tính thể tích khối đa diện bằng phương gián tiếp
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP 1.Tên sáng kiến: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Chuyên đề Tính Thể Tích Khối Đa Diện Bằng Phương Pháp Gián Tiếp tác giả gửi đăng tạp chí Tốn Học Và Tuổi Trẻ số 429 (tháng năm 2013) Và áp dụng vào dạy cho học sinh lớp 12A7 trường THPT Lạng Giang số năm học 2013 2014 học sinh lớp 12 năm học Các thông tin cần bảo mật Mô tả giải pháp cũ thường làm: Để tích thể tích khối chóp khối lăng trụ ta thường tính diện tích đáy tính chiều cao hình chóp, hình lăng trụ Tuy nhiên việc xác định chiều cao tính chiều cao địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc, hệ thức lượng tam giác Chính nhiều học sinh sợ phần thể tích khối đa diện Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến: Trong năm qua kỳ thi Đại học – Cao đẳng, kì thi THPT quốc gia hay kì thi tốt nghiệp THPT năm 2020, thi học sinh giỏi cấp tỉnh tốn tính thể tích khối đa diện câu hỏi thường xuyên xuất đề thi Để tính thể tích khối đa diện ta thường áp dụng tính trực tiếp thơng qua việc tính diện tích đáy chiều cao khối đa diện Việc tính thể tích khối đa diện phương pháp trực tiếp đòi hỏi học sinh phải xác định chiều cao khối đa diện tính chiều cao Việc làm cho số học sinh gặp nhiều khó khăn phải vận dụng kiến thức đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc học từ lớp 11 Khi việc xác định tính chiều cao khối đa diện gặp khó khăn khối đa diện cần tính khơng phải khối đa diện có cơng thức tính thể tích học ta sử dụng phương pháp gián tiếp Để tính thể tích khối đa diện phương pháp gián tiếp học sinh cần nắm số kiến thức thể tích khối chóp, thể tích khối lăng trụ tỷ số thể tích khối chóp tam giác Lời giải tốn trình bày phương pháp gián tiếp thường ngắn gọn, dễ hiểu Mục đích giải pháp sáng kiến - Nghiên cứu, xây dựng phương pháp tính thể tích khối đa diện khơng thơng qua việc áp dụng trực tiếp cơng thức tính thể tích - Rèn luyện cho học sinh tư mềm dẻo, linh hoạt việc suy nghĩ giải toán Nội dung 7.1 Thuyết minh giải pháp * Tên giải pháp: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP * Nội dung bước tiến hành giải pháp: Bước 1: Tóm tắt kiến thức 1) Cơng thức tính thể tích khối chóp V = Bh ( B diện tích đáy, h chiều cao) 2) Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ V = Bh ( B diện tích dáy, h chiều cao) 3) Cho hai khối đa diện H H1 tích tương ứng V V1 biết V =k V1 V1 = a ⇒ V = ka 4) Nếu chia khối đa diện H thành khối đa diện H1, H2 , …, Hn ta có V = V1 + V2 + ⋯ + Vn ( V thể tích khối đa diện H, Vi thể tích khối đa diện Hi i = 1,n ) 5) Cho hình chóp S ABC , điểm A′, B′, C ′ điểm nằm cạnh SA, SB, SC ta có VS.A ' B ' C ' SA' SB' SC ' = VS.ABC SA SB SC Bước 2: Xây dựng phương pháp tính Nếu tính thể tích khối đa diên H phương pháp trực tiếp khó khăn ta chia khối đa diện H thành khối đa diện nhỏ H1, H2, …, Hn mà việc ( ) tính thể tích khối đa diện Hi i = 1, n đơn giản Từ suy thể tích khối đa diện H Khi biết tỉ số thể tích khối đa diện H H’, việc tính thể tích khối đa diện H gặp khó khăn ta tính thể tích khối đa diện H’ rơi suy thể tích khối đa diện H Bước 3: Vận dụng phương pháp tính thể tích khối đa diện vào ví dụ cụ thể Ví dụ Cho khối chóp S ABC biết ∆ABC tam giác vng cân B , AC = 2a , SA ⊥ ( ABC ) , SA = a Gọi I điểm thuộc cạnh SB