Toán học Bài tập vectơ26101

Phạm Viết Sĩ Đại cương vectơ AB + AC , AB – BC 1.Cho hai hình bình hành ABCD ABEF Dựng vectơ EH FG AD 7.Cho hai vectơ a b  0.Tìm điều kiện a b để: Chứng minh CDGH hình bình hành a) a + b = a + b b) a + b = a – b 2.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm tam giác 8.Cho điểm O,A,B khơng thẳng hàng.Với điều kiện vectơ OA+ OB a)Gọi D điểm đối xứng A qua tâm O Chứng minh BD = HC nằm đường phân giác góc AOB b)Gọi K trung điểm AH I trung điểm BC,chứng minh Chứng minh : AB = CD  trung điểm hai đoạn thẳng AD BC OK = IH trùng 3.Cho hình bình hành ABCD Gọi E F trung điểm hai cạnh AB 10.Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm O.Qua O kẻ CD Đường chéo BD cắt AF CE M N chứng minh : đường thẳng song song với cạnh hình bình hành cắt AB DC M DM = MN = NB N, cắt AD BC E F Chứng minh : 4.Gọi G trọng tâm tam giác ABC Dựng AD = GC DE = GB a) OA + OC = OB + OD Chứng minh GE = b) BD = ME + FN 5.Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB AC với (O) 11.Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H giao điểm AO BC.Trên đường trung trực đoạn AH lấy a)Hãy xác định điểm M ,N ,P cho: điểm M.Từ M kẻ tiếp tuyến MD với (O) Chứng minh : |MA| = | MF | ; ON = OB + OC ; OP = OC + OA OM = OA + OB Các phép toán vectơ b)Chứng minh OA + OB + OC = 1.Rút gọn biểu thức sau: 12.Cho tam giác ABC Gọi A’ điểm đối xứng với B qua A ;B’ điểm đối a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD xứng với C qua B ;C’ điểm đối xứng với A qua C Chứng minh với b)AB+ MN – CB+ PQ+ CA+ NM điểm O ta có : OA+ OB+ OC = OA'+ OB'+ OC' c) KM+ DF+ AC– KF+ CD– AP+ MP 13.Cho n điểm mặt phẳng Bạn An ký hiệu chúng A1, A2, …, An Bạn Chứng minh Bình ký hiệu chúng B1, B2, …, Bn a) AB+ CD= AD+ CB Chứng minh : A1B1+A2B2+ +AnBn=0 b) AC+ BD= AD+ BC 14.Cho tứ giác ABCD, gọi I J trung điểm AC BD c) AB+ CD+ EA= ED+ CB a)Chứng minh AB + CD = 2IJ d) AD+ BE+ CF= AE+ BF+ CD = AF+ BD+ CE b)Xác định điểm M cho MA+ MB+ 2MC= e) AB+ CD+ EF+ GA= CB+ ED+ GF c)Xác định điểm N cho NA+NB+NC+ND= 3.Cho hình bình hành ABCD điểm M tùy ý Chứng minh : 15.Cho hai hình bình hành ABCD A’B’C’D’ Gọi M ,N ,P ,Q MA + MC = MB + MD trung điểm AA’,BB’ ,CC’ ,DD’ Chứng minh MNPQ hình bình hành 4.Cho tam giác ABC, Bên ngồi tam giác ta vẽ hình bình hành ABIJ 16.Cho hai điểm phân biệt A B.Tìm quĩ tích điểm M thỏa mãn: ,BCPQ ,CARS Chứng minh : RJ + IQ + PS = MA + MB = MA – MB 5.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM.Trên cạnh AC lấy hai điểm E F 17.Cho tam giác ABC cho AE = EF = FC Gọi N giao điểm AM BE.Tính tổng a)Xác định điểm I cho : IA + 2IB = AE+ AF + AN +MN b)Xác định điểm K cho : KA + 2KB = CB 6.Cho tam giác ABC cạnh a.Tính độ dài vectơ AB+ BC , 18.Cho tam giác ABC -1ThuVienDeThi.com Phạm Viết Sĩ a)Tìm điểm M thoả mãn :AM – MB+ MC = 29.Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q, R trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EA Chứng minh hai tam giác MPE NQR có b)Tìm điểm N thoả mãn :BN = AN+NC + BD trọng tâm c)Tìm điểm K thoả mãn :BK+ BA+ KA + CK = 30.Cho hai hình bình hành ABCD AB’C’D’ có đỉnh A Chứng minh d)Tìm điểm M thoả mãn :MA+ MB– 2MC = : e)Tìm điểm N thoả mãn :NA+ NB+ 2NC = a) BB'+ C'C+ DD'= f)Tìm điểm P thoả mãn :PA – PB + 2PC = b) hai tam giác BC’D B’CD’ có trọng tâm 19.Cho hình bình hành ABCD Tìm điểm M thoả mãn: 31.Cho tam giác ABC Gọi M ,N ,P điểm xác định sau: 4AM= AB+ AC+ AD MB = 3MC ;NC = 3NA ;PA = 3PB 20.Cho lục giác ABCDEF Tìm điểm O thoả mãn : a)Chứng minh : 2OM = 3OC – OB O OA+OB+OC+ OD+OE+OF = b)Chứng minh hai tam giác ABC MNP có trọng tâm 21.Cho tam giác ABC 32.Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC a)Xác định điểm D,E thoả mãn: 4DA – DB = ; EA+ 2EC= b)Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn: |4MA – MB| = |MA+ 2MC| Chứng minh : AM = AB + AC 3 22.Cho hai điểm phân biệt A,B 33.Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm đoạn thẳng AG K a)Hãy xác định điểm P,Q,R thoả: điểm nằm cạnh AB cho AB = 5AK 2PA + 3PB = ; – 2QA + QB = ;RA – 3RB = a)Tính vectơ AI,AK,CI,CKtheo hai vectơ CAvà CB b)Với điểm O bất kỳ,chứng minh : b)Chứng minh điểm C,I ,K thẳng hàng 3 OP= OA + OB ;OQ = 2OA– OB ;OR= – OA+ OB 34.Cho điểm phân biệt A, B, C 5 2 a)Chứng minh có điểm I số t cho 23.Cho tam giác ABC,xác định điểm G,P,Q,R,S cho IA= tIB+ (1 – t)IC  điểm M ta có : MA= tMB+ (1 – t)MC GA+ GB+ GC= ;2PA+ PB+ PC= 0;QA+ 3QB+ 2QC = b)Chứng minh : IA= tIB+ (1 – t)IC  A, B, C thẳng hàng RA– RB+ RC = ; 5SA– 2SB– SC= 35.Cho điểm O cố định đường thẳng d qua hai điểm A B cố định Chứng 24.Cho hình bình hành ABCD, chứng minh MA + MC = MB + MD minh điểm M d  có số  cho: OM= OA+ (1 – )OB 25.Cho lục giác ABCDEF , M điểm tuỳ ý Chứng minh Với điều kiện  M  đoạn thẳng AB MA+ MC+ ME= MB+ MD+ MF 36.Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, 26.Cho tam giác ABC, Gọi M ,N ,P trung điểm BC, CA ,AB CA theo tỉ số m, n, p  Chứng minh : Chứng minh : AM + BN + CP = a)M, N, P thẳng hàng  m.n.p = (định lý Mênêlauýt) 27.Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, b)AN, CM, BP đồng qui song song  m.n.p = – 1(định lý Xêva) BC, CD, DE Gọi I J trung điểm MP NQ 37.Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC Chứng minh : IJ // AE IJ = AE cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN 1 28.Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ a)Chứng minh : AK = AB + AC a)Chứng minh : AA' + BB' + CC' = 3GG' b)Từ suy điều kiện để hai tam giác có trọng tâm -2ThuVienDeThi.com Phạm Viết Sĩ 1 N = AA’ ฀ CC’; P = BB’ ฀ CC’ b)Gọi D trung điểm BC,chứng minh : KD = AB + AC a)So sánh đoạn thẳng AM, MN, NA’ b)So sánh diện tích hai tam giác ABC MNP 38.Cho tam giác ABC ,M điểm tuỳ ý Chứng minh vectơ 47*.Cho tam giác ABC tâm O M điểm tuỳ ý bên tam giác v= MA– 3MB+ 2MC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Gọi D,E,F hình chiếu M xuống cạnh Chứng minh : 39.Cho tam giác ABC.Trên cạnh BC ,CA ,AB lấy điểm M,N,P cho 1 MD + ME + MF = MO BM = MC , CN = NA , AP = BP 2 2 48*.Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý 1 a)Chứng minh : AM= (2AB+ AC) ; BN= (2BC+ BA) a)Chứng minh vectơ v = MA + 2MB – 3MC khơng phụ thuộc vị trí điểm M 3 b)Dựng điểm D cho CD = v ,CD cắt AB K Chứng minh KA + 2KB = CD = 3CK CP= (2CA+ CB) 49*.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm tam b)Chứng minh : AM + BN+ CP = giác , gọi D điểm đối xứng A qua tâm O 40*.Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh a) Chứng minh HBDC hình bình hành OA + OB + OC + OD + OE = b) Chứng minh HA + HB + HC = 2HO 41*.Cho tam giác ABC Gọi M,N,P trung điểm cạnh BC ,CA OA + OB + OC = OH ,AB Đặt BN = a ;CP = b Tính vectơ AB ;BC ;CA theo vectơ a b c)Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh OH = 3OG 42* Cho tam giác ABC Đặt CA= a ;CB= b Lấy điểm A’ B’ cho CA' Kết luận ba điểm O, H ,G = ma ; CB'= nb Gọi I giao điểm A’B B’A Hãy tính vectơ CI theo hai 50*.Trong đường trịn (O) cho dây cung song song AA1 ,BB1 ,CC1 Chứng vectơ a b minh trực tâm ba tam giác ABC1 ,BCA1 ,và CAB1 thẳng hàng 43*.Cho tam giác ABC với cạnh AB = c, BC = a, CA = b 51*.Cho hai điểm A B cố định, M điểm tuỳ ý P điểm xác định : a)Gọi CM đường phân giác góc C Hãy tính vectơ CM theo MP = MA + 3MB vectơ CA CB Chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định b)Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh : 52*.Cho tam giác ABC Gọi M ,N ,P điểm xác định bởi: aIA + bIB+ cIC= MB = kMC ;NC = kNA ;PA = kPB (k  1) 44*.Cho tam giác ABC trung tuyến AM Một đường thẳng song song với AB a)Vẽ điểm M,N,P k = cắt đoạn thẳng AM, AC, BC D, E F Một điểm G nằm b)Với k tuỳ ý khác 1,chứng minh : (k – 1)OM = kOC – OB với O cạnh AB cho FG//AC Chứng minh ED= GB Suy hai tam giác ADE điểm tuỳ ý BFG có diện tích c)Chứng minh  k  1,hai tam giác ABC MNP có trọng tâm 45*.Cho hình thang ABCD có cạnh đáy AB CD Chứng minh 53*.Gọi I J trung điểm đoạn AB CD ,M N điểm xác định cho trước điểm M nằm cạnh AD tìm điểm N nằm bởiMA + kMC = ;NB + kND = (k  – 1).Gọi O trung điểm MN cạnh BC cho AN//MC DN//MB 1 46*.Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm A’, a)Chứng minh : OI = (MA + NB) OJ = (MC + ND) 2 B’, C’ cho A’B = 2A’C; B’C = 2B’A; C’A = 2C’B Gọi M = AA’ ฀ BB’; b)Từ chứng minh : OI + kOJ = 0.Kết luận ba điểm O , I , J ? -3ThuVienDeThi.com Phạm Viết Sĩ c)Gọi P Q hai điểm xác định PA + kPD = QB + kQC =0 65.Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi D E điểm xác định bởi: Chứng minh O trung điểm đoạn PQ AD= 2AB ; 5AE = 2AC a)Tính DEvàDG theo AB AC 54.Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm điểm M d cho vectơ = + + có độ dài nhỏ b)Chứng minh điểm D,E,G thẳng hàng u MA MB MC 55*.Cho tứ giác ABCD Với số k tuỳ ý,ta lấy điểm M N cho c)Gọi K trung điểm DE M điểm xác định BM= xBC Tính AK;AM theo AB;AC x xác định x để A,K,M thẳng hàng AM= kABvà DN= kDC.Tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN 56.Gọi G trọng tâm tam giác ABC ,chứng minh : 66 Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi H điểm