Đang tải... (xem toàn văn)
tBài tập chương 7 62 BÀI TẬP CHƯƠNG 7 Bài 7.1. Tính các tích phân sau 1. 2 2 5 5 x dx x x 2. 4 4 x dx x 3. cosx e dx sinx 4. 4 1 cot csc x x dx 2 5. 3 2 4 2 2 3 x x dx x x 6. 2 2 2 dx x a x 7. 2x dx a be 8. 4 1 2 xdx x 9. e xdx 4x sin 5 10. ln3 xdx 11. sec3 x 2 dx 12. sin4 xdx 13. 9 6 1 2 dx x x 14. sin cos 2 dx x x 15. 1 9 2 dx x x 16. 1 2 1 4 dx x x 17. 2 1 x x e dx e 18. 2 2 2 3 18 tan sec 2 tan t t dt t 19. 1 3 1 2 4 2 dx x x 20. x x dx tan 1 21. e x dx 3x cos 4 22. x x dx 2 ln 23. 2 x x dx sin 24. sin lnx dx 25. x x x dx sin cos 26. ln 1 x dx 2 27. sin x dx 28. 2 x 1 xe dx x 29. ln sin tan x dx x 30. sin2 ln cos x x dx 31. ln sin ln x x dx x 32. sin ln 2 cos x x dx 33. e e dx 2x x sin 34. sin cos2 x dx x 35. 2 2 2 1 x e x dx x 36. cos3 x dx 37. sin cos 2 3 x x dx 38. cos sin t t dt 39. cos 1 3sin x dx x 40. e x dx cosx sin 41. cos 2 2 t dt 42. sin cos 2 2 x x dx 43. tan2 d 44. sec x 2 dx 45. tan sec 3 4 x x dx 46. sec tan 5 x x dx 47. tan sec 2 2 x x dx 48. 2 sin cos x x dx 49. tan sec 2 u u du 50. sec4 x dx 51. 3 tan sec x x dx 2Bài tập chương 7 63 52. x x x dx sin cos 2 2 53. x x dx sec2 54. csc2 d 55. csc cot 3 x x dx 56. csc cot 2 2 x x dx 57. csc cos 2 x x dx 58. tan csc x x dx 3 59. 3 5 sin cos u du u 60. 2 2 2 sec tan sec x dx x x 61. sin 3 sin 5 x x dx 62. cos sin2 x 2 x dx 63. sin 3 cos 4 2 x x dx 64. cos 7 cos 3 sin 4 x x x dx 65. 2 1 x 4 dx x 66. 7 4 2 dx x x 67. 2 2 4 dx x x 68. x2 4 dx x 69. 2 9 1 dx x 70. 2 2 6 dx x x 71. 2 8 3 dx x x 72. 9 9 2 2 xdx x x 73. 3 2 2 2 9 1 1 x x dx x x 74. 4 2 2 2 1 x x dx x x 75. 2 2 1 2 x dx x x 76. 3 8 dx x 77. 4 4 1 1 x dx x 78. 3 3 1 1 x dx x 79. 2 1 x dx x 80. 1 2 dx x x x 81. 2 1 2 x dx x x 82. 2 5 7 2 3 x dx x x 83. 2 3 2 3 2 4 4 4 x x dx x x x 84. x 22 5 3 x x e dx e e 85. 2 cos sin sin 2 xdx x x 86. 2 tan sec 4 x dx x 87. 2 3 1 2 dx x x 88. 1 4 dx x x 89. 3 cos 4 sin dx x x 90. sin cos dx x x 91. sin cos sin cos x x dx x x 92. 5sin 4 dx x 93. sec tan dx x x 94. 4 sin 3 cos 5 dx x x 95. 3sin 4 cos 5 dx x x 96. 3 ln 1 ln dx x x x 97. 2 csc cot 2 dx x x 98. 3 2 2 1 x dx x x 99. tan lnx dx x 100. tan x dx x 101. 1 2x dx e 102. cos6 x dx 103. 2 2 1 4 4 2 x dx x xBài tập chương 7 64 104. 1 2 x x e dx e 105. 2 2 sec sec 2 x dx x 106. x x dx cosh 1 2 107. sech ln 2 x dx x 108. 1 2 sinh dx x x 109. cothx dx Bài 7.2. Tính các tích phân sau (không dùng máy tính). 1. 4 1 x x dx ln 2. 3 1 ln e x x dx 3. 2 1 ln e x dx 4. 2 1 3 3 ln 3 e x dx 5. 2 0 e x dx x cos2 6. 0 x x x dx sin cos 7. 2 2 0 4 x dx 8. 1 2 0 9 dx x 9. ln2 2 0 e e dt t t 1 10. 1 2 0 4 4 5 dt t t 11. 2 4 2 1 3 dx x x 12. 2 3 3 2 2 0 3 x dx x 13. 2 3 3 2 2 x x dx 4 14. 5 2 2 0 x x dx 5 15. 2 2 1 1 x x e dx e 16. 1 5 12 0 1 t dt t 17. 1 2 2 0 x x dx sech 18. ln2 0 sinh 3x dx Bài 7.3. Tìm thể tích của khối tạo bởi bằng cách quay miền được chỉ định ở bên dưới quanh trục Ox. 1. Miền dưới đường cong 3 2 2 9 x y x , giữa x 0 và x 9 . 2. Miền dưới đường cong 1 4 y x x 1 2 từ x 0 đến x 1. 3. Miền dưới đường cong y x ln trên đoạn 1, e . 