Bài toán trị riêng trong phương pháp phân tử hữu hạn giải cho hệ dầm liên tục

Những cây cầu, đặc biệt là dạng cầu liên tục, do những ưu điểm của nó về mặt kinh tế, mỹ quan... được sử dụng như những phương án tối ưu trong trường hợp phải vượt qua những khoảng cách lớn trên sông hay thung lũng.

Bộ giáo dục và đào tạo bộ quốc phòng Học viện kỹ thuật quân sự Trần Bá Thnh đề ti luận văn Bài toán trị riêng trong phơng pháp phần tử hữu hạn giải cho hệ dầm liên tục luận văn thạc sỹ kỹ thuật Hà Nội, Năm 2008 Bộ giáo dục và đào tạo bộ quốc phòng Học viện kỹ thuật quân sự Trần Bá Thnh đề ti luận văn Bài toán trị riêng trong phơng pháp phần tử hữu hạn Giải cho hệ dầm liên tục Chuyên nghành: Xây dựng công trình ngầm, mỏ và các công trình dặc biệt Mã số: 60 58 50 luận văn thạc sỹ kỹ thuật Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Quốc Bảo Hà Nội, Năm 2008 Bộ giáo dục và đào tạo bộ quốc phòng Học viện kỹ thuật quân sự luận văn thạc sỹ kỹ thuật bài toán trị riêng trong phơng pháp phần tử hữu hạn giải cho hệ dầm liên tục Tên đề tài: Bài toán trị riêng trong phơng pháp phần tử hữu hạn giải cho hệ dầm liên tục Chuyên ngành: Xây dựng công trình ngầm, mỏ và các CT đặc biệt Mã số: 60 58 50 Ngày giao đề tài luận văn: Tháng 6/2007 Ngày hoàn thành luận văn: Tháng 5/2008 Ngời thực hiện: Họ và tên : Trần Bá Thành Lớp: Xây dựng côngtrình Khoá: 17 Hệ đào tạo không tập trung Cán bộ hớng dẫn: Họ và tên : Nguyễn Quốc Bảo Cấp bậc: Đại tá Học hàm, học vị : PGS.TS Đơn vị: Khoa C.T.Q.P Hà Nội, Năm 2008 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác./. Tác giả luận văn Trần Bá Thành MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU . 1 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN . 3 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG HỆ DẦM LIÊN TỤC THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH . 4 2.1. Xây dựng tính chất phần tử . 4 2.1.1 Ma trận độ cứng phần tử . 4 2.1.2 Ma trận khối lượng . 9 2.1.3 Ma trận chuyển toạ độ 10 2.1.4 Thuật toán xây dựng và lưu trữ các ma trận. Ví dụ minh họa 13 2.2. Phương trình trị riêng 24 2.2.1 Tổng quan . 24 2.2.2 Bài toán trị riêng trong phương pháp PTHH 26 CHƯƠNG 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TRỊ RIÊNG 31 3.1. Các dạng của bài toán trị riêng . 31 3.2. Những tính chất chủ yếu của trị riêng, vectơ riêng 32 3.2.1 Tính chất của véctơ riêng 32 3.2.2 Đa thức đặc trưng của bài toán trị riêng . 34 3.2.3 Trượt trị riêng 35 3.3. Chuyển từ bài toán trị riêng tổng quát sang bài toán trị riêng chuẩn . 36 3.3.1 Sự cần thiết . 36 3.3.2 Các bước chuyển từ bài toán tổng quát sang bài toán chuẩn 36 3.4. Các kỹ thuật giải áp dụng trong giải bài toán trị riêng . 38 3.4.1 Quy rút tĩnh học 39 3.4.2 Phân tích Rayleigh-Ritz 40 3.5. Các nhóm phương pháp chủ yếu giải bài toán trị riêng 43 3.5.1 Phương trình cơ bản và các nhóm phương pháp giải . 43 3.5.2 Một số lưu ý cơ bản 44 3.6. Phương pháp lặp vectơ 45 3.6.1 Lặp ngược vectơ . 46 3.6.2 Lặp xuôi vectơ 49 3.6.3 Trượt trị riêng trong lặp vectơ 52 3.6.4 Lặp thương số Rayleigh 52 3.6.5 Tốc độ hội tụ trong phương pháp lặp . 