đối xứng với G qua C K điểm đối xứng với A qua B a) GA+ GB+ GC = b) AG = (AB+ AC) a)Chứng minh rằng: 3AH= 5AC – AB b)Chứng minh rằng: 3HK = 5CB + 2AB 57.Cho ba vectơ OA;OB;OC có độ dài c)Gọi M điểm xác định BM= xAC xác định x để H,K,M thẳng hàng OA+ OB+ OC = Tính góc AOB ;BOC ;COA 67.Cho tam giác ABC M điểm cho AM = 3MB ,N điểm cho BN = 58.Gọi G,G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ 3MC, L điểm cho AL = xAC Xác định x để M,N,L thẳng hàng a)Chứng minh : AA'+ BB'+ CC'= 3GG' 68.Cho tam giác ABC , M điểm thỏa mãn BM = BC – 2AB N điểm thỏa 1 b)Gọi M,N,P điểm thoả: MA= MB , NB= NC , PC= PA CN = xAC – BC 3 a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng Chứng minh tam giác ABC tam giác MNP có trọng tâm IM 59.Cho tam giác ABC Gọi M,N,P điểm chia đoạn thẳng b)Xác định x để MN qua trung điểm I BC.Tính tỉ số IN AB,BC,CA theo tỉ số k  Chứng minh hai tam giác ABC MNP có trọng tâm 69.Cho tam giác ABC Điểm I cạnh AC cho CI = CA, J điểm thỏa 60.Cho tam giác ABC hai điểm M,N thoả: 2MA+ 3MB = NA+ 3NC = Chứng minh đường thẳng MN qua trọng tâm G BJ = AC – AB tam giác ABC 61.Cho tam giác ABC vectơ cố định u;v;w Với số t  R,lấy điểm a)Chứng minh : BI = AC – AB A’, B’ ,C’ cho AA'= tu, BB'= tv, CC'= tw.Tìm quĩ tích trọng tâm G tam giác A’B’C’ t thay đổi b)Chứng minh B ,I ,J thẳng hàng 62.Cho tam giác ABC điểm O Chứng minh điểm M ta c) Dựng điểm J thỏa mãn điều kiện tốn ln ln tìm số , ,  cho:  +  +  = 70.Cho hình bình hành ABCD, cạnh AB lấy điểm E cho AE = AB ,F OM= OA+ OB+ OC.Nếu điểm M trùng với trọng tâm tam giác ABC n số , ,  bao nhiêu? 63.Cho tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G Gọi G1,G2,G3 lần điểm cạnh AC cho AF = AC Chứng minh E,D,F thẳng n + lượt trọng tâm tam giác BCA’ ; CAB’ ; ABC’ hàng Chứng minh G trọng tâm tam giác G1G2G3 71.Cho tam giác ABC có trực tâm H,các đường cao AA’ ,BB’ ,CC’ Chứng 64.Cho tam giác ABC, M điểm đối xứng trọng tâm G qua B Phân tích minh : HA theo HB HC -4ThuVienDeThi.com Phạm Viết Sĩ a)Tìm toạ độ điểm C,D cho : CA = – 2CB DA= 2DB b)Gọi I,J trung điểm AB CD ,chứng minh AB2 + CD2 = 4IJ2 ; IA2 = IC.ID ; AC.AD= AB.AJ a) tanB.A'B + tanC.A'C = b) tanA.HA + tanB.HB + tanC.HC = 72.Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M ,N thỏa 3AM = AB , 2DN = DC a) Tính AN theo AB AC b) Gọi I J hai điểm thỏa BI =  BC ,AJ =  Tính AI ,AJ theo AB, AC  ,  73.Cho tam giác ABC, M điểm AC cho AM= MC ,G trọng tâm AN tam giác ABC, MG cắt đường thẳng AB N.Tính AB 74.Cho tg ABC.Tìm tập hợp điểm M thỏa a)MA + MB = MB + MC b) MA+ 2MB – 3MC = Tọa độ Oxy 1.Cho a = (1;3),b = (2;– 5),c = (4;1) a)Tìm tọa độ vectơ u = 2a – b + 3c b)Tìm tọa độ vectơ x cho x + a = b– c c)Tìm số k h cho c = ka + hb 2.Cho u = 2i– 3j v = ki + 4j Tìm giá trị k để hai vectơ uvà v phương 3.Cho vectơ a = (– 1;4),b= (2;– 3),c= (1;6) Phân tích c theo avà b 4.Cho vectơ a = (m;m) , b= (m – 4;1) , c= (2m + 1;3m – 4) Tìm m để a+ b phương với c 5.Xét xem cặp vectơ sau có phương khơng?Nếu phương có hướng khơng? a) a = (2;3) , b = (– 10;– 15) b) a = (2;3) , b = (– 10;– 15) c) a = (0;7) , b = (0;8) d) a = (– 2;1) , b = (– 6;3) e) a = (0;5) , b = (3;0) 6.Cho vectơ a= (3;1) , b= (2;1) c= (4;1) Tìm số x,y cho x.a+ y.b + 7c = 7.Cho điểm A(– 3;2) ,B(2;4) ,C(3;– 2) a)Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC b)Tìm tọa độ điểm D cho C trọng tâm tam giác ABD c) Tìm tọa độ điểm E cho ABCE hình bình hành 8.Cho điểm A(– 2;– 3) ,B(2;1) ,C(2;– 1) a)Tìm điểm D cho ABCD hình bình hành b)Gọi E điểm đối xứng với D qua A Chứng minh ACBE hình bình hành 9.Cho tam giác ABC có A(– 1;1), B(5;– 3), đỉnh C nằm trục Oy trọng tâm G nằm trục Ox Tìm toạ độ đỉnh C Toạ độ trục 1.Trên trục x’Ox cho điểm A,B,C có toạ độ 2,– 3,1 a)Tính AB , AB – 2AC ,CB b)Tìm toạ độ trung điểm I AB c)M điểm đối xứng với A qua B, N điểm đối xứng với M qua A Tìm N 2.Trên trục x’Ox cho điểm A,B,C có toạ độ 1,– 3,5 a)Tìm toạ độ điểm D cho DA = 3DB b)Tìm toạ độ điểm M cho MA + MB+ MC = c)Tìm toạ độ điểm N cho 2NA – NB+ 5MC = 3.Trên trục x’Ox cho điểm A,B,C I trung điểm BC,chứng minh : a) AB+ AC = 2AI b) AB.AC = AI2 – BI2 c) AB2 + AC2 = 2(AI2 + BI2 ) d) AB2 – AC2 = 2BC.IA 4.Trên trục x’Ox cho điểm A,B,C,D , chứng minh : a) AB.CD + AC.DB + AD.BC = b) AB2.CD + AC2.DB + AD2.BC + CD.DB.BC = 5.Trên trục x’Ox cho điểm A,B có toạ độ – 1, -5- ThuVienDeThi.com Phạm Viết Sĩ 10Cho tam giác ABC biết trọng tâm G(1;2),trung điểm BC D(– 1;– 1), trung điểm cạnh AC E(3;4).Tìm toạ độ đỉnh A,B,C 11.Cho điểm A(2;3) ,B(9;4) ,M(x;– 2) Tìm x để điểm A,B,M thẳng hàng 12.Cho điểm A(1;1) ,B(3;2) ,C(m + 4;2m + 1),Tìm m để A ,B ,C thẳng hàng 13.Cho điểm A(– 1;8) ,B(1;6) ,C(3;4) Chứng minh rằng: A ,B ,C thẳng hàng 14.Cho điểm A(0;1) ,B(1;3) ,C(2;7), D(0;3) Chứng minh rằng: hai đường thẳng AB CD song song 15.Cho điểm A(– 2;– 3) ,B(3;7) ,C(0;3), D(– 4;– 5) Chứng minh rằng: hai đường thẳng AB CD song song 16.Cho điểm A(– 4;5) , B(1;2) ,C(2;– 3) a)Chứng minh rằng: ba điểm A ,B ,C tạo thành tam giác b)Tìm tọa độ điểm D cho AD = – 3BC + AC c)Tìm tọa độ điểm E cho O trọng tâm tam giác ABE 17.Cho tam giác ABC ,các cạnh BC ,CA ,AB có trung điểm M(– 2;1) ,N(1;– 3) ,P(2;2) a)Tìm tọa độ đỉnh A ,B ,C b)Chứng minh rằng: tam giác ABC MNP có trọng tâm trùng Chứng minh rằng: AK = AB + AC 4 3.Cho tam giác ABC cá cạnh 1,điểm O trùng với gốc tọa độ, cạnh AB song song với Ox,A điểm có tọa độ dương.Tính tọa độ hai đỉnh A B Đề (NC) Cho hai hình bình hành ABCD AB’C’D’ có đỉnh A Chứng minh : a) BB'+ DD'= CC' b) hai tam giác BC’D B’CD’ có trọng tâm 2.Trong mo Oxy cho hai điểm A(1;4) B(2;2) Đường thẳng qua hai điểm A B cắt trục Ox M cắt trục Oy N.Tính diện tích tam giác OMN Đề 4(NC) 1.Cho tam giác OAB.Đặt OA = a ,OB = b.Gọi C ,D ,E điểm cho AC = 1 2AB ,OD = OB ;OE = OA a)Hãy biểu thị vectơ OC,CD,DE qua vectơ a b b)Chứng minh rằng: ba điểm C ,D ,E thẳng hàng 2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm G(1;2).Tìm tọa độ điểm A  Ox điểm B  Oy cho G trọng tâm tam giác OAB Đề kiểm tra Tích vơ hướng 1.Cho hai vectơ avàb Chứng minh : ฀ ฀2 ฀2 ฀2 ฀2 ฀2 ฀ ฀2 ฀ ฀2 ฀ ฀2 a.b=  a  b  a  b  =  a  b  a  b  =  a  b  a  b  2  2  4  2.Cho hai vectơ a ,b có a = , b = 12 a + b = 13.Tính tích vơ hướng a.