PHẦN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CHƢƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA XÁC XUẤT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC LUẬT TP.HCM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự –Hạnh phúc TÀI LIỆU GIẢNG DẠY LỚP CHẤT LƢỢNG CAO Trình độ đào tạo: ĐẠI HỌC Chƣơng trình đào tạo: …………………… PHẦN 1: ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN Tên học phần: XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Mã học phần: Áp dụng từ khóa: Số đơn vị tín chỉ: Phân bố thời lượng học tập: - Lý thuyết: 30 TC - Bài tập: 15 TC Mơ tả tóm tắt học phần - Cung cấp khái niệm phép toán biến cố ngẫu nhiên, phép toán biến cố, xác suất biến cố, đại lượng ngẫu nhiên tính chất đặc trưng, quy luật phân phối xác suất, cung cấp khái niệm phép toán thống kê phương pháp lấy mẫu, ước lượng, kiểm định giả thiết - Hướng dẫn phương pháp, cơng thức tính tốn xác suất biến cố ngẫu nhiên, đại lượng ngẫu nhiên, phương pháp ước lượng tham số, kiểm định giả thiết thơng qua ví dụ tốn điển hình - Trình bày số ứng dụng, mối quan hệ giải pháp toán học thống kê đại lĩnh vực quan trọng khác kinh tế, khoa học kỹ thuật đời sống Mục tiêu học phần * Kiến thức: - Trang bị cách có hệ thống kiến thức nhất, phương pháp tính toán xác suất thống kê toán học - Liên hệ ứng dụng thống kê toán học đại kinh tế, khoa học kỹ thuật đời sống xã hội - Rèn luyện tư toán học, khả suy luận, phán đốn kỹ tính tốn, đánh giá giải vấn đề có liên quan đến xác suất thống kê lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật * Kỹ năng: Sau hoàn tất học phần người học có khả năng: - Giải dạng tốn có liên quan đến xác suất thống kê toán học phạm vi kiến thức trang bị - Thiết lập tính tốn số mối quan hệ kinh tế - kỹ thuật, quy luật cung - cầu sở phép toán xác suất thống kê tốn học - Có thể ứng dụng xác suất thống kê toán học vào thực tế sống xã hội * Thái độ: Trong suốt q trình học tập học phần, người học cần có: - Thái độ học tập tích cực, tinh thần tự học cao, khả tự đào tạo hoàn thiện kiến thức có hiệu - Định hướng ứng dụng kiến thức vào thực tế sống Phƣơng pháp giảng dạy Học phần giảng nhiều phương pháp, gồm phương pháp chủ đạo: - Phương pháp diễn giảng - Phương pháp thảo luận (nhóm) - Phương pháp luyện tập (làm tập) Phƣơng pháp đánh giá - Đánh giá trình (1): 30% , gồm: + Làm tập: 5% + Thảo luận: 5% + Kiểm tra kỳ: - Đánh giá cuối học phần (2): Điểm đánh giá học phần: 20% , (Hình thức thi tự luận,thời gian thi 60 phút) 70% , (Hình thức thi tự luận,thời gian thi 90 phút) 100% , thang điểm 10, tổng mục (1) (2) nêu Nội dung (Các đề mục chi tiết) học phần PHẦN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CHƢƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA XÁC XUẤT 1.1 MỘT SỐ CÔNG THỨC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1.1 Quy tắc nhân Giả sử cơng việc cần phải chia thành k giai đoạn để thực Có n1 cách thực giai đoạn một, n2 cách thực giai đoạn hai, , nk cách thực giai đoạn k Vậy có n cách để thực tồn cơng việc, với: n = n1.n2 nk Ví dụ 1.1: Để từ A đến C phải qua B Có đường từ A đến B đuờng từ B đến C Hỏi có đường (cách đi) để từ A đến C? Giải Từ sơ đồ, có n=3.2=6 đường (cách đi) khác để từ A đến C A) B C 1.1.2 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.1: Chỉnh hợp chập k n phần tử (k < n) nhóm (bộ) có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho trước Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu Ank ,với: Ank  n!  n(n  1) (n  k  1) (n  k )! Ví dụ 1.2: Một lớp học có 15 học viên Hỏi có cách chọn lớp trưởng thủ quỹ? Giải Mỗi cách chọn lớp trưởng thủ quỹ từ 15 học viên lớp học chỉnh hợp chập 15 phần tử Vậy số cách chọn là: A152  15!  