Ngày 11/3/2022 Buổi 51 CHƯƠNG IV- BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN BÀI 1+2 : LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG; PHÉP NHÂN Nhắc lại thứ tự tập hợp số Trên tập hợp số thực, so sánh hai số a b ta có: Số a số b, khí hiệu:𝑎 = 𝑏 Số a nhỏ số b, kí hiệu: 𝑎 < 𝑏 Số a lớn lơn số b, kí hiệu: 𝑎 > 𝑏 Nếu số a không nhỏ số b, ta có a lớn b, kí hiệu: 𝑎 ≥ 𝑏 Nếu số a khơng lớn số b, ta có a nhỏ b, kí hiệu: 𝑎 ≤ 𝑏 Bất đẳng thức Hệ thức dạng 𝑎 < 𝑏( ℎ𝑎𝑦 𝑎 > 𝑏; 𝑎 ≥ 𝑏; 𝑎 ≤ 𝑏)gọi bất đẳng thức Khi đó: a vế trái, b vế phải bất đẳng thức Liên hệ thứ tự phép cộng Tính chất: Khi cộng số vào hai vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho TQ: Với ba số a, b, c, ta có: Nếu 𝑎 < 𝑏 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐; 𝑎 ≤ 𝑏 𝑡ℎì 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐 Nếu 𝑎 > 𝑏 𝑡ℎì 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 ; 𝑎 ≥ 𝑏 𝑡ℎì 𝑎 + 𝑐 ≥ 𝑏 + 𝑐 VD: < 𝑡ℎì + < + 𝑎 ≥ 𝑐 𝑡ℎì 𝑎 + (−5) ≥ 𝑐 + (−5) Liên hệ thứ tự phép nhân với số dương Tính chất: Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho TQ: Với ba số a, b, c mà c > 0, ta có: Nếu 𝑎 < 𝑏 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐; 𝑎 ≤ 𝑏 𝑡ℎì 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐 Nếu 𝑎 > 𝑏 𝑡ℎì 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 ; 𝑎 ≥ 𝑏 𝑡ℎì 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐 VD: Ta có > (−5) 7.4 > (−5).4 Liên hệ thứ tự phép nhân với số âm Tính chất: Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số âm ta bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho TQ: Với ba số a, b, c mà c < 0, ta có: Nếu 𝑎 < 𝑏 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐; 𝑎 ≤ 𝑏 𝑡ℎì 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐 Nếu 𝑎 > 𝑏 𝑡ℎì 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 ; 𝑎 ≥ 𝑏 𝑡ℎì 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐 VD: < 𝑡ℎì (−8) > (−8) Tính chất bắc cầu