a − b = ⎧a − b = ⎧a = ⎧⎪ x + = ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎩a − b = ⎩a + b = ⎩ b = ⎪⎩ x − = t a=5 x −1 − x − = L i gi i c h ph • ⎧⎪ a − b =32 ⎪⎧a − b = ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎪⎩ ab = ⎪⎩( a − b ) + 3ab = ⎪⎧ a = ⎪⎧ a = − ⇔⎨ ∨⎨ ⎩⎪b = − ⎩⎪b = V i a = 2, b = 0, ta đ V y ph )( ) c x = c x = ⎧a + b = ⎧ a = ⎧a = ⇔⎨ ∨⎨ ⎨ ⎩ ab = ⎩b = ⎩ b = Khi x = • 1 ho c x = − 2 ⎧a + b = (H ph ⎨ ⎩ ab = V y ph ng trình 97 − x + x − 15 = DeThiMau.vn ng trình vơ nghi m) ng trình có nghi m x = Bài tốn Gi i ph ng trình có hai nghi m x = 1, x = Bài tốn Gi i ph ng trình a + b = ⎧a + b = ⎧ a + b = ⎧ ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ∨⎨ ⎩ a b − ab = ⎩ ab = ⎩ ab = ng trình ⎧⎪ a − b = =32 ⎪⎧ a − b ⇔ ⎨ 3 ⎨ 2 ⎪⎩a − b = ⎪⎩a + ab + b = V i a = 0, b = − 2, ta đ c h ph a + b =1 ⎧⎪ ⇔⎨ 2 ⎡ ⎤⎡ ⎤ 2 ⎪⎩ ⎣( a + b ) − 3ab ⎦ ⎣( a + b ) − 2ab ⎦ − a b = t a = x − 1, b = x − , ta đ 1 + x, b = − x , ta đ 2 ( ng trình 1 + x + − x =1 2 a + b =1 ⎧ a + b = ⎪⎧ ⎨ 5 ⇔⎨ 3 2 2 ⎩a + b = ⎪⎩ a + b a + b − a b ( a + b) = Gi i h ph ng trình trên, ta đ c x = So sánh v i u ki n, ta nh n nghi m x = ng trình L i gi i trình Bài tốn Gi i ph ng trình vơ nghi m) 1 , x=− 2 ng trình 1 +x + − x =1 2 L i gi i i u ki n x ≤ 2 ⎞ ⎛ x + xy + y + = ⎜ x + y ⎟ + y + > ⎠ ⎝ 1 t, a = + x,b = − x ( b ≥ 0) ta đ 2 trình c h ph ng Do x − y = hay x = y Th vào ph x − 2x + = ⇔ x = ∨ x = =1 ⎧a + b = ⎧⎪a + b ⇔⎨ ⎨ 2 ⎩a + b = ⎪⎩ a + (1 − a ) = V y ph =1 ⎧a +b ⎧ a = ⎧ a = ⎧ a = −2 ⇔⎨ ⇔⎨ ∨⎨ ∨⎨ ⎩a + a − 2a = ⎩ b = ⎩b = ⎩b = 1 17 T đó, ta suy x = − , x = , x = − 2 t y = 35 − x , ta đ ng trình k t thúc vi t, xin nêu m t s t p t luy n Gi i ph ⎧x + y = ⎧x + y = ⇔⎨ (i ) ∨ ⎨ ( ii ) ⎩ x−y=0 ⎩ x + y =1 ng trình (ii), ta nh n đ c x = (lo i nghi m c x= Bài toán Gi i ph 1± 1− 2 x −1 + x − = 3 x − + x + = 2x + −x − + x + = x +8 − x −8 = 57 − x + x + 40 = ( x + 3) + ( x + ) x + 16 − x x + = 2x − ) = =8 …………………………………………………… L i gi i t y = 2x − , ta đ ( ng trình ng trình sau x − x + = So sánh v i u ki n ban đ u, ta nh n nghi m x = 1, x = ng trình ⎧⎪ xy ( x + y) = 30 ⎧ x = ⎧x = ⎧x + y = ⇔⎨ ∨⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩y = ⎩ y = ⎪⎩ ( x + y) = 125 ⎩ xy = V y ph ng trình có nghi m x = , x = ⎧− x + = y ⎧ x2 + y = ⇔ ⎨ ⎨ 2 ⎩− y + = x ⎩x − y = x − y h ph c h ph y ( x + y ) = 30 ⎧⎪ ⎧ xy ( x + y ) = 30 ⇔ ⎨ ⎨ 3 ⎩ x + y = 35 ⎪⎩( x + y ) − 3xy ( x + y ) = 35 L i gi i i u ki n x ≤ h ph ng trình (i), ta nh n đ x = −2 y = −2 < ) ) L i gi i −x + = − x ng trình ( ng trình c h ph −1 ± x 35 − x x + 35 − x = 30 1 17 x = − ,x = ,x = − 2 t y = − x ( y ≥ ) , ta đ ng trình (1) −1 + −1 − ∨x= 2 ng trình có nghi m x = 1, x = Bài toán Gi i ph So sánh u ki n ban đ u, ta nh n nghi m Bài toán Gi i ph c h ph ng trình ⎧ x + = 2y ⎪⎧ x + = 2y (1) ⇔⎨ ⎨ 3 ⎩ y + = 2x ⎩⎪ x − y = ( y − x )( ) ( 2) ⇔ ( x − y) ( x2 + xy + y2 + 2) = Ta nh n th y r ng DeThiMau.vn V i a = 1, b = 3, ta đ c x = 11 x − x + = V i a = 3, b = 1, ta đ c x = −15 L i gi i i u ki n x ≥ −5 V y ph L I GI I CÁC BÀI T P T t y = x + ( y ≥ ) , ta đ c h ph LUY N ng trình ⎧ x − y = ⎧⎪ x2 − y = ⇔⎨ ⎨ ⎩ y − x = ⎩⎪( x − y )( x + y + 1) = Gi i h (II), ta đ c x=y= c x= ho c x = t a = x − 2, b = x + , ta đ ± 21 V i a = 0, b = 5, ta đ V i a = −3 −1 − 17 −1 + 17 ,y = 2 V y ph −1 − 17 + 21 , x= x= 2 ph ⎧⎪ a − b =32 ⎪⎧a − b = ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎩⎪ ab = ⎪⎩( a − b ) + 3ab = ⎪⎧ a = ⎪⎧ a = − ⇔⎨ ∨ ⎨ ⎩⎪b = − ⎩⎪b = V i a = 2, b = 0, ta đ V y ph 3 ng trình có nghi m x = 2, x = −3, x = − x +8 − x −8 = ( ) =4 a+b ⎧ ⎧a + b = ⎧ a + b = ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ∨⎨ ⎩ a b − 32ab + 87 = ⎩ ab = ⎩ ab = 29 • ⎧a + b = ⎧a = ⎧a = Khi x = 16 (nh n) ⇔⎨ ∨⎨ ⎨ ⎩ ab = ⎩b =1 ⎩b = • ⎧ a+b=4 (H ph ⎨ ⎩ ab = 29 c x = ch a−b = ⎧⎪ ⎧a − b = ⇔ ⎨ ⎨ 2 ⎩a − b = 16 ⎪⎩ ( a + b ) a + b = V y ph c x = ng trình vơ nghi m) ng trình có nghi m nh t x = 16 57 − x + x + 40 = L i gi i i u ki n 57 ≥ x ≥ −40 ng trình có hai nghi m x = 1, x = t a = 57 − x , b = x + 40 ( a, b ≥ ) , ta đ 12 − x + 16 + x = ph c h ph ⎧ a+b =4 ⎧ a+b=4 ⇔⎨ ⎨ 3 ⎩ a + b = 28 ⎩ ab = ch ng trình a+b=5 ⎧⎪ ⎧ a+b =5 ⇔ ⎨ ⎨ 2 ⎩a + b = 97 ⎪⎩( 25 − 2ab ) − 2a b = 97 L i gi i t a = 12 − x , b = 16 + x , ta đ c x=− ng trình ng trình ⎧ a+b= ⎧⎪ a + b = ⎪ ⇔⎨ ⎨ 3 ⎪⎩a − b = ⎪⎩( a − b ) ⎡⎣( a + b ) − ab ⎤⎦ = V i a = 0, b = − 2, ta đ 5 , b = , ta đ 2 t a = 97 − x , b = x − 15 ( a, b ≥ ) , ta đ L i gi i c h ph c x = −3 L i gi i i u ki n x ≥ x −1 + x − = t a = x − 1, b = x − , ta đ ng trình