4. Miền dưới đường cong y x cos , giữa x 0 và 2 x .Bài tập chương 7 65 5. Miền bị chặn bởi y xe y x x x2, 0, 0. 2 . Bài 7.4. Tìm thể tích của khối tạo bởi bằng cách quay miền được chỉ định ở bên dưới quanh trục Oy. 1. Miền giữa đường cong 1 1 3 1y xx và trục Ox, giữa x 1 và x 4. 2. Miền giữa đường cong x y 4 4 2 và trục Oy, giữa y 1 và y 2. 3. Miền dưới đường cong y x x sin cos trên đoạn 0, 4 . 4. Miền dưới đường cong e x trên đoạn 0, 2 . 5. Miền dưới đường cong y x ln trên đoạn 1, e . 6. Miền bị chặn bởi đường cong y x x sin , 0, 2 và trục Ox. Bài 7.5. Tìm độ dài của cung sau 1. Cung y f x thỏa phương trình vi phân 2 xy x x ln 2 , giữa 1 4 x và 1 2 2. Cung y x ln cos trên đoạn 0, 4 . Bài 7.6. Tìm diện tích của mặt tạo bởi bằng cách quay cung được chỉ định bên dưới quanh trục Ox. 1. Cung y x2 trên đoạn 0, 1 2. Đường tròn 2 x y b b 2 1, 1. 3. Cung y x ln từ x 2 đến x 3. Bài 7.7 Tìm diện tích của mặt tạo bởi bằng cách quay cung y x2 trên đoạn 0, 1 quanh trục Oy. Bài 7.8. Sau t giờ làm việc, một công nhân có thể sản xuất 100te 0.5t sản phẩmgiờ. Hỏi có bao nhiêu đơn vị sản phẩm một công nhân sản xuất được suốt trong 3 giờ đầu?Bài tập chương 7 66 Bài 7.9. Sau t giây, một vật di chuyển dọc theo một đường thẳng với vận tốc te t 2 métgiây. Hãy biểu diễn vị trí của vật như một hàm số theo thời gian. Bài 7.10. Sau t tuần, đóng góp cho chiến dịch gây quỹ địa phương có tốc độ 2000te 0.2t đôlatuần. Hỏi có bao nhiêu tiền được đóng góp trong suốt 5 tuần đầu tiên? Bài 7.11. 1. Tìm hàm y f x mà đồ thị của nó đi qua điểm 0, 1 và có tính chất đường pháp tuyến tại mỗi điểm x y , trên đồ thị có hệ số góc là secx xy . 2. Tìm hàm y f x mà đồ thị của nó đi qua điểm 1, 1 và có tính chất tại mỗi điểm x y , trên đồ thị, hệ số góc của tiếp tuyến là y x tan 1 . Bài 7.12. Giả sử biết rằng f 0 3 và 0 f x f x x dx sin 0. Tìm f . Bài 7.13. Trong vật lý, người ta biết rằng độ ồn L của một âm thanh có mối liên hệ với cường độ I được thể hiện qua phương trình 0 L 10log I I (decibel), với I0 10 12 (wattm2) là ngưỡng nghe được (tức là cường độ nhỏ nhất có thể nghe được). Giá trị trung bình của L là bao nhiêu khi cường độ của một tivi trong khoảng giữa I0 và 5 I1 3.10 wattm2? Bài 7.14. Vì một tên lửa đốt nhiên liệu khi bay, nên khối lượng của nó giảm theo thời gian, và ảnh hưởng đến vận tốc của nó. Người ta thấy rằng vận tốc v t của tên lửa tại thời điểm t trong quá trình bay của nó có công thức v t r gt ln w kt w , với w là trọng lượng ban đầu của tên lửa (tính cả nhiên liệu) và r, k tương ứng là tốc độ phóng và hệ số tiêu thụ nhiên liệu (r, k là các hằng số). Lấy giá trị của gia tốc trọng trường là g 32 fts2. Giả sử w r k 30000 , 8000 , 200 lb fts lbs . Hỏi độ cao của tên lửa là bao nhiêu sau 2 phút (120 giây)? Bài 7.15. Một nhiếp ảnh gia chụp một tấm hình của một biển báo thông minh ở đuôi một xe tải. Biển báo cao 5 ft và cạnh thấp nhất trên máy ảnh 1 ft. Lúc đầu xe tải cáchBài tập chương 7 67 nhiếp ảnh gia 4 ft, nhưng sau đó nó di chuyển. Hỏi giá trị trung bình của góc (hình vẽ) khi xe tải di chuyển cách nhiếp ảnh gia từ 4 ft đến 20 ft? Bài 7.16. Nếu n mole khí lý tưởng đang tăng ở nhiệt độ không đổi T, thì áp suất p và thể tích V của khối khí thỏa phương trình pV nRT , với R là hằng số. Người ta chỉ ra rằng công thực hiện bởi khối khí này làm tăng từ thể tích V1 đến thể tích V là 1 W nRT lnV V Giá trị trung bình của công là bao nhiêu khi thể tích tăng từ V1 đến V V 2 1 10 ? Bài 7.17. Một chất điểm di chuyển dọc theo trục Ox, có gia tốc tại thời điểm t là a t t sin2 . Tổng quãng đường chất điểm đi được là bao nhiêu trong khoảng thời gian 0, nếu vận tốc ban đầu của nó là v 0 2 (métgiây)? Bài 7.18. Tìm trọng tâm của miền sau 1. Miền bị chặn bởi các đường cong y e y e x x , và đường thẳng x 1. 2. Miền trong góc phần tư thứ nhất bị chặn bởi y x y x sin , cos và trục Oy. 3. Miền bị chặn bởi đường cong y x cos2 , trục Ox và các đường thẳng , 4 3 x x . Bài 7.19 1. Tìm diện tích của miền bị chặn bởi đường cong 1 2 6 5 y x x và các đường thẳng 4 7 , , 0 3 4 x x y .Bài tập chương 7 68 2. Tìm diện tích dưới đường cong 2 1 5 4 y x x giữa x 0 và x 3. Bài 7.20. Tìm thể tích của khối tạo bởi khi đường cong 2 1 , 0 1 5 4 y x x x quay quanh đường thẳng x 1. Bài 7.21. Giải các phương trình vi phân sau 1. 12 5 1 dy x dx 2. dP 0.02P dx 3. dy y 3 x dx x 4. dy y 2 x 1 dx x 5. x x y 4 3 dy 2 5 dx 6. x xy 2 dy 2 dx 7. 3 x y xe dy 2 x dx 8. dy x 2 1 y e 2x dx x 9. dy y tan 1 x dx x 10. dy y x 2 ln dx x x 11. dy tan sin x y x dx 12. dy sec sin2 x y x dx Bài 7.22. Tìm nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân sau: 1. dy x y 2 2 dx , với y 5 khi x 0. 2. x y 2 2 dy dx , với y 2 khi x 1. 3. x y x dy 0 dx , với y 1 khi x 1. 4. 1 2 dy xy dx x , với y 2 khi x 1 5. 1 , 1 1 dy xy x x x dx x , với y 1 khi x 0. 6. 1 , 1 1 dy xy x x x dx x , với y 5 khi x 0. 7. 2 2 sin 1 dy xy x dx x , với y 1 khi x 0. 8. 2 2 cos 1 dy xy x dx x , với y 0 khi x 0. 9. x y x x dy 2 2 , 0 3 dx , với y 0 khi x 3. 10. 2 dy y x e x 2 x , 0 dx x , với y 0 khi x 2 . Bài 7.23. Năm 2010, tổng sản phẩm quốc nội (GDP) của Mỹ là 14.26 nghìn tỷ đôla. Giả sử tốc độ tăng GDP từ 2009 đến 2010 là 1.8%. Hãy dự đoán GDP năm 2020.Bài tập chương 7 69 Bài 7.24. Theo cục điều tra dân số Mỹ, số người Mỹ kết hôn năm 2005 lả 2230000 người. Tốc độ kết hôn là 0.71%. Hỏi dự đoán có bao nhiêu người kết hôn được ghi nhận vào năm 2010 nếu tốc độ kết hôn là hằng số ? Bài 7.25. Một thùng chứa 10 pound (lb) muối hòa tan trong 30 galon (gal) nước. Giả sử có 2 gal dung dịch chứa 1 lb muối trong mỗi gal chảy vào thùng mỗi phút, và dung dịch sau khi trộn đều được cho chảy ra với cùng tốc độ (2galphút). a. Tìm lượng muối trong thùng tại thời điểm t. b. Bao lâu thì trong thùng còn 15 lb muối ? Bài 7.26. Trong bài 7.25, giả sử thùng có thể tích 100 gal và tốc độ chảy ra là 1 galphút. a. Sau bao lâu thì thùng đầy ? b. Có bao nhiêu muối khi thùng đầy ? Bài 7.27. Tốc độ thuốc hấp thu vào máu được cho bởi db b dt , với b t là nồng độ thuốc trong mạch máu tại thời điểm t. Hỏi b t tiến đến bao nhiêu khi