BÀI TẬP VỀ SỐ VƠ TỈ Trong tốn học, số vô tỉ số thực số hữu tỉ, nghĩa biểu diễn dạng tỉ số a/b (a b số nguyên) Người ta chứng minh rằng, tập hợp số vơ tỉ có lực lượng lớn tập hợp số hữu tỉ I/ Chứng minh số vô tỉ 1/ Chứng minh bậc hai ( ) số vô tỉ Cách CM thứ Giả sử số hữu tỉ, nghĩa tồn hai số nguyên a b mà a / b = Như viết dạng phân số tối giản a / b với a, b hai số nguyên tố (a / b)2 = suy a2 / b2 = a2 = b2 Khi a2 số chẵn b2 (hiển nhiên số chẵn) suy a phải số chẵn a2 số phương chẵn (số phương lẻ có bậc hai số lẻ, số phương chẵn có bậc hai số chẵn.) Vì a số chẵn, nên tồn số k thỏa mãn: a = 2k Từ ta có: (2k)2 = 2b2 4k2 = 2b2 2k2 = b2 Vì 2k2 số chẵn nên b2 số chẵn, suy b số chẵn Vì a b số chẵn mâu thuẫn với giả thiết a / b phân số tối giản số hữu tỉ kết luận sai phải kết luận số vô tỉ Cách chứng minh tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai số tự nhiên số nguyên số vô tỉ." Cách CM thứ hai Để chứng minh: " số vơ tỉ" người ta cịn dùng phương pháp phản chứng theo cách khác, cách tiếng cách ThuVienDeThi.com Giả sử số hữu tỉ Điều có nghĩa tồn hai số nguyên dương m n cho m/n = - Biến đổi đẳng thức trên, ta có: m/n = (2n - m)/(m - n) Vì > 1, nên từ (1) suy m > n phân số rút gọn phân số m/n m > 2n - m suy (2n - m)/(m - n) suy ra, m/n phân số tối giản hay số hữu tỉ mâu thuẫn với giả thiết số hữu tỉ Vậy phải số vô tỉ Bổ sung: Cách chứng minh tương tự với cách dùng phép dựng hình để chứng minh giả thuyết số - loại phương pháp chứng minh sử dụng nhà hình học Hy lạp cổ đại Xét tam giác vuông cân mà độ dài tương ứng cạnh góc vng cạnh huyền hai số nguyên dương n m Áp dụng Định lý Pytago, ta suy tỉ số m/n Mặt khác, phương pháp dựng hình cổ điển com-pa thước thẳng ta dựng tam giác vuông cân nhỏ với độ dài cạnh góc vng cạnh huyền tương ứng m − n 2n − m Áp dụng Định lý Pytago cho tam giác thứ hai, ta suy tỉ số (2n − m)/(m − n) Như vậy, m/n = (2n − m)/(m − n), điều chứng tỏ phân số m/n phân số tối giản hay số hữu tỉ mà phải số vô tỉ 2/ Chứng minh Căn bậc hai 10 số vô tỉ Giả sử số hữu tỉ, tức m/n, vậy: m2 = 10n2 m, n số nguyên Tuy nhiên, hệ thập phân, số bình phương có số chẵn số cuối (Chứng minh: Bất kỳ số nguyên n nào, hệ thập phân, có dạng: a.10k, k ≥ 0, a khơng kết thúc số Vậy số bình phương n2 có dạng: a2 102k, k ≥ 0.) ThuVienDeThi.com Như vậy, đẳng thức trên, vế trái có số chẵn số cuối, vế phải lại có số lẻ số cuối Vậy giả thiết số hữu tỉ phải sai 3/ Chứng minh Căn bậc ba số vô tỉ Giả sử A = số hữu tỉ.Có nghĩa tồn m,n số nguyên cho A=m/n Suy A nghiệm hữu tỉ phương trình: x3 = 2; Suy m ước 2,n ước Tuy nhiên khơng có m ước mà lũy thừa Vậy A vô tỉ II/ Bài tập thực hành Chứng minh số vô tỉ Bài Chứng minh số vô tỉ Giải Giả sử số hữu tỉ m2 m (tối giản) Suy hay 7n m (1) 7 n n Đẳng thức chứng tỏ m mà số nguyên tố nên m Đặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) (2) suy 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2 số ngun tố nên n m n chia hết phân số Vậy m không tối giản, trái giả thiết n số hữu tỉ; số vơ tỉ Bài Chứng minh tổng quát : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương a số vơ tỉ HD Giải: Chứng minh phản chứng tương tư ( đơn giản hơn) Néu a số hữu tỉ viết a = m m a = [ ]2 Trái với giả thiết n n ThuVienDeThi.com Bài Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn nhỏ Giải a/ Giá trị gần = 1,4142…; = 1,7320… số hữu tỉ : 1,42 , 1,43; 1,53… 1,70…thoả mãn b/ Nếu a < b a < (a +b)/2 < b Do < 2 < Bài Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1 b) m với m, n số hữu tỉ, n ≠ n HD Giải a) Giả sử = m (m : số hữu tỉ) b) Giả sử m + = a (a : số hữu tỉ) n = m2 – =a–m n số hữu tỉ (vơ lí) = n(a – m) số hữu tỉ, vô lí Bài Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? ĐA: Có, chẳng hạn (5 2) Bài Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ HD Giải: Chứng minh phản chứng Giả sử tổng số hữu tỉ a với số vô tỉ b số hữu tỉ c Ta có : b = c – a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c a số hữu tỉ, ThuVienDeThi.com với b số hữu tỉ trái với giả thiết Vậy c phải số vô tỉ Bài Xét xem số a b số vơ tỉ khơng, : a) ab a số vô tỉ b b) a + b a số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) ĐA: a) Có thể b, c) Khơng thể PHH sưu tầm & chỉnh li 6/11/2015 - Nguồn TK Wikipedia & vndoc.com ThuVienDeThi.com ... (vô lí) = n(a – m) số hữu tỉ, vơ lí Bài Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ khơng ? ĐA: Có, chẳng hạn (5 2) Bài Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ HD Giải: Chứng... số hữu tỉ a với số vô tỉ b số hữu tỉ c Ta có : b = c – a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c a số hữu tỉ, ThuVienDeThi.com với b số hữu tỉ trái với giả thiết Vậy c phải số vô tỉ Bài Xét xem số. .. thừa Vậy A vô tỉ II/ Bài tập thực hành Chứng minh số vô tỉ Bài Chứng minh số vô tỉ Giải Giả sử số hữu tỉ m2 m (tối giản) Suy hay 7n m (1) 7 n n Đẳng thức chứng tỏ m mà số nguyên tố