54 3.7. Phương pháp biến đổi ma trận hay chéo hóa ma trận . 59 3.7.1 Phương pháp xoay Jacobi dùng cho bài toán chuẩn . 61 3.7.2 Phương pháp Jacobi dùng cho bài toán tổng quát 63 3.7.3 Phương pháp lặp ngược Householder – QR . 70 3.8. Phương pháp lặp đa thức và phương pháp lặp với dãy Sturm 74 3.8.1 Lặp đa thức rõ . 74 3.8.2 Lặp đa thức ẩn . 75 3.8.3 Lặp dựa trên tính chất dãy Sturm . 75 3.9. Phương pháp lặp không gian con 76 3.9.1 Sơ bộ về phương pháp lặp không gian con . 76 3.9.2 Nội dung phương pháp lặp không gian con . 76 3.9.3 Một số chú ý khi chọn vectơ lặp ban đầu . 79 3.9.4 Sự hội tụ 80 CHƯƠNG 4: THỬ NGHIỆM LẬP TRÌNH TRÊN MATLAB . 82 4.1. Tổ chức số liệu trong chương trình . 82 4.1.1 Số liệu vào SLV 83 4.1.2 Số liệu trung gian SLTG . 83 4.1.3 Số liệu kết quả tính SLR . 84 4.2. Tổ chức chương trình và một số hàm cơ bản . 84 4.2.1 Phát sinh kết cấu . 84 4.2.2 Xây dựng phương trình trị riêng . 84 4.2.3 Giải bài toán trị riêng 88 4.3. Tính toán minh họa . 88 KẾT LUẬN 94 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 95 PHỤ LỤC 97 Trang 1 PHẦN MỞ ĐẦU Tên đề tài “Bài toán trị riêng trong phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) giải cho hệ dầm liên tục” Lý do chọn đề tài Trong việc tính toán kết cấu các công trình, đặc biệt là các công trình cầu việc phân tích động lực học có vai trò rất quan trọng. Bởi hầu hết các cây cầu nếu bị hư hỏng, gãy đổ phần lớn đều do ứng xử động học của nó. Mà đ iển hình là các ứng xử liên quan đến tác động động đất, tác động gió, va xô tàu thuyền .Ví dụ như cầu đường sắt Kevda (Nga) bị phá hủy năm 1875, cầu Menkhienxtein (Thụy Sỹ) bị phá hủy năm 1891, cầu dàn Quebec (Canada) bị phá hủy năm 1907, cầu dàn Mojur (Nga) bị phá hủy năm 1925. Điều 4.7.1.5 của tiêu chuẩn thiết kế cầu 22 TCN 272-05 có ghi: “trừ khi được chỉ rõ, phải sử dụng các dạng và tần số c ủa dao động riêng không giảm rung để đáp ứng yêu cầu thiết kế về ứng xử động học đàn hồi”. Như vậy, có thể thấy mọi tính toán liên quan đến ứng xử động lực học đều có liên quan đến tần số và dạng dao động riêng. Nhằm tìm hiểu và đóng góp một phần vào lĩnh vực này, học viên đã chọn hướng nghiên cứu là cách tính tần số dao độ ng riêng của kết cấu, đặc biệt là các kết cấu có số lượng phần tử lớn và lấy dầm liên tục là một ví dụ để khảo sát. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp được sử dụng phổ biến và hiệu quả trong việc tính toán bài toán trị riêng, vectơ riêng của các hệ kết cấu lớn (trong trường hợp này là kết cấu dầm liên tụ c), giúp cho người dùng cũng Trang 2 như các nhà nghiên cứu có được một công cụ dễ hiểu, trực quan khi cần phân tích dao động của kết cấu là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH). Đi sâu vào việc nghiên cứu thuật toán của một trong phương pháp tính tần số dao động riêng tương đối hiện đại và phổ biến hiện nay khi tính tần số và dạng dao động riêng của hệ kết cấu có số lượng phần tử lớ n là phương pháp lặp không gian con. Trên cơ sở đó phát triển và giải quyết một số các bài toán phức tạp hơn trong xây dựng. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Tìm hiểu lý thuyết giải bài toán trị riêng của hệ dao động với số lượng phần tử lớn (cụ thể là dầm liên tục). Đi sâu nghiên cứu thuật toán của phương pháp PTHH và phương pháp lặp không gian con, ứng dụng chúng trong việc xác định tần số và dạng dao động riêng đối với kết cấu dầm liên tục dựa trên ngôn ngữ lập trình matlab. Làm cơ sở để nghiên cứu bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Trang 3 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển kinh tế không ngừng của đất nước, cơ sở hạ tầng cũng ngày một được cải thiện, ngày càng có nhiều những cây cầu, những con đường được xây dựng mới, nâng cấp hoặc cải tạo từ những nguồn vốn khác nhau: vốn ngân sách, vốn trái phiếu, vốn tín dụng hoặc vốn vay, đặc biệt là những nguồn vốn vay từ quỹ hỗ trợ phát triển chính thức ODA. Những cây cầu, đặc biệt là dạng cầu liên tục, do những ưu điểm của nó về mặt kinh tế, mỹ quan . được sử dụng như những phương án tối ưu trong trường hợp phải vượt qua những khoảng cách lớn trên sông hay thung lũng. Để đảm bảo an toàn cho những cây cầu này, mộ t trong số những điểm khống chế thiết kế là tần số dao động riêng phải không được nằm trong giới hạn cho phép. Hiện nay, cùng với sự phát triển của máy tính điện tử, phần tử hữu hạn (PTHH) là một trong số các phương pháp mạnh và được dùng khá phổ biến trong việc phân tích, tính toán kết cấu. Rất nhiều các chương trình tính toán được các công ty xây dựng dựa trên phương pháp này, như SAP, STAD Tuy nhiên, mộ t chương trình chuyên sâu vào việc phân tích tính toán dao động và tần số dao động riêng để từ đó có thể nghiên cứu các biện pháp giảm thiểu hoặc loại trừ các tác động gây hại của Việt Nam hiện vẫn đang trong quá trình hình thành. Đề tài này đề cập đến những cơ sở lý thuyết dùng trong phương pháp PTHH để tính toán bài toán trị riêng của các kết cấu có số lượng phần tử lớn và ứng dụng nó trong ngôn ngữ lập trình Matlab để tính toán các trị riêng cho dầm liên tục. [...]... thực tế của hệ 2.2.2 Bài toán trị riêng trong phương pháp PTHH Phương pháp PTHH thuộc nhóm phương pháp gần đúng để giải bài toán trị riêng Thực chất của phương pháp phần tử hữu hạn là chia vật thể biến dạng thành nhiều phần tử có kích thước hữu hạn gọi là phần tử hữu hạn Các phần tử này được liên kết với nhau bằng các điểm gọi là nút hoặc các điểm nút Các đặc trưng của các phần tử hữu hạn được phối... nhưng trong đó phương pháp sử dụng các nguyên lý năng lượng có tính tổng quát, thích hợp với các phần tử của vật thể liên tục, do đó nó thường được sử dụng trong thực tế tính toán Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp được xây dựng trên cơ sở kết hợp của phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp xấp xỉ hàm Theo tư tưởng của phương pháp sai phân hữu hạn ta chia kết cấu thành các phần tử, các chuyển... XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG HỆ DẦM LIÊN TỤC THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH 2.1 Xây dựng tính chất phần tử Tính chất phần tử của dầm liên tục trong bài toán trị riêng bao gồm: − Ma trận độ cứng phần tử [EK] hay [K]e − Ma trận khối lượng phần tử [EM] hay [M]e − Ma trận chuyển toạ độ [ET] hay [T]e Ngoài ra, nhằm phục vụ cho việc lập trình sau này, ở phần này sẽ trình bày thêm cách xây dựng thuật toán xếp các... (1.20) + Bước 4: Giải phương trình trị riêng tìm được Các phương pháp giải thông dụng sẽ được trình bày tại chương 3 ”Các phương pháp giải bài toán trị riêng + Bước 5: Đánh giá kết quả tìm được Phương pháp PTHH sở dĩ được sử dụng phổ biến hiện nay là bởi đó là phương pháp rất mạnh và hiệu quả, có khả năng ứng dụng rộng rãi trong phân tích kết cấu, đặc biệt là trong điều kiện máy tính điện tử phát triển... ψ ) (2.13) Trong đó: Φ là 1 vectơ mà các thành phần không phụ thuộc thời gian, ω là tần số dao động và ψ là pha ban đầu Thay trở lại phương trình đầu tiên, ta nhận được: KΦ = ω 2 MΦ (2.14) hay KΦ = λMΦ (2.15) Với λ=ω2 là bình phương tần số dao động hay còn gọi là trị riêng và Φ là vectơ riêng Bài toán tìm λ và Φ (từ đó xác định U) gọi là bài toán trị riêng Phương pháp giải bài toán trị riêng có thể... Nhóm phương pháp chính xác Nội dung: dùng các công cụ toán học giải trực tiếp phương trình vi phân cân bằng của bài toán Ưu điểm: kết quả nhận được là chính xác Nhược điểm: khả năng ứng dụng thấp do chỉ có thể giải được những bài toán nhỏ + Nhóm phương pháp gần đúng: ví dụ như phương pháp Rayleigh, Bupnop – Galoockin, Lagơrăng – Ritz, thay thế khối lượng, hay sai phân hữu hạn, PTHH Ở đây ta chỉ phân. .. mẽ như hiện nay Phương pháp PTHH luôn tìm được 1 lời giải hợp lý tương ứng với 1 mật độ lưới xác định và luôn xác định được sai số của phương pháp Mặt khác, phương pháp này không phụ thuộc quá mức vào các điều kiện biên, loại vật liệu hay điều kiện tải trọng Nên nó cũng được sử dụng nhiều trong việc giải bài toán trị riêng của hệ dao động Từ yêu cầu trong việc phân tích động của các hệ dao động là:... nhau để đưa đến một lời giải tổng thể cho toàn hệ Chẳng hạn trong mô hình chuyển vị, các hàm dáng (hàm hình dạng) được chọn để biểu thị sự biến thiên của các thành phần chuyển vị trong phần tử hữu hạn theo các thành phần chuyển vị tại các điểm nút Ứng suất và biến dạng trong phần tử hữu hạn cũng được biểu thị qua các thành phần chuyển vị tại các điểm nút Trang 27 Trong các bài toán cơ học vật rắn biến... phần tử ta gọi là hệ toạ độ phần tử hay hệ toạ độ địa phương Khi tính toán kết cấu gồm nhiều phần tử, để thuận tiện khi thành lập các phương trình cân bằng, người ta cần sử dụng một hệ tọa độ chung cho toàn bộ kết cấu, thường gọi là hệ toạ độ kết cấu hoặc hệ toạ độ chung Vì vậy trước khi bắt tay vào việc lập phương trình cân bằng ở các nút cần phải biến đổi quan hệ giữa các lực nút và chuyển vị nút trong. .. thời gian phù hợp với tác dụng động bên ngoài Trong phân tích động, bài toán dao động riêng của hệ kết cấu là bài toán thường gặp và được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau Phương trình vi phân cân bằng của bài toán này,dù thiết lập theo nhiều cách khác nhau (dựa trên nguyên lý Đalămbe, nguyên lý chuyển vị khả dĩ hay nguyên lý Haminton) đều dẫn đến phương trình sau M U + KU = 0 Với U là vectơ chuyển