thời gian t ? Khi nào b t bằng một nửa giá trị của giới hạn đó? Giả sử rằng b 0 0. Bài 7.28. Một mạch RL có một điện trở R (ohm), cuộn cảm L (henry) và sức điện động E (volt) (R, L, E là các hằng số). Giả sử không có dòng điện qua mạch tại thời điểm t 0 . Nếu L tăng gấp đôi, E và R không đổi, thì điều này có ảnh hưởng gì đến cường độ dòng điện “dài hạn” trong mạch điện (tức là cường độ dòng điện khi t )? Bài 7.29. Năm 2000 có 31.1 triệu người Hispanic ở Mỹ. Nếu tốc độ tăng dân số tỷ lệ với dân số hiện tại, thì có bao nhiêu người Hispanic được ghi nhận vào năm 2010 ? Biết có 15.5 triệu người Hispanic năm 1990. Bài 7.30. Số lượng động vật ở đảo Catalina bị giới hạn bởi lượng thức ăn sẵn có. Nghiên cứu chỉ ra rằng có 1800 con vật năm 2005, và 2000 con vật năm 2011 và 5000 con vật có thể sống trong điều kiện ở đảo (số động vật trên đảo không vượt quá 5000). Hãy sử dụng mô hình logistic để dự đoán số con vật vào năm 2030. Bài 7.31. Năm 1986, thảm họa hạt nhân Chernobyl ở Xô Viết đã làm ô nhiễm bầu khí quyển. Sự tích tụ của chất phóng xạ trong khí quyển thỏa phương trình vi phânBài tập chương 7 70 dM k r M dt r với M là lượng chất phóng xạ trong không khí tại thời điểm t (đơn vị : năm), k là tỉ lệ chất phóng xạ được đưa vào không khí, r là tốc độ phân rã hàng năm của chất phóng xạ. Hãy tìm nghiệm M(t) (tính M(t) theo r và k) từ phương trình vi phân này, biết M 0 khi t 0 . Bài 7.32. Một vật có khối lượng m được thả từ một độ cao lớn và rơi theo đường thẳng. Giả sử chỉ có lực trọng trường mg và lực cản không khí kv tác động lên vật (nhớ rằng g 32 fts2 ). a. Theo định luật thứ 2 của Newton dv m mg kv dt Hãy giải phương trình vi phân này, giả sử rằng vật có vận tốc v0 0 khi t 0 b. Tìm quãng đường s t của vật rơi tại thời điểm t. Giả sử s 0 khi t 0 . c. Nếu vật có khối lượng m 100 lb và k 0.35 thì bao lâu vật chạm đất từ độ cao thả ban đầu là 10000 ft? Bài 7.33. Một mạch RL có một điện trở R 10 ohm và một cuộn cảm L 5 henry. Hãy tìm cường độ dòng điện I t trong mạch tại thời điểm t nếu I 0 0 và sức điện động a. E 15 (volt) b. E e t 5. sin 2t (volt) Bài 7.34. Một mạch RL có một cuộn cảm L 3 henry và một điện trở R 6ohm, với sức điện động E t 50sin30 . Giả sử I 0 0. a. Tìm cường độ dòng điện I t tại thời điểm t. b. Cường độ dòng điện ổn định là bao nhiêu ? Cường độ dòng điện tức thời là bao nhiêu? Bài 7.35. Tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kỳ? Nếu tích phân hội tụ thì hãy tìm giá trị của nó.Bài tập chương 7 71 1. 3 1 dx x 2. 0.99 1 dx x 3. 3 2 1 dx x 4. 2 3 2 1 dx x 5. 0 x dx e 6. 2 3 1 2 x dx x 7. 2 0 xe dx x 8. 1 xe dx x 9. 10 0 5xe dx x 10. 1 ln x dx x 11. 2 ln dx x x 12. 1 ln x dx 13. 2 e ln dx x x 14. 0 2 2 1 x dx x 15. 0 2 dx x 16. 4 2 5 dx x 17. xe dx x 18. 2 1 dx x 19. 1 1 5 0 dx x 20. 4 0 dx x x 21. 1 1 2 0 1 dx x 22. 2 2 0 1 dx x 23. 1 0 ln x dx 24. 1 2 0 1 xdx x 25. 1 1 ln 2 0 x e dx 26. 1 3 1 1 x x e dx e 27. 3 2 0 sec 1 tan x dx x 28. 