(a + b) suy góc hai vectơ a a + b 3.Cho tam giác ABC cạnh a Gọi H trung điểm BC,tính a) AH.BC b)AB.AC c) AC.CB 4.Cho hình vng ABCD tâm O,cạnh a.Tính: a)AB.AC b)OA.AC c) AC.CB Tam giác ABC có AC = ,BC = ,C = 90o ,tính AB.AC Tam giác ABC có AB = ,AC = ,A = 120o a)tính AB.BC b) Gọi M trung điểm AC tính AC.MA Tam giác ABC có AB = ,BC = ,CA = Đề 1(CB) 1.Cho hình bình hành ABCD tâm O.Tính vectơ sau: a) AO+ BO+ CO+ DO b) AB+ AD+ AC c) OC– OD 2.Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q trung điểm cạnh AB ,BC ,CD ,DA Chứng minh rằng: a) MN = QP bMP = MN + MQ 3.Cho tg ABC có trọng tâm G.Gọi M ,N ,P trung điểm cạnh AB ,BC ,CA Chứng minh rằng: GM + GN + GP = 4.Xét ba điểm sau có thẳng hàng không: A(2;– 3) , B(5;1) , C(8;5) Đề 2(CB) 1.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O a) Chứng minh rằng: AB + AD = AB – AD b)Với điểm M tùy ý,chứng minh rằng: MA+ MC = MB + 0MD 2.Cho tam giác ABC.Gọi I trung điểm BC ,K trung điểm BI -6- ThuVienDeThi.com a)Tính AB.AC suy giá trị góc A b)Tính CA.CB Phạm Viết Sĩ BC.AD + CA.BE + AB.CF= 18.Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N hai điểm (O) I = AM∩BN Chứng minh : a) AI.AM = AI.AB b) BI.BN = BI.BA c) AI.AM + BI.BN= 4R2 19.Cho điểm A,B,C,D tuỳ ý a) Chứng minh : AB.CD+ AC.DB+ AD.BC= b)Từ chứng minh tam giác,ba đường cao đồng qui 20.Cho tam giác ABC cân A.Gọi H trung điểm BC,và D hình chiếu H AC, M trung điểm HD Chứng minh AM BD 21.Cho hình vng ABCD Gọi M N trung điểm BC CD Chứng minh : AN  DM 22.Cho hình chữ nhật ABCD Gọi K hình chiếu vng góc B AC, M N trung điểm AK DC Chứng minh : BM  MN 23.Cho hình thang ABCD vuông A B AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm điều kiện a ,b ,h để a) AC  BD b) IA  IB với I trung điểm CD 24.Cho tam giác ABC có AB = ;AC = A = 45o Gọi L chân đường phân giác góc A a)Tính AB.AC b)Tính AL theo AB AC  độ dài AL c)M điểm cạnh AC cho AM = x Tìm x để AL  BM 25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a A = 120o a) Tính BC BA.BC b)Gọi N điểm cạnh BC cho BN = x Tính AN theo AB AC,x c)Tìm x để AN  BM 26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng: AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 2AC.DB 27.Cho tam giác ABC có H trực tâm M trung điểm BC Chứng minh : MH.MA = BC2 28.Cho tứ giác ABCD Hai đường chéo cắt O Gọi H ,K trực tâm tam giác ABO CDO; I J trung điểm AD BC c)Gọi D điểm cạnh CA cho CD = CA Tính CD.CB 8.Cho hai vectơ a b thỏa mãn |a| = , |b| = (a,b) = 120o Với giá trị m hai vectơ a + mb a – mbvng góc Tam giác ABC có AB = ,AC = góc A = 60o Trên tia AC lấy điểm M đặt AM = kAC.Tìm k để BM vng góc với trung tuyến AD tam giác ABC 10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a hai trung tuyến BM, CN vng góc Tính cosA 11 Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11 a)Tính AB.AC b)Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N cho AN = 4.Tính AM.AN 12.Cho O trung điểm AB,M điểm tuỳ ý Chứng minh : MA.MB = OM2 – OA2 13.Cho hình vng ABCD tâm O, M điểm thuộc cạnh BC.Tính MA.AB MO.AB 14.Cho tứ giác ABCD , I trung điểm BC, chứng minh : a) AB.AC = IA2 – IB2 b) AB.AC = (AB2 + AC2 – BC2) c) AB.CD = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2) 15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 16.