c x = V i a = − 5, b = 0, ta đ −1 + 17 −1 − 17 ,y = 2 c h ph ⎧ ab ( a+b ) = ⇔⎨ 3 ⎩ b −a = ⎧⎪ a + b = a + b3 ⎨ 3 ⎩⎪ b − a = K t h p u ki n ban đ u, nh n nghi m x − + x + = 2x + L i gi i ⎧x − y = ⎧x − y = ⇔⎨ ( I) ∨ ⎨ ( II ) x=y y = −1 − x ⎩ ⎩ Gi i h (I), ta đ ng trình có hai nghi m x = 11, x = −15 ng trình a+b =5 ⎧ ⎧a + b = ⎧ a + b = ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ∨⎨ ⎩ a b − 50ab + 264 = ⎩ ab = ⎩ ab = 44 DeThiMau.vn ⎧a + b = ⎧a = ⎧a = Khi x = 41 (nh n) ⇔⎨ ∨⎨ ⎨ ⎩ ab = ⎩b = ⎩b = • ⎧ a+b=5 (H ph ⎨ ⎩ ab = 44 • V y ph 4 ng trình vơ nghi m) • t = −2 − , ta đ L i gi i c h ph −a + b = ⎧ ⎧ −a + b = ⎪ ⇔ ⎨ 4 ⎨⎡ 2 ⎩a + b = ⎪⎩⎣( −a + b) + 2ab⎤⎦ − 2a b = − a + b = ⎧ −a + b = ⎧−a + b = ⎧ ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ∨⎨ ab = −1 ⎩ ab = −7 ⎩a b + 8ab + = ⎩ ⎧ −a + b = ⎧ a = −1 Khi x = −1 ⇔⎨ ⎨ ab = −1 ⎩b = ⎩ • ⎧−a + b = (H ph ⎨ ab = −7 ⎩ K t lu n Ph ( ) ng trình vơ nghi m) L i gi i c h ph ng trình ⎧ x + y2 = ⎨ 3 ⎩ x + y = 16 t t = ( x + y ) , ta có t = ( x + y ) = x + y3 + 3xy ( x + y ) = = 16 + 3t ( x + y) ( − x + y2 ) = 16 + 3t t ( −8 ) Do t − 24t + 32 = ⇔ ( t − ) t + 4t − = ⎡t = ⎢ ⇔ ⎢ t = −2 + ⎢ t = −2 − ⎣ • t = , ta đ c h ph ng trình vơ nghi m) ng trình có nghi m …………………………… =8 t y = (16 − x3 ) , ta đ ng trình x = 2; x = − + 12; x = − − 12 ng trình có nghi m x = −1 x + 16 − x c h ph ⎧⎪x + y = −2 − ( H ph ⎨ ⎪⎩ xy = + ng trình • ng trình ⎧⎪ x = − + 12 ⎪⎧ x = − − 12 ⇔⎨ ∨⎨ y 12 = − − ⎪⎩ y = − + 12 ⎩⎪ =2 t a = x + 3, b = x + , ta đ c h ph ⎧⎪x + y = −2 + ⎨ ⎪⎩ xy = − ng trình có nghi m nh t x = 41 ( x + 3) + ( x + ) V y ph • t = −2 + , ta đ ng trình ⎧x + y = ⎧x = ⇔⎨ ⎨ ⎩ xy = ⎩y = DeThiMau.vn ... h ph ng trình (i), ta nh n đ x = −2 y = −2 < ) ) L i gi i −x + = − x ng trình ( ng trình c h ph −1 ± x 35 − x x + 35 − x = 30 1 17 x = − ,x = ,x = − 2 t y = − x ( y ≥ ) , ta đ ng trình (1)... t = −2 − ⎣ • t = , ta đ c h ph ng trình vơ nghi m) ng trình có nghi m …………………………… =8 t y = (16 − x3 ) , ta đ ng trình x = 2; x = − + 12; x = − − 12 ng trình có nghi m x = −1 x + 16 − x... − x , ta đ ng trình k t thúc vi t, xin nêu m t s t p t luy n Gi i ph ⎧x + y = ⎧x + y = ⇔⎨ (i ) ∨ ⎨ ( ii ) ⎩ x−y=0 ⎩ x + y =1 ng trình (ii), ta nh n đ c x = (lo i nghi m c x= Bài toán Gi i ph