2 3 0 sin 1 2 cos x dx x Bài 7.36. Tìm diện tích của miền bị chặn giữa trục Ox và đường cong 2 3 4 y x , với a. x 6 b. x 2 Bài 7.37. Giả sử một giếng dầu sản xuất P(t) ngàn barrel dầu thô mỗi tháng theo công thức sau P t e e 100 100 0.02 0.1 t t , với t là số tháng giếng dầu đã được khai thác. Hãy tìm tổng lượng dầu có thể sản xuất từ giếng dầu này. Bài 7.38. Tìm tất cả các giá trị của p sao cho tích phân sau hội tụ, và tìm giá trị của tích phân khi nó hội tụ. a. 2 ln p dx x xBài tập chương 7 72 b. 1 0 p dx x c. 1 2 0 ln p dx x x Bài 7.39. Cách tính tích phân sau đúng hay sai? Tại sao? Nếu sai hãy giải lại cho đúng. a. 1 1 2 1 1 1 dx 1 1 2 x x b. 1 1 1 1 x x x x e dx dx e 1 L H 1 x dx e (dùng qui tắc l’hôpital) 1 e Bài 7.40. Tìm 2 0 f x dx , với 4 3 3 4 1 , 0 1 1 , 1 2 1 x x f x x x Bài 7.41. Tính giá trị các hàm hyperbolic và hàm ngược của hàm hyperbolic 1. sinh ln2 2. cosh 3 3. sech1 4. tanh 1 5. coth 5 4 6. sinh 0 1 7. cosh 1 5 3 8. tanh 0 1 9. coth 3 1 Bài 7.42. Tìm dy dx 1. y x sinh 1 2. y x x cosh 2 3 2 3. y x cosh 1 2 4. y x sinh tan 1 5. y x tanh sin 1 6. sech 1 1 x y xBài tập chương 7 73 7. y x x x cosh 1 1 2 8. x y y x cosh sinh 5 Bài 7.43. Chứng minh a. tanh tanh tanh 1 tanh tanh x y x y x y b. sinh2 2sinh cosh x x x c. cosh2 cosh sinh x x x 2 2 d. 2 2 2 2 x y 1 a b , với x a t y b t cosh , sinh và a, b là các hằng số dương, t là một số. Bài 7.44. Tìm thể tích V của khối được tạo bởi khi quay miền bị chặn bởi các đường cong y x y x sinh , cosh , trục Oy và đường thẳng x c c 0 quanh trục Ox. Tìm c để thể tích V 1. Bài 7.45. Tìm thể tích của khối được tạo bởi bằng cách quay miền bị chặn bởi đường cong y x tanh trên đoạn 0, 1 quanh trục Ox. Bài 7.46. Tìm độ dài của cung y a cosh x a giữa x a và x a .
Bài tập chương BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 7.1 Tính tích phân sau 2x x2 5x x x dx x3 x4 18 2x 2 a x dx a be 2x 14 dx 19 tan t dt 4dx 13 2x 12 20 x tan x dx 21 e 22 x ln x dx 3x cos 4x dx 35 sin x dx dx e 2x 2x x2 dx 36 cos3 x dx 37 sin2 x cos3 x dx 38 cos t sin t dt 39 cos x dx sin x 40 e cos x sin x dx 41 cos2 2t dt x cos 2x x 18 tan t sec t x sin x 34 24 sin ln x dx 42 sin2 x cos2 x dx sin 5xdx 25 x sin x cos x dx 43 tan d 26 ln x 44 27 sin x dx x sec dx 45 tan3 x sec4 x dx 46 sec5 x tan x dx ln3 xdx 11 sec3 x dx 28 sin4 xdx dx 6x dx sin x cos x dx x e e 2x sin e xdx 4x 9x x 23 xdx 4x 12 e xdx x 10 15 x 33 dx x dx cot x csc x dx e 14 17 13 16 cos x e sin xdx 12 dx 9x 29 30 31 32 xe x dx x ln sin x tan x dx dx sin 2x ln cos x dx ln x sin ln x x sin x ln 47 tan2 x 48 sin x sec2 x dx cos x dx 49 tan2 u sec u du dx 50 sec4 x dx cos x dx 51 tan x sec2 x dx 62 Bài tập chương 52 x sin x cos x dx 53 x sec2 x dx 72 54 csc d 55 csc3 x cot x dx 56 csc2 x cot2 x dx 57 csc x cos x dx 58 tan x csc3 x dx 59 sin u du cos5 u 60 61 62 63 64 sec2 x sin 3x sin 5x dx cos 74 76 sec x dx tan2 x 73 75 x sin 2x dx 2 sin 3x cos 4x dx cos 7x cos 77 78 79 3x sin 4x dx 80 65 66 67 70 x2 81 x 7x 82 dx x2 x2 83 x2 dx x x 84 85 dx x 8x 2x 87 xdx x2 2x x2 9x x2 x2 89 dx 90 x4 x2 dx x2 x x2 91 x2 88 x dx 92 dx x3 x4 x4 dx 94 dx 95 x x3 93 x dx x 