ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Kỳ thi: HSG Mơn thi: Tốn Họ tên: Cao Xuân Trường Đơn vị: Trường THCS Chân Lý Nội dung đề thi: ; Thời gian làm bài: 150 phút ; Chức vụ: Giáo viên Câu I (2 điểm) Cho biểu thức P = 1 x x : với x 0, x x x x x x x Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M = P x nhận giá trị nguyên Câu II (3 điểm) Giải phương trình: x x x x y xy Giải hệ phương trình: 2 x y x y ( xy 1) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh a bc b ca c ab ab bc ca Câu III: (2 điểm) Cho hàm số bậc nhất: y = (2m + 1)x – m + (1) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) cắt Ox điểm có hồnh độ – 2 Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) qua Tìm m để đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ khoảng µ = 900) đường cao BH Câu IV: (3 điểm) Cho hình thang vng ABCD (AB//CD, A Điểm M thuộc đoạn HC Từ D kẻ đường thẳng vng góc với BM, đường thẳng cắt BH BM theo thứ tự E F a) Chứng minh bốn điểm B, F, H, D nằm đường tròn EB.EH = ED.EF b) Cho AB= 10 cm, BM= 13 cm, DM= 15 cm.Tính độ dài đoạn thẳng AD, DF BF (chính xác đến chữ số thập phân) c) Khi M di chuyển đoạn HC F di chuyển đường nào? DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Kỳ thi: HSG Mơn thi: Tốn Họ tên: Cao Xn Trường Đơn vị: Trường THCS Chân Lý 1) ; Thời gian làm bài: 150 phút ; Chức vụ: Giáo viên x x P= 1 : 1 x 1 x x x x x x x x 1 : x 1 x ( x 1)( x 1) x x 1 x 1 x : 1 x 1 ( x 1)( x 1) 0,25 x x ( x 1)( x 1) 1 x 1 ( x 1) 0,25 x x 1 x x 1 x 1 1 x 1 x 1 x2 x 1 x2 Vậy P = với x 0, x x 1 Câu I (2đ) 0,25 0,25 2) Ta có x2 x2 x x x 2 =1 x x 1 x 1 x 1 x 1 Để M ngun phải có giá trị nguyên x 1 Mặt khác x số nguyên (thoả mãn điều kiện x 0, x ) M = P x 0,25 x số nguyên (nếu x số phương) số vơ tỉ (nếu x khơng số phương) Để số nguyên x 1 x khơng thể số vơ tỉ, x phải số nguyên, suy x - ước Ta xét trường hợp: +) x - = x = x = 16 Z thoả mãn ĐKXĐ +) x - = -3 x = - < (loại) +) x - = x = x = Z thoả mãn ĐKXĐ +) x - = -1 x = x = Z thoả mãn ĐKXĐ Vậy với x = 16; x = x = biểu thức M = P - x nhận giá trị nguyên DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 1) ĐKXĐ: x x x x ( x x 4) ( x x 1) ( x 2) ( x 1) x x 2(T / m) x 0,5 Vậy phương trình có nghiệm x x y 2xy 2) x y – xy 0,5 (xy) xy => 2xy – (xy)2 = (xy)2 xy (1) Đặt t = (xy)2 xy (t 0) => 2xy – (xy)2 = – t2 (1) – t2 = t t = (tm) t = -2 (loại) t= => (xy)2 -2xy + = => xy = => x + y = => x, y nghiệm phương trình T2 – 2T + = Câu II => x = y = (3đ) 3) Vì a b c a, b, c >0, nên áp dụng BĐT Cauchy ta có: b c bc a +b+c a bc a bc 0,25 0,25 0,5 0,25 a a 2a bc a bc a 2a bc bc a bc a bc a bc a bc (1) 0,25 Chứng minh tương tự ta có: b ca b ca (2) c ab c ab (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta a bc b ca c ab a b c ab bc ca 0,25 Hay a bc b ca c ab ab bc ca Dấu xảy a b c 0,25 Cho hàm số bậc nhất: y = (2m + 1)x – m + (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox điểm có hoành độ – ĐK : m 1 Đồ thị hàm số (1) cắt Ox điểm có hồnh độ – Câu III (2đ) : m2 2 5m m 2m Đồ thị (1) qua điểm cố định khi: y = (2m + 1)x – m + (2x – 1)m + (x –y +2) = với m Khi : 2x – = x – y + = Suy : x = 0,5 y = 2,5 Vậy điểm cố định I(0,5 ; 2,5) DeThiMau.vn 0,5 0,25 0,25 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ khoảng 1/2 Gọi giao điểm (1) với Ox, Oy A B, OH khoảng cách từ đồ thị đến O Ta có: OA = | m- |; OB = |2-m| 2m +1 (ĐK: m 1 m ) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vng AOB ta có: 1 1 (2m 1) m 4m OH OH OA2 OB OH (m 2) (m 2) 4m 4m 1 Vì OH = nên OH2 = Ta có: m2 - 4m + = m2 + m + 5m = 3,5 m = 0,7 0,25 0,25 0,25 0,25 a) · · BHD * Ta có BFD = 900 (gt) Nên bốn điểm B, F, H, D Câu IV nằm đường trịn (3đ) đường kính BD * FBE ~ HDE (g.g) nên 0,5 EB ED EF EH 0,5 suy EB.EH = ED.EF b) * ABHD hình chữ nhật (vì có góc vng) DH= AB= 10 cm, HM= DM- DH= cm Trong tam giác vuông BMH có BM2= BH2+ HM2 BH= BM HM = 12 cm Mà AD= BH ( ABDH hình chữ nhật) Vậy AD= 12 cm * MBH ~ MDF (g.g) nên DF= BM MD BH DF 0,5 BH MD 12.15 = 13,85 (cm) BM 13 Trong tam giác vng BDF có BD2= BF2+ DF2 BF= BD DF = AB AD ( BH MD ) 7,23 cm BM c) · * Ta có BFD = 900 (gt) BD cố định nên F di chuyển đường trịn đường kính BD Giới hạn: - Khi M C F F’ (F’ BC với DF’ BC) - Khi M H F H Vậy F di chuyển cung nhỏ F’H đường trịn đường kính BD DeThiMau.vn 0,5 0,5 0,5 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Kỳ thi: HSG Mơn thi: Tốn Họ tên: Cao Xn Trường Đơn vị: Trường THCS Chân Lý 1) ; Thời gian làm bài:... x = x = Z thoả mãn ĐKXĐ Vậy với x = 16; x = x = biểu thức M = P - x nhận giá trị nguyên DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 1) ĐKXĐ: x x x x ( x x 4) ( x x 1) ( x ... c ab bc ca 0,25 Hay a bc b ca c ab ab bc ca Dấu xảy a b c 0,25 Cho hàm số bậc nhất: y = (2m + 1)x – m + (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox điểm có hoành độ