15.14  210 (15  2)! Ví dụ 1.3: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 thành lập số khác có chữ số? Giải Các số bắt đầu chữ số (0123, 0234, ) số có chữ số Chữ số phải chọn chữ số 1,2,3,4,5 Do có cách chọn chữ số Ba chữ số chọn tùy ý chữ số cịn lại Có A53 cách chọn Vậy số cách chọn là: A53  5.(5.4.3)  300 cách 1.1.3 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.2: Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nhóm (bộ) có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử cho trước, phần tử xuất từ đến k lần nhóm Số chỉnh hợp lặp chặp k n phần tử ký hiệu Bnk , với: Bnk  n k Ví dụ 1.4: Cần xếp sách vào ngăn để sách Hỏi có cách xếp? Giải Mỗi cách xếp sách vào ngăn để sách chỉnh hợp lặp chập phần tử (mỗi lần xếp sách vào ngăn xem lần chọn ngăn ngăn Do có sách nên việc chọn ngăn tiến hành lần) Vậy số cách xếp là: B35  35  243 1.1.4 Hoán vị Định nghĩa 1.3: Hốn vị n phần tử nhóm (bộ) có thứ tự có xuất n phần tử cho Số hoán vị n phần tử ký hiệu Pn , với: Pn  n! Ví dụ 1.5: Một bàn học có chỗ ngồi Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho người học vào bàn? Giải Mỗi cách xếp cho người học vào môt bàn hoán vị phần tử Vậy số cách xếp là: P4 = 4! =1.2.3.4= 24 1.1.5 Tổ hợp Định nghĩa 1.4: Tổ hợp chập k n phần tử (k < n) nhóm (bộ) khơng phân biệt thứ tự, gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho trước Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu C nk , với: Cnk  n! k!(n  k )! i) Quy ước 0!= ii) Cnk  Cnnk iii) Cnk  Cnk1  Cnk11 Ví dụ 1.6: Mỗi đề thi gồm câu hỏi lấy 25 câu hỏi ơn tập cho trước Hỏi thành lập đề thi khác nhau? Giải Số đề thi thành lập tổ hợp chập 25 phần tử: C25  25! 25! 22.23.24.25    12.650 4!(25  4)! 4!.21! 1.2.3.4 Ví dụ 1.7: Một mạng LAN có 16 cổng kết nối đến máy tính Giả sử thời điểm cổng có máy kết nối khơng có máy kết nối hoạt động khơng thể hoạt động Hỏi có cấu hình (cách chọn) 10 cổng có kết nối, cổng khơng kết nối hoạt động cổng không hoạt động? Giải Để xác định số cách chọn (cấu hình), có bước: 10 Bước 1: Chọn 10 cổng có kết nối, có C16  16!  8008 cách 10!.6! Bước 2: Chọn cổng khơng kết nối hoạt động cổng cịn lại, có C64  6!  15 cách 4!.2! Bước 3: Chọn cổng hoạt động, có C22  cách 10 C64 C22  8008 *15 *1  120.120 cách Theo quy tắc nhân, có C16 1.1.6 Nhị thức Newton Giá trị hệ số nhị thức Newton (tức khai triển đẳng thức đáng nhớ) xác định từ tam giác Pascal sau: a+b = a1 + b1 (a + b)2 = a2 + 2a1b1 + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3 ……………… (a + b)n = C n0 an + Cn1 an-1b1 + Cn2 an-2b2 + … + C n0 an(n-1)bn-1 + Cnn bn Tam giác Pascal: 1 1 3 …………… C n0 C n1 Cn2 … Cnn1 Cnn Công thức tổng quát nhị thức Newton: n (a  b)n  Cn0 a n b0  Cn1a n 1.b1  Cn2a n  b   Cnn  ( n 1) a n  ( n 1) b n 1  Cnn a bn   Cni a n i bi i 0 (a, b số thực; n số tự nhiên) 1.