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a,b,c Gọi G trọng tâm,hãy tính: a) AB.AC b)GA.GB c) GA.GB + GB.GC + GC.GA d) Chứng minh : BC.CA + CA.AB + AB.BC = – (a2 + b2 + c2) e)Tính AG theo a ,b ,c 17.Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh : -7- ThuVienDeThi.com Phạm Viết Sĩ a) MA +MC = MB +MD Chứng minh HK  IJ b) MA.MC = MB.MD 28.Cho đường trịn (O;R) hai dây cung AA’ ,BB’ vng góc S Gọi M trung điểm AB chứng minh rằng: SM  A’B’ c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2 d) MA2 + MB.MD = 2MA.MO 29.Cho tam giác ABC Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn : a) AM.AB = AC.AB 38.Cho tam giác ABC hình vng ABED, ACHI ,BCGH Chứng minh : b) MA + MA.MB + MA.MC = I a) (AD+ BF).AC= c) MA2 = MC.MA b) (AD+ BF+ CH).AC= d) (MA+ MB).(MA+ MC) = D c) AD+ BF+ CH= e) (MA – MB).(2MB – MC) = H d) + + = BG CI AE 30.Cho điểm A cố định nằm ngồi đường thẳng , H hình chiếu A A 39.Cho tam giác ABC vuông A, ABE = c, AC = b Gọi M điểm cạnh .Với điểm M , ta lấy điểm N tia AM cho AN.AM = AH2 BC cho CM = 2BM, N điểm cạnh AB cho BN = 2AN Tìm quĩ tích điểm N a) Tính vectơ AMvàCNtheo hai vectơ ABvàAC 31.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với M,gọi P C b)Tìm hệ thức liên hệ b c cho AMB  CN trung điểm đoạn thẳng AD 40.a)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O,R) M điểm Chứng minh MP  BC  MA.MC= MB.MD tuỳ ý đường tròn Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 32* Xác định dạng tam giác ABC biết rằng: b) Tổng quát toán cho đa giác n cạnh (AB.BC)CA + (BC.CA)AB +(CA.AB)BC = 41*.Cho lục giác A1A2…A6 nội tiếp đường tròn (O,R) điểm M AC 33.Cho hình vng ABCD,điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AM = thay đổi đường trịn Chứng minh : ˆ A + cos MO ˆ A + …+ cos MO ˆ A =F0 G a) cos MO N trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh BMN tam giác vuông cân 2 2 b) MA1 + MA2 + …+ MA6 số ( = 12R ) 34.Cho AA’ dây cung đường tròn (O) M điểm nằm dây 42*.Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O,R) ,M điểm bất cung Chứng minh 2MA.MO= MA(MA – MA’) kỳ đường tròn 35.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M cho o a)Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 góc AMB ,BMC ,CMA 120 Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt b)Chứng minh : MA2 + 2MB.MC = 3R2 đường tròn (O) A’ ,B’ ,C’ Chứng minh rằng: c)Suy M cung nhỏ BC MA = MB + MC MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’ 43.Cho tam giác ABC có A = 60o ,AB = ,AC = , gọi M trung điểm BC 36*.Cho tam giác ABC có cạnh Gọi D điểm đối