CHUYÊN ĐỀ TỌA ĐỘ PHẲNG Trong toán tọa độ mặt phẳng thường gặp yêu cầu tìm tọa độ điểm, vectơ, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc hai vectơ, quan hệ phương vuông góc hai vectơ, điểm thẳng hàng Ta vận dụng kiến thức sau đây: Cho a = ( a1 , a ) , b = ( b1 , b2 ) ta coù: a= b ⇔ ⎧a1 = b1 ⎨ ⎩a = b2 a + b = ( a1 + b1 , a + b2 ) a – b = ( a1 - b1 , a - b2 ) (k ∈ R) k a = (k a1 , k a ) α a + β b = ( α a1 + β b1 , α a + β b2 ) a b = a1 b1 + a b2 Với quan hệ độ dài ta có: ⇒ a = ( a1 , a ) ⎧⎪ A ( x A , y A ) ⇒ ⎨ ⎪⎩B ( x B , y B ) vaø a = a12 + a 22 AB = ( xB – x A , y B – y A ) AB = ( xB - xA ) + ( yB - yA ) Với quan hệ phương vuông góc ta coù: ⇔ a1 b1 + a b2 = a ⊥ b a phương b ⇔ sin( a, b) = ⇔ a1 b2 – a b1 = ⇔ A, B, C thẳng hàng a1 a = b1 b2 ⇔ ( b1 , b2 ≠ 0) AB phương AC ThuVienDeThi.com xB - x A y B - y A ⇔ xC - x A y C - y A =0 Với việc tìm góc hai vectơ ta có: - Góc hình học tạo hai vectơ a , b suy từ công thức: cos( a, b ) = a1b1 + a b2 a.b (1) - Số đo góc định hướng hai vectơ a , b (1) suy thêm từ hai công thức: sin( a, b) = tg( a, b) = a1b2 - a2 b1 a b a1b2 - a2 b1 a1b1 + a2 b2 Ngoài toán tọa độ phẳng ta áp dụng kết sau đây: M( x M , y M ) laø trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ xA ⎧ x = M ⎪⎪ ⎨ ⎪y = y A ⎪⎩ M + xB + yB G( x G , y G ) trọng tâm Δ ABC ⇔ x A + x B + xC ⎧ ⎪⎪ x G = ⎨ y + y B + yC ⎪y = A G ⎪⎩ I( x I , y I ) vaø J( x J , y J ) chân đường phân giác góc A Δ ABC thì: IB JB AB = − = − AC IC JC Với A( x A , y A ), B( xB , y B ), C( xC , yC ) diện tích tam giác ABC là: S= Δ với Δ = xB - x A y B - y A xC - x A y C - y A Ví dụ 1: ThuVienDeThi.com Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2) a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B b) Tìm tọa độ điểm M để AM + BM - CM = c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE hình thang có cạnh đáy AB E nằm Ox d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G tâm I đường tròn ngoại tiếp Δ ABC e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng Giải a) D điểm đối xứng A qua B ⇔ B trung điểm AD ⇔ xA + xD ⎧ ⎪⎪x B = ⎨ ⎪y = y A + y D ⎪⎩ B ⇔ ⎧⎪ x D = 2x B − x A = ( ) − = − ⎨ ⎪⎩ y D = 2y B − y A = ( ) + = b) Ta coù: hay D(–2, 7) AM + BM – CM = = ( 0, ) ⇔ ⎧⎪2 ( x M − ) + ( x M − ) − ( x M − ) = ⎨ ⎪⎩2 ( y M + 1) + ( y M − ) − ( y M − ) = ⇔ ⎧x M = − 12 ⎨ ⎩y M = − hay M(–12, –1) c) ABCE laø hình thang có đáy AB E nằm Ox ⇔ ⎧⎪ y E = ⎨ ⎪⎩CE // ΑΒ ⇔ ⎧yE = ⎪ ⎨ xE - yE - ⎪⎩ - = + ⇔ ⎧yE = ⎨ ⎩ xE = hay E(5, 0) ⇔ ⎧⎪ AH.BC = ⎨ ⎪⎩BH.AC = d) H trực tâm Δ ABC ⇔ ⎧ AH ⊥ BC ⎨ ⎩BH ⊥ AC ThuVienDeThi.com treân ⇔ ⎧⎪( x H − )( − ) + ( y H + 1)( − 3) = ⎨ ⎪⎩( x H − )( − ) + ( y H − 3)( + 1) = ⇔ 18 ⎧ x = H ⎪⎪ ⎨ ⎪y = ⎪⎩ H ⎧4 xH − y H − = ⇔ ⎨ ⎩2 xH + 3y H − = ⎛ 18 ⎞ hay H ⎜ , ⎟ ⎝ 7⎠ G trọng tâm Δ ABC ta có: x A + x B + xC + + ⎧ = =2 ⎪⎪ x G = 3 ⎨ ⎪ y = y A + y B + y C = −1 + + = ⎪⎩ G 3 ⎛ 4⎞ hay G ⎜ 2, ⎟ ⎝ 3⎠ + I tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC 2 ⎪⎧IA = IB ⎨ 2 ⎪⎩IA = IC ⇔ IA = IB = IC ⇔ ⎧⎪( − x I )2 + ( −1 − y I )2 = ( − x I )2 + ( − y I )2 ⎨ 2 2 ⎪⎩( − x I ) + ( −1 − y I ) = ( − x I ) + ( − y I ) ⇔ ⎧−4x I + 8y I − = ⎨ ⎩4 xI + y I − 15 = ⇔ 24 12 ⎧ ⎪⎪ x I = 14 = ⎨ ⎪ y = 19 ⎪⎩ I 14 ⇔ hay ⎛ 12 19 ⎞ I⎜ , ⎟ ⎝ 14 ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ e) Ta coù : HG = ⎜ − , ⎟ vaø HI = ⎜ − , ⎟ ⎝ 21 ⎠ ⎝ 14 ⎠ ⇒ = 21 = − 14 − ⇒ HG phương với HI ⇒ H, I, G thẳng hàng Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, ), B(1, 3 ), C (-1, ThuVienDeThi.com ) Tính cos ( AO , AB ) diện tích tam giác ABC Giải Ta coù: AO = (–2, –2 ), AB = (–1, cos( AO , AB ) = ) = ( a1;a2 ) 2−6 = − + 12 + AC = (–3, – ) = = ( b1; b2 ) ⇒ S ABC = 1 a1b2 − a2 b1 = ( −1 )( − ) − ( −3 ) = 2 *** ThuVienDeThi.com ... y A Ví dụ 1: ThuVienDeThi.com Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2) a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B b) Tìm tọa độ điểm M để AM + BM - CM = c) Tìm tọa độ điểm E... hai công thức: sin( a, b) = tg( a, b) = a1b2 - a2 b1 a b a1b2 - a2 b1 a1b1 + a2 b2 Ngoài toán tọa độ phẳng ta áp dụng kết sau đây: M( x M , y M ) trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ xA ⎧ x = M ⎪⎪ ⎨ ⎪y... điểm M để AM + BM - CM = c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE hình thang có cạnh đáy AB E nằm Ox d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G tâm I đường tròn ngoại tiếp Δ ABC e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng Giải