96 dx x x x 97 x dx x x 5x x2 2x 98 dx 99 3x 2x dx x x 4x 86 2e 2x e dx 5e x cos xdx sin x sin x tan x dx sec2 x dx x x 14 100 x 12 dx x dx cos x sin x dx sin x sin x sin x cos x cos x dx cos x dx sin x dx sec x tan x dx sin x cos x dx sin x cos x x ln x ln x dx csc x cot x 2x x dx tan ln x dx x tan x dx x 101 dx e 2x 102 cos6 x dx 103 dx x x dx x2 dx dx 68 69 x dx 71 2x 4x dx 4x 63 Bài tập chương e x dx 104 e sech2 ln x dx 107 2x x sec2 x dx 105 sec2 x x cosh 106 sinh x dx 108 dx x x2 coth x dx 109 Bài 7.2 Tính tích phân sau (khơng dùng máy tính) x ln x dx x dx x3 x2 13 e x ln x dx e ln 2 ln x dx e ln 3x dx 10 13 4t 2 2x e cos 2x dx 11 x x sin x cos x dx 12 0 dt 4t x x x 2dx e 2t dt x2 14 2 e x dx e 2x 15 16 dx x et dx 4dx t 5dt t 12 x2 x sech2 x dx 17 ln dx 32 sinh 3x dx 18 Bài 7.3 Tìm thể tích khối tạo cách quay miền định bên quanh trục Ox Miền đường cong y x 32 , x x Miền đường cong y x x2 Miền đường cong y ln x đoạn 1, e Miền đường cong y cos x , x x 14 từ x đến x x 64 Bài tập chương Miền bị chặn y xe x2 ,y 0, x x Bài 7.4 Tìm thể tích khối tạo cách quay miền định bên quanh trục Oy 1 Miền đường cong y x x 13 trục Ox, x Miền đường cong x 4 y trục Oy, y Miền đường cong y sin x cos x đoạn 0, Miền đường cong e x x y đoạn 0, ln x đoạn 1, e Miền đường cong y Miền bị chặn đường cong y sin2 x, x 0, trục Ox Bài 7.5 Tìm độ dài cung sau Cung y f x thỏa phương trình vi phân xy Cung y ln cos x đoạn 0, ln x x , x x Bài 7.6 Tìm diện tích mặt tạo cách quay cung định bên quanh trục Ox Cung y x đoạn 0, Đường tròn x Cung y y ln x từ x b 1, b đến x x đoạn 0, Bài 7.7 Tìm diện tích mặt tạo cách quay cung y quanh trục Oy Bài 7.8 Sau t làm việc, cơng nhân sản xuất 100te 0.5t sản phẩm/giờ Hỏi có đơn vị sản phẩm công nhân sản xuất suốt đầu? 65 Bài tập chương t Bài 7.9 Sau t giây, vật di chuyển dọc theo đường thẳng với vận tốc te mét/giây Hãy biểu diễn vị trí vật hàm số theo thời gian Bài 7.10 Sau t tuần, đóng góp cho chiến dịch gây quỹ địa phương có tốc độ 2000te 0.2t đơla/tuần Hỏi có tiền đóng góp suốt tuần đầu tiên? Bài 7.11 Tìm hàm y f x mà đồ thị qua điểm 0, có tính chất đường pháp sec x xy tuyến điểm x , y đồ thị có hệ số góc Tìm hàm y f x mà đồ thị qua điểm 1, có tính chất điểm x , y đồ thị, hệ số góc tiếp tuyến y tan x Bài 7.12 Giả sử biết f f x f x sin x dx Tìm f Bài 7.13 Trong vật lý, người ta biết độ ồn L âm có mối liên hệ với cường độ I thể qua phương trình L 10 log I (decibel), với I I0 10 12 (watt/m2) ngưỡng nghe (tức cường độ nhỏ nghe được) Giá trị trung bình L cường độ tivi khoảng I I1 3.10 watt/m2? Bài 7.14 Vì tên lửa đốt nhiên liệu bay, nên khối lượng giảm theo thời gian, ảnh hưởng đến vận tốc Người ta thấy vận tốc v t tên lửa thời điểm t trình bay có cơng thức v t r ln w kt gt , với w w trọng lượng ban đầu tên lửa (tính nhiên liệu) r, k tương ứng tốc độ phóng hệ số tiêu thụ nhiên liệu (r, k số) Lấy giá trị gia tốc trọng trường g 32 ft/s2 Giả sử w 30000 lb , r 8000 ft/s , k 200 lb/s Hỏi độ cao tên lửa sau phút (120 giây)? Bài 7.15 Một nhiếp ảnh gia chụp