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA XÁC SUẤT 1.2.1 Phép thử – Biến cố – Không gian mẫu: Phép thử: Khi quan sát tượng, làm thí nghiệm, tiến hành cơng việc mà có quan tâm đến kết quả, tức thực phép thử ngẫu nhiên, gọi tắt phép thử (test), ký hiệu T Vậy phép thử tập hợp hành động, thao tác có khảo sát kết Biến cố: Mỗi kết xảy khơng xảy phép thử, gọi biến cố ngẫu nhiên hay kiện ngẫu nhiên, gọi tắt biến cố hay kiện, ký hiệu ký tự A, B, C,…,X, Y, Z,….,Γ,Δ,Λ,Ψ,Φ,Σ,… Không gian mẫu: Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian biến cố ngẫu nhiên phép thử hay không gian mẫu, ký hiệu  Vậy tập A không gian mẫu (A   ) biến cố (hay kiện), không gian mẫu cịn gọi khơng gian biến cố (khơng gian kiện) Ví dụ 1.8: Tung đồng xu thực phép thử Kết mặt sấp xuất hay mặt ngửa xuất biến cố xảy Bắn viên đạn vào mục tiêu thực phép thử Sự kiện “viên đạn không trúng mục tiêu” biến cố 1.2.2 Các loại biến cố: Biến cố sơ cấp: Mỗi phần tử    gọi biến cố sơ cấp Về mặt toán học, biến cố sơ cấp tập hợp có phần tử Biến cố chắn: Là biến cố luôn xảy thực phép thử, ký hiệu  Biến cố chắn tập hợp biến cố sơ cấp phép thử Biến cố không thể: Là biến cố xảy thực phép thử, ký hiệu  Vậy biến cố không thể, chất, tập rỗng nên gọi biến cố rỗng Ví dụ 1.9: Thực phép thử tung viên xúc xắc (xí ngầu), đó: Khơng gian mẫu phép thử là:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}: biến cố sơ cấp A = {1, 3, 5}: biến cố mặt lẻ B = {2, 4, 6}: biến cố mặt chẵn C = {1,2}: biến cố (mặt mặt 2) D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}: biến cố chắn, tức D =  E = {7}: biến cố xảy ra, tức E =  Nếu mặt (1) xuất hiện, tức biến cố {1}, A, C, D xảy Nếu mặt (2) xuất hiện, tức biến cố {2}, B, C, D xảy * Chú ý: Mọi biến cố sơ cấp biến cố ngẫu nhiên, ngược lại biến cố ngẫu nhiên nói chung khơng biến cố sơ cấp 1.2.3 Biến cố đồng khả – Số trƣờng hợp đồng khả năng: Hiện tượng hai hay nhiều biến cố phép thử có khả xảy nhau, gọi tượng đồng khả biến cố, biến cố gọi biến cố đồng khả Trong phép thử mà biến cố sơ cấp đồng khả số phần tử khơng gian mẫu gọi số trường hợp đồng khả phép thử Ví dụ 1.10: Trong phép thử tung đồng xu (cân đối đồng chất), số trường hợp đồng khả Còn phép thử gieo viên xúc xắc (cân đối đồng chất), số trường hợp đồng khả 1.2.4 Các phép toán biến cố: Về mặt toán học, biến cố tập hợp, có phép tốn biến cố tập hợp Cho biến cố ngẫu nhiên A, B   a) Tổng (hợp hay phần hợp) hai biến cố A B biến cố, ký hiệu A+B, định bởi: A+B (hay A  B) A+B xảy A xảy B xảy b) Tích (giao hay phần giao) hai biến cố A B biến cố, ký hiệu A.B, định bởi: A.B (hay A  B) A.B xảy A B đồng thời xảy c) Hiệu (hay phần trừ) biến cố A biến cố B biến cố, ký hiệu A–B, định bởi: A–B (hay A \ B) A–B xảy A xảy B không xảy d) Phần bù biến cố  biến cố, ký hiệu A , định bởi: A =  \A={      A} * Chú ý: Phần bù biến cố khơng gian mẫu  hiệu  với biến cố đó, cịn gọi biến cố đối lập biến cố cho ( A biến cố đối lập A) Ví dụ 1.11: Hai sinh viên X, Y dự thi Gọi A biến cố sinh viên X thi đạt, B biến cố sinh viên Y thi đạt, C biến cố có hai sinh viên thi đạt D biến cố X Y thi đạt Khi đó: C = A+B D = A.B Ví dụ 1.12: Kiểm tra n sản phẩm lô sản phẩm S Gọi Ai biến cố gặp sản phẩm thứ i phế phẩm, B biến cố số n sản phẩm kiểm tra có phế phẩm, C biến cố tất sản phẩm kiểm tra phế phẩm, D biến cố tất sản phẩm kiểm tra sản phẩm tốt (tức kiểm tra n sản phẩm không thấy có phế phẩm nào) Khi đó: B = A1  A2   An C = A1 A2 An D =  \B = B = A1  A2   An  A1 A2 An 1.2.5 Tính chất phép tốn biến cố: a) Tính lũy đẳng (phản hồi): A+A=A A.A=A b) Tính giao hốn: A+B=B+A A.B=B.A c) Tính kết hợp: A+(B+C)=(A+B)+C A.