thứ tự Với ba số a, b, c, 𝑎 < 𝑏 𝑏 < 𝑐 𝑎 < 𝑐 Tính chất ta gọi tính chất bắc cầu BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho 𝒂 < 𝒃, so sánh 1) 𝒂 + 𝟏 𝐯à 𝒃 + 𝟏 Ta có: 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎 + < 𝑏 + (cộng hai vế với 1) 2) 𝒂 − 𝟐 𝐯à 𝒃 − 𝟐 Ta có: 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎 − < 𝑏 − (cộng hai vế với -2) 3) 𝟐𝒂 𝐯à 𝟐𝒃 Ta có: 𝑎 < 𝑏 ⇔ 2𝑎 < 2𝑏 (nhân hai vế với 2) 4) −𝟑𝒂 𝐯à − 𝟑𝒃 Ta có: 𝑎 < 𝑏 ⇔−3𝑎 > −3𝑏 (nhân hai vế với -3) 5) 𝟐𝒂 − 𝟑 𝐯à 𝟐𝒃 − 𝟑 Ta có: 𝑎 < 𝑏 ⇔ 2𝑎 < 2𝑏 (nhân hai vế với 2) ⇔ 2𝑎 − < 2𝑏 − (cộng hai vế với -3) 6) 𝟐𝒂 − 𝟑 𝐯à 𝟐𝒃 + 𝟓 Ta có: −3 < ⇔ 2𝑏 − < 2𝑏 + (cộng hai vế với 2b) Theo câu ta có 2𝑎 − < 2𝑏 − ⇒2𝑎 − < 2𝑏 + 7) 𝟐𝒂 + 𝟏 𝐯à 𝟐𝒃 + 𝟏 Ta có: 𝑎 < 𝑏 ⇔ 2𝑎 < 2𝑏 (nhân hai vế với a) ⇔2𝑎 + < 2𝑏 + (cộng hai vế với 1) 8) 𝟒(𝒂 − 𝟐) 𝐯à 𝟒(𝒃 − 𝟐) Ta có: 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎 − < 𝑏 − ( cộng hai vế với -2) ⇔4(𝑎 − 2) < 4(𝑏 − 2) (nhân hai vế với 4) 9) 𝟑 − 𝟔𝒂 𝐯à 𝟑 − 𝟔𝒃 Ta có 𝑎 < 𝑏 ⇔−6𝑎 > −6𝑏 (nhân hai vế với -6) ⇔3 − 6𝑎 > − 6𝑏 (cộng hai vế với 3) 10) 𝟒𝒂 + 𝟏 𝐯à 𝟒𝒃 + 𝟓 Ta có 𝑎 < 𝑏 ⇔ 4𝑎 < 4𝑏 (nhân hai vế với 4) ⇔ 4𝑎 + < 4𝑏 + (cộng hai vế với 1)(1) Lại có < ⇔4𝑏 + < 4𝑏 + (cộng hai vế với 4b)(2) Từ (1) (2)⇒4𝑎 + < 4𝑏 + 11) 𝟑 − 𝟓𝒂 𝐯à 𝟏 − 𝟓𝒃 Ta có 𝑎 < 𝑏 ⇔−5𝑎 > −5𝑏 (nhân hai vế với -5) ⇔3−5𝑎 > − 5𝑏 ( cộng hai vế với 3)(1) Lại có > ⇔3 − 5𝑏 > − 5𝑏 ( cộng hai vế với -5b)(2) Từ (1) (2)⇒3 − 5𝑎 > − 5𝑏 12) 𝒂𝟐 𝐯à 𝒂𝒃 TH1: Nếu 𝑎 < Ta có 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎 𝑎 > 𝑏 𝑎 (nhân hai vế với a 𝑎𝑏 TH2: Nếu 𝑎 > Ta có 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎 𝑎 < 𝑏 𝑎 (nhân hai vế với a>0) ⇔𝑎2 < 𝑎𝑏 Bài 2: So sánh a b nếu: 1) 𝟏 + 𝒂 > 𝟏 + 𝒃 ⇔1 + 𝑎 − > + 𝑏 − (cộng hai vế với -1) ⇔𝑎 >𝑏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 2) 𝒂 − 𝟖 ≤ 𝒃 − 𝟖 1 3 ⇔ 𝑎 − + ≤ 𝑏 − + ( cộng hai vế với 8) 1 3 ⇔ 𝑎≤ 𝑏 1 3 ⇔3 𝑎 ≤ 𝑏 (nhân hai vế với 3) ⇔𝑎 ≤ 𝑏 𝟏 𝟏 𝟒 𝟒 3) − 𝟒𝒂 ≥ − 𝟒𝒃 1 1 4 4 ⇔ − 4𝑎 − ≥ − 4𝑏 − ( cộng hai