hình biển báo thơng minh xe tải Biển báo cao ft cạnh thấp máy ảnh ft Lúc đầu xe tải cách 66 Bài tập chương nhiếp ảnh gia ft, sau di chuyển Hỏi giá trị trung bình góc (hình vẽ) xe tải di chuyển cách nhiếp ảnh gia từ ft đến 20 ft? Bài 7.16 Nếu n mole khí lý tưởng tăng nhiệt độ khơng đổi T, áp suất p thể tích V khối khí thỏa phương trình pV nRT , với R số Người ta cơng thực khối khí làm tăng từ thể tích V1 đến thể tích V W nRT ln V V1 Giá trị trung bình cơng thể tích tăng từ V1 đến V2 10V1 ? Bài 7.17 Một chất điểm di chuyển dọc theo trục Ox, có gia tốc thời điểm t sin2 t Tổng quãng đường chất điểm khoảng thời gian a t 0, vận tốc ban đầu v (mét/giây)? Bài 7.18 Tìm trọng tâm miền sau Miền bị chặn đường cong y ex , y e Miền góc phần tư thứ bị chặn y Miền bị chặn đường cong y x đường thẳng x sin x, y cos x trục Oy cos2 x , trục Ox đường thẳng x ,x Bài 7.19 Tìm diện tích miền bị chặn đường cong y x ,x ,y 5x x2 đường thẳng 67 Bài tập chương Tìm diện tích đường cong y x2 5x x Bài 7.20 Tìm thể tích khối tạo đường cong y quanh đường thẳng x x x 5x ,0 x quay Bài 7.21 Giải phương trình vi phân sau 12 dy dx 5x x dy dx xy 10 dP dy 0.02P 2y xe x x dx dx dy 3y dy 2x x y e 2x dx x dx x dy 2y x dx x dy y tan x dy dx x x 2x y dx Bài 7.22 Tìm nghiệm đặc biệt phương trình vi phân sau: dy dx dy 12 dx dy dx x x 2y , với y x y , với y x dy dx dy dx dy dx y y x , với y dy dx x dy x dx x xy x x x x x ,x dy dx 1, x với 10 dy xy x dx x y x x x ,x 1, với 11 2xy x2 2y x ln x x tan x y sin x sec x y sin 2x sin x , với y cos x , với y x xy , với y x2 dy dx 2xy x2 dy dx 2y 2x 3, x , với y , với y dy y dx x x 2 x 2e x , x Bài 7.23 Năm 2010, tổng sản phẩm quốc nội (GDP) Mỹ 14.26 nghìn tỷ đơla Giả sử tốc độ tăng GDP từ 2009 đến 2010 1.8% Hãy dự đoán GDP năm 2020 68 Bài tập chương Bài 7.24 Theo cục điều tra dân số Mỹ, số người Mỹ kết hôn năm 2005 lả 2230000 người Tốc độ kết 0.71% Hỏi dự đốn có người kết hôn ghi nhận vào năm 2010 tốc độ kết hôn số ? Bài 7.25 Một thùng chứa 10 pound (lb) muối hòa tan 30 galon (gal) nước Giả sử có gal dung dịch chứa lb muối gal chảy vào thùng phút, dung dịch sau trộn cho chảy với tốc độ (2gal/phút) a Tìm lượng muối thùng thời điểm t b Bao lâu thùng cịn 15 lb muối ? Bài 7.26 Trong 7.25, giả sử thùng tích 100 gal tốc độ chảy gal/phút a Sau thùng đầy ? b Có muối thùng đầy ? Bài 7.27 Tốc độ thuốc hấp thu vào máu cho db dt b , với b t nồng độ thuốc mạch máu thời điểm t Hỏi b t tiến đến thời gian t ? Khi b t nửa giá trị giới hạn đó? Giả sử b 0 Bài 7.28 Một mạch RL có điện trở R (ohm), cuộn cảm L (henry) sức điện động E (volt) (R, L, E số) Giả sử dịng điện qua mạch thời điểm t Nếu L tăng gấp đôi, E R không đổi, điều có ảnh hưởng đến cường độ dòng điện “dài hạn” mạch điện (tức cường độ dòng điện t )? Bài 7.29 Năm 2000 có 31.1 triệu người Hispanic Mỹ Nếu tốc độ tăng dân số tỷ lệ với dân số tại, có người Hispanic ghi nhận vào năm 2010 ? Biết có 15.5 triệu người Hispanic năm 1990 Bài 7.30 Số lượng động vật đảo Catalina bị giới hạn lượng thức ăn sẵn có Nghiên cứu có 1800 