(BC)=(AB).C d) Tính phân bố: A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B) (A+C) e) Tính đối ngẫu (Quy tắc De Morgan): A  B  A.B A.B  A  B 1.2.6 Quan hệ biến cố: Biến cố con: Cho hai biến cố A, B Biến cố A gọi biến cố B A xảy B xảy ra, ký hiệu: A  B Trong phép thử, biến cố rỗng biến cố, biến cố ngẫu nhiên biến cố chắn   A Trong phép thử, biến cố chắn tổng biến cố sơ cấp xảy Ví dụ 1.13: Gieo viên xúc xắc Gọi A biến cố xuất mặt có chấm, B biến cố xuất mặt có số chấm chẵn Khi đó: A B A biến cố sơ cấp biến cố ngẫu nhiên B biến cố ngẫu nhiên (nhưng không biến cố sơ cấp) Biến cố tương đương: Hai biến cố A, B gọi tương đương A  B B  A, ký hiệu: A  B hay B  A Biến cố xung khắc: Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố không xảy A, B xung khắc  A.B =  Biến cố đối lập: Hai biến cố A B gọi đối lập nếu: i) A, B xung khắc nhau: A.B =  ii) Có biến cố xảy ra: A+B =  Họ biến cố xung khắc: Họ biến cố A1 , A2 , , An gọi họ biến cố xung khắc đôi (họ xung khắc đơi hay họ xung khắc) có biến cố họ xảy biến cố cịn lại khơng xảy A1 , A2 , , An xung khắc  Ai A j =  ,  i, j (i ≠ j) Họ biến cố đầy đủ: Họ biến cố A1 , A2 , , An gọi họ biến cố đầy đủ (hay họ đầy đủ) nếu: i) A1 , A2 , , An xung khắc: Ai A j =  ,  i, j (i ≠ j) ii) Có biến cố xảy ra: A1  A2   An =  Ví dụ 1.14: Trong phép thử tung viên xúc xắc Gọi Ai biến cố mặt i xuất (i=1,2,…,6) Khi đó: A1, A2 xung khắc A1, A1 đối lập A1 , A2 , A4 họ xung khắc A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 họ đầy đủ * Chú ý: Hai biến cố đối lập xung khắc, điều ngược lại khơng 1.3 XÁC XUẤT CỦA BIẾN CỐ Xác xuất xảy biến cố, gọi tắt xác xuất biến cố, số đo khả xảy biến cố Có nhiều cách định nghĩa Định nghĩa 1.5: Định nghĩa xác xuất theo quan điểm cổ điển (classical): Cho A   , xác xuất biến cố A, ký hiệu P(A) định bởi: P(A) = m n n: số trường hợp đồng khả phép thử m: số trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy Ví dụ 1.15: Tung đồng xu Xác xuất mặt sấp xuất là: P(S) = Ví dụ 1.16: Chọn ngẫu nhiên viên bi lọ kín chứa viên bi xanh, bi đỏ, bi vàng Tính xác xuất để chọn bi đỏ Giải Gọi Đ biến cố chọn bi đỏ Khi đó: P(Đ) = = 12 Định nghĩa 1.6: Định nghĩa xác xuất theo quan điểm thống kê (statistics): Khi thực n lần phép thử T thấy biến cố A xuất m lần, tỷ số f n ( A)  m n gọi tỷ lệ xuất biến cố A qua n phép thử Nếu thực phép thử T đến N lần (với N lớn) mà có M lần biến cố A xuất hiện, tỷ M số f N ( A)  gọi tần suất biến cố A N Tần suất biến cố dao động quanh trị số xác định, theo quan điểm thống kê học, trị số xác định xác xuất để biến cố xảy Tức là, nếu: n  N (N đủ lớn), f n ( A)  f N ( A)  p thì: P( A)  lim f n ( A)  f N ( A)  p n N = 0,3 Nếu 10 tiếp tục tung 1000 lần thấy số lần mặt sấp xuất vào khoảng từ 249 đến 251 lần, tức fn(S) dao động quanh giá trị 0,25 xác suất mặt sấp xuất là: P(S)=0,25 Ví dụ 1.17: Tung 10 lần đồng xu vênh góc, thấy lần mặt sấp xuất hiện: f(S) = * Chú ý: Đối với phép thử khơng có số trường hợp đồng khả năng, để xác định xác xuất biến cố, phải dùng đến khái niệm tần suất định nghĩa xác xuất theo quan điểm thống kê Định nghĩa 1.7: Định nghĩa xác xuất theo hệ tiên đề Kolmogorov: Cho K họ tập không gian mẫu  , K = {A A   }, (tức K chứa  ) ánh xạ P: K  [0, 1] thỏa tiên đề sau: (Tđ1):  P(A)  1,  A   (Tđ2): P(  ) = (Tđ3): P(A+B) = P(A) + P(B), A.B =  Khi với A thuộc  , giá trị P(A) gọi xác xuất biến cố A Định nghĩa 1.8: Định nghĩa xác xuất theo quan điểm độ đo (measurement): Một phép thử T có vơ hạn biến cố sơ cấp đồng khả A biến cố phép thử Nếu biểu diễn: - Miền M tập hợp vô hạn tất biến cố sơ cấp phép thử T - Miền m tập hợp vô hạn biến cố sơ cấp thuận lợi cho A xảy Thì xác suất để biến cố A xảy là: P(A) = đơ.