xứng với C qua a)Tính độ dài đoạn AM độ dài đường phân giác góc A đường thẳng AB , M trung điểm cạnh CB 44* Tam giác ABC có tính chất gì,biết rằng: a)Xác định đường thẳng AC điểm N cho tam giác MDN vuông (AB.BC)CA+ (BC.CA)AB+ (CA.AB)BC = D.Tính diện tích tam giác 45.Cho tam giác ABC có AB = AC = , góc BAC = 120o nội tiếp đường b)Xác định đường thẳng AC điểm P cho tam giác MPD vng trịn tâm I Gọi D trung điểm AB E trọng tâm tam giác ADC M.Tính diện tích tam giác a)Tính AB.AC c) Tính cosin góc hợp hai đường thẳng MP PD 37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M điểm tuỳ ý,chứng minh : b)AH đường cao tam giác ABC.Tính AH theo AB AC -8ThuVienDeThi.com Phạm Viết Sĩ c)Chứng minh IE  CD 46.Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M ,N ,P ,Q trung điểm đoạn thẳng AC, BD, BC AD Đặt u = AB ,v = AC ,w = AD 1 a)Chứng minh : MN = (u + w – v) ; PQ = (u + v – w) 2 b)Chứng minh :nếu MN = PQ AB  CD.Điều ngược lại có khơng? 47.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a ,b ,c Gọi D trung điểm AB I điểm thỏa IA + 3IB – 2IC = a)Chứng minh BCDI hình bình hành b)Tính CI.AB theo a ,b ,c c)M điểm tùy ý, chứng minh : MA2 + 3MB2 – 2MC2 = 2MI2 + IA2 + 3IB2 – 2IC2 d)Khi M chạy đường thẳng (d) cố định,hãy tìm vị trí M để biểu thức MA2 + 3MB2 – 2MC2 nhỏ 48.Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý a)Chứng minh vectơ v = MA + 2MB – 3MC không phụ thuộc vị trí điểm M b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh : 2MA2 + MB2 – 3MC2 = 2MO.v c)Tìm quĩ tích điểm M cho 2MA2 + MB2 = 3MC2 49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1) Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông cân A 50 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1) a)Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành b)Kẻ đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao H 51.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) D(0;– 2) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD hình thang cân 52.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0) a)Chứng minh rằng: điểm A ,B ,C tạo thành tam giác b)Tính góc B tam giác ABC 53.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trục hồnh.Tìm giá trị nhỏ MA + MB 54.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn 55.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn -9ThuVienDeThi.com ... điểm xác định BM= xBC Tính AK;AM theo AB;AC x xác định x để A,K,M thẳng hàng AM= kABvà DN= kDC.Tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN 56.Gọi G trọng tâm tam giác ABC ,chứng minh : 66 Cho tam giác ABC có... điểm AC cho AM= MC ,G trọng tâm AN tam giác ABC, MG cắt đường thẳng AB N.Tính AB 74.Cho tg ABC.Tìm tập hợp điểm M thỏa a)MA + MB = MB + MC b) MA+ 2MB – 3MC = Tọa độ Oxy 1.Cho a = (1;3),b = (2;– 5),c... Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 32* Xác định dạng tam giác ABC biết rằng: b) Tổng quát toán cho đa giác n cạnh (AB.BC)CA + (BC.CA)AB +(CA.AB)BC = 41*.Cho lục giác A1A2…A6 nội tiếp đường