vế với− ) ⇔−4𝑎 ≥ −4𝑏 ⇔−4𝑎 (−4) ≤ −4𝑏 (−4) (nhân hai vế với -4) ⇔𝑎 ≤𝑏 4) 𝟔𝟕 − 𝟏𝟎𝒂 < 𝟔𝟕 − 𝟏𝟎𝒃 ⇔67 − 10𝑎 − 67 < 67 − 10𝑏 − 67(cộng hai vế với -67) ⇔−10𝑎 < −10𝑏 ⇔−10𝑎 (−10) > −10𝑏 (−10)(nhân hai vế với -10) ⇔𝑎 >𝑏 Bài 3: Số a số âm hay số dương nếu: 1) 𝟓𝒂 > 𝟑𝒂 Ta có: > Mà 5𝑎 > 3𝑎 ⇒a số dương 2) −𝟏𝟐𝒂 > 𝟖𝒂 Ta có: -12 8𝑎 ⇒a số âm 3) −𝟔𝒂 ≥ 𝟗𝒂 Ta có: −6 ≤ Mà −6𝑎 ≥ 9𝑎 ⇒a số âm 4) 𝟒𝒂 ≤ 𝟏𝟑𝒂 Ta có: ≤ 13 Mà 4𝑎 ≤ 13𝑎 ⇒a số dương Bất đẳng thức Cô –si cho hai số: 𝒂+𝒃 𝟐 ≥ √𝒂𝒃 𝒗ớ𝒊 𝒂 ≥ 𝟎, 𝒃 ≥ 𝟎 Bất đẳng thức Cơ-si cịn gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Bài 4: Cho a, b số dương bất kỳ: 1) Chứng tỏ 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 ≥ 𝟎 BG: 𝑎2 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 ≥ ⇔(𝑎 − 𝑏)2 ≥ (luôn ∀𝑎, 𝑏) ⇒đpcm 2) Chứng tỏ 𝒂𝟐 +𝒃𝟐 𝟐 BG: Theo kết câu 1, ta có: 𝑎2 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 ≥ ≥ 𝒂𝒃 ⇔𝑎2 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏 ≥ 2𝑎𝑏 (cộng hai vế với 2ab) ⇔𝑎2 + 𝑏 ≥ 2𝑎𝑏 1 2 ⇔(𝑎2 + 𝑏 ) ≥ 2𝑎𝑏 (nhân hai vế với ) 𝑎2 +𝑏2 ⇔ ≥ 𝑎𝑏 ⇒đpcm 𝒂 𝒃 𝒃 𝒂 3) Chứng tỏ + ≥ 𝟐 BG: C1: Theo kết câu 1, ta có: 𝑎2 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 ≥ ⇔𝑎2 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏 ≥ 2𝑎𝑏 (cộng hai vế với 2ab) ⇔𝑎2 + 𝑏 ≥ 2𝑎𝑏 (*) Vì a>0 b>0 ⇒ 𝑎𝑏 (*)⇔(𝑎2 + 𝑏 ) ⇔ 𝑎2 𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑎𝑏 >0 ≥ 2𝑎𝑏 𝑎𝑏 (nhân hai vế với 𝑎𝑏 ) ≥2 ⇔ + ≥ ⇒đpcm 𝑎 𝑏 C2: Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho số ; 𝑏 𝑎 ta có: a b 𝑎 𝑏 + ≥ √ b a 𝑏 𝑎 a b b a ⇔ + ≥ ⇒đpcm 4) Chứng tỏ 𝒂(𝒂 + 𝟐) < (𝒂 + 𝟏)𝟐 BG: Ta có: 0 + 𝑏 1 2) 𝑎 − ≤ 𝑏 − 1 4 3) − 4𝑎 ≥ − 4𝑏 4) 67 − 10𝑎 < 67 − 10𝑏 Bài 3: Số a số âm hay số dương nếu: 1) 5𝑎 > 3𝑎 2) −12𝑎 > 8𝑎 3) −6𝑎 ≥ 9𝑎 4) 4𝑎 ≤ Bài 4: Cho a, b số dương bất kỳ: 1) Chứng tỏ 𝑎2 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 ≥ 2) Chứng tỏ 𝑎2 +𝑏2 𝑎 ≥ 𝑎𝑏 𝑏 3) Chứng tỏ + ≥ 𝑏 𝑎 4) Chứng tỏ 𝑎(𝑎 + 2) < (𝑎 + 1)2 5) Chứng minh rằng: Trong ba số nguyên