đo.miên.(m) đơ.đo.miên.( M ) Trong đó, khái niệm độ đo miền độ dài, diện tích, thể tích, khối lượng miền Ví dụ 1.18: Hai người X Y hẹn gặp quán café khoảng từ 19 đến 20 tối, người đến chỗ hẹn vào thời điểm khoảng thời gian Đến gần hẹn hai có việc đột xuất, nên giao hẹn lại người đến trước chờ, thời gian 20 phút Tính xác suất hai người gặp Giải Khoảng thời gian từ 19 đến 20 60 phút Thời điểm đến chỗ hẹn X x (kể từ 19 giờ) Thời điểm đến chỗ hẹn Y y (kể từ 19 giờ) 0 x 1 0 y 1 Điều kiện hai người gặp là: x  y  20 Biểu diễn x, y hệ toạ độ Descartes, đơn vị phút  x  y  20  y  x  20 Do: x  y  20     x  y  20  y  x  20 Gọi A biến cố người gặp Vậy miền thuận lợi để A xảy miền thỏa điều kiện: x  y  20 Miền biểu diễn x  y  20 hệ trục tọa độ Descartes tương ứng với miền có đánh dấu chấm chấm hình vẽ Suy xác xuất để người gặp tỷ số diện tích miền A (miền có đánh dấu chấm chấm) diện tích miền D hình vng có cạnh 60 (miền trắng bao gồm miền A) P(A) = 60  40   0,56 60 Định lý 1.1: Cho A, B   Khi đó: i)  P(A)  ii) P(  ) = 0, P(  ) = iii) P(A+B) = P(A) +P(B) A.B =  iv) P( A ) = 1–P(A) Chứng minh: (Bằng xác xuất cổ điển) Gọi n số phần tử  Gọi m số phần tử A Gọi r số phần tử B 10 - Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc có dãy phân bố xác xuất pi  n i'  npi ( n i' tần số lý thuyết) - Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân bố xác xuất F(x) hàm mật độ phân bố  xi  ' xác xuất f(x) thì: n i  nP(x i 1  X  x i )  n  F(x i )  F(x i 1 )   n   f(x)dx  x   i1  Ví dụ 8.1: Một cơng ty dự định mở cửa hàng siêu thị khu dân cư A Để đánh giá khả mua hàng nhân dân khu,giám đốc công ty cho điều tra thu nhập bình quân hàng tháng 100 hộ chọn cách ngẫu nhiên khu thu bảng số liệu sau: Thu nhập bình quân (ngàn đồng/người/tháng) Số hộ 150 200 250 300 350 15 38 22 17 Theo phận tiếp thị siêu thị hoạt động có hiệu khu vực thu nhập bình quân hàng tháng hộ tối thiểu vào khoảng 250 ngàn đồng.Vậy qua kết điều tra cơng ty có nên định mở siêu thị khu dân cư A hay không?(Yêu cầu kết luận với xác xuất tin cậy 95% biết thu nhập bình quân hàng tháng hộ khu vực tuân theo quy luật chuẩn) Giải:  Gọi X thu nhập bình quân hàng tháng hộ  X ~ N(µ,2) µ thu nhập bình qn hàng tháng hộ khu dân cư A 2 độ biến động thu nhập bình quân  Theo yêu cầu toán ta phải kiểm định cặp giả thiết sau đây: H0: (µ ≤ µ0 = 250) H1: (µ > 250)  Miền bác bỏ để kiểm tra cặp giả thiết là:    x  0  W   t  n; t  t(n 1)  s      Tính theo giá trị quan sát kết luận: Thu nhập ni ni xi nixi2 150 1200 180000 200 15 3000 600000 250 38 9500 2375000 300 22 6600 1980000 350 17 5950 2082500  100 26250 7217500 77 n x x i n i  262,50  ms  x  x t x  3268,75 n x  s i n i  72175 n ms  57, 46101 n 1 x  μ0 262,5  250 n 100  2,17538 s 57, 46101 Vì n > 30 nên t( n21)  u  u 0,05  1,645  t qs  Wα  bác bỏ H0 Kết luận: Công ty nên định mở siêu thị khu dân cư A Ví dụ 8.2: Thống kê 10650 trẻ sơ sinh địa phương người ta thấy có 5410 trai.Hỏi tỷ lệ sinh trai có thực cao tỷ lệ sinh gái không? Cho kết luận với mức ý nghĩa 1% Giải: Đặt A = (sinh trai)  P(A) = p = tỷ lệ sinh trai Theo yêu cầu toán ta phải kiểm định cặp giả thiết sau đây: H0 :(p = p0 = 0,5) H1 : (p > 0,5) Miền bác bỏ để kiểm tra cặp giả thiết là: f  p0   W  u  n; u  u  p0 (1  p0 )   Tính theo giá trị quan sát kết luận: n = 10650 , mA = 5410  f = 5410/10650 =0,50798 ta có: u f  p0 p0 (1  p0 ) n 0,50798  0,5 10650  1, 647 0,5.0,5 Tra bảng ta u0,01 = 2,33.Vì uqs < u0,01  uqs  W  chưa có sở bác bỏ giả thiết H0 Kết luận : Chưa có sở cho tỷ lệ sinh trai thực cao tỷ lệ sinh gái Ví dụ 8.3: Theo dõi giá cổ phiếu hai công ty A B vịng 31 ngày người ta tính giá trị sau đây: Công ty x s Công ty A 37,58 1,50 Công ty B 38,24 2,20 Giả thiết giá cổ phiếu hai công ty A B hai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.Cho biết ý nghĩa kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên nói trên.Hãy cho biết ý kiến bạn nhận định sau đây: a Có khác biệt thực giá cổ phiếu trung bình hai công ty? b Nếu đặc trưng độ rủi ro hai công ty phương sai giá cổ phiếu độ rủi ro cơng ty B có lớn độ rủi ro công ty A không? Cho biết mức ý nghĩa 5% 78 Giải: a X1=(giá cổ phiếu công ty A)  X1  N(μ1 ,σ12 ) X2=(giá cổ phiếu công ty B)  X2  N(μ ,σ22 ) µ1,µ2 giá cổ phiếu trung bình hai cơng ty A B σ12 , σ 22 độ biến động (rủi ro) giá cổ phiếu  Theo yêu cầu toán ta phải kiểm định cặp giả thiết sau đây: H0 : (µ1 = µ2) H1 : (µ1  µ2)  Miền bác bỏ để kiểm định cặp giả thiết là:   x1  x W  u  ; u  u  2 s1 n1  s n    Tính giá trị quan sát kết luận: Ta tính uqs = -1,38 u0,025 = 1,96 nên u qs  u α  t qs  Wα  chưa có sở bác bỏ H0 Kết luận : giá cổ phiếu trung bình hai cơng ty A B coi b  Theo yêu cầu toán ta phải kiểm định cặp giả thiết sau đây: H0 : ( σ12 = σ 22 ) H1 : ( σ12 < σ 22 ) Miền bác bỏ để kiểm định cặp giả thiết là:   s12 W  F  ; F  f1 (n1  1, n  1)  s2    Tính giá trị quan sát kết luận: s12 1,52 Fqs    0, 4648 s 2, 22 Tra bảng ta f0,05(30,30) = 2,12  f0,95(30,30) =1/ f0,05(30,30) = 0,472 Vì Fqs < f0,95(30,30)  Fqs  W  bác bỏ giả thiết H0 Kết luận : Vậy có sở cho độ rủi ro công ty B lớn độ rủi ro công ty A Ví dụ 8.4: Bệnh A chữa hai loại thuốc H K Công ty sản xuất thuốc H tuyên bố tỷ lệ bệnh nhân khỏi bệnh dùng thuốc họ 85%.Người ta dùng thử thuốc H cho 250 bệnh nhân bị bệnh A thấy có 250 người khỏi bệnh ,dùng thử thuốc K cho 200 bệnh nhân bị bệnh A thấy có 175 người khỏi bệnh a Với mức ý nghĩa 0,01 kết luận thuốc K có khả chữa bệnh A tốt không? b Hiệu chữa bệnh thuốc H có cơng ty quảng cáo không? Cho kết luận với mức ý nghĩa 5% Giải : a Đặt A1=(Bệnh nhân khỏi bệnh dùng thuốc H)P(A1)=p1=Tỷ lệ khỏi bệnh dùng thuốc H A2=(Bệnh nhân khỏi bệnh dùng thuốc K)P(A2)=p2=Tỷ lệ khỏi bệnh dùng thuốc K   Theo yêu cầu toán ta phải kiểm định cặp giả thiết sau đây: Ho:(p1=p2) H1:(p1-u0,01 uqs  WChưa có sở bác bỏ giả thiết Ho Kết luận:Chưa thể kết luận thuốc K có khả chữa bệnh A tốt thuốc H b Theo yêu cầu toán ta phải kiểm định cặp giả thiết sau đây: Ho:(p1≥po=0,85)   H1:(p1-u0,05  uqsW  Chưa có sở bác bỏ giả thiết Ho Kết luận: Có thể cho hiệu chữa bệnh thuốc H công ty quảng cáo 80 PHẦN 2: DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU HỌC TẬP VÀ THAM KHẢO I Tài liệu học tập chính: Nguyễn Anh Tăng, Lý thuyết Xác suất Thống kê toán, Tài liệu giảng dạy GV, 2014 II Tài liệu tham khảo: Trần Gia Tùng, Lý thuyết Xác suất Thống kê toán, NXBĐHQG TP.HCM, 2010 Lê Khánh Luận Nguyễn Thanh Sơn, Lý thuyết Xác suất Thống kê, Đại Học Kinh Tế Tp.HCM, NXBĐHQG TP.HCM, 2012 Hoàng Ngọc Nhậm , Lý thuyết Xác suất Thống kê, Đại Học Kinh Tế Tp.HCM, NXBĐHQG TP.HCM, 2010 Nguyễn Văn Hộ, Xác suất Thống kê, NXBGD, 2012 Đinh Văn Gắng, Bài tập Xác suất Thống kê, NXBGD TP.HCM, 2011 PHẦN 3: CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP BÀI TẬP CHƢƠNG 1 Bắn vào bia phát súng Gọi Ai biến cố bắn trúng phát, Bi biến cố bắn trúng i phát 1) Diễn tả biến cố: A1 , B1 , A2 B2 2) Hai biến cố A1 , B1 có xung khắc khơng? 