vật năm 2005, 2000 vật năm 2011 5000 vật sống điều kiện đảo (số động vật đảo không vượt 5000) Hãy sử dụng mơ hình logistic để dự đốn số vật vào năm 2030 Bài 7.31 Năm 1986, thảm họa hạt nhân Chernobyl Xơ Viết làm nhiễm bầu khí Sự tích tụ chất phóng xạ khí thỏa phương trình vi phân 69 Bài tập chương dM dt k r r M với M lượng chất phóng xạ khơng khí thời điểm t (đơn vị : năm), k tỉ lệ chất phóng xạ đưa vào khơng khí, r tốc độ phân rã hàng năm chất phóng xạ Hãy tìm nghiệm M(t) (tính M(t) theo r k) từ phương trình vi phân này, t biết M Bài 7.32 Một vật có khối lượng m thả từ độ cao lớn rơi theo đường thẳng Giả sử có lực trọng trường mg lực cản khơng khí kv tác động lên vật (nhớ g 32 ft/s ) a Theo định luật thứ Newton m dv dt mg kv Hãy giải phương trình vi phân này, giả sử vật có vận tốc v0 b Tìm qng đường s t vật rơi thời điểm t Giả sử s c Nếu vật có khối lượng m 100 lb k t t 0/ 0.35 vật chạm đất từ độ cao thả ban đầu 10000 ft? Bài 7.33 Một mạch RL có điện trở R 10 ohm cuộn cảm L tìm cường độ dịng điện I t mạch thời điểm t I a E 15 (volt) b E 5.e 2t sức điện động sin t (volt) henry điện trở R Bài 7.34 Một mạch RL có cuộn cảm L sức điện động E henry Hãy 50 sin 30t Giả sử I ohm, với a Tìm cường độ dịng điện I t thời điểm t b Cường độ dòng điện ổn định ? Cường độ dòng điện tức thời bao nhiêu? Bài 7.35 Tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kỳ? Nếu tích phân hội tụ tìm giá trị 70 Bài tập chương 1 3 dx x3 dx x 0.99 11 2 19 ln x dx 20 x3 x ln x 2x dx x e x dx 16 x 21 22 1 27 15 b x sec2 x dx tan x dx 28 x x ex 1 sin x dx cos x dx x 12 dx x x x ln x dx 24 xdx x2 Bài 7.36 Tìm diện tích miền bị chặn trục Ox đường cong y a x 23 dx x 2 dx dx 15 dx e xdx 26 dx e 14 xe dx 13 x dx dx x ln x dx ex x2 x2 12 ln x e 25 dx 18 x 2x xe dx 17 ln x dx 10 dx 2x dx x dx 5xe 10 x x , với Bài 7.37 Giả sử giếng dầu sản xuất P(t) ngàn barrel dầu thô tháng theo công thức sau P t 100e 0.02t 100e 0.1t , với t số tháng giếng dầu khai thác Hãy tìm tổng lượng dầu sản xuất từ giếng dầu Bài 7.38 Tìm tất giá trị p cho tích phân sau hội tụ, tìm giá trị tích phân hội tụ dx a x ln x p 71 Bài tập chương b dx xp 12 c dx x ln x p Bài 7.39 Cách tính tích phân sau hay sai? Tại sao? Nếu sai giải lại cho a dx x2 1 1 x e xdx x b x 1 e x L 'H dx (dùng qui tắc l’hôpital) ex dx 1 e f x dx , với Bài 7.40 Tìm f x x3 x , 1 , x 1 x Bài 7.41 Tính giá trị hàm hyperbolic hàm ngược hàm hyperbolic sinh ln cosh 3 sech1 coth cosh 5 coth sinh Bài 7.42 Tìm 1 dy dx 1 y sinh x y cosh 2x y cosh x 3x y sinh y 1 tan x sin x y sech 1 x x 72 Bài tập chương 7 y x cosh x x2 x cosh y y sinh x Bài 7.43 Chứng minh x y x y a x y b sinh2x sinh x cosh x c cosh 2x cosh2 x d x2 a2 số y2 b2 sinh2 x , với x a cosh t, y b sinh t a, b số dương, t Bài 7.44 Tìm thể tích V khối tạo quay miền bị chặn đường cong y sinh x, y để thể tích V cosh x , trục Oy đường thẳng x c c quanh trục Ox Tìm c Bài 7.45 Tìm thể tích khối tạo cách quay miền bị chặn đường cong y x đoạn 0, quanh trục Ox Bài 7.46 Tìm độ dài cung y a cosh x x a a x a 73