cho SI = SB Tính thể tích khối tứ diện SAIC Giải: ∆ABC vng cân B có AC = 2a ⇒ AB = BC = a ⇒ S ∆ABC = AB.BC = a 2 SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA chiều cao hình chóp S.ABC a3 ⇒V = S SA= S.ABC ∆ABC VS.AIC SA SI SC 1 a3 a3 = = ⇒ VS.AIC = VS.ABC = = 3 VS.ABC SA SB SC Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA = a , hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ( ABCD ) điểm H thuộc đoạn thẳng AC cho AH = AC Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Giải: AH = AC a = 4 SH ⊥ ( ABCD) ⇒ SH ⊥ AC ⇒△SAH , △SHC vuông H ⇒ SH = SA2 − AH = a 14 ⇒ SC = SH + HC = a ⇒ SC = AC ⇒△SAC cân C mà CM đường cao tam giác SAC nên M trung điểm SA Ta có VS MBC SM 1 = = ⇒ VS MBC = VS ABC VS ABC SA 2 mà VS ABC 1 a a 14 a 14 = S∆ABC SH = = (đvtt) 3 24 Suy VS MBC a 14 = VS ABC = (đvtt) 48 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, tích Gọi M , N theo thứ tự trung điểm SA, SB Tính thể tích khối chóp S CDMN Giải: Ta có: VS CDMN = VS CDM + VS CMN Ta có VS CDM SM 1 1 1 = = ⇒ VS CDM = VS CDA = VS ABCD = = 2 VS CDA SA Ta có VS CMN SM SN 1 = = = VS CAB SA SB 2 1 1 ⇒ VS CMN = VS CAB = VS ABCD = = 4 Suy VS CDMN = 1 + = 4 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật, AB = SA = a , AD = a SA vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm AD SC , gọi I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a Giải: Gọi O giao điểm AC BD ⇒ O trung điểm AC Ta có I trọng tâm tam giác ABD , AI AI = ⇒ = AO AC nên VAIMN AI AM 1 = = = VACDN AC AD VACDN NC = = VACDS SC Mặt khác Từ (1) (2) suy Mà VSACD (1) (2) VAIMN = VACDS 12 1 a 2a a (đvtt) = SA.S ∆ACD = a = 3 Vậy VAIMN a3 (đvtt) = VSACD = 12 72 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật ABCD , AB = 2a, BC = a, SA = SB = SC = SD = a E điểm thuộc cạnh SC , SE = 2EC , F điểm thuộc cạnh SD , SF = FD Tính thể tích khối đa diện SABEF Giải: S ABCD = AB.BC = 2a Áp dụng định lý Pitago tam giác vng ABD ta có BD = AB + AD = a a Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O trung điểm AC BD ⇒ BO = AC = 2 Xét tam giác SBD cân S có SO trung tuyến ⇒ SO đồng thời đường cao ∆SBD ⇒ SO ⊥ BD Chứng minh tương tự ta có SO ⊥ AC Suy SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO đường cao hình chóp S ABCD SO = SB − BO = VS.ABCD (a ) 2 a 5 a - = 1 a a3 = S ABCD SO = 2a = 3 VS.ABE SA SB SE 2 a3 (1) = = ⇒ VS.ABE = VS.ABC = VS.ABCD = VS.ABC SA SB SC 3 3 VS.AEF SA SE SF 1 1 a3 = = = ⇒ VS.AEF = VS.ACD = VS.ABCD = (2) 12 VS.ACD SA SC SD 12 Từ (1) (2) ta có VSABEF = VS.ABE + VS.AEF = a3 a3 5a + = 3 12 12 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Gọi M trung điểm cạnh BB ' Mặt phẳng ( A’MD ) cắt hình lập phương thành hai khối đa diện Tính tỷ số thể tích hai khối diện Giải: ... cao khối đa diện gặp khó khăn khối đa diện cần tính khơng phải khối đa diện có cơng thức tính thể tích học ta sử dụng phương pháp gián tiếp Để tính thể tích khối đa diện phương pháp gián tiếp. .. giản Từ suy thể tích khối đa diện H Khi biết tỉ số thể tích khối đa diện H H’, việc tính thể tích khối đa diện H gặp khó khăn ta tính thể tích khối đa diện H’ rơi suy thể tích khối đa diện H Bước... Xây dựng phương pháp tính Nếu tính thể tích khối đa diên H phương pháp trực tiếp khó khăn ta chia khối đa diện H thành khối đa diện nhỏ H1, H2, …, Hn mà việc ( ) tính thể tích khối đa diện Hi