3) Diễn tả biến cố A1  B2 , B1  A2 , A1 B2 , A2 B1 Kiểm tra sản phẩm.Gọi Ai biến cố sản phẩm thứ k tốt Hãy trình bày cách biểu diễn qua Ak qua giản đồ Ven biến cố sau đây: a) A: tất xấu b) B: có sản phẩm xấu c) C: có sản phẩm tốt d) D: khơng phải tất sản phẩm tốt e) E: có sản phẩm xấu f) F: có sản phẩm tốt Tung xúc xắc lần Gọi Ai (I = 1,6 ) biến cố xuất mặt i chấm lần tung thứ nhất; Bj (j = 1,6 ) biến cố xuất mặt j chấm lần tung thứ hai A biến cố: “tổng số chấm hai lần tung 8”; B biến cố “tích số chấm hai lần tung số 8”; C biến cố:”giá trị tuyệt tối hiệu số châm hai lần tung 2” Hãy biểu diễn biến cố A,B,C theo biến cố Ai Bj Quan sát sinh viên làm thi Ký hiệu Bj (j = 1,2,3,4) biến cố sinh viên j làm thi đạt yêu cầu Hãy viết biến cố sau đây: 81 a) b) c) d) Có sinh viên đạt yêu cầu Có sinh viên đạt u cầu Có sinh viên đạt u cầu Khơng có sinh viên đạt yêu cầu Cho A B biến cố cho P(A) = Hãy tính: 1) P(A+B) 4) P( A.B ) 7) P( A  B ) 10) P( AB / B ) 13) P( A  B / AB ) 1 , P( B)  , P( A.B)  2) P( A  B ) 3)P( A  B ) 5) P( A.B ) 8) P( A / B ) 11) P( AB / B ) 6) P( A.B ) 9) P( A / B ) 12) P( AB / B ) 14)P( AB / A  B ) Một hộp có bi trắng, bi xanh Lấy từ hộp bi theo cách lấy: 1) Lấy ngẫu nhiên bi 2) Lấy khơng hồn lại bi 3) Lấy có hồn lại bi Tính xác xuất theo cách lấy: a) Lấy bi trắng b) Lấy bi trắng Lớp có 100 sinh viên có 50 sinh viên giỏi anh văn, 45 sinh viên giỏi pháp văn 10 sinh viên giỏi ngoại ngữ Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp Tính xác xuất để: 1) Sinh viên giỏi ngoại ngữ 2) Sinh viên không giỏi ngoại ngữ hết 3) Sinh viên giỏi anh văn 4) Sinh viên giỏi ngoại ngữ Trong hộp có 12 bóng đèn có bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên có thứ tự khơng hồn lại bóng để dùng Tìm xác xuất để: 1) Cả bóng hỏng ? 2) Cả bóng khơng hỏng ? 3) Có bóng khơng hỏng? 4) Chỉ có bóng thứ hỏng? Có người chơi bóng rổ, người ném quả.Xác xuất ném trúng rổ người 0,5; 0,6; 0,7 Tính xác xuất để: a) Cả người ném trúng rổ? b) Có người ném trúng rổ? c) Có người khơng ném trúng rổ? d) Có người ném trúng rổ? e) Người thứ ném không trúng rổ, biết có người ném trúng rổ? 10 Kiện hàng có sản phẩm loại A, sản phẩm loại B Kiện hàng có sản phẩm loại A, sản phẩm loại B Từ kiện ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm đem giao cho khách hàng Sau sản phẩm dồn chung vào kiện hàng (đang trống) 1) Nếu ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kiện hàng xác xuất để chọn sản phẩm loại B ? 82 2) Nếu ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kiện hàng 3, tính xác xuất để có sản phẩm loại B sản phẩm chọn 11 Có bình đựng bi, có: bình loại 1: bình đựng bi trắng bi đỏ bình loại 2: bình đựng bi trắng bi đỏ bình loại 3: bình đựng bi trắng bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bình từ bình lấy ngẫu nhiên bi 1) Tính xác xuất để bi lấy bi trắng 2) Biết bi lấy bi trắng.Tính xác xuất để bình lấy bình loại 12 Cho bình đựng bi, bình I có bi đỏ bi trắng, bình II có bi đỏ bi trắng Bốc ngẫu nhiên bi từ bình I bỏ vào bình II, lấy ngẫu nhiên bi từ bình II bỏ ngồi Tính xác xuất để viên bi lấy lần bi trắng Bài 29: Ba bình đựng bi giống nhau, bình đựng bi trắng bi đỏ Lấy bi bình I bỏ sang bình II, lấy bi bình II bỏ sang bình III, lấy bi bình III bỏ ngồi