liên tiếp bình phương số đứng lớn tích hai số cịn lại Ngày 11/3/2022 Buổi 51 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Cho 𝒎 < 𝒏, so sánh 1) 𝑚 + 𝑛 + 2) 𝑚 − 𝑛 − 1 3) 𝑚 𝑛 2 4) −3𝑚 − 3𝑛 5) 3𝑚 − 3𝑛 − 6) 4𝑚 − 4𝑛 + Bài 2: So sánh m n nếu: 1) + 𝑚 > + 𝑛 1 2) 𝑚 − ≤ 𝑛 − 13 7) 2𝑚 + 2𝑛 + 8) 9(𝑚 − 2)và 9(𝑛 − 2) 9) − 6𝑚 − 6𝑛 10) 4𝑚 + 4𝑛 + 11) − 3𝑚 − 3𝑛 12) 𝑚2 𝑚𝑛 1 2 3) − 4𝑚 ≥ − 4𝑛 4) − 3𝑚 < − 3𝑚 13 Bài 3: Số m số âm hay số dương nếu: 1) 3𝑚 > 4𝑛 2) −12𝑚 > 8𝑛 3) −8𝑚 ≥ 9𝑛 4) 4𝑚 ≤ 3𝑛 Bài 4: Cho x, y số dương bất kỳ: 1) Chứng tỏ 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥𝑦 ≥ 2) Chứng tỏ 𝑥 +𝑦 𝑥 ≥ 𝑥𝑦 𝑦 3) Chứng tỏ + ≥ 𝑦 𝑥 4) Chứng tỏ 𝑥(𝑥 + 2) < (𝑥 + 1)2 5) Chứng minh rằng: Trong ba số nguyên liên tiếp bình phương số đứng lớn tích hai số cịn lại Ngày 11/3/2022 Buổi 51 KIỂM TRA Câu 1(5đ): Giải phương trình sau: 1) (2𝑥+1)2 − (𝑥−1)2 )2 = 7𝑥 −14𝑥−5 2) (2𝑥 − − (𝑥 + 𝑥+2 3) − = 4) 5) 𝑥−2 𝑥−3 + 𝑥−2 𝑥−45 55 )2 15 =0 𝑥 𝑥(𝑥−2) 𝑥−2 = −1 𝑥−4 𝑥−47 + 53 = 𝑥−55 45 + 𝑥−53 47 Câu 2(3đ): Một xí nghiệp dự định sản xuất 1500 sản phẩm 30 ngày Nhưng nhờ tổ chức hợp lý nên thực tế sản xuất ngày vượt 15 sản phẩm Do xí nghiệp sản xuất vượt mức dự định 255 sản phẩm mà cịn hồn thành trước thời hạn Hỏi thực tế xí nghiệp rút ngắn ngày? Câu 3(2đ):Cho phương trình (𝑚2 − 7𝑚 + 6)𝑥 + 2𝑚 − = a Giải phương trình m = b Biện luận theo m số nghiệm phương trình Ngày 11/3/2022 Buổi 51 ĐỀ THÊM Câu 1: Giải phương trình sau: 1) (𝑥+1)2 − 2) (4𝑥 − 3) 4) 5) 𝑥+1 𝑥−1 𝑥−2 )2 + = 2𝑥 −𝑥−3 − (𝑥 + 15 )2 =0 − = 𝑥−3 𝑥−55 99 (𝑥−1)2 𝑥 𝑥(𝑥−1) 𝑥−2 =1 𝑥−5 𝑥−54 + 98 = 𝑥−53 97 + 𝑥−52 96 Câu 2: Một xí nghiệp dự định sản xuất 1200 sản phẩm 20 ngày Nhưng nhờ tổ chức hợp lý nên thực tế sản xuất ngày vượt 10 sản phẩm Do xí nghiệp sản xuất khơng vượt mức dự định 60 sản phẩm mà cịn hồn thành trước thời hạn Hỏi thực tế xí nghiệp rút ngắn ngày? Câu 3:Cho phương trình (𝑚2 − 5𝑚 + 6)𝑥 + 2𝑚 − = a Giải phương trình m = b Biện luận theo m số nghiệm phương trình ... 13