Tìm xác xuất để bi bỏ sau bi trắng 13 Hai bình đựng bi giống nhau, bình đựng bi trắng bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bình bi Từ hai bi ngẫu nhiên chọn bi Tính xác xuất để bi chọn sau bi trắng Bài 31: Một lọ chứa bi đỏ bi trắng Một bi rút bi khác màu bỏ vào lọ, lại rút bi 1) TÍnh xác xuất để bi rút lần thứ đỏ 2) Nếu bi rút màu, Tính xác xuất bi bi trắng 14 Một bình đựng bi có bi đỏ bi trắng Lần lấy ngẫu nhiên bi, lần lấy ngẫu nhiên bi 1) Tính xác xuất để bi lấy lần màu đỏ 2) Biết bi lấy lần màu trắng.Tính xác xuất để bi lấy lần đỏ BÀI TẬP CHƢƠNG 15 Một sọt cam có 10 trái cam có trái hư Lấy ngẫu nhiên trái 1) Tính xác xuất lấy trái hư 2) Tính xác xuất lấy được1 trái hư 3) Tính xác xuất lấy trái hư 4) Xác định số trái hư tin lấy ngẫu nhiên trái 5) Tính xác xuất lấy nhiều trái hư 16 Xác xuất trúng số 1% Mỗi tuần mua vé số Hỏi phải mua vé số liên tiếp tối thiểu tuần để có khơng 95% hy vọng trúng số lần (cho lg 99 = 1,9956 ; lg5 =0,6990) 17 Một thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, câu hỏi có câu trả lời, có câu Giả sử câu trả lời điểm, câu sai trừ điểm Mỗi học sinh làm cách chọn ngẫu nhiên 1) Tìm xác xuất để: a) Học sinh 13 điểm b) Học sinh có điểm âm 2) Giải lại câu 1, với giả thiết học sinh xác xuất trả lời câu hỏi 80% 83 18 Đề thi trắc nghiệm gồm câu hỏi, câu có câu trả lời ( có câu trả lời đúng) Điều kiện thi đạt trả lời câu trả lời Tính xác xuất để thí sinh khơng học 1) Thi đạt 2) Thi đạt biết trả lời câu đầu 3) Thi đạt biết trả lời câu 19 Công nhân chọn ngẫu nhiên máy Với máy chọn sản xuất sản phẩm Nếu số sp hỏng nhiều đạt yêu cầu Với công nhâ M, xác xuất sản xuất sp hỏng dùng máy M1 0,2; dùng máy M2 0,4 Tính xác xuất để cơng nhân M đạt yêu cầu dự thi 20 Sản phẩm sau hồn tất đóng thành kiện, kiện gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ thứ phẩm 20% Trước mua hàng, khách hàng muốn kiểm tra cách từ kiện hàng chọn ngẫu nhiên sản phẩm 1) Tìm luật ppxx số sp tốt sp lấy 2) Nếu sp lấy đếu sp tốt khách hàng đồng ý mua kiện hàng Tính xác xuất để kiểm tra 100 kiện: a Thì có 80 kiện hàng mua b Có 60 kiện hàng mua 21 Ở tổng đài điện thoại, cú điện thoại gọi đến xuất ngẫu nhiên, độc lập với tốc độ trung bình gọi phút Tìm xác xuất để: 1) Có điện thoại phút 2) Khơng có điện thoại khoảng thời gian 30 giây 3) Có khoảng thời gian 10s 22 Trung bình bến cảng có khoảng tàu cặp bến ngày Tính xác xuất để ngày mà ta xét có: 1) Khơng có tàu cập bến 2) Đúng tàu cập bên 3) Từ đến tàu cập bến 4) Có tàu cập bến 23 Số lỗi mét vuông vải xem biến ngẫu nhiên phân bố theo quy luật Poisson Kiểm tra lô vải người ta thấy 98% có lỗi, trung bình mét vng vải có lỗi 24 Xác xuất để ấn công lành nghề lầm mẩu tự 0,002 Tính gần xác xuất để 2000 mẫu tự ấn cống lầm: 1) Đúng mẩu tự 2) Ít mẫu tự 3) Khơng lầm mẫu tự 25 Cho X~ N(3, 4) Tính: 1) p(1  X4) 4) p({X-3{260g) 2) Nếu lấy trái loại người mua sọt Người kiểm tra 100 sọt, tính xác xuất mua sọt 31 Các vòng bi máy sản xuất coi đạt tiêu chuẩn đường kính sai lệch so với đường kính thiết kế không 0,7 mm Biết sai lệch biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với  =  = 0,4mm Tìm tỷ lệ vịng bi đạt tiêu chuẩn máy 32 Gọi X đại lượng điện (tính KWh) mà hộ tiêu thụ hàng tháng Giả sử E(X) = 60 KWh D(X)= 1600 (KWh)2 Giá tiền điện ngàn đồng cho KWh tiêu chuẩn Nếu xài 70 KWh phải trả ngàn đồng cho KWh xài vượt Gọi Y tiền điện phải trả hàng tháng hộ (ngàn đồng) Tính: 1) P(100